Локальная предельная теорема для ветвящихся случайных систем Гальтона–Ватсона с иммиграцией и бесконечной дисперсией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 67

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELING

Научная статья УДК 519.218.2 doi: 10.17223/19988605/67/3

Локальная предельная теорема для ветвящихся случайных систем Гальтона-Ватсона с иммиграцией и бесконечной дисперсией

Аъзам Абдурахимович Имомов1, Эркин Эгамбердиевич Тухтаев2

12 Каршинский государственный университет, Карши, Узбекистан

1 imomov_azam@mail. ru

2 [email protected]

Аннотация. Рассматривается стохастическая модель развития популяции, которая представляет собой критическую случайную ветвящуюся систему Гальтона-Ватсона с иммиграцией. Рассмотрен случай, когда математическое ожидание закона притока частиц-иммигрантов и дисперсия закона размножения частиц-аборигенов имеют бесконечные значения. Исследованы асимптотические свойства вероятностей перехода в случае, когда состояния системы невозвратны. Для этого случая установлена локальная предельная теорема.

Ключевые слова: стохастическая модель популяции; ветвящиеся системы; иммиграция; переходные вероятности; медленно меняющаяся функция; предельные теоремы.

Для цитирования: Имомов А.А., Тухтаев Э.Э. Локальная предельная теорема для ветвящихся случайных систем Гальтона-Ватсона с иммиграцией и бесконечной дисперсией // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 67. С. 22-30. doi: 10.17223/19988605/67/3

Original article

doi: 10.17223/19988605/67/3

Local limit theorem for branching random Galton-Watson systems with immigration and infinite variance

A'zam A. Imomov1, Erkin E. Tukhtaev2

12 Karshi State University, Karshi, Uzbekistan

1 imomov_azam@mail. ru

2 [email protected]

Abstract. The paper considers a stochastic population growth model, which is the critical Galton-Watson stochastic branching system allowing immigration. We consider the case when the mathematical expectation of the law of influx of immigrant particles and the variance of the law of reproduction of aboriginal particles have infinite values. The asymptotic properties of transition probabilities are studied in the case when the states of the system are irreversible. For this case, a local limit theorem has been established.

Keywords: stochastic population model; branching system; immigration; transition probabilities; slow variation; limit theorems.

For citation: Imomov, A.A., Tukhtaev, E.E. (2024) Local limit theorem for branching random Galton-Watson systems with immigration and infinite variance. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 67. pp. 2230. doi: 10.17223/19988605/67/3

© А.А. Имомов, Э.Э. Тухтаев, 2024

Введение

В работе мы рассматриваем известную стохастическую модель развития популяции, называемую ветвящейся случайной системой Гальтона-Ватсона (Г-В) с иммиграцией. Эволюция этой системы происходит по следующей схеме. Вначале система пуста. В некоторый момент времени начинается приток однотипных частиц в систему из фиктивного источника, управляемый дискретным случайным законом \hj,j е N(||. здесь N0 := ¡0} UN и N - множество натуральных чисел. Каждая частица

в любой момент времени п е N независимо от своей предыстории и от числа существующих частиц производит частиц j е N0 с вероятностью р;-. Одновременно продолжается приток иммигрантов по

закону \hj,j eN0j. Частицы, попадающие в систему, претерпевают дальнейшие изменения в соответствии с распределением вероятностей j Pj j . Таким образом, эволюция системы происходит в соответствии с случайными законами j Pj j и jhj j . Обозначив Xn количество частиц в системе Г-В с иммиграцией в момент времени п, мы можем записать следующее рекуррентное соотношение:

^0=0, + (1) где £,nk и -цк - независимые случайные величины с распределением вероятностей P j^nk = jj = Pj и Р{цк — / j = hj соответственно для произвольного A; G N. С этого момента мы предполагаем, что

р0> 0, т:= S jPi<°° и X /г,-= 1.

Последовательность числа поколений j Xn j образует однородно-дискретную во времени неразложимую цепь Маркова с пространством S с N0 состоящим из одного класса сообщающихся состояний. Введем в рассмотрение производящие функции

h(s):= X hjSJ и f(s):— S Pi$J для se[0,1).

