CC BY
5
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Научная статья УДК 514.764.2
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-55-64
ЛОКАЛЬНО ИЗОМЕТРИЧНЫЕ РИМАНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Владимир Александрович Попов
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия vlapopov@gmail.com
Аннотация. Изучаются классы локально изометричных римановых аналитических многообразий. Приводится обобщение понятия полноты. Рассматриваются алгебра Ли g всех векторных полей Кил-линга риманова аналитического многообразия, ее стационарная подалгебра fy, односвязная группа Ли G, соответствующая алгебре Ли д, и подгруппа Н, соответствующая подалгебре Ли fy. В случае отсутствия центра в алгебре д вводится понятие квазиполного (сжатого) многообразия. Ориентированноериманово аналитическое многообразие, алгебра векторных полей которого имеет нулевой центр, называется квазиполным, если оно непродолжаемо, не допускает нетривиальных, сохраняющих ориентацию и все векторные поля Киллинга, локальных изометрий в себя. Основное свойство такого многообразия состоит в том, что оно единственно в классе всех локально изометричных римановых аналитических многообразий, и любая локально заданная изометрия этого многообразия М в себя аналитически продолжается до изо-метрии f:M « М.
Для произвольного класса локально изометричных римановых аналитических многообразий приводится определение псевдополного многообразия, которое является полным в случае, если полное многообразие в данном классе существует. Риманово аналитическое односвязное многообразие М называется псевдополным, если оно обладает следующими свойствами: М непродолжаемо, не существует локально изометрического накрывающего отображения f;M^N, где N - односвязное риманово аналитическое многообразие, а f(M) - открытое подмножество в N, не равное N.
Ключевые слова: риманово аналитическое многообразие, алгебра Ли, группа Ли, векторное поле Кил-линга, аналитическое продолжение
Для цитирования: Попов В.А. Локально изометричные римановы аналитические пространства // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 55-64.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
LOCALLY ISOMETRIC RIEMANNIAN ANALITIC SPACES Vladimir A. Popov
Financial University under the Government of Russian Federation, Moscow, Russia vlapopov@gmail.com
Abstract. Classes of locally isometric Riemannian analytic manifolds are studied. A generalization of the concept of completeness is given. We consider the Lie algebra g of all Killing vector fields of a Riemannian analytic manifold, its stationary subalgebra fy the simply connected Lie group G corresponding to the Lie algebra g, and the subgroup H corresponding to the Lie subalgebra fy. In the absence of a center in the algebra g the concept of a quasi-complete (compressed) manifold is introduced. An oriented Riemannian analytic manifold whose vector
© Попов В.А., 2022
field algebra has zero center is said to be quasi-complete if it is non-extendable and does not admit non-trivial orientation-preserving and all Killing vector fields local isometries to itself. The main property of such a manifold is that it is unique in the class of all locally isometric Riemannian analytic manifolds, and any locally given isom-etry of this manifold M into itself can be analytically extended to an isometry f:M « M.
For an arbitrary class of locally isometric Riemannian analytic manifolds, a definition of a pseudocomplete manifold is given, which is complete if a complete manifold exists in the given class. A Riemannian analytic simply connected manifold M is called pseudocomplete if it has the following properties. M is non-extendable. There is no locally isometric covering map f; M^N, where N is a simply connected Riemannian analytic manifold and f (M) is an open subset of N not equal to N.
Keywords: Riemannian analytic manifold, Lie algebra, Lie group, Killing vector field, analytic extension
For citation: Popov V.A. Locally Isometric Riemannian Analytic Spaces. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):55-64. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Уже достаточно давно научно обоснована криволинейность нашего пространства. Его геометрия не подчиняется законам евклидовой геометрии, а определяется общим понятием римано-вой метрики. Однако по локальным свойствам окружающего пространства очень сложно представить глобальное устройство Вселенной в целом. Преобладает мнение, высказанное великим ученым А. Пуанкаре, что по аналогии с поверхностью Земли Вселенная представляет из себя замкнутое (компактное) пространство, обладающее свойством односвязности (т.е. любая (криволинейная) окружность ограничивает «криволинейный» круг на этом пространстве). А. Пуанкаре выдвинул гипотезу, согласно которой замкнутое односвязное трехмерное пространство топологически эквивалентно трехмерной сфере, что приводит к некоторой аналогии строения Вселенной со строением поверхности Земли. В недавнее время чисто математическая гипотеза Пуанкаре была окончательно доказана российским математиком Г.Я. Перельманом.
