Локальное представление модели линейной динамической системы с бесконечным откликом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция автоматизации научных исследований и экспериментов

УДК 621.391

С.В. Николаев

ЛОКАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ОТКЛИКОМ

В работе [1] предложен общий прием локализации, основанный на известном [2] представлении динамической системы в пространстве состояний, который применим для любых причинных динамических систем (линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных). Целю настоящей статьи является конкретизация этого общего подхода на случай линейных стационарных динамических систем. Общая схема локализации причинной динамической системы Рассмотрим наиболее общий случай, когда от динамической системы требуется, чтобы она удовлетворяла только двум условиям: причинности и стационар.

и кадровые переменные состояния.

Утверждение. Если модель М0=(Х0, Б0, Уа) является при чинной стационарной динамической системой, то ее можно представить в форме рекурсивного повторения кадров обработки конечной длительности Тк в виде

Чк +1 = Фк (^Ьк (т)0<т<ТК , Чк 1

У ( ) = У (к + *Ь ) =Уьк (Ь ) = 8 і Х Ьк (Т)о<г<Тк , Чк ] ,

Ьк УЬ

к = ...,-1,0,1,...,

(1)

где 8^ XLxQK^YL - оператор локальной модели; qk - состояние к-го кадра; фк(*,*) -функция перехода кадрового состояния; ( - глобальное время; te Т; 4 - локальное время, 4е [0,Гк]сТ; 4 - моменты глобального времени, разделяющие соседние кадры; х^1), у^г) - сегменты входной и выходной функций для к-то кадра, связанные с исходными функциями от глобального времени посредством соотноше-:

xLk к ) = х (к + tL); УLk ) = у (к + tL )•

Доказательство. Справедливость утверждения выводится из возможного представления М0, как динамической системы, в пространстве состояний для произвольного момента ^ в следующем виде[2]:

. (і )=ФG (х (т)<т<! , qG (і0 )),

[У (t) = П (x (tX ЧG (і)1

(3)

где qG(t)e QG - состояние исходной (глобальной) динамической системы в момент £ ф^*,*) - переходная функция состояния; ■%(*,*) - функция выхода.

Локализация непрерывной линейной динамической системы В общем случае линейная стационарная система может быть представлена в дифференциальной форме 1:

dq{t) dt

■ Лq (і)+Bx (і);

У () = Cq (і)+Vx (і),

где А, Б, С, V - постоянные коэффициенты, однозначно и полностью определяющие поведение линейной системы. Из дифференциальной формы линейной стационарной системы можно получить представление системы в пространстве состояний [2]:

і

qG(і)=ФG (х (4 0 <т<і, qG ())=е(-) 0 )лq (іо) +1е(-т)АБх (т)т

ґо і

у (і ) = % ((і), qG (і )) = Се(і-і0 Л>лq(t0)+ |Се (ТлБх (т)4т + Vx (і)

?0

Применяя локализацию с использованием кадровых переменных состояния получим

тк

qk +1 = Фк (Ьк (т)0<т<Тк , (ік ) = е к + |е ^ К Б ХЬк

Уьк (іь)=Пь (ьк (іь} qk)=Се ЧА qk + ІСе (і ~т)АБ хьк (т)лт+Ух и (іь)

0

Пример. Рассмотрим локализацию простейшей дифференциирующей ЯС-.

ис

с

Я

8

G

0

т

и

и

вх

1 Данное представление легко обобщается на многомерный случай, когда входы, выходы и состояния суть векторы, а коэффициенты А, В, С, V - матрицы соответствующих размерностей.

Оператор 80 имеет представление в пространстве состояний (с учетом того, что здесь А= -(1/ЯС), В=1/ЯС, С=-1, У=1)

SG

' -(-і0) і -(і-т)

qG(і)=ф(х(т, qG(і0))=е ЯС q(tо)+ /яС•е ЯС х(т) ^

?0

у (і) = п(х (іX qG(і )) = -qG Iі)+х (і),

где х(0 = ивх (t) - напряжение на входе; ча(() = ис(0 - напряжение на емкости С; у(() = ис(0 - напряжение на сопротивлении Я.

Импульсная характеристика этой системы бесконечна и равна

1 _____г_

и() = Се‘АВ +¥8() = —— е ЯС + д().

