Локально-одномерная схема первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности в р-мерном параллелепипеде Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.693

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В Р-МЕРНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

Ф.М. НАХУШЕВА, Н.И. ЛАФИШЕВА

Кабардино-Балкарский государственный университет им Х.М. Бербекова

Рассматривается первая краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности в р-мерном параллелепипеде. Получены априорные оценки для решений локально-одномерных схем (ЛОС). Доказана сходимость построенных ЛОС для рассматриваемых краевых задач для нагруженного уравнения в многомерной области.

Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при изучении движения почвенной влаги, в теории теплопроводности [4 - 7], в задачах управления качеством водных ресурсов [3, с. 26].

Исследованию вопросов существования и единственности решения краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений посвящены работы [4 - 7]. Численным методам решения нагруженных дифференциальных уравнений посвящены работы [1 - 10].

1. Первая начально-краевая задача

_ QT = о х (о,т ] й

В цилиндре 1 , основанием которого является прямоугольный параллелепипед

о = {х = (*!,*2,...,Хр):0 <ха <1а ,а =1,2,...,р} й г

р с границей ^ , рассматривается задача

^ = Ьи + /(х, г), (х, г) е дт дг

и\ г= ° и(х,0) = ио(х) х е о

(1) (2)

Ьи = Е Ьа и> Ьа и =д~ К(х>г )д~" " ^а(х, * )и (х1,...9 ха0..... хр,г )

/ - л

дха

ди

а=1 а V а у

, , - фиксированная точка интервала

Уравнение (1) перепишем в виде

141

На отрезке [0, Т] введем равномерную сетку

={*,■ = ] = 0,15...5 ]0}

с шагом

а

1 а =+—*, а = 1,2,..., р -1 _ 1+- р Каждый интервал разобьем на р частей, введя точки р , и

/

обозначим через Аа полуинтервал

t а-1,^ а ]+— ]+-

v р р .

. Будем последовательно решать уравнения

Раv(a) = 0, х ев, I еАа , а= 1,2,...,р полагая при этом

(3)

У(1)(х,0) =ио(х)

(

V)

Л

X а -1

] +—

V р У

(

= V

(а -1)

Л

XГ а-1

] +—

V р У

, а = 2,3,..., р

^Дх] = v(„)(х,I,), у =1,2,...

V(а) = 0 Х еГ*

Будем называть решением задачи при

t = г

]+1

функцию

v ^+1 )= v( р ) ( х 1 )

[9, с. 522].

А

Аппроксимируя каждое из уравнений (3) номера а на полуинтервале а двухслойной неявной схемой, получим локально-одномерную схему (ЛОС):

а а-1

]+- ] +- /

у. р - у. р г

7'а 7'а

т

аа У.

а

] + -

р

-

а (га +1

у ^ --

У 1а +1

■х„

к

-+

у+рха-хОУл

1; Р а_а

+ У'а°+1

а ]+-

р

(4)

]+-

У

= 0, у = (х,0) = ^(х), а = 1, 2,...,р, ] = 0Х...,]0 -1

Уи,1

(5)

, - множество граничных точек сетки по направлению . 2. Погрешность аппроксимации. Каждое уравнение (4) номера не аппроксимирует

уравнение (1), но сумма погрешностей аппроксимаций

стремится к

т

и

а

ха 1а

141

нулю при Т и 1 И ^0. Характеристикой точности ЛОС является разность

у+1 _ и = +1

. Промежуточные значения У будем сравнивать с и * , полагая

]+-

а а а

]+- ]+~ 1+-р - Л, Р -1, р

2 Р = V р — и Р V р ■7*+!

У . Подставляя в уравнение (4), получим для погрешности 2 задачу

9, с. 523]:

.а . а —1

3+- 3+—

.а .а

3+— 3+—

= Ла2 р + Уа р , а = 1,2,-> р, 3 = 0,1,-)

(6)

2

= 0, 2{ х,0) = 0

И,а

(7)

3+-

Ла 2 р

3+-

аа

Г а „(гао +1) „0 3+а „0 „(1ао )Л

с1;

ха ,1а

V,

3 + ~ X °

р а

ха + 2 р ха ха

И 'а° +1 И

аа

, а . а —1

а а а 3+р 3+ р

3+- 3 + - 3+- и р — и р

Уа р =Лаи р +Фа р — ^-^-

где

Т

(

У а =

Обозначим через Представим

1 ди

V+2

Ьаи + /а — - -д~

р дг .

Уа = О (1), £Уа= 0

и заметим, что

Уа=Уа+Уа

где

Уа =

3'+- 3+

Лаи р — Ьи 2

1 Л

( а а—1

1+- 3+-

+

Фа р — /а V у

1Л

и р — и р 1 (диЛ3+2

+р и.