Помимо топологического подхода возможен аналитический подход к изучению глобальных свойств риманова пространства. Этот подход связан с тем, что риманов тензор задается аналитическими функциями, которые имеют свойство однозначного аналитического продолжения. Рассмотрим риманово аналитическое многообразие М и шар U с М малого радиуса с центром в некоторой точке х0 е М. Под аналитическим продолжением локально заданной метрики будем подразумевать любое риманово аналитическое многообразие N такое, что существует аналитическая изометрия <p.U ^ N. Поставим задачу найти наиболее естественное аналитическое продолжение данной метрики. Естественным требованием является свойство непродолжаемости искомого многообразия, введённого ещё в классических монографиях [1, 2]. Но непродолжаемые многообразия могут быть весьма неестественными. Например, односвязная накрывающая правой
полуплоскости с выколотыми точками (1; к,п е М.
В исследованиях по геометрии римановых пространств в целом, как правило, существенным требованием является полнота рассматриваемого многообразия. Для полного односвязного риманова аналитического многообразия любая изометрия ^.U^V между двумя связными открытыми подмножествами U с М, V с М аналитически продолжается до изометрии ф.М^М [1].
Однако в общем случае шар U риманова аналитического многобразия нельзя изометрически вложить в полное риманово аналитическое многообразие, т. е., вообще говоря, локально заданная риманова метрика аналитически не продолжается до метрики полного риманова многообразия. Возникает вопрос об обобщении понятия полноты. Естественным обобщением такого рода является непродолжаемость риманова аналитического многообразия. Но непродолжаемые многообразия могут быть весьма неестественными.
Зададимся вопросом, можно ли по заданным локальным свойствам римановой аналитической метрики, т.е. метрики, заданной на малом шаре U, построить риманово аналитическое многообразие М, содержащее U в качестве открытого подмножества и допускающее аналитическое про-
должение локальных изометрий до изометрий всего многообразия. То есть любая изометрия (р\ U ^ V между двумя связными открытыми подмножествами U с M, V с M аналитически продолжается до изометрии ф:М ^ М. Непреодолимым препятствием для такого продолжения является следующий факт. Пусть g - алгебра Ли всех векторных полей Киллинга на римановом аналитическом многообразии M и ^сд - её стационарная подалгебра для фиксированной точки р е M X efy ^ Х(р) = 0. Пусть G - односвязная подгруппа, порождённая алгеброй g, H - её подгруппа, порождённая подалгеброй fy. Пусть G действует на односвязном многообразии М, тогда орбита фиксированной точки р е M является подмногообразием, изометричным факторгруппе G/H. Но фактор-группа G/H является многообразием лишь в случае замкнутости подгруппы H в G, а это выполняется не всегда.
Целью данной работы является определение псевдополного многообразия, являющегося наиболее полным аналитическим продолжением произвольной локально заданной римановой аналитической метрики. Изучается её аналитическое продолжение. Рассмотрим случаи вполне неоднородной метрики и метрики, для которой алгебра Ли всех векторных полей Киллинга не имеет центра. В этих случаях дадим определение квазиполного многообразия М, обладающего свойством единственности и продолжаемости всех локальных изометрий f:U —> V, где U, V -связные открытые подмножества многообразия М, до изометрии f:M —> M. Ориентированное риманово аналитическое многообразие, алгебра векторных полей которого имеет нулевой центр, называется квазиполным, если оно непродолжаемо и не допускает нетривиальных, сохраняющих ориентацию и все векторные поля Киллинга, локальных изометрий в себя.
Дадим определение псевдополного многообразия, приводящее к наиболее полному продолжению локально заданной метрики и применимое к произвольной локально заданной метрике. Рима-ново аналитическое односвязное ориентированное многообразие M называется псевдополным, если оно обладает следующими свойствами: M непродолжаемо, не существует локально изометрического, сохраняющего ориентацию, накрывающего отображения f; M ^ N, где N - односвязное риманово аналитическое многообразие, а f(M) - открытое подмножество в N, не равное N. Среди псевдополных многообразий выделим «наиболее симметричные» правильные псевдополные многообразия.
Принципиальным является исследование случая вполне неоднородной римановой метрики, т.е. метрики, не допускающей никаких движений (полей Киллинга) [3, 4]. В этом случае удаётся определить так называемое квазиполное многообразие, обладающее свойством непродолжаемости и единственности для каждой локально заданной вполне неоднородной метрики [4]. Определение квазиполного многообразия удаётся обобщить на случай, когда алгебра Ли всех векторных полей Киллинга для заданной локально определённой римановой аналитической метрики не имеет центра [5, 6]. Такое многообразие M обладает свойством максимально возможной симметрии, т. е. любая изометрия f:U^V между связными открытыми подмножествами многообразия M аналитически продолжается до изометрии f:M^M. Однако квазиполное многообразие обладает не только тем недостатком, что оно определено не для произвольной локально заданной метрики, но оно в определённом смысле не является самым полным. Поэтому далее для произвольной локально заданной римановой метрики мы приведём понятие псевдополного многообразия, исследуем его свойства и связь с квазиполным многообразием.
