CC BY-NC
0
УДК 537.612+537.621.5 EDN: TKJVFU
А.Я. Лаповок, Н.Л. Судов
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ПРОВОДЯЩЕГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ В ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ТЕЛА
Объект и цель научной работы. Вычисление дипольного магнитного момента металлического тела, вращающегося в постоянном магнитном поле, направленном перпендикулярно оси вращения. Материалы и методы. Численные методы расчета магнитного поля вихревых токов и намагниченности. Основные результаты. В статье предложен метод расчета дипольного магнитного момента тела, вращающегося в постоянном магнитном поле, на основе вычисления магнитного момента покоящегося тела, помещенного в переменное магнитное поле. Для тестирования метода использовано прямое решение исходной задачи методом конечных элементов во временной области.
Заключение. Полученные результаты позволяют оценить постоянную и переменную составляющую дипольного магнитного момента, возникающего при вращении проводящего тела с произвольной геометрией в постоянном магнитном поле.
Ключевые слова: магнитный момент, магнитное поле, численные методы расчета, метод конечных элементов. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
UDC 537.612+537.621.5 EDN: TKJVFU
A.Ya. Lapovok, N.L. Sudov
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
MAGNETIC MOMENT OF A CONDUCTING BODY ROTATING IN A TRANSVERSE MAGNETIC FIELD
Object and purpose of research. Calculation of the magnetic dipole moment induced in the metallic body rotating in a constant magnetic field directed perpendicular to the rotation axis.
Materials and methods. Numerical methods of computation of magnetic fields caused by eddy currents and magnetization. Main results. The paper proposes a magnetic dipole moment calculation method for a body rotating in a constant magnetic field. The method is based on the computation of the magnetic moment of the body in rest placed in the alternating magnetic field. For method testing we use a direct finite-element solution of the initial problem in the time-domain. Conclusion. The obtained results allow estimating the stationary and alternating components of the magnetic dipole moment arising when a conducting body of arbitrary geometry rotates in a constant magnetic field. Keywords: magnetic moment, magnetic field, numerical calculation methods, finite-element method. The authors declare no conflicts of interest.
Введение
Introduction
Точное аналитическое решение задачи о вихревых токах в проводящем теле, вращающемся в постоянном поперечном магнитном поле, получено для бес-
конечного кругового цилиндра [1]. В [1] упоминается возможность решения задачи во вращающейся системе координат, в которой тело неподвижно, а вращается внешнее магнитное поле. Мы используем данную возможность для численного расчета поперечного магнитного дипольного момента произвольного тела.
Для цитирования: Лаповок А.Я., Судов Н.Л. Магнитный момент проводящего вращающегося в поперечном магнитном поле тела. Труды Крыловского государственного научного центра. 2024; 1(407): 88-92. For citations: Lapovok A.Ya., Sudov N.L. Magnetic moment of a conducting body rotating in a transverse magnetic field. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2024; 1(407): 88-92 (in Russian).
В первом разделе статьи приведена физико-математическая формулировка задачи расчета момента и выведена формула, связывающая постоянный и переменный момент вращающегося тела с моментами неподвижного тела в двух синусоидально изменяющихся во времени взаимно ортогональных магнитных полях.
Второй раздел посвящен валидации метода расчета моментов на основе сравнения моментов, найденных с помощью выведенной формулы, с моментами, полученными непосредственным моделированием магнитного поля вращающегося тела методом конечных элементов во временной области.
В третьем разделе разработанный метод применен для расчета магнитного момента вихревых токов, возникающих при вращении гребного винта корабля в магнитном поле Земли. Показано, что переменный момент, являющийся источником низкочастотного электромагнитного поля корабля, возникает только в случае двухлопастного винта.
Формулировка задачи
Problem formulation
Рассмотрим металлическое тело c электропроводимостью с и магнитной проницаемостью д, вращающееся с постоянной угловой скоростью œ = 2nf вокруг продольной оси z в поперечном магнитном поле H0 = H0 ey (рис. 1).
В начальный момент времени t = 0 вращающаяся система координат x', y', связанная с телом, повернута на угол ф относительно неподвижной системы координат x, y, связанной с наблюдателем. Требуется найти составляющие My, Mx поперечного дипольного магнитного момента тела в неподвижной системе координат. Эффекты, связанные с вращением постоянной намагниченности и изменением продольной индуктивной намагниченности при вращении тела, не учитываются.
Обозначим а = œt + ф.
Используя ey = ey cosa + ex' sina, получим
Но -Щ^у
H0 = H0ey = H0(ev cos а + ev sin а).
