CC BY
13
УДК 551.21+550.34
https://doi.org/10.24412/0131-4270-2022-1-2-85-95
МАГНИТУДЫ, СТЕПЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ВУЛКАНОЛОГИИ
MAGNITUDES, POWER-LAW PROBABILITY DISTRIBUTIONS AND THEIR APPLICATIONS IN VOLCANOLOGY
Иванов В.В.
Институт вулканологии и сейсмологии Дальневосточного отделения, Российской академии наук, 683006, г. Петропавловск-Камчатский, Россия
ORCID: https//orcid.org/0000-0002-8679-5881, E-mail: victorvasilievich53@gmail.com
Резюме: Дано подробное обоснование необходимости введения магнитуды, как логарифмической функции основного параметра, которая устраняет сингулярность распределения вероятностей в точке 0 для фрактальных объектов, к которым относятся извержения вулканов, землетрясения и т.п. В доступной форме приведен вывод основных формул для анализа степенных распределений, который является главным методом для описания фрактальных объектов. Даны применения этой методологии в практической вулканологии. Описаны основные виды магнитуд в вулканологии и вулканической сейсмологии. Даны примеры вулканических извержений различных эксплозивных магнитуд (VEI) на Камчатке. Показаны средне-и верхнеплейстоценовые кальдеры на Камчатке, связанные с максимально возможными извержениями с VEI = 7.
Ключевые слова: вулкан, извержение, кальдера, степенное распределение вероятностей, магнитуды вулканических извержений.
Для цитирования: Иванов В.В. Магнитуды, степенные распределения вероятностей и их применение в вулканологии // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2022. № 1-2. С. 85-95.
DOI: 10.24412/0131-4270-2022-1-2-85-95
Благодарность: Автор выражает признательность И.Р. Абубакирову, Л.И. Базановой, О.В. Дирксену, И.В. Меле-кесцеву, В.В. Пономаревой за консультации и полезные обсуждения рассматриваемых в статье вопросов. Особая благодарность Ю.В. Демянчуку, Н.П. Смелову, В.А. Шамшину и И.В. Ерову за предоставленные фотографии извержений.
Victor V. Ivanov
Institute of Volcanology and Seismology of Far East Division, Russian Academy of Sciences, 683006, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Russia ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8679-5881, E-mail: victorvasilievich53@gmail.com
Abstract: A detailed justification is given for the need to introduce magnitude as a logarithmic function of the main parameter, eliminating the singularity of the probability distribution at point 0 for fractal objects, which include volcanic eruptions, earthquakes, etc. In an accessible form, the derivation of the basic formulas for the analysis of power-law distributions, which is the main method for describing fractal objects, is given. Applications of this methodology for practical volcanology are given. The main types of magnitudes in volcanology and volcanic seismology are described. Examples of volcanic eruptions of various explosive magnitudes (VEI) in Kamchatka are given. The Middle and Upper Pleistocene calderas in Kamchatka are shown, associated with the maximum possible eruptions with VEI = 7.
Keywords: volcano, eruption, caldera, power-law probability distribution, magnitudes of volcanic eruptions.
For citation: Ivanov V.V. MAGNITUDES, POWER-LAW PROBABILITY DISTRIBUTIONS AND THEIR APPLICATIONS IN VOLCANOLOGY. Transport and Storage of Oil Products and Hydrocarbons. 2022, no. 1-2, pp. 85-95.
DOI: 10.24412/0131-4270-2022-1-2-85-95
Acknowledgments: The author is grateful to I.R. Abubakirov, L.I. Bazanova, O.V. Dirksen, I.V. Melekestsev, V.V. Ponomareva for consultations and useful discussions of the issues considered in the article. Special thanks to Yu.V. Demyanchuk, N.P. Smelov, V.A. Shamshin and I.V. Erov for providing photographs of eruptions.
Введение
Настоящая статья продолжает цикл публикаций по вулканологии в журналах «История и педагогика естествознания» № 2, 2014, № 1 и 2, 2015, № 2, 2016 и «Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья» № 5-6, 2018, № 3, 2019, № 5-6, 2020 и № 5-6, 2021 [1-8]. В этих статьях дано описание современного вулканизма на Камчатке [1], суммированы результаты работ по прогнозу вулканических извержений за последние 57 лет (с 1955 по 2012 год) [2-4], исследованы закономерности магнитуд-ного распределения вулканических извержений на полуострове за последние 50 тыс. лет [5], предложен возможный механизм аккумуляции магмы [6], описаны сейсмологические предвестники извержений вулканов Шивелуч и Безымянный на Камчатке [7], проанализирована повторяемость извержений Ключевского вулкана в историческое время и их геологический эффект [8].
К настоящему времени на Камчатке благодаря работе большого коллектива исследователей, среди которых можно назвать Л.И. Базанову, О.А. Брайцеву, О.В. Дирксена, В.Л. Леонова, И.В. Мелекесцева, В.В. Пономареву, М.М. Певзнер, Л.Д. Сулержицкого, Т.Г. Чурикову и многих других, более чем за полвека накоплен большой исходный материал по объемам голоценовых взрывных вулканических отложений [9-10]. Эти данные могут быть использованы для обоснованных статистических выводов о повторяемости извержений различных размеров в прошлом и получении прогнозных оценок их повторяемости в будущем. Стандартными подходами, применяемыми сейсмологами для такого анализа с 1935 года [11], являются магнитуды и степенные распределения, которые могут считаться основными инструментами анализа фракталов, которыми являются потоки землетрясений и вулканических извержений. Фрактальные свойства являются фундаментальным
свойством многих природных, технических и общественных объектов, систем или процессов и отражают имеющее место явление подобия [12]. В процессе обработки данных с точки зрения распределения извержений по размерам [13] стало понятно, что сейсмологи и вулканологи зачастую говорят на разных языках и плохо понимают друг друга. В отличие от сейсмологии, где каждый день на земном шаре происходят тысячи землетрясений, в вулканологии получение сведений об объемах, выброшенных при извержении продуктов, требует огромных усилий при картировании отложений в поле, особенно при реконструкции прошлых извержений [14] или по данным аэрофотосъемки [15]. Поэтому у вулканологов гораздо меньше опыта статистической обработки данных, чем у сейсмологов; большие трудности у них встречает принятие фрактальной природы вулканических извержений. Вот почему возникла потребность более широкого ознакомления вулканологов с маг-нитудами применительно к вулканическим извержениям и основными подходами и формулами для анализа степенных распределений. В силу необычайно важной теоретической и практической значимости этой методологии материал изложен доступно, подробно и в то же время достаточно строго математически. Приводятся конкретные примеры из вулканологии и вулканической сейсмологии.
