CC BY
37
Таблица 7
Тестирование функции Евдокимова №6
№ эксперимента 18 19 20
Начальная точка -1; 0.8 0.6285; -1.518 0.561; 1
Ньютон К-во итераций 5 1 15
Время расчета 0.212 0.3 0.625
Решение -0.628; -1.517 0.628; -1.51 -0.628; -1.517
Знач.ф-ции 2.09 -2.09 2.09
Мод. Н-на К-во итераций 8 11 3
Время расчета 0.659 0.92 0.25
Решение 1.929; 0.799 1.929; 0.799 1.929; 0.799
Знач. ф-ции -6.431 -6.431 -6.431
достаточно “хорошем” начальном приближении метод Ньютона работает быстрее и находит минимум за меньшее количество итераций, чем рассматриваемая модификация метода Ньютона. Но даже в случаях “хорошего” приближения метод Ньютона не всегда работает из -за особенности матрицы Гесса (случаи 2-5 в табл.2 и 3). При выборе начальной точки вблизи другого экстремума метод Ньютона приходит в максимум или же в седловую точку.
Как видно из теста, рассматриваемая модификация лишена этих недостатков: во всех тестовых примерах были получены верные результаты и не всегда за большее количество итераций. Необходимо отметить, что хотя в большинстве случаев машинное время, затраченное на выполнение модифицированной процедуры, больше, чем у метода Ньютона,
но не превышает 5 миллисекунд (расчет производился на Pentium II), что с лихвой окупается его повышенной сходимостью, т.е. сходимостью в 100% экспериментов.
Тестовая функция Евдокимова (№6 в табл.7) иллюстрирует наиболее характерные расходимости метода Ньютона. Как видим, приведенная в статье его модификация позволяет легко выйти из указанных точек- ловушек, взятых в качестве начального приближения.
Литература: 1. Евдокимов А Г. Минимизация функций и ее приложение к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. Харьков: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1985. 288 с. 2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. Мир, 1975. 534с. 3. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. М.: Мир, 1972. 240с. 4. BeightlerC. S., Wilde D.S. Foundations of Optimization. Prentice-Hall, 1967. 469p. 5. Манзон М. Maple V Power Edition. М.: БИНОМ, 1998.
Поступила в редколлегию 12.06.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Левыкин В.М.
Евдокимов Анатолий Гаврилович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой ПМ и ВТ ХГАГХ. Научные интересы: моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях, математическое программирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12.
Манакова Наталья Олеговна, аспирант кафедры ПМ и ВТ ХГАГХ. Научные интересы: компьютерная алгебра, управлене сетями, оптимизация функций, программирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12, тел. 45-50-86.
УДК 530.145
МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В БИОСРЕДАХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С КВЧ-ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
ЧОВНЮК Ю.В, ОВСЯННИКОВА Т.Н.,
РУДВКО Б.Ф._______________________
Описывается исследование магнитооптических эффектов, возникающих в биосредах и взаимодействующих с электромагнитными полями КВЧ-диапазона (несущая частота f«60 ГГц): 1) анализ намагничения немагнитной прозрачной биосреды переменным электрическим полем (КВЧ-диапазона); 2) определение поляризации отраженного света (КВЧ-сигнала) при нормальном падении линейно-поляризованной волны из пустоты на поверхность изотропного биотела, находящегося в магнитном поле (как индуцированном переменным электрическим полем КВЧ-диапазона, так и постоянным, обусловленным Землей); 3) установление предельного закона зависимости вектора гирации от частоты при больших значениях последней (биосреда предполагается таковой, имеющей естественную оптическую активность).
Цели данной работы выбраны не случайно, так как их реализация (хотя бы в теоретическом плане) позволяет повысить информационно-диагностическую значимость метода микроволновой резонансной терапии проф. С.П.Ситько, лежащего в основе квантовой медицины [2].
