CC BY
13
Локально - неравновесный теплообмен в стержне в условиях
вынужденной конвекции
А.В. Еремин
Самарский государственный технический университет, Самара
Аннотация: На основе теории двухфазного запаздывания разработана математическая модель теплопроводности в стержне произвольного сечения в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой. При выводе дифференциального уравнения, описывающего процесс переноса теплоты в локально - неравновесных условиях, использовалась формула закона Фурье, учитывающая однократную релаксацию как теплового потока, так и градиента температуры. Анализ результатов численных расчетов распределения температуры по длине стержня позволил определить зависимость оптимальной длины стержня от интенсивности теплообмена с его боковой поверхности. Ключевые слова: интенсификация теплообмена, граничные условия третьего рода, пространственно - временная нелокальность, теория двухфазного запаздывания, метод конечных разностей.
В промышленности широко используются различного рода теплообменные аппараты, предназначенные для передачи теплоты от одной среды (газ, жидкость, расплавленный металл и проч.) к другой. Их эффективность характеризуется количеством теплоты, передаваемой через единицу площади в единицу времени, которое зависит от многих факторов: геометрической формы поверхностей (ребра, стержни, шипы, лунки и проч.); физических свойств материала теплообменника и омывающих сред; коэффициентов теплоотдачи, зависящих от скоростей течения сред [1, 2]. С целью интенсификации теплообмена во многих случаях применяются стержни, расположенные перпендикулярно теплопередающей поверхности, преимущество которых состоит в максимальной простоте конструкции. Однако их тепловой расчёт в нестационарных режимах работы связан со значительными трудностями ввиду необходимости решения краевой задачи для дифференциального уравнения, включающего слагаемое, учитывающее конвективный теплообмен стержня с окружающей средой [3].
Особый интерес представляют теплообменные процессы, протекающие в локально - неравновесных условиях. К таким процессам относятся быстропротекающие процессы, продолжительность которых сопоставима с временем релаксации т, а также любые другие процессы, рассматриваемые на весьма малых начальных временных участках [4 - 9].
Рассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности для конечного стержня произвольного сечения в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой с учетом локальной неравновесности (рис. 1). Для этого модифицируем закон Фурье вида q = -XдТ/дх так, чтобы в нем было учтено изменение во времени градиента температуры и теплового потока [6 - 9]
q
X
дТ
д 2ТЛ
+ т-дх дхдн
дн
(1)
Запишем соотношение теплового баланса для элементарного участка стержня, с учетом теплообмена на боковой его поверхности [3]
срБ—АхМ = - Б—АхАн + а1 р(Тср - Т )АхАн, дн дх
(2)
р - периметр; а1 - коэффициент теплоотдачи с боковой поверхности; Б -площадь сечения; Тср - температура среды.
Рис. 1. - Схема теплообмена в стержне Разделим обе части уравнения (2) на срБАхАн
дТ 1 ^ + а1р Т) ^ + —(Тср - Т).
ср дх срБ
(3)
Подставляя (1) в (3), находим
дТ
дг ср дг
Т д(дд \ д2Т + д3Т + ,(Т Т) 1 + а—- + + Ь(Т - Т).
дх
у
дх2
2 дх 2дг
где Ь = (а1 р)/(ср£) - константа; температуропроводности. Выразим из (3) дq / дх
дЧ дТ _+ЬсрТ - Т).
Подставим (5) в (4)
а = X /(ср) -
(4)
коэффициент
(5)
дТ_ ~дг
д 2Т Ь дТ + д 2Т + д 3Т + Ь(Т Т — -тЬ- — + а—т + + Ь(ТСр -Т).
1 дг2
дг дх1
дх 2дг
(6)
Уравнение (6) можно записать в виде
дТ
д 2Т
(1 + т1Ь)— + т1 —^ = а
дг
дг2
(&Т дг2
+ т
д3Т л 2 дх 2дг
+ Ь(Тср - Т).