Обозначим Py вероятности перехода системы jXn } из состояния i е S в состояние j е S за один шаг. Тогда из (1) следует, что эти вероятности равны коэффициентам при si в разложении в степенной ряд функции h(s) ( f (s) )г. Введем в рассмотрение переходные вероятности состояний системы за n шагов

Pip := P {Xn+k = j\Хк = ij = p {Xn = j\X0 = ij

для любого к e N. Стандартные аналитические вычисления показывают, что соответствующая производящая функция имеет следующий вид:

... . . ■ п—1

VX\sy.= z PΰsJ = (/„(*))' п h(fk(s)), (2)

jeS к=0

где функция fn(s) представляет собой n-кратную итерацию производящей функции f (s), т.е. fn+1(s) = f (fn (s)) = fn (f (s)) (см.: [1]). Таким образом, вероятности j pin j полностью определяются

вероятностями {Pj j и jhj j . Учитывая представление (2), нетрудно вычислить математическое ожидание

ЕгХп =Hjpf =

jeS

а .) n а

+ i m--если m Ф1,

m -1 ) m -1 an + i если m = 1,

где а = И'(1-). Отсюда видно, что классификация состояний цепи | Хп} зависит от значения параметра т = /' (1-) - среднего числа потомков одной частицы. Система {Хп} называется докритической,

критической и надкритической, если т < 1, т = 1 и т > 1 соответственно.

Вышеописанный популяционный процесс называем системой Г-В с иммиграцией. Она впервые была рассмотрена С. Хиткотом [2] в 1965 г. До этого, в 1957 г., Б. Севастьяновым [3] введено понятие и начато исследование ветвящихся случайных систем с иммиграцией в непрерывном случае. После публикации С. Хиткота [2] модель Г-В с иммиграцией стали исследовать многие известные ученые. В частности, задачу существования инвариантных мер относительно переходных вероятностей р^ и свойства состояний пространства 5 при бесконечном росте времени изучали Е. Сенета [4, 5], А. Пэйкс [6, 7]. В этих и в большинстве работ того периода в основном требовались моментные условия более высокого порядка для законов превращения |р | и иммиграции частиц |Иу} .

Однако в работе [8], опубликованной В. Золотарёвым в 1957 г., были установлены принципиально новые результаты для марковских ветвящихся систем с непрерывным временем в обход условия конечности моментов целого порядка. Эта работа является одной из первых, в которых эффективно используется концепция теории медленно меняющихся (ММ) функций в смысле Карамата. Перспективность подхода В. Золотарёва подтвердилась в дальнейших исследованиях Р. Слэйка [9] и Е. Сенеты [10] в случае процессов Г-В без иммиграции и в работах А. Пэйкса [11, 12] для системы Г-В с иммиграцией (см. также: [13-18]).

1. Вспомогательные результаты

Рассмотрим критический случай. А. Пэйкс [12] доказал следующую теорему. Теорема P1 [12. Р. 80]. Если т = 1, тогда

где ф(у) - убывающая ММ-функция. Если

£[(1 - И (/т (0) ))(1 - / (/т (0))]«х>,

т=0

тогда

{п) г [Л><°> 1пИ(у) , )

Роо ~ ехР 1 I "77^-<*У\ припаю.

{ о /(у)-у \

Здесь K и ^ - не имеющие явного вида абсолютные константы.

Допускаем, что производящая функция / (я) имеет следующий вид:

для 5е[0,1), где 0 < v < 1 и С(х) - ММ-функция на бесконечности. Наличие условия [/у] влечет 2Ь := /"(1_) = 00, а в случае 0 < Ь < со это условие имеет место с v = 1 и —>Ь при £ —»со . Также предполагается, что производящая функция И( я) закона притока частиц-иммигрантов допускает следующее представление:

1 - И(я) = (1 - я)51 [И5]

для я е[0,1), где 0<5< 1 и I(х) - ММ-функция на бесконечности.

В упомянутой выше работе А. Пэйкса [12] было выделено следующее асимптотическое разбиение пространства состояний в зависимости от соотношений параметров v и 5: если 5 > v , то 5 эрго-дично, если 5<у и 5(1 + у)>у,то £ нуль возвратно, а если 5(1 + у)<у,то £ невозвратно.