Ограниченные и фрактальные случайные величины.
Магнитуды
Случайные величины, описывающие геометрические объекты или процессы бывают двух видов: ограниченные и неограниченные (фрактальные). Примерами ограниченных случайных величин являются рост мужчин или скорость автомобилей. Функция плотности вероятности такого распределения необычайно быстро спадает за пределами некоторого ограниченного диапазона значений (рис. 1) [16]. Отношение максимального значения к минимальному значению для таких величин (динамический диапазон) сравнительно мало. Анализ их частотного распределения проводится обычным образом: находят минимальное и максимальное значения величины, полученный диапазон разбивается на равные интервалы, в которых под-считываются количества случайной величины, попавшие в эти интервалы. Затем в линейных осях ОХ и OY строится график частотного распределения, на основании которого делается вывод о плотности распределения случайной величины (см. рис. 1). Подобным способом строятся и кумулятивные графики.
Случайные величины с неограниченными распределениями вероятностей (фрактальные) встречаются гораздо чаще. Они описывают множество природных процессов, технических и общественных систем [12]. Такие распределения называют скошенными вправо (right-skewed) или с тяжелыми хвостами (heavy-tailed) (рис. 2), что впрочем, не полностью отражает характер этих распределений. Можно отметить две особенности таких распределений, которые резко отличают их от примера ограниченных случайных величин. В области больших значений случайной величины плотность вероятности ее распределения спадает чрезвычайно медленно по сравнению с примером ограниченных случайных величин. Напротив, в области малых значений плотность вероятности в таких распределениях неограниченно увеличивается при уменьшении значений самой величины вплоть до самых ее малых, почти нулевых значений (см. рис. 2 слева). Математики говорят при этом, что в точке 0 имеет место сингулярность. Динамический диапазон таких случайных величин может достигать 10 и более порядков. В этом и заключается парадоксальная фрактальная природа подобных объектов или процессов. Более
Рис. 1. Примеры частотного распределения ограниченных случайных величин -рост мужчин и скорость автомобилей, которые дают представление о соответствующих плотностях распределения вероятностей [16]
Рис. 2. Частотное распределение населения всех городов США с населением 10 тыс. и более человек, которое дает наглядное представление о функции плотности вероятности соответствующей случайной величины, построенное по выборке. Справа: еще одна гистограмма, те же данные, но в двойном логарифмическом масштабе [16]
подробно о фракталах и явлении подобия можно прочитать в учебнике [12]. Обратим внимание, что доля городов на рис. 2 на левой гистограмме подсчитывалась по равным интервалам длиной 2-104 человек. Напротив, правая гистограмма построена по равным интервалам десятичных логарифмов размеров городов.
Указанные две особенности фрактальных объектов приводят к необходимости введения понятия магнитуды и работы только с магнитудами, а не с самими случайными величинами. Если мы посмотрим на распределение на рис. 2 слева, то увидим, что в силу неограниченного роста частоты встречаемости при малых населениях его возможно отобразить в линейном масштабе только до населений, равных 5-105 и не более. При этом при малых населениях точность аппроксимации остается крайне низкой. Тем не менее распределение имеет смысл до 10 млн человек, то есть до 107 (см. рис. 2 справа). Это связано как с медленным спаданием плотности вероятностей с увеличением значения случайной величины, так и с неограниченным ростом плотности вероятностей при стремлении случайной величины к нулю (то есть с ее сингулярностью в точке 0). В этом случае невозможно выбрать одну-единственную длину интервалов для всего динамического диапазона случайной величины, разбиение на которые могло бы давать адекватное представление о ее частотном распределении.
Выход заключается в том, чтобы анализировать частотное распределение не самой случайной величины, а значений некоторой ее функции, которая бы, во-первых, устраняла сингулярность плотности распределения при стремлении значений случайной величины к нулю, а во-вторых, сжимала бы ее в области больших значений в приемлемый для стандартного статистического анализа диапазон. Этим условиям полностью удовлетворяет логарифмическая функция, обычно десятичный логарифм. Логарифмическая функция, во-первых, обеспечивает нужное нелинейное преобразование (рис. 3), а во-вторых, дает очень удобное изображение частотных распределений случайных величин со степенным законом, которые обычно характерны для фрактальных объектов. Частотные распределения магнитуд таких случайных величин в логарифмическом масштабе по оси OY имеют линейный вид, что значительно облегчает их анализ (см. рис. 2 справа). Подчеркнем еще раз, что на рис. 2 слева изображено частотное распределение самой случайной величины, а на рис. 2 справа изображено уже распределение ее магнитуды, то есть десятичного логарифма этой величины. Для случайной величины {X} со степенным распределением вероятностей
магнитуда (т): = 1од10 (х). (1)
Магнитуда {M} - это случайная величина, производная от случайной величины {X}. Она имеет приемлемый диапазон значений, плотность ее распределения не имеет сингулярности в точке 0, и поэтому анализировать ее частотное распределение уже практически возможно. Для фрактальных объектов забывают о самих значениях случайных величин и при статистическом анализе имеют дело только с магнитудами. В различных областях используются различные виды магнитуд: звездные величины, магнитуды или энергетические классы землетрясений, вулканические эксплозивные индексы и т.д.
Рис. 3. Вверху: частотное распределение населения городов (см. рис. 2) и внизу: логарифмическая функция для преобразования этой случайной величины в магнитуду
Степенные распределения вероятностей
Степенные законы широко используются в физике, биологии, земной и планетарной науках, экономике и финансах, информатике, демографии и социальных науках. Например, распределения размеров городов, землетрясений, лесных пожаров, солнечных вспышек, лунных кратеров и личных состояний людей - все, кажется, подчиняется степенным законам. Происхождение степенного поведения было предметом дискуссий в научной среде более века [16]. Это и неудивительно, поскольку во многих разделах природы, человеческого общества и техники широко распространены фракталы, распределения вероятностей которых подчиняются степенным законам.
