CC BY
25
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. 2011. Вып. 1
КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 530.145
В. Б. Беляев, В. Зандхас, И. И. Шлык
МАЛОЧАСТИЧНЫЕ МЕЗОН-ЯДЕРНЫЕ КЛАСТЕРЫ*
Введение. В работе [1] мы рассмотрели на основе уравнений Фадцеева связанные состояния в системе, содержащей один и два ф-мезона — фЖЖ и ффЖ, где N — это нейтрон или протон, и потенциал Уфф действует в в-волновом состоянии.
Ниже мы представляем результат вычислений для систем с двумя ф-мезонами ффN, полученный на основе решения дифференциальных уравнений Фаддеева с Уфф, действующим в ¿-волне.
Интерес к ф-мезон-ядерным системам вызван двумя фактами: во-первых, кварко-вая структура волновой функции ф-мезона в основном определяется вв-конфигурацией странных кварков, во-вторых, важной ролью странных вв-морских кварков в нуклоне. Таким образом можно ожидать значительных обменных эффектов между этими двумя адронами.
Указания на роль вв-морских кварков следуют из различных экспериментов, таких как яЖ-рассеяние, |зр-аннигиляция, странная часть формфактора нуклонов и др.
Действительно, в 1980-х годах (см. например, [2]) уже стало ясно, что содержание ее в нуклоне тесно связано с так называемым о-членом в л^-рассеянии. Оценки скалярной плотности странности у в нуклоне [3] дали
Значение у к 0,5 соответствует размеру пN £-члена £ = 64 ± 8 МэВ (о0 = 36 ± ±7 МэВ — разность масс октета барионов). Однако наличие странных морских кварков проявляется не только во внутренней структуре нуклона [4], но также в интенсивности некоторых реакций.
Оказывается, что есть много реакций, которые протекают с большими нарушениями OZI-правила (Okuba-Zweig-Izuka). Самый яркий пример этого явления может быть замечен в рр-процессах аннигиляции, если сравнивать отношение процессов рождения ф- и ю-мезонов с соответствующими предсказаниями правила OZI. В некоторых случаях разница достигает нескольких десятков раз [5]. Похожий феномен (нарушение
* По материалам доклада на юбилейном семинаре «Вычислительная физика» 29—30 октября 2009 г., С.-Петербург.
© В. Б. Беляев, В. Зандхас, И. И. Шлык, 2011
2(фв|р) _ о0
(1)
у
(р\ии + (М\р)
правила OZI) можно увидеть в ф-мезон-нуклонном взаимодействии, которое подавлено по правилу OZI, но в действительности велико.
Анализ полной картины для амплитуд скрытой странности показывает, что их значения главным образом определены Jpc квантовыми числами, имеющими вв-пары в соответствующих процессах или системах [5].
Это наблюдение делает понятным факт, почему правило OZI выполняется в некоторых процессах и нарушается в других.
Если перейти к рассмотрению малочастичных систем, которые состоят из нуклонов и некоторого числа ф-мезонов (1 или 2), имеющих главным образом кварковую вв-структуру, можно ожидать больший диапазон квантовых чисел переносимых вв-парой и, соответственно, больше возможностей для проявления странных морских кварков в нуклонах.
В нашей предыдущей работе [1] мы начали с рассмотрения 3-частичных систем ф + 2N и 2ф + N с в-волновыми потенциалами.
В этой работе мы рассматриваем 3-частичную систему 2ф + N, где Уфф действует в ¿-волне.
Вычисления.
Уравнения Фаддеева. Методом для рассмотрения будут являться уравнения Фаддеева в дифференциальной форме:
К2
~2М(Л''» + Д!)ф1(Л1, ^1) + ^23*(л«, Ча) = Яо*1(Л1, К2
+ Д|,)Ф2(Л2, 12) + ^13Ф(Л„, 1а) = Ео* 2(Л2^2),
К2
+ А- Ф:< + Ча) = Я0*з(ЛЗ, Чз).
(2)
Координаты Якоби определяются как обычно:
П - Гп =
ШгГг + тпГп Ча
-— Г к = -,
тг + тп Ьа '
где гг, тг обозначают радиус-вектор и массу г-й частицы,
(3)
(4)
чщпгэ ^ _ ^ тк('1Щ + т^)
(тг + тп)М '
М 2
М = т\ + т-2 + тз
и индексы а принимают следующие значения: а = 3 для (у)к = (12)3, а = 1 для (у)к = (23)1, а = 2 для (у)к = (31)2.
Парциальное разложение компонент Ф имеет форму
Ла^а
ьми
(5)
где Па = | Па I , Ча = | Ча | , Ла = Па/| Па | , Ча = Ча/| Ча | , ^М — бисферические функции.
а
а
а
а
а
Рассмотрим систему с Ь = 2. В этом случае из (5) получим
Л151
Ф2(Л2,|2) = (Т|2,|2) (6)
и Фз = Ф2 вследствие тождественности частиц (два ф-мезона).
В результате мы приходим к системе из 7 двумерных дифференциальных уравнений для парциальных амплитуд компонент Фаддеева.
