ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА–ЛЫКОВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 1 (2023). С. 22-34.

УДК 517.95

ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА^ЛЫКОВА

С.Х. ГЕККИЕВА, М.А. КЕРЕФОВ, Ф.М. НАХУШЕВА

Аннотация. При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами. Имеются в виду дифференциальные уравнения дробного порядка, как по временной, так и по пространственной переменной, которые являются основой большинства математических моделей в механике жидкости, вязкоупругости, а также в процессах переноса в средах с фрактальной структурой и памятью.

В настоящей работе представлено качественно новое уравнение влагопереноса, являющееся обобщением уравнения Аллера-Лыкова. Данное обобщение дает возможность отражения в характере исходного уравнения специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности.

Работа посвящена исследованию локальных и нелокальных краевых задач для неоднородного уравнения влагопереноса типа Аллера-Лыкова с переменными коэффициентами с дробной производной Римана-Лиувилля. Для обобщенного уравнения типа Аллера-Лыкова рассмотрены начально-краевые задачи с условиями первого и третьего рода, а также нелокальные задачи, содержащие в краевых условиях нелокальность по времени. Методом энергетических неравенств, при предположении существования регулярных решений, получены априорные оценки в терминах дробной производной Римана-Лиувилля, из которых следует единственность решений рассматриваемых краевых задач, их устойчивость по правой части и начальным данным.

Ключевые слова: уравнение влагопереноса Аллера-Лыкова, дробная производная Римана-Лиувилля, метод Фурье, априорная оценка.

Mathematics Subject Classification: 35Е99

1. Введение

Вопросы тепло-, влагопереноса в почвах являются фундаментальными при решении многих задач гидрологии, агрофизики, строительной физики и других областей науки. Исследователи при этом концентрируют свое внимание на возможности отражения в характере исходных уравнений специфических особенностей изучаемых массивов, их структуры, физических свойств, протекающих в них процессов и т.д. [1, гл. 6]. В связи с этим возникает качественно новый класс дифференциальных уравнений состояния и переноса с дробной производной, являющихся основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной структурой и памятью [2, гл. 5].

Примером такого рода моделей, описывающих процесс переноса почвенной влаги с учетом движения против потенциала влажности, а также фрактальной структуры почвы,

s.kii. Gekkieva, М.А. Kerefov, F.M. Nakhusheva, Local and nonlocal boundary value

problems for the generalized aller-lykov equation.

© Геккиева C.X., Керефов M.A., Нахушева Ф.М. 2023. Поступила 2 декабря 2021 г.

может служить обобщенное уравнение переноса Аллера-Лыкова:

A1 + D&u = Tx (k(x,t)-J + AD« — + f(x,t),

где D0t — оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля [2, с, 9], 0 < а < 1, А^ А = const > 0 k(x,t) — коэффициент диффузии, f (x,t) — плотность источников влаги. Для функции u(x,t), зависящей от двух переменных, оператор частного интегро-дифференцирования D0[tu(x, т) то перемен ной t определяется так же, как и для функции одной пременной, при этом вторая переменная х рассматривается как параметр. Так, для случая 0 < а < 1 имеем

t

D° и(х г) =_1_1 / и(х,т) dT

и<*и(х,т) = Г(1 _ а) mJ (t _ т)а dr.

о

Уравнения влагопереноса в локальной постановке (при а = 1) рассматривались в работах многих авторов и решались методом разделения переменных, методом априорных оценок, а также численными методами. Среди последних отметим работы [3], [4], в которых получены априорные оценки для решения нелокальных задач для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова в дифференциальной и разностной трактовках, а также работы |">| |7|. в которых исследовано уравнение влагопереноса Аллера-Лыкова с дробной по времени производной с различного рода граничными условиями,

В [8] доказаны существование и единственность решения первой краевой задачи для уравнения Аллера-Лыкова с постоянными коэффициентами, В работе [9] исследована вторая краевая задача,

В [10] для обобщенных уравнений Аллера и Аллера-Лыкова с краевыми условиями первого рода получены решения системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых. Получены априорные оценки, из которых следует сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дробного порядка.