Основные определения. Вполне неоднородные метрики
Класс всех локально изометричных римановых аналитических многообразий будем называть также классом многообразий, происходящих из данного ростка риманова аналитического многообразия, а конкретное многообразие из этого класса - аналитическим продолжением данного ростка. Естественным требованием к аналитическому продолжению ростка является непродолжаемость полученного многообразия. Перейдем к точным определениям и формулировкам.
Определение 1. Аналитическим продолжением риманова аналитического многообразия M назовём риманово аналитическое многообразие N такое, что существует аналитическое вложение M в N как собственного открытого подмножества. Многообразие, не допускающее аналитического продолжения, называется непродолжаемым.
Определение 2. Локальной изометрией между двумя римановыми аналитическими многообразиями M и N называется изометрия ф-.U^V между открытыми подмножествами U с М,
V с N. Многообразия, между которыми существует локальная изометрия, назовём локально изо-метричными.
Любое векторное поле X е g аналитически продолжается вдоль любой кривой на многообразии М, и тем самым алгебра Ли g определяет алгебру Ли g векторных полей Киллинга на любом односвязном многообразии N, локально изометричном М. Этот факт верен также для многообразий аффинной связности.
Лемма 1. Пусть M - аналитическое многообразие аффинной связности; X - инфинитези-мальное аффинное преобразование, заданное в области U с М, и пусть y(t), 0< t < 1, такая непрерывная кривая в М, что у(0) е U. Тогда векторное поле Х аналитически продолжаемо вдоль у. Если кривые y(t) и 5(t), 0< t < 1, у(0) = 5(0), у(1) = 5(1) = x1, гомотопны, то продолжения векторных полей в точку x1 вдоль этих кривых совпадают.
Доказательство. Предположим, что X аналитически продолжаемо в окрестность любой точки y(t) при 0 < t < t1. Докажем, что X продолжается и в окрестность точки q = y(t1). Пусть
V - нормальная окрестность точки q, являющаяся нормальной окрестностью каждой из своих точек [1]. Рассмотрим t < ^ такое, что р = y(t) е V.
Векторное поле X порождает локальную однопараметрическую группу изометрий в окрестности каждой точки y(t), t < t1. Докажем, что для всех достаточно малых значений s локальные изометрии аналитически продолжаются и в окрестность точки q = у(i^). Тогда векторное поле скоростей этой локальной группы изометрий и будет аналитическим продолжением векторного поля X в окрестность точки q.
Рассмотрим связное открытое множество V0, содержащее точки р и q, замыкание которого также принадлежит V, V0 с V, p,q eV0. Рассмотрим малую окрестность V' с V0 точки q и соединим точку р отрезком геодезической a(t), 0 < t < 1, с произвольной точкой q' е V'. Пусть
V = ^ (0) е ТрМ и ps = Vs(p), Ys = Vs(Y). Из точки ps проведём геодезическую fi(t), 0 < t < 1, такую, что ~^(0) = . При достаточно малых значениях s fi(t) е V0, 0 < t < 1. Положим
VsW) = Р(1). Полученное таким образом отображение и есть аналитическое продолжение изометрии .
Принципиальным является исследование случая вполне неоднородной римановой метрики, т.е. метрики, не допускающей никаких движений (полей Киллинга). Такие метрики изучались в [3]. В работе [4] дается определение квазиполного многообразия, обладающего свойством непродолжаемости и единственности для каждой локально заданной вполне неоднородной метрики.
Определение 3. Риманово аналитическое многообразие называется вполне неоднородным многообразием, если на нём не существует векторных полей Киллинга. Риманову метрику вполне неоднородного многообразия назовём вполне неоднородной метрикой.
По лемме 1 все многообразия, локально изометричные вполне неоднородному многообразию, являются вполне неоднородными.
Определение 4. Вполне неоднородное ориентированное риманово аналитическое многообразие называется квазиполным, если оно непродолжаемо и не допускает нетривиальных, сохраняющих ориентацию, локальных изометрий в себя.
Приведём основные свойства вполне неоднородных квазиполных многообразий [4]. Для произвольного вполне неоднородного многообразия M рассмотрим множество S с M всех неподвижных точек, сохраняющих ориентацию локальных изометрий многообразия M в себя.
Теорема 1. Для произвольного вполне неоднородного риманова аналитического многообразия М' множество S с М' является аналитическим подмножеством коразмерности не меньше, чем 2. Следовательно, M' \ S является связным многообразием.
Теорема 2. Для любого вполне неоднородного риманова аналитического многообразия М' существует локально изометричное ему квазиполное многообразие M и локально изометрическое накрывающее отображение f:M'\S —> M. Таким образом, квазиполное многообразие обладает свойством единственности для каждой вполне неоднородной локально заданной римано-вой аналитической метрики.
