CC BY
58
2002. Р. 97-98.11. ЗаяцъВ.М., Уліцький 0.0. Алгоритмічне та програмне забезпечення системи розпізнавання людини за її рукомоторними реакціями. Вісник ДУ „Львівська політехніка” “Комп’ютерна інженерія та інформаційні технології”. 2000. № 392. С.73-76.12. Заяць В.М. Підхід до опису системи розпізнавання користувача комп’ютера / / Комп’ютерні технології друкарства. 2006. С. 46-53. 13. Заяць В.М., Заяць М.М. Математичний опис системи розпізнавання користувача комп’ютера // 36. “Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології”. Львів. 2005. Вип. 1.С. 146-152.14. Харкевич А. А. Опознание образов //Радиотехника. 1959. Том 14. С. 15-19. 15. Фуку-нага К. Введение в статистическую теорию распознавания. М.: Наука, 1979.512 С. 16.ГореликА.Л., СкрипшкВ.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1989.232с. 17. Дуда Р., Харт 77. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 512 с. 18. Березин И.С., Жидкое Н.П. Методы вычислений. М.: Физматиздат, 1962. 639 с. 19. Заяць В.М., Шокира О. Визначення пріоритету детермінованих ознак при побудові системи розпізнавання об’єктів // Збірник праць науково-практичної конф. ЛДІНТУ ім. В. Чорновола “Математичне моделювання складних систем”. 2007. С. 135-137. 20. ЗаяцъВ.М. Приведення неперервної автоколивної системи до дискретної моделі та спрощення її аналізу // Відбір і обробка інформації. 2005. Вип. 23 (99). С. 35-39. 21.АлексеевА., ЗаяцьВ.,
Іванов Д. Алгоритм розпізнавання символів на основі структурного підходу // Вісник НУ „Львівська політехніка” „Комп’ютерна інженерія та інформаційні технології”. 2002. № 468. С. 129-133. 22. Заяць В.М., Іванов ДО. Проект системи розпізнавання рукописного тексту // Вісник НУ „Львівська політехніка” „Комп’ютерна інженерія та інформаційні технології”. Львів. 2003. №481. С. 78-83. 23. Заяць В.М., Іванов ДО. Архітектура подієорієнтованих систем на прикладі системи розпізнавання рукописного тексту / /Вісник НУ „Львівська політехніка” „Комп’ютерна інженерія та інформаційні технології”. Львів.2004.№530. С. 7883. 24. Zayats V.. IvanovL). Structural method of hand-written text recognition // Pros. International Conf. “The experience of designing and application of CAD systems in microelectronics”. Lviv-Polyana. 2005. P. 493-494.
Поступила в редколлегию 27.01.2009
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.
Zayats Vasyl Mykhaylovych, head of the Information-Computer Technologies and Systems Department, Chornovil State Institute of Modem Technologies and Managements. Scientific interests: mathematical design of dynamics of the oscillation systems and recognition of objects of complicated nature.Адрес: Украина, Львов, ул. Генерала Чупринки, 130, к. 405, тел. 258-91-11, e-mail: zvmOl'a'rambler.ru.
УДК 519.1
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА ПЕРЕСТАНОВКАХ
ДОНЕЦ Г.А.. КОЛЕЧКИНА Л.Н.______________
Рассматривается задача комбинаторной оптимизации на комбинаторной конфигурации перестановок, анализируются методы решения таких задач. Предлагается метод локализации значения целевой линейной функции на основании применения теории графов.
Введение
Задачи комбинаторной оптимизации возникают при исследовании многих теоретических и прикладных проблем [1-4]. Например, в связи с развитием современных средств связи, Интернета, различных информационных технологий возрос интерес к задачам получения надежных кодов, позволяющих корректиро-в ать искажения информации при ее получении с носителей, пересылке и т.п. При исследовании проблем теории кодирования нередко возникают задачи, математические модели которых формулируются в терминах комбинаторной оптимизации. Среди них задачи построения помехозащищенных кодов, нахождения оценок их объема, представляющие большой теоретический и практический интерес. Таким образом, расширение применений комбинаторных задач приводит к их усложнению, в частности, к появлению новых или рассмотрению недостаточно изученных комбинаторных моделей [5,6], которые имеют большую размерность, специальную структуру, неточную информацию о значениях. Решение этих задач связано со значительными трудностями и требует разработки и
обоснования новых или модификации известных методов. В этом смысле очень полезным будет применения теории графов.