1. Известно [1], что компоненты вектора оптической активности биосреды G являются функциями напряженности магнитного поля H . Обычно магнитное поле сравнительно слабое, поэтому можно произвести разложение G по степеням H (здесь и далее применяется гаусова система единиц). Источником постоянной составляющей H служит магнитное поле планеты Земля. В отсутствие магнитного поля вектор G равен нулю; поэтому в слабом поле можно положить:
Gi = fikHk,(i,k) = (U). (1)
Здесь fik — тензор второго ранга, в общем случае несимметричный. Следует отметить, что такая форма зависимости находится в согласии с общим правилом, согласно которому в прозрачной биосреде компоненты антисимметричного тензора p”ik (как и тензора s"jk), описывающего поглощающие свойства биосреды
РИ, 2000, № 3
159
eik =Шк =Шк + іШк>і =Ч~1eik =eik + іeik , где єік — тензор диэлектрической проницаемости
биосреды, должны быть нечетными функциями Н . Что же касается симметричного тензора цік , то его компоненты являются четными функциями магнитного поля. Поэтому первые поправочные, по сравнению со значениями в отсутствие поля, члены в p'jk—второго порядка по полю (в пренебрежении этими членами имеют просто ц'ік=(є'ік;)-1 ).
В общем случае произвольного направления волнового вектора k магнитное поле сравнительно мало влияет на распределение света в биосреде (моделируемой квазикристаллическим телом), вызывая лишь появление слабой эллиптичности электромагнитных КВЧ-колебаний с малым (первого порядка по полю H ) отношением длин осей эллипса поляризации (см. ниже).
Исключение в отношении характера магнитооптического эффекта представляют направления оптических осей (и близкие к ним), вдоль которых различные значения n (показателя преломления) в отсутствие поля совпадают. Магнитооптические эффекты биосреды в этих условиях “усиливаются”, становятся малыми величинами первого порядка малости (поправки к значениям n) и возникает ситуация, аналогичная таковой для изотропных биотел. Можно утверждать, что магнитооптические эффекты в изотропных биотелах (как и в кристаллах кубической системы) представляют особый (информационно-диагностический) интерес ввиду их своеобразного характера и сравнительно большей величины [3].
Для анализа намагничения немагнитной прозрачной биосреды КВЧ-электромагнитным полем (имеющим электрическую компоненту) будем исходить из термодинамических соотношений в магнитном поле [1], в соответствии с которыми:
B - ш
4л дН ’
(2)
данной работе полагаем р»1). Согласно теореме о малых добавках к термодинамическим величинам,
изменение 5U этого вклада при малом изменении диэлектрической проницаемости биосреды совпадает (будучи выражено через соответствующие
переменные) с изменением свободной энергии SF этой же биосреды. Для последнего можно воспользоваться формулой:
sF = —dV = -f5s ^-dV, (5)
Je2 8л J 8л (5)
где d — вектор электрической индукции. Обобщая (5) очевидным образом на анизотропные биосреды (обладающие дисперсией и являющиеся прозрачными ) [1], имеем:
SU = -Seik •
EjEk
16л
s4ik •
DDk
16л
(6)
Здесь по повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование; лишний множитель 1/2 учитывает представление E в комплексном виде; последнее равенство в (6) — это следствие того, что в силу определения ЄікЦ]к=8ік имеем Єік8цік=-цік8єік (Sik - символ Кронекера). Следует заметить, что знак ~ над U в (6) относится к магнитным, а не к электрическим переменным! Знак усреднения по времени над U (черта) упускаем для упрощения записей. Кроме того, для прямого вывода (6), вообще говоря, следовало бы рассмотреть заполненный биодиэлектриком резонатор — вместо приближения колебательного контура. Вычислив изменение частоты при малом изменении диэлектрической проницаемости биосреды [1] и воспользовавшись теоремой об адиабатическом инварианте, можно найти изменение энергии резонатора вида (6).