Настоящая работа посвящена исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнения влагопереноса типа Аллера-Лыкова с переменными коэффициентами с дробной производной Римана-Лиувилля

of oii\ Oi Oll \

AiD^t+1u + D0tU = — (k(x,t) —) + DOt ^ ¡ф) _ q(x,t)u + f (x,t). (1.1)

Исследование уравнения (1.1) будем проводить методом априорных оценок,

2. Локальные краевые задачи для неоднородного уравнения Аллера-Лыкова с дробной по времени производной

В прямоугольнике Qt = {(%,t) : 0 < х < I, 0 <t < Т} рассмотрим уравнение (1.1).

Регулярным решением уравнения (1.1) в Qt назовем функцию и = u(x,t) из класса D00i~1u(x,t), DOtu(x,t) е С (Qt); DO+1 u(x,t), uxx(x,t), DOtuxx(x,t) G С (Qt) , которая удовлетворяет уравнению (1.1) во всех точках (x,t) е Qt.

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения (1.1) в замкнутом прямоугольнике

QT = {(х, t) : 0 < ж < I, 0 < t < Т}:

и(0, t) = u(l,t) = 0, 0 < t < Т, (2.1)

limDOr1u(x,t) = u0(x), limDOtu(x,t) = u1 (x), 0 < x < l, (2.2)

где u0(x), u1(x) — заданные функции.

В дальнейшем будем предполагать существование регулярных решений рассматриваемых в работе задач. Далее М.г = 1, 2,... — положительные постоянные, зависящие исключительно только от входных данных рассматриваемой задачи. Скалярное произведение и норма определяются следующим образом:

I

(а,Ь) = J аЬ4х, (а,а) = ||а||0, о

где а, Ь — заданные на отрезке [0,1] функции,

2.1. Априорная оценка решения первой краевой задачи.

Теорема 2.1. Если кх(х, Ь), г]х(х), кг(х, Ь), дг(х, Ь), /(х, Ь) € С (Пт); и1 (х) € С[0,1]; и0(х) € С2[0,1]; 0 < с1 < к(х, Ь); г](х), д(х, Ь) < с2; кг, Оъ < 0 всюду на Пт и выполнено условие и0(0) = и0(1) = 0, тогда для решения задачи, (1.1)-(2.2) справедлива, априорная, оценка

№110 + №|| + Ви^ < м (||/||2Л + Цио(х)Ц2^т + ||и1(х)||0) , (2.3)

где

г

№|| = / ЦО0>Ти(х, п)Ц0<1т, Ци0(х)Ц2Щт = ||и0(х)|0 + К (х)|0 + К' (х)|0-

( х, )

ьа—1

и(х, г) = д(х, г) + —~^и0(х) (2.4)

( х, ) и( х, )

Гщи0(х). С учетом [11, с. 15]

щ+Ца-1 = 0, В^Г-1 = 0, В^1 е-1 = Г(а) функция д(х, Ь) будет определяться, как решение уравнения

А^а^д + Щ^д - (кдх)х - (г]дх)х + дд = ^(х, I), 0 <х<1, 0 < 1<Т, (2.5) с начальными условиями

ИшВОГ^(х, I) = \imDa-1 (и(х, I) - = щ(х) - Г^КтВа-11а-1 = 0,

¿^0 4^0 у Г(а) / Г(а) ^0

^-1д(х,г) = Ишва-1' - .. ^ и0(х) - па-иа-1

Ъд (х, 1)=]щ0Ва( и граничными условиями

( ^-1 \ Щ (х)

1}шВа9(х, $ = ЪжЩЛ и(х, г) - —) = и1(х) - -— Ит^Г-1 = П1(х) ^0 4^0 у Г(а) / Г(а) ь^0

д(0, г) = д(1, г) = 0, 0 <г<Т, (2.7)

где

а-1

^(х, г) = ¡(х, г) + —- (кхи0(х) + ки0(х) + Г]хи0(х) + щ'0(х) - дщ(х)). Г(а)

Получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана-Лиувилля, для чего умножим уравнение (2.5) екалярно на

1 д Г д(х2т)(Ь

мУ Г(1 -а)дъ] (I - т)а , 0

получим:

{А^д) + д) - ((кдх)х )