С помощью теории графов хорошо описываются многие типы комбинаторных задач. При этом графические представления являются не просто иллюстрациями, но и позволяют получать новые подходы к решению, а также результаты.
Данная работа продолжает исследования [7-11 ] и дает возможность решить более сложную постановку задачи локализации значений линейной функции на перестановках.
В частности, в работе [ 10] рассмотрен методупорядо-чения значений целевой функции на множестве перестановок, который дает возможность построить гамильтонов путь в перестановочном многограннике, в работе [11] рассматривается задача на графах с учетом повторений элементов перестановки.
В настоящей работе локализуется значение линейной функции на перестановках. Следует отметить, что алгоритм, представленный а данной статье, можно использовать для решения задач на различных комбинаторных конфигурациях при наличии дополнительных ограничений.
1. Постановка комбинаторной задачи оптимизации
В общем виде экстремальные комбинаторные задачи можно сформулировать так: имеется ц -множество элементов, на нем задается конечное множество комбинаторных конфигураций А = [ 71 j } = {(at -а 2 аг)}.
Под комбинаторными конфигурациями щ = а |. а 2 аг
можно понимать перестановки, сочетания, комбина-
76
РИ, 2009, № 1
ции, различные последовательности. На множестве А задается функция f (х). Требуется отыскать экстремум f (х) (максимум или минимум) и элементы множества А. которые этот экстремум доставляют. Сама формулировка экстремальных комбинаторных задач диктует выбор операций, применяемых для их решения. Во-первых, надо уметь делать генерацию множества А и располагать соответствующим множеством значений функции f (х). Во-вторых, надо развить методику сравнения этих значений и выделения из них максимального или минимального. Операция перебора практически редко оказывается осуществимой, так как число возможных комбинаций может быть слишком велико. Трудности, связанные с перебором вариантов и сравнением значений, весьма значительные. Именно они и являлись препятствием для развития некоторой части комбинаторного анализа [12, 13], несмотря на ее очевидную актуальность.
Общая схема связи экстремальных комбинаторных задач с методами линейного программирования выг-лядитпримерно так: элементы щ интерпретируют, как точки евклидова пространства, чтобы «целевая» функция f (х) стала линейной формой. Рассматривается задача нахождения экстремума этой функции на выпуклой оболочке заданных точек (т.е. на выпуклом многограннике). В самом деле, экстремум линейной формы на многограннике достигается в одной из вершин, которые входят в множество рассматриваемых элементов. Задача же нахождения экстремума линейной формы и есть задача линейного программирования. Особенностью комбинаторных задач при таком сведении останется то, что при нахождении решения следует ограничиваться лишь точками с целочисленными координатами.
Тогда решение комбинаторных экстремальных задач представляет собой перестановку (а^а^...^) чисел
1, 2,_/7, множество которых обозначим Рп . Целью
является нахождение значения функции
П
f (х) = extr£ с
І—1
іх і на конечном подмножестве указан-
ных перестановок. Элементы множества перестановок Рп можно интерпретировать как вершины перестановочного многогранника. В свою очередь перестановочный многогранник можно представить в виде
графа G (Рп) [ 10]. В этом графе вершины представляют собой множество всех д|ерестановок Рп , а две вершины образуют дугу Р] р2 , если f (pj) S f (p2), Pj, p2 є Pn и если перестановка p2 получена из Р] с помощью транспозиции двух элементов.
Определение. Назовем подграфом г -ранга графа
перестановочного многогранника G (Рп) граф, вершины которого имеют г фиксированных координат.
Известно, что максимальное значение линейная функция f(x) на перестановочном многограннике G(Pn)
принимает в перестановке (1.2.п), а минимальное-
в перестановке (п,п-1 2,1). Очевидно, что это
свойство сохраняется и для подграфов, образованных подмножеством перестановок, у которых фиксированы последние к элементов. Но для графов многогранников достаточно часто возникает следующая задача:
найти множество перестановок, в которых значение целевой функции равно заданному значению, т.е.