'0VC у
(i)
Пусть известны:
Ыуу еУ' + Ы^у ех> - комплексная амплитуда магнитного момента неподвижного тела в переменном поле
ia>t
о еу е ,
Ыхх ех' + Ыух еу> - амплитуда магнитного момента тела в поле Н0 ех' ет*.
Можно убедиться, что Ыух = Ыху.
CT, ц
Рис. 1. Вращение тела в поперечном магнитном поле
Fig. 1. Rotation of a body in a transverse magnetic field
С учетом (1) определим момент тела во вращающейся системе координат х', у':
М' = Ыу, еу, + Ых, ех,,
где
My = Re(Myyy )cos а - Im(Myyy )sin а + + Re(My ) sin а + Im(My ) cos а, Mx' = Re(Mxx )sin а + Im(Mx )cos а + + Re(My ) cos а - Im(My ) sin а.
В неподвижной системе координат
(2)
M = My ey + Mx ex, где
My = My, cos а+Mr, sin а,
У У
M = M„, cos а - M,' sin а.
(З)
Подставляя (2) в (3) и производя элементарные преобразования, окончательно получим
м, + M = Myy + Mxx +\C\e-i(2rat+2ф+^),
(4)
где
Mvv - Mxx с = vv 2 " - iMy, v = arg C.
Из формулы (4) следует: 1. При вращении проводящего тела в поперечном магнитном поле H0 ey неподвижный наблюдатель регистрирует постоянный во времени ди-польный магнитный момент с составляющими My(0) = 0,5Re(Myy + Mxx), Mx(0) = 0,5Im(Myy + Mxx), где Myy и Mxx - комплексные амплитуды ди-
2
польных моментов неподвижного тела в двух ортогональных переменных полях с временной зависимостью H0 e'œt.
2. Переменный дипольный магнитный момент вращающегося тела наблюдается только на второй гармонике частоты вращения. Составляющие момента My(2\ Mx<2'> имеют одинаковую амплитуду |С| и выражаются как ортогональные проекции постоянного магнитного момента величиной |C|, вращающегося с угловой скоростью 2œ противоположно направлению вращения тела.
Переменные составляющие момента равны нулю, если одновременно выполняются два условия: а) тело имеет симметрию поворота на 90° (Myy = Ma); б) отсутствует перекрестный магнитный момент тела в ортогональных полях
(Mxy = 0).
3. Величины постоянного и переменного диполь-ного магнитного момента вращающегося тела не зависят от положения центра вращения.
Численные результаты
Numerical results
Для проверки формулы (4) рассмотрены двухмерные (2D) задачи о вращении цилиндрических тел с поперечным сечением круг, квадрат, равносторонний треугольник и прямоугольник в магнитном поле H0 = 1 А/м. Материал тел - сталь с электропроводимостью с = 5Е6 См/м и относительной магнитной проницаемостью д/д0 = 200.
2D-моделирование магнитного поля вращающихся тел выполнено в конечно-элементном пакете Comsol Multiphysics [2]. Решение произведено во временной области (шагами по времени) с включением внешнего магнитного поля в момент времени t = 0. Переходный процесс установления магнитных моментов тела иллюстрируется на рис. 2 (см. вклейку).
Линии потока магнитной индукции и распределение вихревых токов в установившемся режиме после затухания переходного процесса (t = 5 с) приведены на рис. 3 (см. вклейку). Для кругового цилиндра на вставке (левый верхний график, слева вверху) показаны линии потока в точном решении.
Для определения дипольных магнитных моментов Myy, M^, Mxy неподвижных тел в ортогональных магнитных полях, синусоидально изменяющихся во времени с угловой частотой œ, применен 2D-метод интегральных уравнений (МИУ) с импедансными граничными условиями [3].
В табл. 1 (см. вклейку) постоянные и переменные магнитные моменты, полученные в Comsol, сравниваются с моментами, рассчитанными с помощью МИУ и формулы (4). Практическое совпадение моментов, найденных разными методами, подтверждает правильность формулы (4).
Магнитный момент гребного винта, вращающегося в магнитном поле Земли
Magnetic moment of marine propeller rotating in the Earth magnetic field
В качестве одного из источников низкочастотного электромагнитного поля корабля (НЭМПК) рассматриваются вихревые токи, индуцируемые в лопастях гребного винта при его вращении в магнитном поле Земли [4]. В [4] приведена приближенная формула для расчета переменного дипольного магнитного момента лопасти как момента вихревых токов эквивалентного диска радиуса R. Нормаль к поверхности эквивалентного диска лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Магнитный момент диска определен без учета поперечного скин-эффекта - неравномерного распределения вихревого тока по толщине диска. Магнитное поле винта с N лопастями рассчитывается как суммарное поле N точечных магнитных диполей, размещенных по окружности на расстоянии R от оси вращения.