- № ('П9*)х , О&д) + (дд, И&д) = (Г, И^д). Преобразуем слагаемые тождества (2,8) с учетом (2,6), (2,7):

{А^д ) = Аг

I г г

С 1 д2 Г д(х, т)(т 1 д С д(х, т)(1т

У ГТ-а Ж2 ] (г - т)а Гг-а) т у (г - т)а 0 0 0

( х

(2.8)

т/1 №)2(х = ТЕ ^"

а гЛ"

(В&д )= \\Dbg || (( кдх)х ,Ватд) 1

Г(1 - а)

I 4

Г (к| /

1

(Б& (Vдх)х ,Б&д)

Г(1 - а) 1

к дх(х, г) ° ! д(х,Т)(Т

^ - ту

0

- [ кдх(х, г)-^- [ 9х,Т\<(Т(х

00

Г(1 - а)

I 4

Л / Г gx(х, т)(т

J к9х(х, г)д1 J ^ - т)а (х,

00

I г г _ Г Г (У9х)х (Т Г g(х, т)йт

Г2(1 -а) ] дъ] (г - т)а ^ у (г - т)а 0 0 0

1

х

г г

д Г дх(х, т)(т д Г д(х, т)(т

г2(1 -а) | тп у (г - т)а (г - т)а

1

ОЪ] & - т)с

0

Г дх(х, т)(т Г дх(х, т)(т

У дг1 у (г - т)а (г - т)а 0 0 0

(х

< - Сг

1 9 I' дх(х, т)(т

Г(1 -а)дг] (г - ту

00

(х = -сл \\В^дх\\20 .

Для оценки правой части (2,8) воспользуемся неравенством Коши-Буняковекого

( ) < 1 \\Г\\0 + е \\Dfag\\" , е> 0. С учетом полученных неравенств из (2,8) получим

Аг д 2 2 1

А ш«0 + + ПТ-а)

I г

Л ( +\д [ 9x(х, т)(т

I к9х(х,т ] (х

1

(2.9)

+ сх ЦИ^дХ + (дд, Б&д) < - \\Г\\20 + £ \\Б&д\\

« „II"

I

0

2

Проинтегрируем (2,9) по т от 0 до t :

t t i

\Dotg llo + J \\Dor9 (x, n)|\ldr + dT j ^ T) tj

о o o o

t I

+ Cl I \ \ D«Tgx(x, П) \ \ Od r + dT J qg(x, r) ^J ^ffi dx (2.10)

0 0 0 0 t

< ^ I I F I1 2,nt / I I DZrg (x, n) 11 ldr + mtg)(x, 0)110. 0

Докажем неотрицательность тройных интегралов в левой части последнего неравенства [13, гл. 2]. Введем обозначения:

i t т

т ¡А ¡1 ( \д I 9х(x, П )drK J = J dx J kgx(x, t)J ^ _ Q dT,

0 0 0

t

( . = sin^(l _ а) д_ f gx(x, n)dn

Fl(X,^= ж OtJ (t _ nГ .

0

Тогда с учетом формулы обращения интегрального уравнения Абеля [14, с. 39] имеем

i t т

J =-Ж-т [ dx [ kF1(x, r)dr [ Tl.

Sinn(1 _ а) J J u ' ; J (t _ ri)1-a 0 0 0

Используя формулу для гамма-функции

сю

¡е-1 cosktdt =r^)cos —, k > 0, 0 <а< 1,

J № 2 ' , и ,

0

при k = (т _ Ti), ^ = 1 _ а получаем

с

11

С cos t(t _ n)dС,

(t - Tl)1-* Г(1 -a) cos ^^

o

а для исходного интеграла получим

It т сю

J = -------kFi(x, T)dT Fi(x, Ti)dTi cos£(t - Ti)d£

sin^N — a)l(1 — a) cos ^—тт— J J J J

2 о о о о

2

It т сю

'—а

cos

Г(1-а)ж [ dx i kFi(x, T)dT i Fi (x, Ti)dTi i С a cos£(T - Ti)d£.