Приближения. 1. Мы не будем приводить выражение для этой системы в явном виде. Ограничимся рассмотрением лишь тех уравнений, которые содержат центробежные потенциалы с наименьшими орбитальными моментами. Парциальные амплитуды в этих уравнениях будут давать наибольший вклад в полную волновую функцию. В результате приходим к следующей системе из двух двумерных интегро-дифференциальных уравнений:
р , ^ 6 , т, (РСОВ(Р ) Р
^(р, Ф) =
-+
*2 ( \ а I1 (7)
П2 6 , ТЛ / р С°8 Ф \ г тт < \
-+
в,т(2уа>2)
° + ^ГГГ--^ + 1/2 --Г - Е
2М (рБ1пф)2 \ а2
V а2 /0т=2 81П(2уа'2)./
с-
(из = и2),
где и1 = и220, и = и202,V1 = Уфф, У = Уфы,
- П2 ( д2 1 д 1 д2
2М др2 р др р2 дф2 с+ = М1п {|ф + уа/а|, п - (ф + уа/а)}
С- = |ф - Уа'а|; у^ = агсБШ ,
шк М
13 V {пч + тк)(т^ + тк) (1]к = 123, 231, 312).
Индексы соответствуют 1 для ф-мезона, 2 и 3 для нуклонов. Из выражения, которое дано в [6], можно получить
К^ = 1/8+(3/8)с°в2% , К>2 = 1/8+ (3/8) с°в2(8|2 - 6Па,),
где
cos . =
la'
cos 8s , =
COS 8Sa =
- COS Ya'a cos ф + 6a/a Sill Ya'a COS 6|а SÍll ф
cos ф'
-ea/a sin Ya'a cos ф + COS Ya'a COS 6|а SÍll ф
sin ф'
cos ф'2 + cos Ya'a2 cos ф2 + sin Ya'a2 sin ф2
^a'a cos Ya'a sin Ya'a sin 2ф
1 a'a =(13), (32), (21), -1 a'a =(3l), (23), (12).
Приближение 2. Можно заметить, что mn « тф. Поэтому кажется разумным сделать следующее упрощение, положив тi = т = тф.
Приближение 3. Систему из 2 двумерных уравнений (7) можно свести к системе одномерных уравнений по переменной гиперрадиуса р по следующим соображениям. Потенциал Уфп — короткодействующий сильно притягивающий и действует в s-состоянии. Потенциал Уфф содержит центробежный барьер, поэтому можно ожидать, что для ффЖ системы равновесной будет конфигурация, если нуклон расположен в центре, а ф-ме-зоны по противоположным сторонам. Эта конфигурация соответствует значениям переменной ф, различным для каждого из якобиевских наборов. Равновесные значения: фед = 0 для U^p, ф) и фед = я/3 для U2(p, ф). Разлагая Ui(p, ф) и U2(p, ф) около равновесных значений и подставляя разложение в уравнение (7), получим систему из двух одномерных уравнений по переменной р.
Й2/(2М)((С1)" + (ci)'/p - 6С1/р2) + (Е -
- Vi(pv/6))ci = -8/^3VÍ(pv^)c2, , .
ñ2/(2М)((с2)" + (с2)7р - 8с2/р2) + (Е+
+ (l+4/v/3v1)V2(pv/372))c2 = -4/v/3v2V2(pv/372)c1,
где vi = 0,110, V2 = 0,0555, для которой решалась задача на отыскание собственных значений. При вычислении применялась программа из [7].
Входные данные. В качестве входных данных использовались следующие потенциалы:
Уфм = ae-r/r (9)
с a = -1,25hc, ц = (600 МэВ)/(Йс) [8];
Уфф = Voe-(r/r0)2, (10)
где У0 = -93,75 МэВ, r0 = 1,2 фм.
Параметры Уфф-потенциала выбраны таким образом, чтобы с учётом центробежного барьера подобрать положение и ширину /2(2010)-резонанса, который имеет одну моду распада на два ф-мезона. Уф^-потенциал обеспечивает связанное состояние в фЖ-си-стеме с энергией около 9,5 МэВ. Следует заметить, что 5-частичный расчёт [9] для фЖ-системы даёт тот же результат — около 9 МэВ — в одной из кварковых моделей.
Результаты. Зависимость энергии трёхчастичной системы ффЖ от глубины фЖ-потенциала |a| приведена на рисунке. Видно, что связь в системе появляется только при a = —3,035Йс. Это довольно сильно отличается от исходного значения.
Выводы. Изучение ф-мезон-ядерных систем может пролить свет на структуру распределения морских s- и s-кварков в нуклонах (а также в нуклонах в ядерной среде)
a
E, МэВ \a\
Зависимость энергии связи системы ффте от параметра ф-Ж-взаимодействия |а|:
h = c = 1
и на возможное появление многочастичных эффектов, связанных с обменом морскими s- и s-кварками принадлежащими к различным барионам.
Литература
1. Belyaev V. B., Sandhas W, Shlyk I. I. // arXiv: 0903.1703.
2. Jaffe R. L. // Phys. Rev. (D). 1980. Vol. 21. P. 3215-3224.
3. Ellis J. R. // arXiv: hep-ph/0411369.
4. Thomas A. W. // arXiv: 0907.4916.
5. Nomokonov V. P., Sapozhnikov M. G. // arXive: hep-ph/0204259.
6. Pupyshev V. V. // Theor. Math. Phys. 1989. Vol. 81. N 1. P. 1072-1077.
7. Numerical Analysis Library RCC, MSU, URL: http://www.srcc.msu.ru/num_anal.
8. Gao H., Lee T.-S. H., Marinov V. // Phys. Rev. 2001. Vol. 63. 022201.
9. Huang F., Zhang Z. Y, Yu Y. W. // arXiv: nucl-th/0601003.
Статья поступила в редакцию 19 марта 2010 г.