Применяя формулу (4) по отдельности для каждой лопасти с номером n, расположенной под углом 2п
ф = — n, получим суммарный переменный момент N лопастей:
2п
Mf + Mf =z N=i\c\i'(2rai+n -) =
4n
= \C\e-i(2rat+^)S N=1 e™ (5)
В правой части (5) стоит сумма членов геомет-
4п
N —-n
рической прогрессии S = £ и=1 e N с знаменате-
4п
-г—
лем q = e N . Производя суммирование, получим
1 - а -1—
1 - е *
за исключением случая N = 2, когда а = 1. Таким образом, рассматриваемый источник НЭМПК ак-
туален только для двухлопастных винтов, редко применяемых в судостроении.
В качестве примера на рис. 4 (см. вклейку) показаны распределения вихревых токов для трехлопастного гребного винта, полученные в программе STAR3D High Frequency [5]. Винт находится в вертикальном переменном поле частотой 5 Гц. Материал винта немагнитный (д = д0) с электропроводимостью с = 4Е7 См/м. Хорошо видно, что вихревые токи в основном индуцируются на замкнутой поверхности ступицы и в корневой части лопастей. На кромках лопасти распределение токов неравномерно, но в целом похоже на распределение токов по окружности в модели эквивалентного диска.
При амплитуде вертикального поля 50 A/м (магнитное поле Земли на широте Санкт-Петербурга) комплексная амплитуда вертикальной составляющей момента для модели на рис. 4а равна (-26,97 - /-2,79) А м2. Для модели на рис. 4б, повернутой на 90°, амплитуда момента равна (-26,95 - i-2,80) Ам2. Таким образом, гребной винт имеет симметрию поворота на 90° по отношению к магнитному моменту. Амплитуда перекрестной составляющей момента равна (-0,014 - i-0,004) Ам2, практически нулю. В результате, в соответствии с формулой (4), суммарный переменный дипольный магнитный момент винта при его вращении в поперечном магнитном поле равен нулю.
Заключение
Conclusion
Полученные результаты позволяют оценить постоянную и переменную составляющие дипольно-го магнитного момента, возникающего при вращении проводящего тела с произвольной геометрией в постоянном магнитном поле.
Список использованной литературы
1. Perry M.P., Jones T.B. Eddy current induction in a solid conducting cylinder with a transverse magnetic field // IEEE Transactions on Magnetics. 1978. Vol. 14, № 4. P. 227-232. DOI: 10.1109/TMAG. 1978.1059755.
2. AC/DC Module : User's Guide : vers. 6.1. [S.l.]: Comsol, 2022. 474 p.
3. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Новейшие исследования распространения радиоволн вдоль земной поверхности. Москва ; Ленинград : АН СССР, 1948. Сб. 2 :
Исследования по распространению радиоволн. С. 5-12.
4. Кочанов Э.С. Электромагнитное поле корабля, обусловленное индукционными токами при вращении винта в магнитном поле Земли // Труды ЦНИИ им. А.Н. Крылова. Вып. 194. Ленинград : Судпромгиз, 1962. С. 3-21.
5. Программа расчета электромагнитного поля STAR3D High Frequency : свидетельство о гос. регистрации 2011617902 Рос. Федерация / Р.Я. Низкий № 2011616007; заявл. 09.08.2011; опубл. 20.08.2014. 1 с.
6. РД 5.0317-80. Винты гребные фиксированного шага морских судов. Правила математического представления поверхности лопастей. Ленинград, [1980].
References
1. Perry M.P., Jones T.B. Eddy current induction in a solid conducting cylinder with a transverse magnetic field // IEEE Transactions on Magnetics. 1978. Vol. 14, № 4. P. 227-232. DOI: 10.1109/TMAG. 1978.1059755.
2. AC/DC Module : User's Guide : vers. 6.1. [S.l.]: Comsol, 2022. 474 p.
3. Leontovitch M. On approximate boundary conditions for electromagnetic field on surface of good conductive bodies // Noveishiye issledovaniya rasprostraneniya radiovoln vdol zemnoy poverhnosti (Latest research in radio wave propagation along terrestrial surface). Moscow ; Leningrad : Academy of Sciences of the USSR, 1948. Compendium No. 2. Research on radio wave propagation. P. 5-12 (in Russian).