ЯС

Построим локализацию этой модели путем представления в виде рекурсии кадров длительности Тк. Непосредственно из исходного выражения для исходной модели 80 получим функцию перехода кадровых состояний

. . -(к+1-*к) 1к +1 -(к +1-т)

Чк+1 = Ч(к ) = фь (х (т)о<т<тк ,Чк )= е ЯС Чк + I ЯСе ЯС х (т)Лт =

ік

- Т^1 тк іІТк

е кЯС^к + |ЯСе ЯС хьк (т) ^

0

и локальный оператор

Уьк (іЬ ) = 8 Ь (хЬк (т)0<т<іЬ, qk ) = У (ік + ІЬ ) = ^ (ік + іь )+ х (ік + іь )

-іЬ Ь -(іь-т)

еЯС qk IЯЯС е ЯС ХЬк (т) ^ + ХЬк (іЬ ) •

0

Импульсная характеристика локального оператора 8ь конечна и равна

1 -—

Щь ) = Се:‘АВ +У$Х1 ) = -—еЯС +$Х1).

Локализация дискретной линейной динамической системы

Дискретный случай имеет одну важную особенность: наличие у каждого момента времени t вполне определенного предшественника - момента М. Этот факт позволяет выделить из всех возможных интервалов на оси времени наименьший, состоящий всего из двух соседних моментов t и t+1. При этом естественно вводит-

ся понятие «следующего состояния» и функция перехода состояния может быть сразу получена в рекуррентной форме из общего представления (1) путем подстановки (/-1) ^ /0:

„ . \Чо ( ) = фо (х ( -1)1 Чо ( -1))>

° ' [.У) = По (х (} Чо (^

Эта функция по форме совпадает с моделью автомата Мили [3] или с более « », линейном случае [4].

В практике цифровой обработки сигналов наибольшее применение нашла , « », быть записана в представлении вход-выход в виде рекуррентного соотношения [5]

N

М

$о: у()=ЕакУ( - к)+Еькх ( - к\ / е .

к =1 к=0

Пример. Рассмотрим стандартный рекурсивный фильтр второго порядка с рекуррентным соотношением

8о : у(/)=а у(/ -1)+а2 у(/ -2)+ Ьх(/)

В качестве пространства состояний Qо возьмем множеств о троек вещественных чисел, т.е. множество трехкомпонентных векторов qо=(чo, ч1, ч2); qоe Qо=R3. Непосредственно из рассмотрения рекуррентного соотношения можно получить эквивалентную ему функцию переходов и функцию выходов:

фа

Ч0() = а Ч1( -1)+ а2 ч2( -1)+ Ьх();

41 (* ) = Чо (*-1)=у (і -1);

42 (і ) = Ч1( -1) = у (*- 2X

Па : у (* ) = Чо (* )•

Более компактно это можно записать в матрично-векторной форме:

. ) = Ая(^-1)+ Вх();

' [у(і) = Чо(),

Ч о ' 0 а а2 ^ Г1 ^

где чіґ ) = Ч1 (*) , А = 1 0 0 , в = 0

2Ч V 0 1 0; V 0 ,

Перейдем к рекурсии кадров длительности Тк (Ткє 2+):

К

^ +1 “ фК (х ( ()о<т<ГК , qk )~ А К qk + Е А В х (т),

УЬк (1 ) “ 8 1 (с1к (х)o<т<tI , qk ),

т=0

где

ъ (/1 )=Фь ( Х)о<т<(1, qk )=А(£ qk + ЕА(£ вх (т)

т=0

У 1к (1 )_ Ч10 (/1 )'

8 1 -

вить в разностной форме:

81 • у1к (/1 )_ а1 у1к (/1 -1)+ а2 у1к (/1 - 2 )+ Ьх1к (/1 ), где у1к (0)_ Чк1; у1к (- 1)_ Чк2; ^1 = 0,1,К,ГК - 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев С.В. Представление алгоритмов ЦОС в форме рекурсивной прокрутки кадров обработки конечной длительности. // Известия ТРТУ. Спец. вып. Материалы ХЬШ конф. ТРТУ. Таганрог, 2000 г. № 1. С. 131.

2. Калман Р.,Фалб П.,Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., Мир, 1971. 400 с.

3. Галл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. 272 с.

4. Галл А. Линейные последовательностные машины. Анализ, синтез, применения. М., «Наука», 1974. 387 с.

5. Оппенгейм А.В.,Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. 416 с.

УДК 681.325

..

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОЕ КОНВЕЙЕРНОЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Задачи цифровой обработки телевизионных изображений, связанные с распознаванием и с сопровождением объектов, характеризуются высокой скоростью поступления видеоданных (десятки мегабайтов в секунду) и большим объемом . (

), -, .

В докладе предлагается систему обработки изображений организовать по : -налов (Б8Р-процессор) и вспомогательный специализированный конвейерный вы-