2

о о о о

Поменяв порядок интегрирования, будем иметь Г(а)

J

(i—а)ж

cos-—2Г~

I сю t

а

J dx J £ ad£ J kFi(x, t)cos^rdr J Fi (x, ri)cos^ridri о о о о

T

I оо t

'—а

+ dx £ ad£ / kFl(x, r)sin^Tdr / Fl(x, r^sin^d^

0 0 ГН

0

l оо t

'—a,

2 cos

(1—а )-к

dx Cad£ / k (x, t)

00

0

Fl(x, T\) cos r^d

d

l oo

+ J dx J CadC J k(x, r) 0 0 0

2-1

F1(x, t) sin £d

Последнее равенство интегрированием по частям преобразуется к виду

J

Г(а)

I оо

2 cos

+

dx С" k

00

+

F1(x, т\) sin т^d

F1(x, Ti) sin т^drl

2

2

Fl(x, ) cos т^d

l оо t

d£ - I dx f Cad£ IК

00

0

F1 (x, T\) cos r^d^

При выполнении условия kt < 0, так как Г(а) > 0 0 < cos (1—"^ < 1 получим, что J > 0, Таким образом, при выполнении условий kt, qt < 0 доказана неотрицательность тройных интегралов в левой части неравенства (2,10), Усиливая неравенство (2,10), получим

t t Ai|\D&g ||0 + 2(1 - e) i \\D^Tg (x, n)|\20dr + 2c J \\D^Tgx(x, n)|\0dr

<1 \ \ F \ \ l,Qt +Ai\\ui(x)\\2,

откуда следует оценка

\ \ В&д\\0 + \\ Б&д\\2а + \\ \\ < Мх (\\Г\\2>П( + \\их(х)\ или, возвращаясь к и(х, Ь), получим (2,3),

Замечание 2.1. Из (2.3) следует единственность решения задачи (1.1)-(2.2).

□

и = и0 = и1 = 0

из (2,3) имеем:

\ \ вд0 + \ №11ы + \\Я&их\На = 0. Применяя обобщенную формулу Ньютона-Лейбница [11, с, 15]:

а — 1

D—taD>(x, t) = u(x, t) - —-limD0ít—lu(x, ^

1(a) t^o

в частности, получим:

4-а — 1

4-а — 1

u(x, t)

Г(а) t^o

HmDQt 1 u(x, t)

Г(а)

u0(x) = 0 в Qt .

T

2

T

t

T

T

2

T

2

T

T

2.2. Априорная оценка решения третьей краевой задачи. Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения (1.1) в области От с краевыми условиями

!

П(0,1) = Ш<0,1) -ц(1),

- п(1,1) = гШи(1, г) -ц(1) ]

и начальными условиями (2.2), где П(х, Ь) = к(х, Ь)пх + (г]их).

Теорема 2.2. Если дополнительно к условиям теоремы, 2.1 выполняются соотношения е С 1[0,Т]; ¡11, р2 е С[0,Т]; ръ > с0 > 0; < 0; /Зц < 0 всюду на О и выполнено условие ио(0) = и0(1) = и0(О) = и'0(1) = 0, тогда, для, решения задачи, (1.1), (2.11), (2.2) справедлива, априорная, оценка

\ \ и\\2 + | №|| ш + 1 Щ<их\Ца

4

2 ' {¡1 + 1>2)Лт +\\ио(х)\\щ2(о,1) + \\и1(х)\^

<М\ \ \ / \ \ 2,Яь + I 1 +12)а'1 +\\и0(х)\ Ш(0,1) + \\и1(х)\ \ О

(2.12)

( х, )

( х, )

условиями (2.6) и граничными условиями

{

П1(0,г) = р1(г)д -ц(1), х = 0, - Щ1, г) = р2(г)д -¡2(1), х = I,

(2.13)

где Щ(х, г) = к(х, г)дх + (г]дх).