Метрики с нулевым центром алгебры всех векторных полей Киллинга
Определение квазиполного многообразия удаётся обобщить на случай, когда алгебра Ли всех векторных полей Киллинга для заданной локально определённой римановой аналитической метрики не имеет центра. Таковыми являются и многие локально однородные многообразия, в частности, все локально симметрические пространства. Локально однородные многообразия изучались в работах [5, 6].
Определение 5. Ориентированное риманово аналитическое многообразие, алгебра Ли всех векторных полей которого имеет нулевой центр, называется квазиполным, если оно непродол-жаемо и не допускает нетривиальных, сохраняющих ориентацию и все векторные поля Кил-линга, локальных изометрий в себя.
Исследуем ориентированные римановы аналитические многообразия, алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которых не имеет центра, с целью доказать, что каждое такое многообразие локально изометрично квазиполному многообразию, а локально однородное квазиполное многообразие является полным однородным многообразием.
Обозначим через Z(M) псевдогруппу всех сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга локальных изометрий риманова аналитического многообразия М, (р Е Z(M) ^ УХ Е g ср(Х) = X.
Лемма 2. Пусть М - риманово аналитическое многообразие, удовлетворяющее свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга, и алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которого не имеет центра. Тогда множество ScM, состоящее из неподвижных точек всевозможных изометрий (р Е Z(M), является аналитическим подмножеством коразмерности не меньше, чем 2.
Доказательство. Докажем, что для любого открытого множества U c М с компактным замыканием имеется только конечное число локальных изометрий из U в себя, принадлежащих псевдогруппе Z(M). Предположим противное и рассмотрим бесконечную последовательность локальных изометрий (pi Е Z(M), область определения и множество значений которых лежат в U. При доказательстве [4, лемма 3] по бесконечной последовательности локальных изометрий (pt на некотором открытом множестве V c U было построено векторное поле Киллинга X, которое при переходе к подпоследовательности удовлетворяет условию: Vt, |t| <1, Vi е N, 3k(i) е N и k(i)
lim = ExptX, где ExptX - локальная однопараметрическая группа изометрий, порожден-
i—>ю 1
ная векторным полем X. Следовательно, для любого векторного поля Y на V 3 i Е N такое, что выполняется неравенство
<
l(ExptX),Y -Yl< \(p*(i)Y -y\ + \(ExptX),Y - (p*(i)Y
<0 +
Y - (Exp(-tX))(p«(l)Y < 1 l(ExptX)^Y - Y|.
Следовательно, УУ е д (ЕхрЬХ)^ = У, т.е. [X, У] = 0. Но это противоречит отсутствию центра в алгебре д.
Полученное противоречие доказывает существование только конечного числа локальных изометрий из и в и, принадлежащих псевдогруппе Z(M). А отсюда, как было показано в [5], уже легко следует тот факт, что множество 5 является аналитическим подмножеством коразмерности не меньше, чем 2.
В силу леммы 2 многообразие М \Б связно.
Лемма 3. Пусть М - риманово аналитическое многообразие, удовлетворяющее свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга, и алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которого не имеет центра. Тогда существует локально изометрическое накрывающее отображение из М \Б в риманово аналитическое многообразие Мг, также удовлетворяющее свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга, и псевдогруппа которого состоит
только из тождественного преобразования.
Доказательство. Профакторизуем многообразие М\Б по псевдогруппе Z(M). Из доказательства леммы 2 следует, что для каждой точки х е М \Б существует окрестность и1х с М \Б точки х, которая не допускает нетождественных, сохраняющих ориентацию, локальных изометрий в себя, принадлежащих псевдогруппе Z(M). Это доказывает, что фактор-отображение п, проектирующее многообразие М \Б во множество М1 = М \S/Z(M), является накрывающим
отображением. Значит, для каждой точки х е М существуют такая ее окрестность Ux с М1 и такое открытое множество Vx с n-1(Ux), что отображение п устанавливает гомеоморфизм между множествами Vx и Ux. Определим риманово скалярное произведение. Сузив, если необходимо, множество Vx с М \S, будем считать, что Vx является координатной окрестностью точки у е n-1(Ux) с M\S. Тогда объявим множество Ux с М1 координатной окрестностью точки х е М1. Рассмотрим две такие окрестности: U1, U2 с М1, U1 П U2 Ф 0. Заметим, что соответствующие множествам U1, U2 множества V1,V2 с M\S могут и не пересекаться. Положим n-1(U1 П U2) ПУ1 = У10, n-1(U1 П U2) nV2 = V20. Тогда существует изометрия a: V10 « У20. Пусть и ^2 - координатные отображения на V-^ и V2 соответственно. Тогда п-1 и ^2п-1 будут координатными отображениями на U1 и U2.