х* = arg f(x), (1)
хєРп
где f(x*) = y. Также имеет смысл рассматривать аналогичную задачу, если перестановки, в которых целевая функция принимает заданное значение, существуют не всегда. Тогда сформулированная выше проблема предстанет как
задача: определить множество пар перестановок (х.х), для которых при заданном у
x = argminf(x) x = argminf(x)
f (х)>у • f (х к у •
Очевидно, что обе задачи можно решить, если на графе G(Pn) достроить множество дуг между несмежными перестановками, позволяющее пройти по дугампутьотначальнойвершины.где f(x) принимает максимальное значение, к конечной, где f(x) принимает минимальное значение, при этом необходимо посетить все остальные вершины графа. Этот п> ть и называется гамильтонов. Если известна последов ательность перестановок, через которые он проходит, то с помощью дихотомии гамильтонова пути, вычисляя значения функции в соотвегствующей перестановке, всегда можно локализовать произвольное значение целевой функции f (х). С точки зрения теории графов, многие комбинаторные задачи оптимизации имеют следующую формулировку: отыскать среди некоторого множества путей L минимальный(или
максимальный), т.е. путь, обладающий минимальным (или максимальным) значением А, • В качестве множества L может быть выбрано, например, множество всех гамильтоновых путей. Рассмотрим теорему, которая дает возможность определения минимального и максимального пути среди всех простых путей, соединяющих две фиксированные вершины.
Теорема [12]. Пусть некоторый путь, соединяющий вершину х уровня щ и вершину х' уровня s , является минимальным (максимальным). Тогда его подпутъ между вершиной у уровня к и вершиной у' уровня р (ш < к < р < s) также является минимальным (максимальным).
Приведенная теорема лежит в основе метода отыскания максимальных путей в графе без контуров и дает возможность при построении алгоритма локализации
РИ, 2009, № 1
77
значений рассмотреть подграфы графа G(Pn ) .Задача (1), (2) рассматривается на вершинах графа. Тогда нахождение соответствующей вершины рассматриваем последовательно, начиная с некоторой начальной, все вершины графа в порядке убывания значений целевой функции в этих вершинах и приписываем каждой вершине число, равное минимальному значению функции f (х). Для отыскания минимальных путей в графах, имеющих контуры, также существуют различные методы. Рассмотрим далее подход к решению задачи (1), (2).
2. Алгоритм локализации значения линейной функции на перестановках
Начальный шаг:
1) вводим п - количество элементов перестановки и размерность целевой функции;
2) задаем значения коэффициентов С]. с2.сп целе-
вой функции f (х);
3) вводим значение элементов множества перестановок: а^,а2.ап, причем ввод осуществляем таким
образом, чтобы элементы были упорядочены по следующему соотношению: < а2 <... < ап :
4) задаем значение целевой функции у0 = f (х).
Шаг 1: Вычисляем п!
Шаг 2: Определяем значение: Ь = (п-1)'. которое характеризует количество точек в структурном графе в каждом подграфе.
ШагЗ: Вычисляем минимальное и максимальное значение заданной функции f (х):
f(x)max = с1х1 +С2Х2 +--- + cn-lxn-l +спхп ^
f(x)mm = спх1 +сп-1х2 +--- + с2хп-1 +с1хп •
Шаг 4: Строим структурный граф, который имеет п подграфов и по п вершин с двух сторон, а на каждом подграфе - начальную и конечную вершины.
Шаг 5: Определяем значение целевой функции f (х) в точках - вершинах подграфов х = (х^ ,хІ2,..., х^ J.
Шаг 6: Определяем слева в структурном графе множество точек, для которых выполняется условие
f (xi) ^ f (х°), где х° - точка, для которой f ^х° | > у0. a \j. і є N(; -множество точек, значение целевой функции f(x) в которых больше заданного.
Шаг 9: Формируем множество точек-элементов перестановки, удовлетворяющее условию f (х0) = у о. Если все точки найдены, т.е. среди множества подграфов, определенного на шаге 8, нет таких, для вершин которых ВЫПОЛНЯЛОСЬ бы условие f(Xj) £у0 Sf(Xj). то задача решена.
Осуществляется вывод элементов точек перестановки. Иначе переход на следующий шаг.
Шаг 10: Определяем подграф, для которого выполняется условие f(xj) ^ У о ^ f(xj )■ Фиксируем последнюю координату в точке, вершине подграфа.
Шаг 11: Присваиваем n := п -1 • Осуществляем переход на шаг 1.
Следует отметить, что генерацияточек- вершин перестановок в крайних вершинах подграфов осуществляется путем транспозиции одного элемента, причем из п! элементов необходимо сгенерировать только2п на начальном этапе.
Алгоритм был программно реализован, проведены численные эксперименты. Ниже приведен численный пример изложенного алгоритма.