Фрактальная природа объектов или процессов является неким фундаментальным свойством природы, однако порождающие его механизмы для различных фрактальных объектов различны. Для распределения городов по размерам это могут быть процессы укрупнения более крупных городов за счет более мелких, для землетрясений - распределение размеров нарушений в геологической среде, по которым происходят движения, порождающие землетрясения [17] и т.д. Анализ графиков повторяемости (см. на рис. 2) справа позволяет исследовать природу самого фрактального объекта. В частности, тангенс угла наклона этого графика к оси ОХ является важным фрактальным
параметром, и анализ его поведения полезен как в теоретических построениях, так и в практических приложениях.
Для случайной величины {X}, которая подчиняется степенному закону распределения, вероятность P(X> x), что случайная величина больше чем x, описывается дополнительной кумулятивной функцией распределения [16]:
P(x) = cx~b; x > 0; xmm < x < xmax, (2)
где c и b - положительные константы (b - показатель степени, фрактальный параметр), которые оцениваются по экспериментальным данным. xmin и xmax - минимальное и максимальное значения, в пределах которых изучается случайная величина. Заметим, что функция распределения вероятностей F (x) = P(X<x) = 1 - P(x) не распределена по степенному закону. Выражение (2) показывает, что P(x) относительно медленно (по сравнению, например с экспоненциальным или нормальным распределением) спадает с увеличением x (распределение с «тяжелыми хвостами») и неограниченно увеличивается при стремлении x к нулю (сингулярность в точке 0).
В силу самого характера степенного распределения, которое является фрактальным, практически анализировать представляется возможным только распределение ее магнитуды (у), где
и Ьсит находятся такие, которые дают минимум суммы квадратов невязок в выражении (5):
У = log^.
(3)
Рис. 4.
Если в выражении (2) перейти к магнитуде (у), с учетом того, что х = 10у, то, логарифмируя выражение (2), получаем
1одюР(х(у)) = 1од10 С - ь^у, (4)
где С - некоторая константа.
Из (4) следует, что в координатах (у, 1од10 Р(х(у))) дополнительная кумулятивная функция магнитуды Р(х(у)) имеет линейный вид по магнитуде, что значительно улучшает наглядность и оценку по экспериментальным данным важного фрактального кумулятивного параметра (Ьсит) линейным методом наименьших квадратов.
Процедура построения графика дополнительной кумулятивной функции (кумулятивного графика) по экспериментальным данным достаточно проста. Вначале по значениям случайной величины находятся их магнитуды, которые затем сортируются от максимального до минимального значения, так чтобы каждое последующее значение было меньше предыдущего. После этого для каждого из значений магнитуды (у) подсчитываются количества значений магнитуд Nj = ^ N, которые
I=1
больше и равны данному значению. Строится график, на котором по оси ОХ отложены магнитуды, а по оси OY - десятичные логарифмы накопленных значений 1од10^ (рис. 4). По этим парам чисел затем методом наименьших квадратов проводится прямая линия, наилучшим способом аппроксимирующая данные, параметры которой дают искомые коэффициенты С и Ьсит в выражении (4). С
Ё(logio Nj -logio С + bcumyj)2 ^ min.
(5)
j=i
Это можно делать, например, с помощью встроенных возможностей электронной таблицы Excel. Искомый фрактальный параметр bcum - это тангенс угла наклона аппроксимирующей прямой к оси OX (рис. 4).
Кумулятивные графики на рис. 4 основаны на магниту-дах в виде десятичного логарифма объемов выброшенной во время извержения пирокластики (Vn), выраженные в м3 или км3. Обращает на себя внимание значительно меньшая величина параметра bcum для небольших и умеренных извержений с объемами тефры до 0,33 км3 (log10 Vn < 8,5) по сравнению с крупными извержениями с объемами до 120 км3. Это, вероятно, указывает на различие механизмов образования малых и умеренных, с одной стороны, и огромных извержений, с другой стороны.
На рис. 5 приведен кумулятивный график вулканического эксплозивного индекса VEI для всех извержений мира (о магнитуде VEI см. работу [19]). Линейность графика сохраняется до VEI = 7, но уже на VEI = 8 происходит резкий спад количества извержений на 1,5 порядка по сравнению с его значением, которое бы график имел, если его продолжить линейно за пределы VEI = 7. На этом основании можно заключить, что предельное возможное на земном шаре извержение имеет VEI = 7. Это соответствует извержению с объемом пирокластики от 100 до 1000 км3. В работе Гусевой и Шумилиной [21] на основании построения кумулятивного графика была оценена величина предельной магнитуды MW для сильных исторических землетрясений Камчатки, равная 9,0. По данным этих авторов нам удалось оценить фрактальный параметр bcum для моментной магни-туды M0 сильных землетрясений Камчатки с 1737 по 2000 год, который оказался равным 0,6 [6]. В работе [22] рассматривались вопросы самоподобия крупных извержений вулканов Камчатки за голоценовое время.
Дополнительные кумулятивные графики для логарифмов объема тефры 1од10(Уп), изверженной вулканами Камчатки слева с 2006 по 2013 г. по данным НА Малик [18] и за голоценовое время по данным [13] справа. ^ >УГ) - это количество значений объемов пирокпастикиУ^ , которое больше V.