Пусть х е М1 - произвольная точка и X,Y е ТХМ1 - произвольные векторы. Рассмотрим какую-нибудь точку у е п-1(х) с М \S и векторы Х1, Y1 е ТуМ такие, что п*Х1 = X, n*Y1 = Y. Определим риманово скалярное произведение {X, Y) равным имеющемуся на ТХМ риманову скалярному произведению {Х1, Y^. Если взять другую точку z е п-1(х) и векторы Х2, Y2 е TZM такие, что п*Х2 = X, n*Y2 = Y, то существует локальная изометрия ф е Z(M) такая, что = у, <р*Х2 = Х1, <p*Y2 = Y1. Следовательно, {Х1, Y1) = {X2,Y2). Это доказывает корректность определения римановой метрики на М1.
Построенное риманово многообразие М1 не допускает нетождественных, сохраняющих ориентацию, локальных изометрий, индуцирующих тождественное преобразование на алгебре векторных полей Киллинга д. Проекция п: М \ S —> М1 является локально изометрическим накрывающим отображением. Остается доказать свойство однозначного продолжения векторных полей Киллинга на М1. Рассмотрим векторное поле Киллинга X, заданное на некотором открытом множестве U с М1, и такие открытые множества U0 с U и V0 с М \ S, что накрывающее отображение п устанавливает изометрию между множествами V0 и U0. Тогда векторное поле п-1Х однозначно продолжается с множества V0 с М на все многообразие М и задает векторное поле Y на М. Пусть точки y,z е M\S таковы, что п(х) = п(у) и n*Y(z) = n*p*Y(y). Так как п • ф = п по определению п, то = п* Следовательно, n*Y(z) = n*p*Y(y) = n*Y(y). Это доказывает,
что отображение п однозначно проектирует векторное поле Y, заданное на М, на векторное поле n*Y, заданное на многообразии М1. Полученное векторное поле n*Y и будет аналитическим продолжением векторного поля X на все многообразие М1.
Теорема 3. Произвольное риманово аналитическое многообразие М, алгебра Ли векторных полей Киллинга которого не имеет центра, локально изометрично квазиполному многообразию.
Доказательство. Рассмотрим произвольное риманово аналитическое многообразие М', алгебра Ли векторных полей Киллинга которого не имеет центра. Многообразие М1, построенное при доказательстве леммы 3, не допускает локальных изометрий в себя, сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга. Тогда квазиполным многообразием М будет некоторое максимальное аналитическое продолжение многообразия М1. Будем считать, что все многообразия, которые мы будем рассматривать при доказательстве теоремы, обладают свойством однозначного аналитического продолжения векторных полей Киллинга, т.е. алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которого одинакова для всех многообразий и равна д. Если М' удовлетворяет этому свойству, то и многообразие М1 ему удовлетворяет.
Рассмотрим множество Л, состоящее из аналитических продолжений Ма многообразия М1, удовлетворяющих свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга и не допускающих локальных изометрий, тождественных на алгебре всех векторных полей Киллинга. Снабдим многообразие М1 отмеченной точкой и отмеченным репером в отмеченной точке, а образы этой точки и этого репера отметим в многообразиях Ма е Л. Введем на этом множестве следующее отношение порядка: Ма < Mß, если существует изометрическое вложение iaß: Ма ^ Mß, переводящее отмеченную точку в отмеченную и отмеченный репер в отмеченный. В результате Л становится частично упорядоченным множеством. Рассмотрим произвольное линейно упорядоченное подмножество Д множества Л. Построим прямой предел семейства многообразий Ма е А и отображений iaß. Получим многообразие М0, обладающее следующими свойствами: для любого многообразия Ма е Д существует изометрическое вложение ia: Ма ^ М0, причем ia(Ma) с iß(Mß), если Ма < Mß. М0 = Uмаед(Ма). Докажем, что М0 е Л. Произвольное векторное поле X на мно-
гообразии Мг при помощи вложений i1a: М1 ^ Ма и ia: Ма ^ М0 переносится на многообразие 1а(Ма) с М0, причем (ia • i1a)*X = (ip • i-^p^X на 1а(Ма) П 1р(Мр), а векторное поле Киллинга ( ia • i 1а)Л однозначно продолжается с подмногообразия 1а(Ма) с М0 на любое подмногообразие 1р(Мр) с М0, Мр > Ма, т.е. на все многообразие М0. Таким образом, векторное поле Киллинга, заданное на произвольно малом открытом множестве U с М0, однозначно продолжается до векторного поля Киллинга на М0.