Далее, преобразовывая слагаемые (2.8) с учетом (2.6), (2.13), получим:

Л -

{АЩ^д ,В&д) = А \\2 ,

,Ватд) = \Щтд\\0 , (( кдх)х , И0гд) =кдх (I, I) И^.д (I, т) - кдх (0,1) И^.д (0, т)

'X

I

'-¡х

1 ( ка (х^ - I' 9х (х, т)йт¿х

Г(1 -а)] ^^ ' дг] (I - т)с оо

Шх , Щ^д) (V (I) дх(1, т)) И0;гд(I, т)

- Щ (г] (0) дх(0, т)) Б^д(0, т) - С1 \Щ<дх\\20 ,

(^В&д) <1 \И\0о + е ЦЩ^д\\2 , £> 0. С учетом полученных неравенств из (2.8) имеем

I ь

А| №\0 + \НО + Г^! Ых, г)| /

оо

I ь

2

„2 1 [ , ,д Г д(х, т)(1т , (2-14)

+ С \ \ П°,дх \ \0 + г—)] Ых, 0

оо

<-1 \\Р\\0 + е \ \ Цкд\\2 + П1(х, 1)В&д(х, г)|0

Оценим последнее слагаемое правой части неравенства (2,14):

Пл(х, t)D°g(х, т)£ =D«tg(I, г) ( кдх (I, t) + D° (r¡ (I) дхЦ, т)))

- D«g(0, т) (кдх (0, t) + D& (V(0)дх(0, т))) =D%tg(l, т) (»2(t) - fag) - D°g(0, т) (fag - li(t)) =D&g(l, r)ii2(t) - D«g(l, T)fog (l, t)

- D«g (0, t) /3ig (0, t) + D«g (0, т) | (t)

< - D«g(l, r)fog (l, t) - D«g (0, r) fag (0, t) + 2(l2 + l2) + 2 № (0, r))2 + (D&g (l, r))2) . Учитывая полученную оценку, из (2,14) приходим к неравенству: Ал д о о

A Q¡. \\Dot9112 + I\Dotg 112 + D«t (0, r) hg (0, t) + D*tg(l, T)fag (l, t)

+ (kgx, D0tgx) + Cl I\D°gx\\20 + (qg, D*tg)

IX)^ Otjx ) 1 1 11 Otjx 11 0

<111F110 + e I I D0¡tg112 + h + i2)

+ 2 (№ (0, т))2 + (Б&д (I, т))2) .

Проинтегрируем последнее неравенство по т от 0 до Ь :

г г г

А\112 + / \\Dtg\\ldr + у /319 (0, т) В0тд (0, п)йт + | ^д (I, г) Б&д (I, п)йт

0 0 о

I г г

+ I (кдх,В0тдх)йт + сл ! \\Ва0тдх\\0йт + ^ (дд,В0тд) йт 0 0 0 г г I

< ^ / \ \ Р \ \ 2йт + £ I \\В0тд\\2dr + 21 (£ + 14 )йт 0 0 0 г

1 Г Ал

+ 2 у (№/ (0, П))2 + (В0тд (I, т1))2)йт + А1\\(Б&д)( 0

, 0) 2 . , 0) 0 .

При выполнении условий кг < 0 Чъ ^ 0 < 0 Ры < 0, усиливая это неравенство, получим

t t t t

Yl\D0¡tg I\2 + J I\DoTg fodr + cij I\D0¡TgxI Ildr < ¿ J \\F| ^dr + e j \\D^Tg\\2 0 0 0 0

t t

+ 2J № + Ú)dT +2J ((D0¡Tg (0, Ti))2 + (D0Tg (l, n))2) dr 00

+ Al Imtg) (х, 0)\(0 .

С учетом оценок [15, е, 124]

2 ^ _ и / тла ..N ||2 , I - II тли ,.||2

£ + I

2 ^ _ и/па . \ ||2 , I 2 + М и па 112

£ + I

(щг9 (0, п))2 < е \ | №)х\1 0 + - + у I I оид\\0,

(оитд (I, п))2 < е \ \ (Оатд)х \ \ 2 +1- + Т) 11 Оатд \ \ 0

получим

\°и9\\0 + ^ - + у)) / \\Щг9 нит + ^х - е) ! \\DUM Н^

0

I I

<^ / \\Р\\ + Ц + + ^-Црид) (X,0)\0 0

или

\ \ оид\\0 + ] \\Ц^д\\0Лт + у \\DtgXdr < М2 П ^¿т + ] + йт + Цщ^Щ 0 0 \0 0

Возвращаясь к и(х, Ь), получим (2,12), откуда следует единственность решения задачи (1.1), (2.11), (2.2). " " " □

3. Нелокальные краевые задачи для неоднородного уравнения Аллера-Лыкова с дробной по времени производной

Задачам с нелокальными граничными условиями для уравнений в частных производных посвящены многие работы, в том числе, уже ставшая классической, работа [16]. Известно [17, с. 135], что нелокальными краевыми задачами принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках.