Понимая теперь варьирование диэлектрической проницаемости биосреды как результат изменения постоянного магнитного поля, имеем:
где в — индукция магнитного поля; U — термодинамический потенциал, связанный с внутренней энергией U соотношением:
U = U. (3)
В (3) предполагается, что U внутренняя энергия,
отнесенная к единице объема биосреды. Вклад в U от переменного электрического поля (КВЧ—диапазона) учтем следующим образом:
U = — 16л
d(rae) г e . E *1+^ (Н • Н *
do V
do V
(4)
здесь черта над U символизирует среднее по периоду колебаний электромагнитного поля, звездочка — символ комплексного сопряжения величины E или Н, ц — магнитная проницаемость биосреды (в
А = Ад | driik . DiDk
4л сН 511 16л ’
где U0 относится к биосреде в отсутствие электрического КВЧ-поля. Поскольку биосреда сама по себе немагнитна (m=1), то:
Шр ___Н_ 511 " 4л
(8)
Тогда намагниченность биосреды M равна:
M =
ЙДЇ) :
4л
50ik DiDk
(9)
9Н 16л
В отсутствие внешнего магнитного поля значение d^ik
производной надо взять при Н = 0 . С щк из
оН
(1) (и с учетом цік”=еік1 , где еік1 — антисимметричный единичный тензор) окончательно получаем
160
РИ, 2000, № 3
следующее выражение для намагниченности биосреды, создаваемой переменным электрическим полем КВЧ-диапазона:
Ml = _ 16 eikmfmlDiDk; • (10)
16л
Она квадратична по электрическому полю (т.е. нелинейна!). Если в отсутствие магнитного поля биосреда изотропна, то fmi=f8mi и тогда:
Линейную поляризацию КВЧ-электромагнитного излучения (ЭМИ) можно рассматривать как результат сложения двух круговых поляризаций с противоположными направлениями вращения; если в падающей волне Бр направлено по оси ОХ, то
можно записать Бр = Eg + Бр , где
Eox = iEoy = ~E0,Eox =_ iE0y = -Б0- (13)
M = -
i
16л
D х D
(11)
Анализ (11) показывает, что: 1) для линейно-
поляризованного поля вектор D может отличаться от вещественного лишь фазовым множителем; тогда D и D* коллинеарны и выражение (10) или (11) обращается в нуль; 2) намагничение возникает только под действием вращающегося электрического КВЧ-поля; 3) существует аналогия этого эффекта (в некотором физическом смысле) эффекту вращения плоскости поляризации в магнитном поле (т.е. изучаемый в биосреде эффект обратен последнему), так как количественные характеристики выражаются через один и тот же тензор fjk , что позволяет назвать этот эффект обратным эффектом Фарадея.
2. Определим поляризацию отраженного света (КВЧ-диапазона) при его нормальном падении в виде линейно-поляризованной волны из пустоты на поверхность изотропного биотела в магнитном поле.
При нормальном падении направление волнового вектора остается неизменным при переходе волны из вакуума в биосреду. Поэтому во всех волнах (падающей, отраженной и преломленной ) векторы H параллельны поверхности раздела (плоскости
ОХУ). Что же касается электрического вектора E КВЧ-электромагнитного поля, то в падающей и отраженной волнах он тоже параллелен плоскости ОХУ, а в преломленной волне, хотя Ez^0 , связь
между Х- и У-компонентами E и H такая же, как и в изотропном биотеле ( Hx=-nEy, Hy=nEx ). Если поляризация падающей КВЧ-электромагнитной волны совпадает с поляризацией одной из двух типов волн, которые могут распространяться в данной анизотропной (преломляющей) биосреде в данном направлении n , тогда возникает всего лишь одна преломленная волна с этой же поляризацией. В таких условиях задача формально не отличается от задачи об отражении от изотропного
биотела, и поля Ei и Бр в отраженной и падающей
КВЧ-электромагнитных волнах связаны друг с другом посредством соотношения:
Ei
(1 - n) (1 + n)
Бр,
(12)
где n — соответствующий данной поляризации коэффициент преломления.