Легко показать, что плотность вероятности р(х) степенного распределения также распределена по степенному закону
Рис. 5. Кумулятивный график распределения эксплозивного вулканического индекса VEI для извержений на земном шаре [20]
р (х) = [1- Р(Х > X)]' = оЬх-
(ь+1)
(6)
где штрих означает дифференцирование по х. Из выражения (6) следует, что р(х) имеет показатель степени -(Ь+1) и спадает с увеличением х гораздо быстрее, чем Р(х). Поскольку анализировать плотность распределения вероятностей самих фрактальных случайных величин невозможно, в выражении (6) переходим к магнитудам {У] = 1од10{Х}. Плотность распределения магнитуды р1(у) выражается через первую производную от ее обратной функции х = 10у по известной формуле
Р1(У) = Р(х (у х (у)
^ (7)
Подставляя в выражение (7) выражение (6), получаем плотность вероятностей магнитуды в виде
р1(у) = р(х(у))—(10У) = сЬ10-у (ь+1)10У 1п10 = dy
= сЬ10-уЬ 1п10 (8)
Логарифмируя выражение (8), получаем
1од10Р1(у) = 1од10(сЫп10) - Ьту (9)
Из (9) следует, что плотность вероятности р1(у) магни-туды (у) случайной величины со степенным распределением также линейна в координатах (у, 1од10р1(у)) с угловым коэффициентом (Ь^).
График дифференциального частотного распределения магнитуды (у) по экспериментальным данным строится обычным путем: весь диапазон магнитуд разбивается на равные интервалы, в которых подсчитываются количества попаданий случайной величины. Затем по оси ОХ откладываются границы интервалов магнитуд, а по оси ОУ -столбики с высотой, равной десятичным логарифмам количеств попаданий случайной величины в данные интервалы (обычно в процентах). Этот график обычно называют графиком повторяемости. Построение такого графика имеет смысл как с точки зрения наглядности, поскольку он изображает плотность распределения магнитуды, так и для практических целей, например прогнозирования. Линейная аппроксимация графика методом наименьших квадратов производится по массиву, состоящему из пар значений (у, 1од10^), где у - середины интервалов, а N. - накопленные в интервалах значения. При необходимости используются нормированные значения N.. Это позволяет оценивать два параметра распределения, в том числе фрактальный параметр для дифференциального распределения (Ь^).
На рис. 6 показан дифференциальный график повторяемости исторических и голоценовых извержений вулканов Камчатки и указаны соответствующие величины их фрактальных параметров (Ь^). Обращают на себя внимание существенно меньшие значения коэффициента Ь^ для исторических извержений по сравнению с голоце-новыми извержениями (0,73 и 0,85) (см. рис. 6), а также хорошее совпадение кумулятивного и дифференциального параметров Ь для голоценовых извержений (0,80 и 0,85) (см. рис. 4 справа и рис. 6). Линейная аппроксимация графика на рис. 6 в виде толстой линии использовалась
Рис. 6. Сводный график дифференциального частотного распределение взрывной магнитуды извержений вулканов Камчатки за историческое и голоценовое время (от 0 до 10 000 лет назад). Взрывная магнитуда Мех = 1од10 (объем выброшенной тефры в м3). График нормирован на единицу взрывной магнитуды. Числа на графике указывают количество извержений, произошедших в соответствующих интервалах взрывной магнитуды единичной длины. Построен по историческим [22] и голоценовым [13] данным. VEI -величины вулканического эксплозивного индекса
для прогнозирования средних интервалов повторяемости извержений вулканов Камчатки для различных магнитуд-ных интервалов единичной длины [13].
Магнитуды вулканических извержений
Вопрос магнитуд вулканических извержений достаточно полно освещен в литературе, поэтому мы ограничимся кратким обзором с добавлением результатов, полученных на Камчатке. Достаточно полный обзор вопросов оценивания магнитуд вулканических извержений и связанных с этим проблем приведен в работе [23] в разделах, посвященных вулканическому эксплозивному индексу (МБ) и объемам изверженных продуктов (Мо^Д). Специальная статья на эту тему имеется в «Энциклопедии вулканов» [24]. Шкалы классов извержений и их интенсивности приведены в работах П.И. Токарева и С.А. Федотова [25-26]. Таблица сравнения различных магнитуд и шкал интенсивности дана в книге [27]. В данной работе мы рассматриваем только шкалы размеров извержений и не касаемся шкал их мощности (интенсивности).
Магнитуды в вулканологии существенно отличаются от магнитуд в сейсмологии. Вулканология, к сожалению, не имеет инструментально определяемой шкалы магни-туд, подобной той, которая успешно используется сейсмологами для землетрясений [23]. Магнитуды в вулканологии можно разделить на три типа: а) основанные на измерениях объемов отложений в поле или аэрофотограмметрическим методом, б) на измерениях параметров вулканических землетрясений и дрожаний, сопровождающих извержения, и в) полуколичественные магнитуды.
Среди магнитуд, основанных на измерениях объемов отложений в поле, можно отметить следующие магнитуды. Магнитудная шкала Tsuya 1955 года, его магнитудные классы
(I—IX), основанные на (десятичном) логарифме общего объема выброшенных пирокластических продуктов (по [23]). Класс Токарева в виде десятичного логарифма массы всех изверженных продуктов в килограммах [25]. В каталогах Смитсонианского института приведена:
магнитуда =
1од10 (масса всех изверженных продуктов, кг) - 7 (10)
Нормировка на -7 сделана для того, чтобы примерно приравнять магнитуды извержений и магнитуды землетрясений.
Определение объемов отложений в поле очень сложная задача. Точное измерение эруптивных объемов требует тщательной полевой работы и часто сопряжено с неразрешимыми неопределенностями. Многие трудности с проведением точных измерений, к сожалению, препятствуют представлению даже грубых оценок, и у нас есть информация об объемах менее чем о пятой части извержений в нашем файле. Однако оценки объема могут быть сделаны через тысячи лет после извержения, и количество таких оценок быстро растет по мере того, как вулканологи собирают воедино истории крупных вулканов в голоцене [23].
Рис. 7. Кумулятивный график частотного распределения длительности сейсмических активизаций на Ключевском (слева) и Карымском (справа) вулканах (по [6])
Рис. 8. Слева: изменение во времени огибающей (р) скорости смещения почвы на
с/ст. «Цирк» КФ ЕГС РАН (расстояние от Ключевского вулкана 8 км) 5 июля 2009 г., канал В-З. Величина постоянной времени осреднения равна 10 с. Справа: дифференциальное частотное распределение десятичного логарифма скорости смещения почвы в максимальной фазе взрывных вулканических землетрясений [28]
Таблица 1
Вулканический эксплозивный индекс (по [19])
Методы оценки объемов современных извержений, основанные на данных аэрофтосъемки, требуют наличия данных аэрофотосъемки подстилающей поверхности, что имеется далеко не всегда. Кроме того, они необычайно трудоемки: для построения модели поверхности требуется 450-500 тыс. пикетов [15]. В работе с О.В. Дирксеном [13] мы использовали взрывную магнитуду (М ) как логарифм объема пиро-кластики, выраженный в кубических метрах или километрах (см. рис. 4 и 6).