Рассмотрим теперь локальную изометрию р £ Е(М0). Пусть точка х0 £ М0 принадлежит области определения изометрии р. Тогда точки х0 и р(х0) лежат в некотором подмногообразии 1а(Ма) с М0. Следовательно, р £ 2(1а(Ма)). Поэтому р является тождественным преобразованием. Значит, псевдогруппа Z^ç,) состоит только из тождественного преобразования. Итак, для произвольного линейно упорядоченного подмножества Ас Л мы построили верхнюю грань. По лемме Цорна множество Л имеет максимальный элемент. Мы утверждаем, что многообразие М, являющееся таким максимальным элементом, будет искомым квазиполным многообразием. Требуется доказать, что М непродолжаемо.
Предположим противное и обозначим через N нетривиальное продолжение многообразия М. Пусть S с N обозначает множество неподвижных точек всевозможных локальных изометрий из псевдогруппы Z(N). Точно так же, как и при доказательстве леммы 3, было профакторизовано многообразие М \ S, профакторизуем многообразие N \ S. В результате получим многообразие L, удовлетворяющее свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга и не допускающее локальных изометрий, сохраняющих ориентацию и все векторные поля Киллинга. Обозначим через i вложение иМ ^ N. Докажем, что 1(М) П S = 0. Если х £ 1(М), то и некоторый нормальный шар В с центром в х принадлежит ¿(М). Если, кроме того, х £ S, то существует локальная изометрия р £ Z(М), удовлетворяющая условию р(х) = х. Эта изометрия определяет изометрию шара В в себя, заданную в нормальных координатах линейным отображением -дифференциалом изометрии р. Но существование такой изометрии противоречит тривиальности псевдогруппы Z(М). Таким образом, i дает вложение i: М ^ N\S. Сквозное отображение n• 1:М ^ L, где n: N \S ^ L, построенное при доказательстве леммы 3 накрывающее отображение, является также вложением. Если n • 1(х) = n • г (у), то существует локальная изометрия р £ Z(М) такая, что р(х) = р(у). Следовательно, х = у. В силу того, что М - максимальный элемент множества Л, n • i является изометрией, и N \ S накрывает М.
Имеем накрывающее отображение n: N \S ^ М и вложение иМ ^ N \ S, причем 1(М) открыто в N \ S. Пусть имеется последовательность точек хп £ 1(М), сходящаяся кх £ N \ S. Тогда последовательность уп = п(хп) также сходится к некоторой точке у £ М. Но так как хп = Куп), то х = 1(у) £ 1(М). Это доказывает замкнутость 1(М) в N \ S. Итак, N \ S несвязно или N \S = М. Но несвязность N \ S противоречит лемме 2. Поэтому N \S = М. Докажем, что S = 0. Предположим противное и рассмотрим нормальный шар В с центром в некоторой точке х £ S с N. Существует нетривиальная изометрия шара В в себя. Эта изометрия не оставляет неподвижными точки из В \ S и поэтому является нетождественной локальной изометрией из псевдогруппы Z( N \ S). Но так как N \ S = М, то это противоречит тривиальности псевдогруппы Z(М). Это доказывает, что S = 0, N = М и М непродолжаемо.
Теорема 4. Пусть р - локальная изометрия из квазиполного многообразия М в квазиполное многообразие N. Тогда р продолжается до изометрии ф:М ^ N.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х £ М и гладкую кривую y(t), 0 < t < 1, y(0) £ О(р) с М, y(1) = х. Докажем, что изометрию р, заданную в окрестности U = О(р) с М точки х0 = y(0), можно продолжить вдоль кривой y. Предположим, что такого продолжения не существует. Рассмотрим минимальное число t1 £ [0; 1] среди чисел t таких, что изометрия р не продолжается в окрестность точки y( ) вдоль кривой y. Докажем тем не менее, что вопреки предположению, продолжение р на некоторую окрестность точки y(t^) вдоль кривой y существует.
В силу предположения, сделанного относительно t1, V t £ [0; t1), изометрия р определена в некоторой окрестности точки y(t). Так что на N определена кривая S(t) = р(у(0), 0 < t < t1. Пусть х1 = y(t{) и £ > 0 таково, что окрестность U£ = {х £ М,р(х; х1) < г] является нормальной окрестностью каждой из своих точек. Так как Vу £ Nи Vs0 >0 За такое, что Vt',t'' £ [0; t{) при условии 1^ — t'I < a,lt1 — t''l < а выполняются неравенства
tff _ tff _
Hy;S(t'))-p(y,8(t"))l<p(8(t'y,8(t"))<ftl J(S'(ty,8'(t))dt=ft J(Y'(ty,Y'(t))dt<e0,
то Чу е N существует lim р(у; S(t)) = р1(у). Рассмотрим множество VE = [у е N1 р1(у) < £}.