Так как

и

(1а +1) 0 х о ' — х

а_ а

Иа

т0 — Т(1ао )

а а 0

+ иа +1 ; = и х1,...5 ха ,..., х-

Иа

=и (x1,..., хр, г)+О (И1)

где

то

Таким образом,

, т. е. ЛОС обладает суммарной

а

IX

2 р — 2 р

Т

а

а

о

а=1

Т

а

о

о

141

о (| и |2+-) | и |2= и2 + и22 +...+и2

аппроксимацией , где 1 2 р

Так как для задачи (4) - (5) не имеет место принцип максимума, то априорные оценки будем получать методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (4) скалярно на

У

(уПУ(а))-((«ауха})х,у(а)

+

( (а +1) 0

V ° _ V

(а) _-а

уа

V V

+

где

х0 - „(^)

+ у (а) а а

+у'а°+1 Иа

Л ( а ,у(а) = ч>а р,у(а)

У У

V

]+-

Ы1 -1Ы2-1 Np -1

у(а) = Ур, (и,V)=££.

. У ии г ■ н, н = ПИ

а=1

(8)

(и,и )= ||и

2 г

.¡у ЮИ =П®Иа

а=1

ю

иа = {Ха = 'а иа , 'а =1,2,•••, N.а -1, 1а ' = Иа}

Преобразуем суммы, входящие в тождество (8):

(у?\ у(а) )= 1 (

у

(а)

+-

¿2 Ю )Jt 2

у

(а)

( «а К > ) х , У >

г

аг.

2

¿2(юн)

с

• К() >с 0 [1- К')

= с „

уа}

¿2( юИ )

где

а

а

а

1=1 '2=1 'р=1

В силу разностного аналога теоремы вложения [2] имеем

141

где

к Е (У'а0, Уа0 +1) , V(а) )= Е Н /И а- 2Х Е (уа о, Уа о+1 ), V

V 7 а=1

Р=1, р

<

<С1/аХ Н / Иа IIV

(а)

11с (а)

<

М, р

<о/аЕ Н /Иа гЬ^Иа

Р=1, р (

(.1+ 1Л

V1 гу

(а)

2

Ь2 (а)

Л

= С11а

г || Уа)]|2 + Ь 11 |Ьг(®й)

'1 1л

— + —

/ г

V а Ь

У

(а)

2

^Н)

(1а +1) 0 0 а

(\ т _ г V _V о

У а, У а+1 )= Уаа' +У" ха ха

и«

с(а)' Ь (а) - означают, что нормы берутся по переменной "л'а при фиксированных значениях остальных переменных.

(*аш / р, у (а} )< \

< / р

2 1

+ —

Ь2 Ои) 2

У

,(а)

¿2 ( )

Подставляя полученные оценки при

г=с0/ 2с/ / = тах /а

в тождество (6), получаем

У

3+а / р

¿2(®й)

У'

3+(а—1/ р

+ с0

¿2(®й )

У ха

Т <

¿2(®А )

< С2

У

3+а / р

¿2(тИ )

Т +

Ф

3+« / р

¿2(тИ)

(9)

а =

1,2,...,р; С2 =1 + 2с (1 +2/\/С0 )

Суммируем (9) сначала по

2

р а

2

2

2

2

2

Т

141

+С2 Z||У

a=1

j+a / p

L2(®h)

■ t + Z| lyj+a / p

a=l

L2(®h )

а затем по j от 0 доj:

У

j+1

2

L2(wh)

j P

+co ZtZ

j '=0 a=1

yj+a/ P

у xa

<

L2(®h )

У

2

L2(®h )

+

J P

+c2 ZTZ У

j '=0 a=1

j'+a / p

2

jp

L2(®h)

+

ZtZ К

+a / p

j =0 a=1

2

L2(®h)

(11)

Из (11)следует

j+1

где

У

Fj =

<

j

C 2p Z

t max

L2(®h) j=0 a

У

j + a p

2

L2(®h )

+Fj

У

" ' '+a/ p 2

L2(®h )

+ ztz\w

j'=0 a=1

L2(®h)

(12)

Покажем, что имеет место и такое неравенство:

max

a

У

j+a / p

L2(®h )

< 2

j-1

C2 p Z

V j'=°

t max

У

j '+a / p

L2(®h )

+ Fj

(13)

miax У+/ p В частности, если a L2(®h)

неравенство вида (13).

Возвращаясь к неравенству (9), запишем

У

j+1

L2(®h)

, то из (12) непосредственно следует

(14)

После суммирования (14) по от 1 до будем иметь

141

2

2

T

2

2

2

2

2

а

2

У

3+а /р

<

¿2(тИ )

У

+ С 2 ЕТ

3+а /р

¿2(тИ )

+

+э||ф

а'=1

3+а'/р

Т

¿2(тИ )

Не нарушая общности, будем считать, что

тах

1<а '< р

У

3 +а'/ р

2

Ь2(®И )

У

3 +а / р

2

Ь2(®И)

Тогда из (15) имеем

тах

1<а< р

У

/ р

Р и ,2

Эф3'+а'р

а=1

2

Ь2(®й) Т.