Задача 3.1. Рассмотрим нелокальную краевую задачу для уравнения (1-1) в области удовлетворяющую краевым, условиям

-П2(0, г) = №)и(0, г) + оамо, г) - М*),

- П2(1,1) = р2(г)и(1,1) + оии(1, т) -^2(1) ( ■ }

{

и начальным условиям (2.2), где П2(х, Ь) = к(х, Ь)их + ^аг (Щх)-

Нелокальные краевые задачи, содержащие в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изучены А.И. Кожановым [18]. Краевые задачи для уравнений влагопереноса с такого рода граничными условиями рассматривались также в работах [19], [20].

Теорема 3.1. Если выполняются условия теорем,ы, 2.2, тогда, для, решения задачи (1-1), (3.1), (2.2) справедлива, априорная, оценка

\\о&и\\0 + у тм¿¿г+у \\оатих\\20йт+у Фити(1,ъ))2 + (оати(о,^¿т

0 г 0 0 . (3.2)

<МзП \\/ \ \ 0^ + 1 + 12) ¿т+\\щ(х)\\2ш1т + \\щ(х)\Ю). 00

г

г

г

г

г

г

г

Доказательство. Для новой неизвестной функции д(х, Ь) получим определение функции д(х, Ь), как решение уравнения (2,5) с начальными условиями (2,6) и граничными условиями

{

Пз(0,г) = Шд(0,г) + (0,г) - ^(г), - ад, Ь) = №)д(1, Ь) + Б&д(I, г) ), [ " }

где Пз(х, г) = к(х, г)дх + Б; (г]дх).

Последнее слагаемое правой части неравенства (2,14), с учетом (3,3), представляется в виде:

ПзВатд|0 =В^д (I, г) (кдх (I, I) + (п (I) дх(1, т)))

- Б^д (0, т) (кдх (0,1) + Б; (Л (0) дх(0, т))) =Б&д (I, т) ЫЪ - Р2 (I) д(1,1) - В^д (I, т))

- Ватд (0, т) (Рг (I) д (0,1) + Б&д (0, т) - (I))

+ (I, Т)Ц2® - В^д(I, т)р2д (I, I) - Б0гд(I, т^д (I, т) + В^д (0, т) ш (I) - Ватд(0, т)$хд (00,1) - (0, т) Ватд (0, т).

Оценим сумму (I, Ь) + шг(^)В^д(0,

^д(0,1)+Ш2Ваид(I, I) < 1(ц\ + ц*)+(е\\(Б&д(х, *))я\\20 + 0 + у) №(х, 1)\^ .

Учитывая полученную выше оценку, из (2,14) имеем:

у ^ №\Ц + (у -е- (2 + 1)) та\Ц + (кдх, В0<дх) + (С1 - е) \\В0гдх\\2

ТГТй \ \ \\2 + - ^ - + 1) ) \\В0г9\\0 + ( кдх, В&дх) + (Сг - е) \\В«дх\^

+ ( 49, Ватд) + ШВ&д(I, т)д (I, I) + Рг (I) (0, т)д (0,1) (3.4)

+ ( В0гд(I, г))2 + (В0гд(0, г))2 < \Р \\ 2 + \(,А + £).

Проинтегрируем (3,4) по т от 0 до Ь :

у\\Bot9112 + \\В0тд\\ldr + 1 (кдх,В0тдх)йт + щ(е) / ЦБ^д^т

0 0 0 г г

+ У (ЧдБи) йт + У р2д(I, т)Б0;т(I, п)йт 00 г г

+ I Ргд (0, г)Б^т(0, тг)йт + I (Б^д(I, п))2 + (Щ^д(0, п))2 йт

00 г г

< 1 \ \ Р \ \ 2>йт + У (ш2 + £)йт + АтИ^д) (х, 0)\\0 , 00

где и(е) = 1 - е - (2 + 1) , иг(е) = сг - е.