В работе авторов [19] рассматривался случай 5 > v , ив этом случае утверждения Теоремы Р1 были улучшены путем наложения дополнительных условий на функции С{х) и 1{х). Там же найдено

асимптотическое представление производящей функции для всех .у е [0,1 ]. Ниже приводятся

условия, принятые в статье [19]. Поскольку С(х) - ММ-функция на бесконечности, то С(Хх)/С(х) —>1 при х —> да для любого /- е (0,оо). Тогда можно записать

£(Хх)

Цх)

-1 = ах(х),

С,

где а^ (x) ^ 0 при x ^ да . В дальнейшем будем считать, что задана положительная функция g(x) такая, что g(x)—>0 и а}(х) = o(g(x)) при х—»да. В этом случае С(х) называется ММ-функцией на бесконечности с остатком ах(х) [14. Р. 185, SR3], Выбирем g(x) - О . Тогда получаем

ах( x) = o

Цх)

V x

при х —» 00 .

Точно так же на функцию l ( x) накладывается следующее условие:

l (Xx)

l ( x)

-1 = Px (x):

где

Px(x)= o

l(x)

V x5

при x ^да

(3)

M

(4)

для любого X e (0, да).

Далее для удобства изложения введем вспомогательную функцию

У

т

У)

(5)

для у е (0,1]. Тогда условие [] принимает следующий вид:

Ниже приведем несколько полезных для наших дальнейших рассуждений результатов, установленных в предыдущих работах авторов.

Лемма 1 [16. Р. 52]. Если выполнено условие [/х], то

1 f(s)~M{n)

1-

Un (s)

где Af(-) - ММ-функция на бесконечности такая, что

( ...\l/v Л

М{п)С

•1/V

(у»)1

М{п)

vn

■ 1

при п ^ да , и функция ип (я) имеет следующие свойства:

1) ип (я) = и(я)(1 + о(1)) при п ^да, и функция и(я) удовлетворяет уравнению Абеля

£/(/(*)) = ОД+ 1;

2) Нш ^ IIп (5) = \п при любом п е N ;

3) ип (0) = 0 при любом п е N .

Теорема 1 [19]. Если условия [/у] и [£ц ] вместе с (3) выполняются, то 1) производящая функция и (я) имеет следующий вид:

и М = ^ <«)

о(1 - у)Л(1 - у)

где функция я) непрерывна для я е [0,1] и /'(я) < у(я) < 1;

2) для всех я е[0,1] производная и'(я) имеет следующий вид:

и'(я) = ^(я) , (7)

( ) (1 - я)Л(1 - я) ( )

где \|/(5) = 1 + 0(л(1-5)) при 5 1^1.

Известно, что в рассматриваемом случае /п (я) ^ 1 при п ^да . Поэтому, ввиду формулы (2), достаточно рассмотреть случай г = 0 для изучения асимптотики системы. Обозначим 'Р11(.ч):— (.у). Следующая теорема обобщает утверждения Теоремы Р1.

Теорема 2 [19]. Пусть имеется система Г-В с иммиграцией с условием [/,].

1) если условие [£а] выполняется вместе с (3), то

1 ; о_ >0^(1—у)7

где функции у(я) определена в Теореме 1 и

А( я)

<А„ (s) < 1, (9)

А(/п (я))

2) если дополнительно выполняются условия [А8 ] и 5 > V , то

Г /яО) ]-Ыу)

ад = лиС?КС?)ехр^- I (10)

здесь

[ 1 Н я) [1 - А( у )]2 .

| [ .(У)] 4у ^<Шп (я) <1. (11)

^ А(я) я (1 - У)Л(1 - у)

Лемма 2 ([19]). Справедливы следующие утверждения:

■ условие [£а] с (3) равносильно £(х) = Сс + о^х^) при х —» со ;

■ условие ^/р ^ с (4) равносильно I(х) = С/ + о (х"5) при х ^ да ,

где Сс и С/ - положительные константы.

Следующая лемма указывает на «асимптотическую нечувствительность» ММ-функций при интегрировании регулярно меняющихся функций вдоль положительной бесконечной оси.