<

У

+ с2 р тах

Ь2(®й) 1<а< р

У

3'+а / р

2

Ь2(®й )

■Т +

Ь2(®й )

Так как из (12) имеем

(16)

. 2 3—1

У3 Ь ( ) <с2рЭТтах

Ь2(®И) 3=0 а

то с помощью (16) находим

У

3' '+а /р

Ь2(®И)

+

тах

а

У

3 +а / р

3—1

< с 2р Э Ттах

3=0

Ь2(аИ) а

У

3' +а / р

Ь2(тИ)

+

+

У

¿2(®И)

3 р 2 + 1тх ф3'+«/р

3'=0 а=1

+

¿2(®И)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

или

141

+

У

2

j p

+

T<T0, T 0

Пусть

тах

а

L2(®h) 1

2c2 p

j +a / p

ZTZh

j'=0 a=1

j '+a / p

2

L2(®h)

, тогда из (17) следует

У'

l2 ( ®h)

< 2

j-1

C2 p Z

v j'=0

т тах

У

j '+a / p

L2 (®h )

+ fj

(18)

max У+/p = gj+1 Обозначим a L2(®h) . Тогда (18) можно переписать в виде

j

gj+1 < 2С2p ZT gk + 2F1

k=1

(19)

С помощью неравенства (19) на основании леммы 4 [8, с. 171] из неравенства (11) находим

У

j+1

L2(®h )

j p + ZtZ

j'=0 a=1

vj '+a / p Xa

<

L2(®h )

< M (t)

f

0

У

2

L2 (®h )

j p 2 + ZtZ\\VJ +a / p

j'=0 a=1

L2(®h)

/

(20)

М (t )>0 , т

где не зависит от и и .

Из оценки (20) следует следующая

Теорема 1. Локально-одномерная схема (4)-(5) устойчива по начальным данным и правой

т

части так, что для решения задачи (4)-(5) при любых И и _ 0 справедлива оценка (20). 3. Сходимость ЛОС. Каждое уравнение (4) номера а в отдельности не аппроксимирует

уравнение (1), но аппроксимирует уравнение (а-1 в обычном смысле, поэтому система разностных уравнений (4) является аддитивной схемой, то есть

Wa=Wa+^^, Wa={PaU)

j+1/2

2

2

a

2

2

141

Заметим, что из оценки (18) нельзя вывести сходимость ЛОС, необходимо получить оценку , учитывающую аддитивность схемы.

_j+a/р _ yj+a/р _ u+a/р

Для погрешности У имеем задачу (6)-(7).

По аналогии с [9, с. 528] представим решение задачи (6)-(7) в виде

z(a) _ V(a) +Л(а), z(a) _ Z

Л (а)

где определяется условиями

^(a) r?(a_1)

л (*, 0) _0

= Wa > * +7h, a

Из (21)-(22) следует, что

лj+1 _л(p) _лj +т (v 1+v2 +... +vp) _л

o o

_... _Л o _ 0

(21) (22)

oo

Л (a) = т(^1 + ^2 + ... +^a ) =°(t)

V,

Функция (a) определяется условиями

V(a) V(a_1) _

AaV(a) +V a' т a a Л(a)

(23)

V(a) _0, * EYh,a > v(*,0) _0

Если существуют непрерывные в замкнутой области Qt производные

(24)

cfu р

—2—Г, a Ф р

то

Для оценки решения задачи (23)-(24) применим теорему 1. Тогда получим

a

Т

o

Т

141

Так как

V =0, _ =0,1,... ща) = 0(т)

, то из неравенства (25) следует оценка

2

^2(ак)

_ Р _'=0 а=1

'+а] р

)

<М (\к |2 +Т )

Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. Пусть решение задачи (1)-(2) имеет непрерывные в производные

д2и с4и

дС'и д2/ ,

д?2 ' дх2 дхр' дх2 дх2

Тогда разностная схема (4)-(5) сходится со скоростью 0(1 к 1 ) ,

3+1 < М(\ к \2 +х)

так что

г

где

_+1 I3 2 _+1 I3

1

2 _ Р

+ 1<Е

_'=0 «=1

¿2(®к)

_ +а! р

ха

2

¿2(®к)

М > 0 не зависит от к и ^

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдуллаев В.М., Аида-заде К.Р. О численном решении нагруженных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. № 9. С. 1585-1595.

2. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. № 6. С. 1218-1231.

3. Анохин Ю.А., Горстко А.Б., Дамешек Л.Ю. и др. Математические модели и методы управления крупномасштабным водным объектом. Новосибирск: Наука. 1987.

4. Бородин А. В. Об одной оценке для эллиптических уравнений и ее приложении к нагруженным уравнениям // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 17-22.

5. Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 77-79.

6. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц . уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 96-105.

7. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 1. С. 86-94.

2

141

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1977.

9. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 1973.

10. Шхануков М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 163-167.

A LOCAL-ONE -DIMENSIONAL SCHEME OF THE FIRST REGIONAL TASK FOR A LADEN EQUATION OF THERMAL CONDUCTIVITY IN P-DIMENSIONAL PARALLELEPIPED

F.M. NAKHUSHEVA, N.I. LAFISHEVA

In this work the first regional task for laden equation of heat conductivity in p-dimensional parallelepiped is considered. The a priori estimates for solving the local-one-dimensional schemes (LOS) were got. Under some certain conditions on the coefficients of the equation the convergence of the built LOS for the concerned region tasks for laden equation in multidimensional region was proved.

Работа поступила 22.12.2008 г.

141