(7)
Краевые условия для случая, когда на одном из торцов стержня поддерживается постоянная температура (граничные условия первого рода), а на втором торце стержня теплообмен происходит при граничных условиях третьего рода (причем коэффициенты теплоотдачи с боковой поверхности и с торца не равны) имеют вид
Т (х,0) = Т,; = 0; Т (0,1) = Тс
X ЯШ = а(Т - Т), (8)
дг ' дх
где Т0 - начальная температура; Тст - температура стержня при х = 0; а -коэффициент теплоотдачи на торце стержня.
Обозначим:
Ы =
0
а1
т;
Т - Т
ср
Т - Т
10 ср
„ аг х
Бо = —т; ^ = -; Бо, 8 8 1
ат
1 .
Т - Т
В = -ср;
Т -Т
0 ср
В = Ы2/ а; В
82 Т -Т
Бо2
ат2
ср
Т -Т
0 ср
Бо3 = 1 + Ьт1
Задача (7), (8) с учетом обозначений будет
д20 д© д20 д30
Бо1^г + Бо3 — = ^ + --В0; (9)
1 дБо2 3 дБо д£2 д£2дБо
0(£,0) = 1; д©(^,0) = 0; 0(0,Бо) = В; д0(^Ро) + Б10(1,Бо) = 0. (10)
Если положить т1 = т2 = 0, то уравнение (9) приводится к
классическому уравнению для стержня с учетом теплообмена на боковой поверхности
д© д20 о0
-= —- + -В0.
дБо д£2
При решении задачи (9), (10) численным методом введем пространственно - временную сетку с шагами А£, АБо по переменным £, Бо так, что
£г = ¿А£, I = 0,1; Бок = к АБо, к = 0, К , (11)
где I, К - число шагов по координатам £, Бо.
На сетке (11) введем сеточные функции 0, = 0(£ ,Бок) [10].
Используя явную схему аппроксимации, задача (9), (10) может быть записана в виде
0к-1 - 20к + 0к+* 0к+1 - 0к 0к, - 20к + 0к+,
Бо, —-1--— + Бо3 —-- = ^-2-— +
1 АБо2 3 АБо А£2
0к+1 _ 20к+1 + 0к+1 - 0к + 20к - 0к + Бо2 0-1 20 + 0+1 0-1 +20 0+1 - В0к ; (12)
2 А£ 2АБо г
0к - 0к
00 = 0; 00 = 01; 00 = В; 01 ^1 -1 + Б107к = 0. (13)
Результаты решения задачи (12), (13) представлены на рис. 2 - 4.
0,8 ©
0,6 0,4 0,2
0 0,25 0,5 0,75 £ 1,0
Рис. 2. - Распределение температуры в стержне: Бо1 = Бо2 = 0; В = 0,667; В = 160 Анализ результатов численных расчетов распределения температуры по длине стержня позволяет заключить, что при высокой интенсивности теплообмена (Bi > 0,5) часть стержня принимает температуру окружающей среды (см. рис. 2). Так, например, при В1 = 1 безразмерная температура в диапазоне значений 0,6 < £ < 1 равна нулю. При этом тепловой поток в направлении оси стержня на этом участке отсутствует. Таким образом, дальнейшее увеличение длины стержня не приводит к увеличению теплового потока в направлении оси стержня, т.е. существует оптимальная длина стержня, при которой тепловая мощность стержня (шипа, ребра) перестает увеличиваться. На рис. 3 представлена зависимость оптимальной длины £ стержня от В1.
В статье также выполнена оценка влияния коэффициентов релаксации на процесс теплообмена в стержне. На рис. 4 приведены результаты расчетов температуры в неустановившемся процессе теплообмена. Их анализ позволяет заключить, что учет релаксационных свойств оказывает наибольшее влияние на процесс теплообмена в диапазоне временной переменной 0 < Бо < 0,2. С течением времени расхождение результатов расчетов при Бо1 = Бо2 = 0 и Бо1 = Бо2 = 0,1 уменьшается и не превышает 5%.