Лемма 3 [20. Р. 143]. Пусть ) - ММ-функция на бесконечности. Тогда для любого ст< 0 и

любой постоянной с > 1 справедливо следующее асимптотическое представление:

}у"(1+о)Цу)йу = ^) (1 + о(1)) при х ^да.

с i i

Доказательства приведенных выше утверждений полностью и подробно приведены в указанной литературе.

2. Локальная предельная теорема

Перейдем к изложению и доказательству основного результата статьи. Рассмотрим случай 5 < V . Введем следующие обозначения:

!_(*):= i« и х(И>^, ОД М(п)

где функция Af(n) определена в Лемме 1.

Теорема 3. Пусть выполнены условия [f ], [] и у := 5 - v < 0 . Тогда

-(х(п))-|у1-In^00} = |||L(х(п)) + O

при n ^ да .

Доказательство. Первичные формальные рассуждения приводят нас к соотношению (10). Из этого соотношения при я = 0, учитывая условия [и [А], получаем следующее равенство:

dy }■, (12)

р$>= сойАйехр - I I о

где юп :=юп (0), Ап :=Ап (0). Введя обозначения Qn := 1 - /п (0) и х := 1/(1 - у), преобразуем равенство (12) к следующему виду:

Г 1вп ( \ ]

р$= соиАиехр - I -со^ехр!-^}, (13)

1 вп П-мЛ где / х~(и1)\.{х)йх.

1

Вычислим интеграл ¿[п. Подынтегральное выражение удовлетворяет условиям Леммы 3. Поэтому справедливо следующее соотношение:

1вп / ч 1 1 ( 1 ^

Jn = в х-(1+^1_(х)йх = 1 Ь ± (1 + о(1))

1 \У\ QII'

Q,

Ч^ П

при Ti —^ да . С другой стороны, согласно Лемме 1, x(ri)Qn —» 1, или же х(п) ~ \/Qn , при п —»■ да . Следовательно, имеем

= Д -(х(п))|у- L(х(п))(1 + о(1)) при n ^да . (14)

\У\

По определению функции x(n) справедливо соотношение

x{n)-ö[nlNj при и—»ao.

Отсюда следует, что интеграл Jn расходится.

Соотношения (13) и (14) дают следующее асимптотическое представление:

ln40} = lnШпAn -1'(х(п))М- L(х(п))(1 + о(1)) (15)

М

при п ^ да . Умножая на —(х(п)) в обеих частях (15), получаем

-(х(п))-|у| • lnрОО^п• L(х(п))-(х(п))—У • lnШпАп (16)

при п ^ да . Оценим шпАп . Положим s = 0 в неравенствах (9) и (11). В этом случае из неравенства (11) получаем оценку

expi--1-^L(1)1<ш := lim Шп < 1, (17)

[ h0 у+ 5 J п^да

где 1_г (х) ~ L(x)/(x) при х^-со . Кроме того, как показано в [14. Р. 179], существует А := Иши^.0О Аи , для которого верна оценка

h0 <А< 1. (18)

Из (17) и (18) следует, что выражение юп Ап равномерно ограничено при п ^да . Тогда в силу определения функции т(п) следует соотношение

(x(n))-Н lnю„Д„ =0 при n ^ да . Из (16) и (19) получаем, что

' 1 Л

у\/п

\П,П У

(19)

-(x(n) )-Н ln = п L (x(n) ) + 0

' 1 Л

V /V

У

при n ^ да . Найденное соотношение равносильно утверждению теоремы.

Заключение

Рассмотренная в статье случайная ветвящаяся система Гальтона-Ватсона с иммиграцией является одной из наиболее подходящих моделей для моделирования задач, связанных с развитием популяции. Аналогичные задачи возникают, например, в демографии, когда приток иммигрантов поддерживается в целях балансирования человеческих ресурсов.

Наш метод, основанный на свойствах медленно меняющихся функций Караматы, позволяет обойти условия конечности высоких моментов закона размножения частиц-аборигенов и закон притока частиц-иммигрантов. В нашем случае важна информация об асимптотическом поведении вероятностей перехода. Несмотря на то, что мы нашли асимптотическое выражение только для локальной

( n)

вероятности , на самом деле этого достаточно, поскольку теорема о монотонной сходимости отношений Pi"^/Роо позволяет оценить вероятность перехода для любых i, j е S [17].