4. Kochanov E. Electromagnetic field of ship due to induction currents caused by propeller rotation in terrestrial magnetic field // Transactions of Krylov State Research Centre, Vol. No. 194. Leningrad : Sudpromgiz, 1962. P. 3-21 (in Russian).
5. STAR3D High Frequency software for electromagnetic field calculation. Russian State Registration Certificate No. 2011617902 / R. Nizky, No. 2011616007, appl. date, 09.08.2011; publ. date 20.08.2014. 1 p. (in Russian).
6. Regulatory Document RD 5.0317-80. Fixed-pitch propellers for sea-going ships. Rules for mathematical representation of blade surface. Leningrad, 1980 (in Russian).
Сведения об авторах
Лаповок Андрей Яковлевич, к.т.н., начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Тел.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: alapovok@gmail.com.
Судов Николай Леонидович, к.т.н., начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. E-mail: sudov_spb@mail.ru.
About the authors
Andrei Ya. Lapovok, Cand. Sci. (Eng.), Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoe sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (812) 415-65-33. E-mail: alapovok@gmail.com.
Nikolai L. Sudov, Cand. Sci. (Eng.), Head of Sector, Krylov State Research Centre. Address: 44, Moskovskoe sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. E-mail: sudov_spb@mail.ru.
Поступила / Received: 22.11.23 Принята в печать / Accepted: 01.03.24 © Лаповок А.Я., Судов Н.Л., 2024
а) б)
Рис. 2. Временная зависимость составляющих Мх и Му дипольного магнитного момента (А м) в Сотэо! (частота вращения f = 1 Гц): а) вращение квадратного цилиндра; б) вращение треугольного цилиндра
Fig. 2. Time dependence of MK and My components of dipole magnetic moment (A m) in Comsol (frequency of rotation f \s 1 Hz): a) rotation of the square cylinder; b) rotation of the triangular cylinder
Surface: Current density, z-component (A/m2) Arrow Surface: Magnetic flux density (spatial frame)
-0.5 tL -0.6
Surface: Current density, z-component (A/m2) Arrow Surface: Magnetic flux density (spatial frame)
Рис. 3. Линии потока магнитной индукции и пространственное распределение вихревых токов при вращении стальных цилиндров в вертикальном магнитном поле. Частота вращейЙя f = 1 Гц. Шкала плотности тока в А/м2 приведена в правой части каждой картинки
Fig. 3. Magnetic flux density lines and spatial distribution of eddy currents with rotation of steel cylinders in the vertical magnetic field. Frequency of rotation f \s 1 Hz. A scale of the current density in A/m2 is at the right of each picture
Surface: Current density, z-component (A/m2) Arrow Surface: Magnetic flux density (spatial frame)
Surface: Current density, z-component (A/m2) Arrow Surface: Magnetic flux density (spatial frame)
Таблица ±. Постоянные и переменные магнитные моменты (А м) стальных цилиндров Table 1. Stationary and alternating magnetic moments of steel cylinders
Частота вращения f, Гц
1 5
Поперечное сечение, м Метод решения Стационарные моменты Амплитуда переменных моментов Стационарные моменты Амплитуда переменных моментов
My0) мГ |С| Муй) мГ |С|
МИУ 0,220 -0,028 0 0,183 -0,053 0
Comsol Stationary 0,220 -0,028 0 0,183 -0,054 0
У Точное решение 0,221 -0,028 0 0,184 -0,054 0
0,4 I | МИУ 0,295 -0,048 0 0,231 -0,088 0
Comsol Time Dependent 0,296 -0,047 0 0,232 -0,088 0
0,4 I 1 МИУ 0,198 -0,027 0,073 0,162 -0,051 0,069
V Comsol Time Dependent 0,197 -0,027 0,070 0,162 -0,050 0,065
0,4 МИУ 0,114 -0,011 0,068 0,099 -0,022 0,064
0,1 1 1 Comsol Time 0,114 -0,011 0,067 0,099 -0,022 0,062
Dependent
Рис. 4. Вихревые токи, индуцируемые на поверхности гребного винта вертикальным переменным магнитным полем на частоте 5 Гц. Диаметр винта 2,8 м, радиус ступицы 0,25 м, геометрическая модель построена в соответствии с [6]
Fig. 4. Eddy currents induced on the propeller surface by the vertical alternating magnetic field at the frequency of 5 Hz. The propeller diameter is 2,8 m, the propeller hub radius is 0,25 m, the geometry is built in the correspondence with [6]