\\ \\ В1 = 0,1 0.2
2х-- 1 ---
Процесс установления граничных условий первого рода составляет АБо * 0,2.
\ Алгг
°0,4 0,55 0,7 0,85 / 1,0
Рис. 3. - Зависимость оптимальной длины стержня от Ы: Бо1 = Бо2 = 0; В = 0,667; В = 160
У у' Г У
/ / X* ' / А // / / / / / / 0,05 ----------
- —-
/ V / / // / /// / 0.4
Рис. 4. - Распределение температуры в стержне: В = 0,667; В = 0,312; 1 - Бо1 = Бо2 = 0; 2 - Бо1 = Бо2 = 0,1
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) в рамках научного проекта № 18-38-00029 мол а и Совета по грантам Президента РФ в рамках научного проекта МК-2614.2019.8.
Литература
1. Кудинов И.В., Еремин А.В., Сичинава Г.В., Бранфилева А.Н., Ткачев В.К., Курганова О.Ю. Экспериментальное исследование мощности газоводяных теплообменников // Вестник СамГТУ. Серия «Технические науки». Самара, 2017. №2(54). С.146 - 153.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
3. Араманович И.Г, Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.
4. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно - физический журнал. 1965. Т. 9. № 3. С. 287.
5. Liu K.C., Chang P.C. Analysis of Dual-Phase-Lag Heat Conduction in Cylindrical System with a Hybrid Method // Appl. Mathem. Modeling. 2007. V. 31. P. 369.
6. Кудинов В.А., Еремин А.В., Кудинов И.В., Жуков В.В. Критические условия теплового взрыва с учетом пространственно-временной нелокальности // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2018. № 2. С. 100 - 104.
7. Кирсанов Ю.А., Кирсанов А.Ю., Юдахин А.Е. Метод измерения тепловой релаксации в твердом теле // Теплофизика высоких температур. 2018. Т. 56. № 3. С. 446 - 454.
8. Кирсанов Ю.А., Кирсанов А.Ю., Юдахин А.Е. Измерение времени тепловой релаксации и демпфирования температуры в твердом теле // Теплофизика высоких температур. 2017. Т. 55. № 1. С. 122 - 128.
9. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Strongly Nonequilibrium Model of Thermal Ignition with Account for Space - Time Nonlocality // Combustion, Explosion and Shock Waves. 2018. V. 54(6). Pp. 649 -653.
10. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
References
1. Kudinov I.V., Eremin A.V., Sichinava G.V., Branfileva A.N., Tkachev V.K., Kurganova O. Ju. Vestnik SamGTU. Serija «Tehnicheskie nauki». Samara, 2017. №2(54). Pp.146 - 153.
2. Lykov A.V. Teorija teploprovodnosti [Heat conduction theory]. M.: Vysshaja shkola, 1967. 600 p.
3. Aramanovich I.G, Levin V.I. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 1969. 288 p.
4. Lykov A.V. Inzhenerno - fizicheskij zhurnal. 1965. V. 9. № 3. p. 287.
5. Liu K.C., Chang P.C. Appl. Mathem. Modeling. 2007. V. 31. P. 369.
6. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Aviacionnaja tehnika. 2018. № 2. Pp. 100 - 104.
7. Kirsanov Ju.A., Kirsanov A.Ju., Judahin A.E. Teplofizika vysokih temperatur. 2018. V. 56. № 3. Pp. 446 - 454.
8. Kirsanov Ju.A., Kirsanov A.Ju., Judahin A.E. Teplofizika vysokih temperatur. 2017. V. 55. № 1. Pp. 122 - 128.
9. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Combustion, Explosion and Shock Waves. 2018. V. 54(6). Pp. 649 - 653.
10.Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. M.: Nauka, 1978. 512 p.