При выполнении условий ^ < 0 ^ < 0 ¡Зц < 0 Ри < 0 можно усилить последнее неравенство, В результате получим

А±\Вд ||0 + у(е) I \\Dfcg\\ldr + щ (е) / ЦВ^дЛ¡¡¿т + / (В^тд (I, п))2 + (Ц^д (0, п ))2 ¿т

О 0 0

I I

<^ I \\Р\\О^ + Ц / + + у

О О

Откуда следует оценка (3,2), доказывающая единственность решения задачи (1.1), (3,1), (2.2). " □

Задача 3.2. В задаче (1.1), (3.1), (2.2) заменим граничные условия (3.1) условиям,и вида,

П4(0,1)=^) (и{0,1) + ВО-1и(0, т)) -ц(1), - П4(1,1) = Ш (и(1,1) + В0Ц1и(1, т)) ).

{

Теорема 3.2. Если выполняются условия теорем,ы, 2.2, тогда, для, решения задачи (1-1), (3.5), (2.2) справедлива, априорная, оценка

\\В&и\\2 + \\В0>||+ \\В«их\Цп, + №-1и(1, г))2 + (ВГЫО, т)У

<М I \ \/ \ \ + I / + £)йт +\\щ(х)\\0 + и0(0) + и2о(1) | .

Доказательство. Умножим уравнение (1.1) екалярно на ВО+и : (АЦ^щВОи + (В°ти,ВО°и) - ((ких)х ,В0и)

- (Ва° (Vих)х , ВОи) + (ди, ВОи) = (¡, ВОи)

(3.6)

(3.7)

Повторим те же рассуждения, которые проводились при выводе неравенства (2.14), тогда получим

I ь

А ,, 112 + || Во ||2 , 1 [, ( +) [ их (х, т) йт .

2 о +\\В<ни\\о + щ -а)1 x(X, 1)дъ] (I - т)0

о о

' 1

и™ ,12 1 Г , л,д [и(х, т)(Ит , (3-8)

+ ^оМо + *и(х, $ ж ] -Ц-^г ^

о о

<П^(х, 1)В&и(х, т)|£ + ¿\\Щ + еЦВОиЩ.

Для получения априорной оценки преобразуем, с учетом (3.5), первое слагаемое правой части неравенства (3.8):

ПВи\10 =В0и(1, Г) (ких (I,1) + ВО (V (I) их(1, г))) - ВОи (0, т) (ких (0,1)

+ ВО, (V (0) их(0, т))) = ВОи (I, т) (^ - Р2 (г) ('и (1,1) + В0-1и (I, т))) - В0,и (0, т) (Д (I) (и (0,1) + В0-1и (0, т)) - /11 (I)) =В0и(1, т)/2(1) - В0и(1, т)Ши (I, I) - В0и(1, т)Р2(1)В0-1и (I, т) + ВОи (0, т) 11 (I) - В0и(0, т)р1 (I) и (0, г) - В0<и (0, т) ШВО^и (0, т).

Учитывая оценки

D^tu(l, T)fr(t)D&- lu(l, т) > со - - (D0Ot~ lu(l, т))2

1 —

'2 —

- -

D&u(0, r)ßi(t)D^~!u(0, т) > со2 jt (D0T!u(0, т))'

из (3,8) находим, что

Y — WD&u\\2 -е- ( 2 + \\D0M\2 + (kux ,D0tux) + (ci - e) \\D0Otux\\2

+ (qu,D00tu)+ß2(t)D00tu(l, r)u(l, t) + ßi(t)D0tu(0, r)u(0, t)

+ "i — (Dot iu(l, r))2 + I— (D0~iu(0, r))2 < 1\\ f\\0 + -(£ + £)

2dtK 0t " 2 dt Проинтегрируем (3,9) по т от 0 до t :

t t t

у \№||2 + u(£) i \\D0Tu\\2dT + i (kux,D0Tux)dr + щ (e) i \\D^Tux\\0dr

(3.9)

t t t + I (qu,D°Tu)dT + I ß2u (I, t) D°Tu(l, n)dr + / ßiu(0, r)D°Tu(0, n)dr

+ * 2

(D^iu(l, T))2 +(D0Tiu(0, T))

< 4s

dr + - (ß\ + ¿2) dr

00

+ ^ \и) (х, 0)\\0 + ^ 1и(1, 2 + у уи(0, 2

где и(е) = 1 - е - (2 + у) , их(£) = су - £.