v J
Существует изометрия ^ = ф-1 некоторой окрестности VD с V£ множества D = [у е NI у = S(t), t2 < t < i1} на окрестность UD с U£ множества В = [х е MI х = y(t), t2 < t < i1}. Докажем, что ^ можно продолжить до изометрии тр: V£ ^ U£. Докажем сначала, что тр можно продолжить вдоль любой кривой v(s), 0 < s < 1, на V£, v(0) е VD, v(1) = y - произвольная точка на V£. Если предположить, что это не так, то существует минимальное число s1 среди чисел и е [0; 1], обладающих свойством: ^ не продолжается вдоль кривой v(s) в какую-нибудь окрестность точки v(u). Пусть о > 0 и s2 < s-^ таковы, что множество Ва = {у е NI р(у; v(s2)) < о} является нормальной окрестностью точки v(s2) и p(v(s2); v(s1)) < Следовательно, v(s1) е Ва. Используя линейность отображения ^ в нормальных координатах, можно продолжить изометрию определенную на некоторой окрестности точки v(s2), до изометрии определенной на всем множестве Ва, являющимся окрестностью точки v^). Это опровергает предположение о непродолжаемости тр вдоль кривой v(s).
Докажем теперь, что продолжение изометрии тр вдоль всевозможных кривых на V£ дает однозначное отображение ^:V£ ^ U£. Предположим противное. Тогда существует замкнутая жорда-нова кривая v(t), 0 < t < 1, v(0) = v(1~), на V£ такая, что кривая fi(t) = ^(v(t)) на U£ будет незамкнутой, fi(0) Ф Р(1). Но так как всевозможные аналитические продолжения изометрии ^ индуцируют одинаковые отображения на алгебре векторных полей Киллинга, то изометрия вида ^ • ~ф-1, переводящая fi(0) в fi(1), принадлежит псевдогруппе Z(M), а это противоречит тому, что M является квазиполным многообразием. Аналогично доказывается, что продолжение локальной изометрии ф = ■ф-1 из U£ в V£ задает однозначное отображение на множестве ф(У£) с U£. Итак, имеем изометрическое вложение тр:V£ ^ U£. Докажем, что оно является сюръ-ективным отображением. Если предположить противное, то, склеив многообразия N и U£ c помощью отображения получим нетривиальное продолжение многообразия N, что противоречит его непродолжаемости. Следовательно, имеем изометрию ^:V£ ^ U£. Обратная изометрия ^>-1: U£ ^ V£ дает продолжение изометрии ф на окрестность U£ точки y(t1) вдоль кривой у вопреки первоначальному предположению относительно t1.
Таким образом, мы доказали, что локальная изометрия ф из M в N продолжается в любую точку х е M вдоль произвольной кривой на М. Точно так же, как выше мы доказали, что продолжение изометрии ^ вдоль всевозможных кривых на V£ дает взаимно однозначное отображение, определенное на всем V£, доказывается, что продолжение ф вдоль всевозможных кривых на M дает изометрическое вложение ф:М ^ N.
Следствие 1. Произвольное риманово аналитическое многообразие, алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которого не имеет центра, локально изометрично единственному квазиполному многообразию. То есть локально заданная риманова аналитическая метрика, алгебра Ли векторных полей Киллинга которой не имеет центра, единственным образом продолжается до квазиполного многообразия.
Доказательство. Пусть квазиполное многообразие M локально изометрично многообразию M' и N - другое квазиполное многообразие, локально изометричное многообразию M'. Тогда существуют локальная изометрия ф из N в M' и локальная изометрия тр из M' в М. Суперпозиция изометрий ф и ^ является локально изометрией из N в М. По теореме 4 локальная изометрия ^ • ф продолжается до изометрии M ^ N. Что и требовалось доказать.
Следствие 2. Пусть g - алгебра Ли всех векторных полей Киллинга в римановом аналитическом многообразии M', диффеоморфном шару, а fy - ее стационарная подалгебра. Пусть G - од-носвязная группа, порождённая алгеброй g, H - её подгруппа, порождённая подалгеброй fy. Если g не имеет центра, то H замкнута в G.
Доказательство. Так как M' диффеоморфно шару, его векторные поля Киллинга аналитически продолжаются на нем однозначно. По теореме 3 многообразие M' локально изоморфно квазиполному многообразию М, имеющему ту же самую алгебру Ли g всех векторных полей Киллинга и ту же самую стационарную подалгебру fy. Для произвольного векторного поля X е g при всех значениях параметра t меньше некоторого числа S, элементы однопараметрической
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
группы преобразований ЕхрЬХ являются локальными изометриями многообразия М. По теореме 4 они продолжаются до изометрий всего многообразия М. Но тогда определены изометрии ЕхрпЬХ = (ЕхрЬХ)71. Таким образом, группа в действует на М, а Н является ее стационарной подгруппой. Это означает, что орбита группы в на М накрывается однородным многообразием в/Н. Следовательно, Н замкнута в в.