Иногда появляется необходимость в аналоге результата, полученного в Теореме 2, который можно установить и для других популяционных моделей. Например, более сложные проблемы возникают, когда частицы в системе имеют разную продолжительность жизни. Для этого случая подходит модель развития популяции, называемая «ветвящиеся системы (процессы) с превращениями, зависящими от возраста частиц». В этой связи наши следующие работы будут посвящены исследованию таких типов моделей развития популяции.

Список источников

1. Pakes A.G. Limit theorems for the simple branching process allowing immigration, I. The case of finite offspring mean // Adv.

Appl. Prob. 1979. V. 11. P. 31-62.

2. Heathcote C.R. A branching process allowing immigration // J. Royal Stat. Soc. 1965. V. B-27. P. 138-143.

3. Севастьянов Б.А. Предельные теоремы для ветвящихся случайных процессов специального вида // Теория вероятностей и

ее применения. 1957. Т. 2, вып. 3. C. 339-348.

4. Seneta E. Functional equations and the Galton-Watson process // Adv. Appl. Prob. 1969. V. 1. P. 1-42.

5. Seneta E. The stationary distribution of a branching process allowing immigration: a remark on the critical case // J R. Stat. Soc.

1968. V. B-30 (1). P. 176-179.

6. Pakes A.G. On the critical Galton-Watson process with immigration // Jour. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12. P. 476-482.

7. Pakes A.G. Branching processes with immigration // Jour. Appl. Prob. 1971. V. 8 (1). P. 32-42.

8. Zolotarev V.M. More exact statements of several theorems in the theory of branching processes // Theory Prob. and Appl. 1957.

V. 2. P. 256-266.

9. Slack R.S. A branching process with mean one and possible infinite variance // Wahrscheinlichkeitstheor. und Verw. Geb. 1968.

V. 9. P. 139-145.

10. Seneta E. Regularly varying functions in the theory of simple branching process // Adv. Appl. Prob. 1974. V. 6. P. 408-420.

11. Pakes A.G. Revisiting conditional limit theorems for the mortal simple branching process // Bernoulli. 1999. V. 5 (6). P. 969-998.

12. Pakes A.G. Some results for non-supercritical Galton-Watson process with immigration // Math. Biosci. 1975. V. 24. P. 71-92.

13. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugles J.L. Regular Variation. Cambridge : Cambridge University Press, 1987.

14. Pakes A.G. Some new limit theorems for the critical branching process allowing immigration // Stoch. Proc. Appl. 1975. V. 3. P. 175-185.

15. Imomov A.A. On a limit structure of the Galton-Watson branching processes with regularly varying generating functions // Prob. and Math. Stat. 2019. V. 39 (1). P. 61-73. doi:10.19195/0208-4147.39.1.4

16. Imomov A.A., Tukhtaev E.E. On application of slowly varying functions with remainder in the theory of Galton-Watson branching process // Jour. Siber. Fed. Univ. Math. Phys. 2019. V. 12 (1). P. 51-57. doi:10.17516/1997-1397-2019-12-1-51-57

17. Imomov A.A. On long-time behaviors of states of Galton-Watson branching processes allowing immigration // Jour. Siber. Fed. Univ. Math. Phys. 2015. V. 8 (4). P. 394-405.

18. Imomov A.A. Limit theorem for the joint distribution in the Q-processes // Jour. Siber. Fed. Univ. Math. Phys. 2014. V. 7 (3). P. 289-296.

19. Imomov A.A., Tukhtaev E.E. On asymptotic structure of critical Galton-Watson branching processes allowing immigration with infinite variance // Stochastic Models. 2023. V. 39 (1). P. 118-140.

20. Imomov A.A., Meyliyev A.Kh. On asymptotic structure of continuous-time Markov branching processes allowing immigration without higher-order moments // Ufimsk. Mat. Zh. 2021. V. 13 (1). P. 137-147.

References

1. Pakes, A.G. (1979) Limit theorems for the simple branching process allowing immigration. I. The case of finite offspring mean.