Магнитуды, основанные на измерениях параметров вулканических землетрясений и дрожаний, сопровождающих извержения. В качестве магнитуды на вулканах Ключевском и Карымском мы рассматривали десятичный логарифм длительности сейсмических активизаций, связанных с вулканической активностью, наиболее крупные из которых полагались извержениями (рис. 7) [6]. Требует объяснения наличие резкого излома в кумулятивных графиках, природа которого пока непонятна.
В качестве магнитуды взрывных вулканических землетрясений во время активизаций (извержений) вулканов часто используют отношения скорости смещения почвы или квадрата этого отношения в максимальной фазе записи землетрясения. На рис. 8 слева показано распределение во времени огибающей скорости смещения почвы на Ключевском вулкане во время его взрывной активности в вершинном кратере 5 июля 2009 года. В это время происходил переход от взрывных вулканических землетрясений, которые на графике выглядят как отдельные импульсы, к непрерывному сейсмическому сигналу (вулканическому дрожанию). На рис. 8 справа показано дифференциальное распределение десятичного логарифма максимальных амплитуд в записях взрывных вулканических землетрясений, которые полагались в качестве магнитуды этих
событий [28]. Распределение на рис. 8 справа сильно отличается от степенного распределения. Это может быть вызвано дефицитом более мелких событий вследствие того, что более крупные события являются композитными, включающими в себя более мелкие события, которые не участвуют в подсчете. Анализ частотных распределений подобных тем, что изображены на рис. 7 и 8, полезен для понимания механизма вулканического процесса.
Вулканический эксплозивный индекс ^Е1) это широко распространенная полуколичественная магни-туда. Как Вулканологическое общество Японии, так и Смитсонианский институт SEAN/GVN пытались собрать количественные данные, необходимые для современных извержений. Однако эти данные существуют, к сожалению, для небольшой части современных извержений, и эта доля резко уменьшается по мере того, как мы возвращаемся к историческим записям. Чтобы удовлетворить потребность в осмысленной величине, которую можно было бы легко применить к прошлому, Ньюхолл и Селф [19] объединили количественные данные с субъективными описаниями наблюдателей, опираясь на более раннюю шкалу, введенную в Японии ^иуа 1955). Результатом является индекс эксплозивной вулканической активности ^Е1). VEI имеет некоторое сходство со шкалой магнитуд Рихтера для землетрясений. Это простой индекс увеличения взрывоопасности от 0 до 8, где каждый интервал соответствует увеличению примерно в 10 раз. VEI сочетает в себе общий объем продуктов взрыва, высоту эруптивного облака, описательные термины и другие показатели (табл. 1). Обратите внимание, что существует некоторое преднамеренное совпадение критериев присвоения VEI и по возможности используется комбинация данных. Фактически, VEI был разработан для помощи в изучении воздействия вулканизма на климат [23].
Эксплозивный индекс УЕ! в настоящее время является главным параметром, характеризующим размер извержения (его взрывную магнитуду) в каталогах извержений мира Смитсонианского института [29]. Сейчас мало кто задумывается, что УЕ! может использоваться только для грубой оценки взрывной активности извержения и непригоден для расчета по УЕ! объема выброшенной тефры. Это подкрепляется тем фактом, что в табл. 1 в основном имеются сравнительно короткие интервалы продолжительности взрывного извержения (около 12 ч). Подчеркнем, что УЕ! принимает только целочисленные значения от 0 до 8. В работе [8] мы использовали УЕ! для оценки объемов пирокластики исторических извержений Ключевского вулкана, поскольку по ряду причин для этого гигантского вулкана очень мало количественных оценок объемов тефры.
Примеры вулканических извержений различных магнитуд и предельно возможная магнитуда извержения на Камчатке
В средневерхнеплейстоценовое время (последние 250 тыс. лет) и в настоящее время на Камчатке широко проявлен кислый вулканизм, связанный с сильными взрывными извержениями, наиболее катастрофичные из которых вызывали образование кальдер [30]. На вкладке показаны примеры исторических извержений Камчатки с различной эксплозивной магнитудой УЕ!, а также внизу - три кальдеры, образовавшиеся во время наиболее крупных средне-верхнеплейстоценовых извержений, которые сопоставляются с извержениями с УЕ! = 6 и 7. Эксплозивная магнитуда исторических извержений оценивалась на основании их количественных и качественных параметров с помощью табл. 1. Отличие магнитуд на одну единицу означает различие в размере извержений примерно в 10 раз, отличие на две единицы - в 100 раз и т.д. Заслуживает внимания изображенное на вкладке парок-сизмальное извержение Безымянного вулкана 30 марта 1956 года с УЕ! = 5. Высота облака взрыва достигала 35 км, объем пирокластики - 2,2 км3. Воздушная взрывная волна дважды обогнула земной шар. Это было одно из двух самых крупных взрывных исторических (с 1737 года) извержений на Камчатке.
В среднем и верхнем плейстоцене на Камчатке происходили извержения с УЕ! = 6 и 7 (вкладка, три последних фото). Извержение Пра Академии Наук с УЕ! = 6 с возрастом 28-48 тыс. лет образовало кальдеру диаметром 5 км, заполненную глубоким озером. Объем тефры оценивается от 5-50 км3 [9].
Извержение вулкана Пра Опала с УЕ! = 7 произошло примерно 40 тыс. лет назад, в результате чего образовалась кальдера диаметром около 15 км (вкладка, фото
внизу). Объем выброшенной пирокластики этого извержения И.В. Мелекесцев оценивает в 154-179 км3, а реконструированный ареал распространения отложений - 2400 км2. Покров пирокластических отложений в виде широкой и длинной (>110 км) полосы протягивается почти через весь полуостров в южной части Камчатки [31].