Дано: а)функция flxlcjxj +с2х2 +... + спхп ,где п = 6 , тогда f (х) = 4xj +8х2 + 2х3 +7х4 +Зх5 +6х6 ;
б) определено значение функции f (х*) = 109 ;
в) элементы множества перестановки (1 2 3 4 5 6).
Найти: точки - вершины перестановочного много*
гранника х = ?, в которых достигается заданное значение целевой функции.
Решение: Находим преобразование для упорядочения коэффициентов целевой функции, если они не упорядочены л: f(х) = С]Х] +... + спхп .
Cj <с2 <... < сп , с = (4,8,2,7,3,6), с = (2,3,4,6,7,8),
ТО С; = с _1 я
(1 2 3 4 5 б'|
1,3 6 1 5 2 4j ’ 71
(1 2 3 4 5 б/ 1,3 5 1 6 4 2/
С1 -сз; с2 “с5- с3 _ СЬ с4 ~с6’ с5 “с4- с6~ с2-
Строим граф для п = 6 • Всего вершин - 6! = 720 • Определим максимальное и минимальное значение линейной функции в каждой из вершин, например
шах := 2-1+3-2+ 4-3 + 6-4+ 7-5+ 8-6= 127 , mm :=2-6 + 3- 5 + 4- 4 + 6- 3 + 7- 2 + 8-1 =83 .
Шаг 7: Справа определим множество точек, которые дают значение целевой функции согласно выполнению условия: f(xj) < f(x°), где х° - точка, для которой выполняется условие f (х°) ^ у0: а х j, j є Nn_k -множество точек, для которых значение целевой функции f (х) меньше заданного.
Шаг 8: Определяем множество подграфов как множество пересечений, элементы которого удовлетворяют условию, сформулированному на шаге 6,7.
78
Аналогично в остальных крайних вершинах каждого подграфа.
Нарис. 1 изображен структу рный граф, где отмечены крайние точки гиперплоскостей (подграфов). Слева находятся вершины, в которых достигаются максимальные значения целевой функции на подграфе, справа - точка, в которой достигается минимальное значение функций точек, указанных на рисунке.
РИ, 2009, № 1
Xj =(1,2,3,4,5,6)12 7
T-----------
101 x120 = (5,4,3,2,1,6)
—т
xi2l = (і, 213,4,6,5) і 2 б 9 5 х^0 = (6,4,3,2,1,5)
х24і=(ТзЬаМ)124 90 L360 =(6,5,3,2,1,4)
хзбі=а,44Д6=зто 86
х48і=(Т44Д6,2)115 8 4
№ =(6,5,4,2,1,3) боо =(6,5,4,3,1,21
Хбої =(2,14,5,6,1) 1 0 9 8 3 ^ =(6,5,4,3,2,1)
Рис. 1. Структурный граф перестановочного многогранника
Следует отметить, что значения функции определяются подстановкой точки в целевую функцию вида
f(x) = 4xj +8х2 + 2х3 +7х4 + 3х5 +6х6 .
Крайние точки на рис. 1 определены согласно графу многогранника.
Выбор соответствующей структуры данных для представления графов имеет принципиальное влияние на эффективность алгоритмов, поэтому подробнее остановимся на этой проблеме. Покажем несколько различных способов представления и кратко разберем их основные достоинства и недостатки.
Согласно рис. 1 есть вершина т.(2 3 4 5 6 1), для которой значение функции определяется: f (х) = 109. Так как в условии задачи определяется точка, в которой достигается это значение, то согласно рис. 1 эта точка х601 = (2, 3, 4. 5, 6,1) - вершина в нижнем подграфе. Соответственно, в нем больше не будет точек - перестановок, в которых достигается такое значение. Значит, поиск следующего значения осуществляется на следующем, стоящем выше подграфе, где 115 < Г(х) ^ 84 . Для этого подграфа характерным есть условие: последняя координата точек -вершин подграфа равна х6 = 2 . Далее рассмотрим этот подграф, зафиксировав х6 = 2 . Тогда рассмотрим при п = 5 пять подграфов ранга г = 1, где последняя координата фиксирована:
х481 =(1,3,4,5,61 115 х504 — (5,4,3,1,6) 98
х505 =(1,3,4,6,5) 113 х528 - (6,4,3,1,5) 93
х529 =(1,3,5,6,4) 111 _х552 = (6,5,3,1,4) 89
х553 =(1,4,5,6,3) 106 х57б - (6,5,4,1,3) 86
х577 =(3,4,5,6,1)101 Хбоо - (6,5,4,3,1) 84
«---------------•
Рис. 2. Структурный граф при п = 5
Следующий шаг: отбрасываем 2 нижних слоя (рис.2) и берем три верхних слоя; далее рассматриваем слой для точек, в которых последние две координаты равны: х6 = 2; х5 = 4 , так как в двух отброшенных не найдутся точки, которые удовлетворяют условию f(x) = 109.