The Advances in Applied Probability. 11. pp. 31-62.

2. Heathcote, C.R. (1965) A branching process allowing immigration. The Journal of the Royal Statistical Society. B-27. pp. 138-

143.

3. Sevastyanov, B.A. (1957) Predel'nye teoremy dlya vetvyashchikhsya sluchaynykh protsessov spetsial'nogo vida [Limit theorems

for branching random processes of a special type]. Teoriya veroyatnostey i ee primeneniya [Probability Theory and its Applications], 2(3). pp. 360-374.

4. Seneta, E. (1969) Functional equations and the Galton-Watson process. The Advances in Applied Probability. 1. pp. 1-42.

5. Seneta, E. (1968) The stationary distribution of a branching process allowing immigration: a remark on the critical case. The Journal

of the Royal Statistical Society. B-30(1). pp. 176-179.

6. Pakes, A.G. (1971) On the critical Galton-Watson process with immigration. The Journal of the Australian Mathematical Society,

12. pp. 476-482.

7. Pakes, A.G. (1971) Branching processes with immigration. Journal of Applied Probability. 8(1). pp. 32-42.

8. Zolotarev. V.M (1957) More exact statements of several theorems in the theory of branching processes. Theory of Probability and

Its Applications, 2. pp. 256-266.

9. Slack, R.S. (1968) A branching process with mean one and possible infinite variance. Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte

Gebiete, 9. pp. 139-145.

10. Seneta, E, (1974) Regularly varying functions in the theory of simple branching process. The Advances in Applied Probability, 6. pp. 408-420.

11. Pakes, A.G. (1999) Revisiting conditional limit theorems for the mortal simple branching process. Bernoulli, 5(6). pp. 969-998.

12. Pakes, A.G. (1975) Some results for non-supercritical Galton-Watson process with immigration. Mathematical Biosciences, 24. pp. 71-92.

13. Bingham, N.H., Goldie C.M. & Teugles, J.L. (1987) Regular Variation. Cambridge University Press.

14. Pakes, A.G. (1975) Some new limit theorems for the critical branching process allowing immigration. Stochastic Processes and their Applications, 3. pp. 175-185.

15. Imomov, A.A. (2019) On a limit structure of the Galton-Watson branching processes with regularly varying generating functions. Probability and Mathematical Statistics. 39(1). pp. 61-73. DOI: 10.19195/0208-4147.39.1.4

16. Imomov, A.A. & Tukhtaev, E.E. (2019) On application of slowly varying functions with remainder in the theory of Galton-Watson branching process. Journal of Siberian Federal Univiversity, Mathematics and Physics, 12(1). pp. 51-57. DOI: 10.17516/1997-1397-2019-12-1-51-57

17. Imomov, A.A. (2015) On long-time behaviors of states of Galton-Watson branching processes allowing immigration. Journal of Siberian Federal Univiversity, Mathematics and Physics, 8(4). pp. 394-405.

18. Imomov, A.A. (2014) Limit theorem for the joint distribution in the Q-processes. Journal of Siberian Federal University, Mathematics and Physics, 7(3). pp. 289-296.

19. Imomov, A.A. & Tukhtaev, E.E. (2023) On asymptotic structure of critical Galton-Watson branching processes allowing immigration with infinite variance. Stochastic Models, 39(1). pp. 118-140.

20. Imomov, A.A. & Meyliyev, A.Kh. (2021) On asymptotic structure of continuous-time Markov branching processes allowing immigration without higher-order moments. Ufmskiy matematicheskiy zhurnal,13(1). pp. 137-147.

Информация об авторах:

Имомов Аъзам Абдурахимович - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Кар-шинского государственного университета (Карши, Узбекистан). E-mail: [email protected]

Тухтаев Эркин Эгамбердиевич - аспирант Каршинского государственного университета (Карши, Узбекистан). E-mail: [email protected]

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Imomov A'zam A. (Doctor of Physical and Mathematical sciences, Karshi State University, Karshi, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Tukhtaev Erkin E. (Post-graduate Student, Karshi State University, Karshi, Uzbekistan). E-mail: [email protected] Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 12.02.2024; принята к публикации 03.06.2024 Received 12.02.2024; accepted for publication 03.06.2024