На вкладке в нижнем правом углу показаны кальдеры Стены и Соболиного. Если их полагать элементами одной кальдеры, то ее диаметр составит около 20 км. В.Л. Леонов с коллегами приводит грубую оценку объема пирокластики, выброшенной в Карымском вулканическом центре в верхнем плейстоцене для этих двух кальдер и кальдеры Половинка, равным 270 км3. Согласно табл. 1, указанные два извержения по объему пирокластики относятся к нижней границе извержений с VEI = 7. Возникновение подобных извержений связывают с крупномасштабными инъекциями базальтовых расплавов в огромные очаги кислой магмы [32]. Согласно графику повторяемости (см. рис. 6), извержения, подобные по размеру извержениям Опала, Стены и Соболиного, в среднем имеют место один раз в 10 000 лет. Последнее извержение подобного размера произошло на Камчатке 8400 лет назад с образованием кальдеры Курильского озера и объемом пирокластики 140-170 км3 [9]. Если полагать, что извержения некоторой магнитуды в первом приближении происходят случайно во времени, то распределение интервалов времени между ними подчиняется распределению Пуассона, которое имеет достаточно широкий вид. Таким образом, возникновение катастрофических извержений на Камчатке не исключено в будущих столетиях или даже в настоящем столетии.
Катастрофические эксплозивные кальдерообразующие извержения - одни из самых опасных природных событий для человека, животного и растительного мира. Они оказывают интенсивное комплексное воздействие и на другие природные объекты (рельеф, почвообразование, осадко-накопление, климат и др.) в региональном и даже глобальном масштабе [31].
Выводы
Многочисленные примеры из вулканологии и вулканической сейсмологии показывают, что подходы, основанные на магнитудах и степенных распределениях, могут рассматриваться как полезные и мощные инструменты анализа потока вулканических извержений как фрактальных объектов. Это применимо и для самых мелких активизаций в виде отдельных взрывов, и для катастрофических кальде-рообразующих извержений. Фрактальные свойства являются фундаментальным свойством многих природных, технических и общественных объектов, систем или процессов и отражают имеющее место явление подобия.
Вершинное извержение Авачинского вулкана в конце января 1991 г. Эксплозивный вулканический индекс VEI = 2. Фото © Н.П. Смелова
Взрывная фаза извержения вулкана Шивелуч 19 мая 2001 г. VEI = 3-4, Облако пробило тропопаузу на высоте 9 км и достигло максимальной высоты 20 км (скрыто в облачности). Фото © В.В. Иванова
Пароксизмальная взрывная фаза извержения вулкана Безымянный 30 марта 1956 г. VEI = 5, Нмах = 35 км. Фото © И.В. Ерова
Верхнеплейстоценовая кальдера Опала (~40 тыс. л.н.). Диаметр = 15 км. VEI = 7, Объем тефры = 154-179 км3. Рельеф Arctic DEM
Пароксизмальная взрывная фаза извержения вулкана Ключевской 1 октября 1994 г. VEI = 4, Нмах = 13 км. Фото © Н.П.Смелова
Верхнеплейстоценовая кальдера им. Академии Наук (28-48 тыс. л.н.). Диаметр 5 км. Объем тефры 5-50 км3. VEI = 6. Фото © В.В. Иванова
Верхнеплейстоценовые кальдеры Стены и Соболиного в Карымском вулканическом центре. VEI = 7. Объем пирокластики ~270 км3. Рельеф Arctic DEM
ч
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Петрашева В.В., Иванов В.В. Вулканическая жизнь Камчатки: Легенды страны огнедышащих гор // История и педагогика естествознания. 2014. № 2, С. 14-19.
2. Иванов В.В. Прогноз извержений вулканов на Камчатке (основные итоги 1955-2012). Ч. I. // История и педагогика естествознания. 2015. № 1. С. 13-26.
3. Иванов В.В. Прогноз извержений вулканов на Камчатке (основные итоги 1955-2012) Ч. II. // История и педагогика естествознания, 2015. № 2. С. 14-19.
4. Иванов В.В. Прогноз вулканических извержений на Камчатке: Роль экспертов // История и педагогика естествознания. 2016. № 2. С. 72-78.
5. Иванов В.В. Распределение вулканических извержений на Камчатке за последние 50 тысяч лет: геологический эффект эксплозивного вулканизма и прогнозные оценки // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2019. № 3, C. 37-45 (in English). https://doi.org/10.24411/0131-4270-2019-10308.
6. Иванов В.В. Степенное распределение размеров вулканических извержений: Механизм аккумуляции магмы в литосфере Земли и прогноз вулканической опасности // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2018. № 5-6, C. 43-51. (in English). https://doi.org/10.24411/0131-4270-2018-1057.
7. Иванов В.В. Сейсмологические предвестники катастрофических извержений вулканов Шивелуч и Безымянный на Камчатке в XX столетии // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2020. № 5-6. C. 77-84. https://doi.org/10.24411/0131-4270-2020-6-77-84.
8. Иванов В.В. О повторяемости извержений Ключевского вулкана в историческое время и их геологическом эффекте // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2021. № 5-6, C. 77-89. https:// doi.org/10.24412/0131-4270-2021-5-6-77-89.
9. Базанова Л.И., Мелекесцев И.В., Пономарева В.В. и др. Вулканические катастрофы позднего плейстоцена -голоцена на Камчатке и Курильских островах. Ч 1. Типы и классы катастрофических извержений - главных компонентов вулканического катастрофизма // Вулканология и сейсмология. 2016. № 3. С. 151-169.
10. Ponomareva V., Portnyagin M., Pendea F., Zelenin E., Bourgeois J., Pinegina T., Kozhurin A. A full Holocenete phrochronology for the Kamchatsky Peninsula region: applications from Kamchatka to North America. Quaternary Science Reviews, 2017. Vol. 168, pp. 101-122.
11. Рихтер К.Ф. Инструментальная шкала для магнитуд землетрясений. Слабые землетрясения. М: Изд-во иностранной литературы, 1961. С.11-44.
12. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 260 с.