Воспользовавшись для каждой из волн Eg , Бр
формулой (12) с соответствующим n± из соотношения:
n++ = n0 *noGz,n0 = Vs, (14)
где ось ОХ выбрана вдоль вектора n, n0 — показатель преломления биосреды, не учитывающий влияния поля H, получим:
Е0
2
1 ~ n + + n -1 + n + 1 + n _
Б0
(1 - n0) (1 + n0)’
iE0
2
1 - n _
1 + n _
1 - n+ 1 + n+
gcos 9 (15)
2 ’
n0(1 + n0)
( Q — угол между направлением падения и вектором гирации g). В наиболее общем случае вектор гирации g и вектор оптической активности биосреды G связаны соотношением:
G _ 1 '
Gi _ j^8ikgk> (16)
где |є | — определитель тензора . В изотропной биосреде
g = fH,G
(17)
здесь є—диэлектрическая проницаемость изотропной биосреды в отсутствие магнитного поля. Из соотношений (15) видно, что отраженная волна ЭМИ КВЧ-диапазона эллиптически поляризована, причем большая ось эллипса расположена по оси ОХ, а отношение малой оси к большой равно:
E1y _ gcos9
E1x n0(n2 -1) (18)
3. Определим предельный закон зависимости вектора гирации биосреды от частоты при больших значениях последней (КВЧ-диапазон). Для этого рассмотрим уравнение движения электрона ( заряд e=IeI), в которое добавим лоренцеву силу от внешнего постоянного магнитного поля B:
dV у, -irot e
m-----= eE0e +—
dt c L
V x B
(19)
где b — индукция магнитного поля, учитывающая эффекты намагничивания биосреды, определяемые соотношениями (9)-(11). При соблюдении
РИ, 2000, № 3
161
условия ю>> | e I B/mc (с — скорость света в вакууме, m- масса электрона) уравнение (19) можно решать последовательными приближениями. С
точностью до члена первого порядка по в получим:
у'=-ІЄв- e
mra ш2ю2с
[Ё X в J;
(20)
2
после чего найдем индукцию электрического поля D ЭМИ КВЧ-диапазона в виде:
D =е(ю)Ё + if(ro)[E х В}, (21)
где є(ю) = 1 -
4л№
2
ши
2
( N—число электронов во всех
атомах единицы объема биосреды). Во вращающемся электрическом поле КВЧ-диапазона имеем:
D = е(ю)Ё + if(ra)[E х й]+
s2(m)f2(rn)
4
Ё х Ё х E
(22)
при этом в соотношениях (20) -(22) биосреда предполагается изотропной. Для f(ffl) получаем:
f(ffl)
3 I I
4^Ne _ \e\ ds cmV 2mc dro
(23)
Выводы
1. Анализ соотношений (9)-(11), (17), (18), (23) показывает, что ЭМИ КВЧ-диапазона круговой поляризации, падающее на поверхность биосреды (кожи), при отражении от последней приводит к возникновению эллиптически-поляризованного КВЧ ЭМИ.
УДК 681.32:519.713 "
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ЕВДОКИМОВ А.А.
Приводятся свойства решений нелинейных уравнений специального вида, характерных для математических моделей потокораспределения широкого класса трубопроводных транспортных систем. Доказывается единственность решения этих уравнений и дается оценка скорости сходимости некоторых методов ее решения.
Для широкого класса трубопроводных транспортных систем (водопроводных, тепловых ,газовых , шахтной вентиляции и т. д.) и нелинейных цепей постоянного тока возникает необходимость в решении задачи анализа, которая сводится к разработке математической модели установившегося потокораспределения в этих системах [1]:
2. Наличие естественной оптической активности биосреды и дисперсии ее диэлектрической проницаемости є(ю) может существенно повысить информационно-диагностическую значимость коэффициента отражения кожной поверхности в миллиметровом диапазоне ЭМИ (в особенности, в области аномальной частотной дисперсии є(ю), вблизи линии поглощения (резонансной частоты f«60 ГГц)).
Литература: 1.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620с. 2. Ситько С.П, Мкртчян Л.Н. Введение в квантовую медицину. -К: Паттерн, 1994. 146с. 3. Иванченко И.А. и др. О коэффициенте отражения кожной поверхности в миллиметровом диапазоне ЭМИ// Фундаментальные и прикладные аспекты применения миллиметрового электромагнитного излучения в медицине. К.: Отклик, 1989. 174с.
Поступила в редколлегию 23.07.2000
Рецензент:
Човнюк Юрий Васильевич, канд. техн. наук, доцент, профессор Высшей школы экономики и деловой администрации "АЖИО-КОЛЛЕДЖ” (г.Киев), старший научный сотрудник Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.
Овсянникова Татьяна Николаевна, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.
Рудько Борис Федорович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, заведующий отделом специальных измерений Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 252033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-58.
fr = rrOXXr) - arWXXr) +
+ ZкХг&Хх)-avXx)]=0 (r єM2), (1)
їєМі ' '
Хг = Z b1riXr О Є Ml),
T&M 2
(2)
где oXX] )(j € M) — монотонно возрастающая нечетная функция X. ; а Ц/ . (x . )(] Є M) — монотонно убывающая или постоянная функция x], т.е.
XI- XУ -у Г X J(] еM*
дфХХХ
dx.
>
0 (] є M),
(3)
(4)
162
РИ, 2000, № 3