Отметим, что квазиполное многообразие является наиболее сжатым, т.е. универсально притягивающим объектом в категории всех локально изометричных многообразий. Для любого рима-нова аналитического многообразия М', алгебра векторных полей Киллинга которого не имеет центра, существует локально изометрическое отображение из М' \ 5' в квазиполное многообразие М, определенное на всем М' \ 5', где 5' - множество неподвижных точек всех сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга локальных изометрий многообразия М'.
Заключение. Псевдополные римановы аналитические многообразия
Квазиполное многообразие единственно в классе всех аналитических продолжений данного ростка и обладает рядом замечательных свойств. Прежде всего, свойством максимальной симметрии, т. е. любая локальная изометрия f: и ^ V из квазиполного многообразия М в себя аналитически продолжается до изометрии f:M^M. Однако понятие квазиполного многообразия обладает не только тем недостатком, что оно определено не для всех локально заданных рима-новых аналитических метрик, но оно также не является в определённом смысле «самым полным». А именно существует росток риманова аналитического многообразия, допускающий продолжение до полного многообразия, каноническое продолжение которого до квазиполного не является полным многообразием.
Пример 1. Рассмотрим эллипсоид в трёхмерном пространстве, заданный уравнением
X2 2 2,2
^ + ^ + 1. Для того чтобы получить квазиполное многообразие в классе всех римановых аналитических многообразий, локально изометричных эллипсоиду, необходимо выбросить из эллипсоида 6 точек пересечения с осями координат и профакторизовать полученное многообразие по группе вращений на 180° вокруг всех осей координат.
Дать обобщение понятия полноты, приводящее к «самому полному» многообразию для произвольного ростка риманова аналитического многообразия, оказывается возможным.
Определение 6. Риманово аналитическое односвязное многообразие М называется псевдополным, если оно обладает следующими свойствами:
1. М непродолжаемо.
2. Не существует локально изометрического накрывающего отображения f;M^N, где N -односвязное риманово аналитическое многообразие; f(M) - открытое подмножество в N, не равное N.
Если росток риманова аналитического многообразия допускает аналитическое продолжение до полного многообразия, то псевдополное многообразие будет единственным для данного ростка и полным односвязным многообразием. Однако в общем случае продолжение до псевдополного многообразия далеко не единственно. Выделим среди псевдополных многообразий наиболее симметричные.
Определение 7. Риманово аналитическое односвязное многообразие М называется правильным псевдополным многообразием, если не существует накрывающего локально изометрического отображения f: М \ 5 ^ N в другое псевдополное многообразие N, локально изометричное многообразию М.
Правильные псевдополные многообразия определены и существуют в любом классе локально изометричных римановых аналитических многообразий, алгебра Ли всех векторных полей которых не имеет центра - множество неподвижных точек всех сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга локальных изометрий многообразия М в себя). Такое многообразие не единственно в данном классе, но любая локальная изометрия из правильного псевдополного многообразия в себя аналитически продолжается до изометрии f:M^M.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Список источников
1. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. 534 с.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии : в 2 т. М.: Наука, 1981. Т. 1. 414 с.
3. Smith G.H. Analytic extension of Riemannian manifolds // Bull. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 18. Р. 147— 148.
4. Попов В.А. Аналитическое продолжение локально заданных римановых многообразий // Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 4. С. 559-570.
5. Popov V.A. On the Extendability of Locally Defined isometries of a Pseudo-Riemannian Manifolds // J. of Mathematical Sciences. 2016. Vol. 217, № 5. Р. 624-627.
6. Popov V.A. On Closeness of Stationary Subgroup of Affine Transformation Groups // Lobachevskii J. of Mathematics. 2017. Vol. 38, № 4. Р. 724-729.
References
1. Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. Moscow: Mir Publ.; 1964. 534 p. (In Russ.).
2. Kobayashi Sh., Nomizu K. Foundations of differential geometry: in 2 vol. Moscow: Nauka Publ.; 1981. Vol. 1. 414 p. (In Russ.).
3. Smith G.H. Analytic extension of Riemannian manifolds. Bull. Austral. Math. Soc. 1978;18:147-148.
4. Popov V.A. Analytic Extension of Locally Given Riemannian Manifolds. Mat. zametki = Mathematical Notes. 1984;38(4):559-570. (In Russ.).
5. Popov V.A. On the Extendibility of Locally Defined isometries of a Pseudo-Riemannian Manifolds. J. of Mathematical Sciences. 2016;217(5):624-627.
6. Popov V.A. On Closeness of Stationary Subgroup of Affine Transformation Groups. Lobachevskii J. of Mathematics. 2017;38(4):724-729.
Информация об авторе
В.А. Попов - кандидат физико-математических наук, доцент департамента математики.
Information about the author
V.A. Popov - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor of Department of Mathematics.
Статья поступила в редакцию 22.07.2022; одобрена после рецензирования 10.08.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 22.07.2022; approved after reviewing 10.08.2022; accepted for publication 15.11.2022.