13. Иванов В.В., Дирксен О.В. Распределение извержений вулканов на Камчатке по магнитудам в голоцене: геологический эффект эксплозивного вулканизма и прогнозные оценки // Мат. ежегод. конф., посв. Дню вулканолога, 30-31 марта 2009, Петропавловск-Камчатский: ИВиС ДВО РАН, 2010. С. 78-81.
14. Siebert L., Simkin T., Kimberly P. Volcanoes of the World. 3-d edition. Smitsonian Institution, University of California press. W., D.C.: 2010. 551p.
15. Шевченко А.В. Геоморфологические особенности и морфодинамика современного купола вулкана Молодой Шивелуч: автореф. дис. канд. геогр. наук: 25.00.25. Петропавловск-Камчатский, 2016. 27 с.
16. Newman M. E. J. Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary Physics, September-October 2005. Vol. 46, No. 5, PP. 323-351.
17. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. 1979. Т. 247. № 4. С. 829-831.
18. Малик Н.А. Пеплы извержений вулканов Камчатки (2006-2013): состав, масса и водорастворимый комплекс: автореферат дис. канд. геол-мин. наук: 25.00.04. Петропавловск-Камчатский, 2019. 28 с.
19. Gusev A.A., Ponomareva V.V., Braitseva V.V. et al. Great explosive eruptions on Kamchatka during the last 10,000 years: Self-similar irregularity of the output of volcanic products. Journal of Geophysical Research. 2003. Vol. 108, №B2, 2126, doi: 10.1029/2001JB000312, 2003.
20. Newhall C.A., Self S. The volcanic explosivity index (VEI): an estimate of the explosive magnitude for historical volcanism. J. Geophys. Res. 1982. V. 87. Issue C2. P. 1231-1238.
21. Гусев А.А., Шумилина Л.С. Повторяемость сильных землетрясений Камчатки в шкале моментных магнитуд // Физика Земли. 2004. № 2. С. 1-9.
22. Simkin T., Siebert L. Earth's Volcanoes and Eruptions: An Overview. Encyclopedia of volcanoes. Ed. in chief H. Sigurdsson. Academic press. 1999. P. 249-262.
23. Siebert L., Simkin T., Kimberly P. Volcanoes of the World. 3-d edition. Smitsonian Institution, University of California press. W., D.C.: 2010. PP. 28-30.
24. Pyle D. M. Sizes of Volcanic Eruptions. In Encyclopedia of volcanoes. Second edition. 2015. PP. 263-269.
25. Токарев П.И. Количественная характеристика и повторяемость вулканических извержений // Вулканология и сейсмология. 1987. № 6. С. 110-118.
26. Федотов С.А. Оценка выноса тепла и пирокластики вулканическими извержениями и фумаролами по высоте их струй и облаков // Вулканология и сейсмология. 1982. № 4. С. 3-28.
27. Alexander David C. Natural Disasters. CRC Press. 1993. ISBN 9781857280944. 632 P.
28. Иванов В.В. О природе сейсмического дрожания Ключевского вулкана (Камчатка) URL: http://www.emsd.ru/ conf2013lib/pdf/model/Ivanov.pdf) (дата обращения 25.02.2022).
29. Global Volcanism Program. URL: http://volcano.si.edu/search_eruption_results.cfm (дата обращения 25.02.2022).
30. Брайцева О.А., Мелекесцев И.В., Пономарева В.В. Новейший (N22-Q4) вулканизм Камчатки // Новейший и современный вулканизм на территории России / отв. ред. Н.П. Лаверов. М.: Наука, 2005. С. 107-232.
31. Мелекесцев И.В. Эксплозивное кальдерообразующее суперизвержение Опала IV - крупнейшее на Камчатке за последние 50 тыс. лет // Вулканология и сейсмология. 2016. № 1. С. 21-36.
32. Леонов В.Л., Гриб Е.Н., Карташева Л.А. Расчленение игнимбритов и оценка объемов магмы, выброшенной при игнимбритообразующих извержениях на Восточной Камчатке // Вулканология и сейсмология. 2000. № 5. С. 3-18.
REFERENCES
1. Petrasheva V.V., Ivanov V.V. Volcanic life of Kamchatka: Legends of the country of fire-breathing mountains. Istoriya ipedagogika yestestvoznaniya, 2014, no. 2, pp. 14-19 (In Russian).
2. Ivanov V.V. Forecast of volcanic eruptions in Kamchatka (main results 1955-2012). Part I. Istoriya i pedagogika yestestvoznaniya, 2015, no. 1, pp. 13-26 (In Russian).
3. Ivanov V.V. Forecast of volcanic eruptions in Kamchatka (main results 1955-2012) Part II. Istoriya i pedagogika yestestvoznaniya, 2015, no. 2, pp. 14-19 (In Russian).
4. Ivanov V.V. Forecast of volcanic eruptions in Kamchatka: The role of experts. Istoriya ipedagogika yestestvoznaniya, 2016, no. 2, pp. 72-78 (In Russian).
5. Ivanov V.V. Distribution of volcanic eruptions in Kamchatka over the past 50 thousand years: the geological effect of explosive volcanism and predictive estimates. Transport i khraneniye nefteproduktov i uglevodorodnogo syr'ya, 2019, no. 3, pp. 37-45 (In English).
6. Ivanov V.V. Power-law distribution of the size of volcanic eruptions: Mechanism of magma accumulation in the Earth's lithosphere and prediction of volcanic hazard. Transport ikhraneniye nefteproduktovi uglevodorodnogo syr'ya, 2018, no. 5-6, pp. 43-51 (In English).
7. Ivanov V.V. Seismological precursors of catastrophic eruptions of the Shiveluch and Bezymyanny volcanoes in Kamchatka in the 20th century. Transport i khraneniye nefteproduktovi uglevodorodnogo syr'ya, 2020, no. 5-6, pp. 77-84 (In Russian).
8. Ivanov V.V. On the frequency of eruptions of Klyuchevskoy volcano in historical time and their geological effect. Transport i khraneniye nefteproduktov i uglevodorodnogo syr'ya, 2021, no. 5-6, pp. 77-89 (In Russian).