Определим значения функции f(x) в крайних точках графа:
f(l, 3, 5, 6, 4, 2) = 2-1 + 3-3 + 4-5+6-6+7-4+8-2= 111 І'Ц. З, 6, 5, 4, 2) = 2-1 + 3-3+ 4-6+6-5+ 7-4+8-2= 109 і'(1. 5, 6, 3, 4, 2) = 2-1 + 3-5 + 4-6+6-3 + 7-4+8-2= 103 f(3, 5, 6, 1, 4, 2) = 2-1 + 3- 5 + 4- 6 + 6-1+7 - 4+ 8- 2= 95 f(5, 3, 1, 6, 4, 2) = 2-5 + 3-3+4-1+6-6 + 7-4+8-2= 103 f(6, 3, 1, 5, 4, 2) = 2-6 + 3-3 + 4-1 + 6-5 + 7-4 + 8-2= 99 f(6, 5, 1, 3, 4, 2) = 2-6 + 3- 5+ 4-1+6-3+7-4+8-2= 93 f(6, 5, 3,1, 4, 2) = 2-6 + 3-5+ 4-3+ 6-1 + 7-4 + 8-2= 89
Тогда на рис. З представим следующий слой при х5 = 4 ; х6 = 2 в виде:
*529 = 0>3,5,6)Ш ^■534 = (5,3,1,6) 103
*535 '' = (1,3,6,5)109 *540 * = (6,3,1,5) 99
*541 = = (1’5,6,3J, оз *546 • = (6,5,1,3) 93
*547 = = (3,5,6,1) 9 5 *552 • = (6,5,3,1) 89
Рис. 3. Структурный граф при п = 4
Далее делаем аналогичную процедуру сравнения полученных значений целевой функции в крайних точках с заданным значением f(x) = 109 согласно условию задачи.
Снова определяем значения целевой функции f(x) в точках - крайних вершинах графа:
і'(1. 3, 5, 6, 4, 2) = 2-1 + 3-3 + 4-5+6-6+7-4+8-2= 111
f(l, 5, 3, 6, 4, 2) = 2-1 + 3- 5 + 4- 3+ 6- 6 + 7- 4+ 8- 2= 109
f(3, 5, 1, 6, 4, 2) = 2-3 + 3-5 + 4-1+6-6 + 7-4+8-2= 105
f(3, 1, 5, 6, 4, 2) = 2-3 + 3-1 + 4-5 + 6-6 + 7-4+8-2= 109
f(5, 1, 3, 6, 4, 2) = 2-5 + 3-1 + 4- 3+ 6- 6 + 7- 4+ 8- 2= 105
f(5, 3, 1, 6, 4, 2) = 2-5 + 3-3+4-1+6-6 + 7-4+8-2= 103
РИ, 2009, № 1
79
Рассмотрим подграф, для вершин которого: х4 = 6; х5 = 4; х6 = 2. На основании вычислений получаем следующее расположение точек:
111 •V. =(Lx5) _ %> =Ш109 W
109 *5з. - О-;-') ,*532.=(5,1,3) 105
105 *533 = (3,5,1) , -^=(5,3,1)103
Рис. 4. Структурный граф при п = 3
На основании элементарных операций сравнения получим решения из рис. 4: х*31 = (1,5,3,6,4,2), х*зо = (3,1,5,6,4,2), которые достигаются в точках -вершинах структурного подграфа перестановочного многогранника, где значение функции f (х) = 109.
Как показали расчеты, на этом подграфе нет точек, удовлетворяющих значению функции f (х) = 109. Поэтому возвращаемся к рис. 1 и рассматриваем четвертый снизу подграф, для точек которого х6 =4 (рис. 7).