При выполнении условий к < 0, ^ < 0, ¡и < 0, 3ш < 0 усилим последнее неравенство, В результате получим оценку

Ai и/ тло . \ /.. п\ц2 , °0 г™.-!, п гл\\2 , Со

у №||0 + v(e)[ \\D0ru\\2odT + Vi (e) i \\D^Tux\\20dr + Cj [(DO^u«, r))'

+ (dot!u(0, t))

< 4£

t

2 + - i (ßl + ß2)dr + \(D0tu)(x

2

2

, О) 20

0

+ ^ (D0~lu(l, 0))2 + ^ (DO-!u(0, 0))

2 . C0 o-1

- 01 1 - V- 01 и

из которой вытекает искомая оценка (3,6), доказывающая единственность решения задачи (1.1), (3.5), (2.2). □

t

t

2

t

2

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ф. Чудновский. Теплофизика почв. М.: Наука. 1976.

2. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003.

3. С.М. Архестова, М.Х. Шхануков-Лафишев. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием // Известия КБНЦ РАН. 3, 7-16 (2012).

4. М.М. Лафишева, М.А. Керефов, Р.В. Дышекова. Разностные схемы для, уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. 19:1, 50-58 (2017).

5. С.Х. Геккиева. Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса, Аллера-Лыкова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 4 (24), 19-28 (2018).

6. М.А. Керефов, Ф.М. Нахушева, С.Х. Геккиева. Краевая задача для, обобщенного уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова, с сосредоточенной теплоемкостью / / Вестн. Сам У. Есте-ственнонаучн.сер. 24:3, 23-29 (2018).

7. С.Х. Геккиева, М.А. Керефов. Краевая задача, для, нелокального уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова, // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 167, 27-33 (2019).

8. S.Kh. Gekkieva, М.А. Kerefov. Dirichlet boundary value problem for Aller Lykov moisture transfer equation with fractional derivative in time // Ufa Math. J. 11:2, 71-81 (2019).

9. М.А. Керефов, С.Х. Геккиева. Вт,opa,я, краевая задача, для, обобщенного уравнения влагопереноса Аллера-Лыкова, // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23:4, 607-621 (2019).

10. М.А. Керефов, С.Х. Геккиева. Численно-аналитический метод решения краевой задачи для, обобщенных уравнений влагопереноса // Вестн. Удмуртского университета. Математика. Механика. Коми, науки. 31:1, 19-34 (2021).

11. A.B. Псху. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005.

12. A.A. Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989.

13. М.А. Керефов. Краевые задачи для, модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2000. 75 с.

14. С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка, и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987.

15. O.A. Ладыженская. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

16. A.B. Бицадзе, A.A. Самарский. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических кра,евы,х задач, // Докл. АН СССР. 185:4, 739-740 (1969).

17. A.M. Нахушев. Уравнения математической биологии. М.: Физматлит. 1995.

18. А.И. Кожанов. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 40:6, 763-774 (2004).

19. M.Kh. Beshtokov. Local and nonlocal boundary value problems for degenerating and nondegenerat-ing pseudoparabolic equations with a Riemann-Liouville fractional derivative // Differential equations. 54:6, 763-778 (2018).

20. M.X. Бештоков. Краевые задачи для, вырождающихся, и невы,рождающихся, дифференциальных уравнений дробного порядка, с нелокальным линейным, источником и разностные методы их численной реализации // Уфимск. матем. журн. 11:2, 36-55 (2019).

Сакинат Хасановна Геккиева,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, ул. Шортанова, 89 А, 360000, г. Нальчик, Россия E-mail: gekkieva_s@mail.ru

Марат Асланбиевич Керефов,

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, 360004, г. Нальчик, Россия E-mail: kerefov@mail.ru

Фатима Мухамедовна Нахушева,

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова,

ул. Чернышевского, 173,

360004, г. Нальчик, Россия

E-mail: f atima-nakhusheva@mail .ru