9. Bazanova L.I., Melekestsev I.V., Ponomareva V.V. Volcanic catastrophes of the late Pleistocene - Holocene in Kamchatka and the Kuril Islands. Part 1. Types and classes of catastrophic eruptions - the main components of volcanic catastrophism. Vulkanologiya iseysmologiya, 2016, no. 3, pp. 151-169 (In Russian).
10. Ponomareva V., Portnyagin M., Pendea F., Zelenin E., Bourgeois J., Pinegina T., Kozhurin A. A full Holocenete phrochronology for the Kamchatsky Peninsula region: applications from Kamchatka to North America. Quaternary Science Reviews, 2017, vol. 168, pp. 101-122.
11. Rikhter K.F. Instrumental'naya shkala dlya magnitud zemletryaseniy. Slabyye zemletryaseniya [Instrumental scale for earthquake magnitudes. Weak earthquakes]. Moscow, Inostrannoy literatury Publ., 1961. pp. 11-44.
12. Feder YE. Fraktaly [Fractals]. Moscow, Mir Publ., 1991. 260 p.
13. Ivanov V.V., Dirksen O.V. Raspredeleniye izverzheniy vulkanov na Kamchatke po magnitudam v golotsene: geologicheskiy effekt eksplozivnogo vulkanizma i prognoznyye otsenki [Magnitude distribution of volcanic eruptions in Kamchatka in the Holocene: the geological effect of explosive volcanism and predictive estimates]. Trudy yezhegod. konf, posv. Dnyu vulkanologa [Proc. of annual conf. dedicated to Volcanologist Day]. Petropavlovsk- Kamchatsky, 2010, pp. 78-81.
14. Siebert L., Simkin T., Kimberly P. Volcanoes of the World. Washington D.C, Smitsonian Institution, University of California press Publ., 2010. 551 p.
15. Shevchenko A.V. Geomorfologicheskiye osobennosti i morfodinamika sovremennogo kupola vulkana Molodoy Shiveluch. Diss. kand. geogr. nauk [Geomorphological features and morphodynamics of the modern dome of the Molodoy Shiveluch volcano. Cand. geogr. sci. diss.]. Petropavlovsk-Kamchatsky, 2016. 27 p.
16. Newman M. E. J. Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary Physics, 2005, vol. 46, no. 5, pp. 323-351.
17. Sadovskiy M.A. Natural lumpiness of rock. DAN SSSR, 1979, vol. 247, no. 4, pp. 829-831 (In Russian).
18. Malik N.A. Peply izverzheniy vulkanov Kamchatki (2006-2013): sostav, massa i vodorastvorimyy kompleks. Diss. kand. geol-min. nauk [Ashes of volcanic eruptions of Kamchatka (2006-2013): composition, mass and water-soluble complex. Cand. geol-min. sci. diss.]. Petropavlovsk-Kamchatsky, 2019. 28 p.
19. Gusev A.A., Ponomareva V.V., Braitseva V.V. Great explosive eruptions on Kamchatka during the last 10,000 years: Self-similar irregularity of the output of volcanic products. Journal of Geophysical Research, 2003, vol. 108, no. B2, p. 2126. doi: 10.1029/2001JB000312, 2003.
20. Newhall C.A., Self S. The volcanic explosivity index (VEI): an estimate of the explosive magnitude for historical volcanism. J. Geophys. Res, 1982, vol. 87, no. C2, pp. 1231-1238.
21. Gusev A.A., Shumilina L.S. Recurrence of strong earthquakes in Kamchatka on the scale of moment magnitudes. Fizika Zemli, 2004, no. 2, pp. 1-9 (In Russian).
22. Simkin T., Siebert L. Earth's Volcanoes and eruptions: an overview. encyclopedia of volcanoes. Academic press Publ., 1999. pp. 249-262.
23. Siebert L., Simkin T., Kimberly P. Volcanoes of the World. Washington D.C., Smitsonian Institution, University of California press Publ., 2010. pp. 28-30.
24. Pyle D. M. Sizes of Volcanic Eruptions. In Encyclopedia of volcanoes. 2015. pp. 263-269.
25. Tokarev P.I. Quantitative characteristics and frequency of volcanic eruptions. Vulkanologiya iseysmologiya, 1987, no. 6, pp. 110-118 (In Russian).
26. Fedotov S.A. Estimation of the removal of heat and pyroclastics by volcanic eruptions and fumaroles according to the height of their jets and clouds. Vulkanologiya iseysmologiya, 1982, no. 4, pp. 3-28 (In Russian).
27. Alexander David C. Natural Disasters. CRC Press Publ., 1993. 632 p.
28. Ivanov V.V. O prirode seysmicheskogo drozhaniya Klyuchevskogo vulkana (Kamchatka) (On the nature of seismic vibration of Klyuchevskoy Volcano (Kamchatka)) Available at: http://www.emsd.ru/conf2013lib/pdf/model/Ivanov.pdf) (accessed 25 February 2022).
29. Global Volcanism Program Available at: http://volcano.si.edu/search_eruption_results.cfm (accessed 25 February 2022).
30. Noveyshiy (N22-Q4) vulkanizm Kamchatki. Noveyshiy i sovremennyy vulkanizm na territorii Rossii [Newest and modern volcanism in Russia]. Moscow, Nauka Publ., 2005. pp. 107-232.
31. Melekestsev I.V. Explosive caldera-forming super-eruption of Opal IV - the largest in Kamchatka over the past 50 thousand years. Vulkanologiya iseysmologiya, 2016, no. 1, pp. 21-36 (In Russian).
32. Leonov V.L., Grib YE.N., Kartasheva L.A. Dissection of ignimbrites and estimation of volumes of magma ejected during ignimbrite-forming eruptions in Eastern Kamchatka. Vulkanologiya i seysmologiya, 2000, no. 5, pp. 3-18 (In Russian).
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Иванов Виктор Васильевич, к.г.-м.н., с.н.с. лаборатории геодинамики Viktor V. Ivanov, Cand. Sci. (Geol.-Min.), Senior Researcher, Institute of и палеотектоники, Институтвулканологии и сейсмологии Volcanology and Seismology of Far East Division, Russian Academy of
Дальневосточного отделения Российской академии наук. Sciences.