х241 = (1.2.3.5,6) 124 Х264 = (5.3.2Л.6) 107
9----------------9
х265 = (1.2.3.6,5) 123 х288 =(6-3,2.1.5) 102
•----------------•
х289 = (1.2.5,6,3) 117 х312 = (6.5,2.1.3) 94
« •
х313 = (1.3,5.6.2) 113 х336 =(6.5,3.1.2 ) 91
Ш •
х337 = (2.3.5.6,1) 108 х360 = (6.5.3.2.1) 90
•----------------т
Рис. 7. Структурный граф при х6 = 4
Мы рассмотрели один нижний подграф при фиксированной координате х6 = 2 из структурного графа, изображенного на рис. 1. Рассмотрим третий подграф снизу из рис. 1 при х6 = 3 .
Проделываем ту же процедуру: пересмотрим значения целевой функции в крайних точках. Далее рассмотрим структурный граф, в вершинах которого расположены точки [х361;х480], при последней координате, равной х6 = 3 ; значения целевой функции в этих точках находятся в пределах 120 > Г (х) С 86 . На основании вычислений из графа выделяем подграф точек, для которых выполняется условие х5 =4. Графическое представление следующее:
116 х409 = (1, 2,5,6) х414 = (5,2,1,б) 108
9 9
114 х415 =(1,2,6,5) х410 =(6,2,1,5)Ю4
105 х421 = (1,5,_6,2) х426 =(б,5,1,2) 98
в S
98 х427 = (2,5 6,1) х43^2 =(6,5,2,1) 93
Рис. 5. Структурный граф при п = 4 На основании анализа рис. 5 целесообразно рассмот-
Определим значение целевой функции в крайних точках и обозначим на рис. 7:
f(x5) = 2-2 + 3-3 + 4-5 + 6-6 + 7-1 + 8-4= 108 f(x9) = 2-6 + 3-5 + 4-3 + 6-1 + 7-2 + 8-4= 91 f(x4) = 2-1 + 3-3 + 4-5 + 6-6 + 7-2 + 8-4= 82 f(x3) = 2-1 + 3- 2 + 4-3 + 6-6 + 7-3 +8-4= 117 f(x8) = 2-6 + 3-5 + 4-2 + 6-1 + 7-3 +8-4 = 94 f(x2) = 2- l + 3- 2 + 4- 3 + 6- 6 + 7- 5 + 8- 4= 123 f(x7) = 2- 6 + 3- 3 + 4- 2 + 6- l+ 7- 5 + 8- 4= 102 f(x6) = 2-5 + 3-3 + 4-2 + 6-l + 7-6 + 8-4= 107
На основании сделанных выше расчетов для нахождения точки - перестановки целесообразно рассмотреть второй нижний подграф; снова имеем разложение: при п = 4 •
хзп - (L3,5,6) J 13 Юв5 \з,к =(5,3,1,6)
Х31д=(1,3,6,5ф1 10J х324 =(6,3,1,5)
х325 = (1,5,6,3)^05 ^х330 = (6,5,1,3)
х331 = (3,5,6,1)97 91 х336 =(6,5,3,1)
реть подграф для точек [ х 4,5: \420] - значения функции в которых находятся в пределах 114 С Г( .\) Л 104,
Далее рассмотрим расположение точек на подграфе, в котором зафиксирована третья координата, при наличии зафиксированных двух последних: х4 = 5 ; х5 = 4 ; х6 = 3 (рис.6).
Рис. 8. Структурный граф при х5 = 2 , х6 = 4
Определим значение целевой функции и обозначим на рис. 8:
f(x313) = 2-1 + 3-3 + 4-5 + 6-6 + 7-2 + 8-4= 113 f(x319) = 2-1 + 3-3 + 4-6 + 6-5 + 7-2 + 8-4= 111 f(x325) = 2-l + 3-5 + 4-6 + 6-3 + 7-2+8-4= 105
114 х,117 =(1,2,6) ш , х416 = (2,1,б) ИЗ
f (х331) = 2- 3 + 3- 5 + 4- 6 + 6-1 + 7- 2 + 8-4= 97 f (х318) = 2-5 + 3-3 + 4-1 + 6-6 + 7-2 + 8-4= 105
1 то х117 = (1.6.2) а а х418=(б,1,2) 105
108 х419 =(2,6,1), « ^42э =(6,2,1) 104
Рис. 6. Структурный граф при п = 3
f(x324) = 2-6 + 3-3 + 4-1 + 6-5 + 7-2 + 8-4 = 101 f (х330) = 2- 6 + 3- 5 + 4-1 + 6- 3 + 7- 2 + 8-4 = 95 f (хззб) = 2-6 + 3- 5 + 4- 3 + 6-1 + 7- 2 + 8- 4 = 91
Согласно расчетам, целесообразно рассмотреть два верхних подграфа. Далее рассмотрим один из них при
80
РИ, 2009, № 1
фиксированных координатах х4 = 5, х5 = 2, х6 = 4 и выполним уже описанные процедуры.
Решением задачи, удовлетворяющим условию f (х) = 109, будут точки:
х° =(2,3,4,5,6,1), х(2 =(1,3.6.5.4,2),
х° = (1,5,3,6,4,2) , х4 = (3,1,5,6,4,2) ,
Х5 = (3,1,6,5,2,4) , х£ = (3,4,2,6,1,5) ,
х° = (4,2,3,6,1,5) , xjj = (2,4,5,3,1,6) .
Следует отметить, что значения функции вверх возрастает и вниз убывает с одинаковым интервалом при равномерном распределении значений коэффициентов.
Выводы
Исследованы сложные комбинаторные задачи на множестве перестановок. Рассмотрены некоторые свойства допустимой области евклидовой комбинаторной задачи с использованием теории графов и комбинаторных конфигураций, предложен и реализован алгоритм метода локализации значения линейной функции на множестве перестановок.
Дальнейшее развитие данной работы будет направлено на реализацию и адаптацию сформулированного метода на других комбинаторных конструкциях, а также на разработку новых методов решения комбинаторных оптимизационных задач с учетом входных данных.
Литература: 1.Сергиенко И.В., Каспшицкая М.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. Киев: Наук, думка, 1981. 287 с. 2.Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы решения и исследования. Киев: Наук, думка. 2003. 260 с. 3. СтоянЮ.Г., Яковлев С.В. Математи-
УДК519.63:519.85:533:532.542 "
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗАВ ТРУБОПРОВОДЕ
ТЕВЯШЕВ А.Д., СМИРНОВА В.С.__________________
Предлагается метод приближенного решения задачи Коши для системы уравнений стационарного течения газа в трубопроводе. Верификация метода проводится путем сравнения результатов приближенного анализа с результатами численного моделирования стационарных неизотермических режимов течения природного газа.
1. Введение
Математическому моделированию ичисленному анализу стационарных неизотермических режимов транспорта природного газа по участку трубопровода посвящено большое количество работ [ 1 -101. Однако до
ческие модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Киев: Наук, думка, 1986. 265 с. 4.Баранов В.И., Стечкин Б.С. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения. М. :Физматлит, 2004. 238 с. 5. Ємець О. О., Колєчкіна Л. М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями. Киев: Наук, думка,2005. 118с.6.СеменоваН.В., Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н. Подход к решению векторных задач дискретной оптимизации на комбинаторном множестве перестановок // Кибернетика и системный анализ. 2008. № 3. С. 158-172. 7.Донец Г.А., ШулинокИ.Э. О сложности алгоритмов поиска в глубину на модульных графах// Теорія оптимальних рішень. 2002. №1. С. 105-110. 8. Донец ГА. Алгоритмы раскраски плоских графов// Теорія оптимальних рішень. 2006. №5. С. 134-143. 9Донец Г.А., Самер ИМ. Альшаламе. Решение задачи о построении линейной мозаики//Теорія оптимальних рішень. 2005. №4. С. 1524. 10. Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Метод упорядочения значений линейной функции на множестве перестановок // Кибернетика и системный анализ. 2009. № 2. С.50-61. И.Донец Г.А., Колечкина Л.Н. Об одном подходе к решению комбинаторной задачи оптимизации на графах // Управляющие системы и машины. 2009. №4. С.31-35. 12. Рыбников КА. Введение в комбинаторный анализ. М:.Изд-во Моек, ун-та, 1985. 308 с. 13. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988. 213 с.
Поступила в редколлегию 02.06.2009
Рецензент: д-р физ.-мат.наук, Шарифов Ф.А.
Донец Георгий Афанасиевич, д-р физ,- мат. наук, зав. отделом Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование, информатика, кибернетика. Адрес: Украина, 03680, МСП, Киев-187, пр. академика Глушкова, 40.
Колечкина Людмила Николаевна, канд. физ.-мат. наук, доцент, докторант Института кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины. Научные интересы: математическое моделирование, информатика, кибернетика. Адрес: Украина, 03680, МСП, Киев 187,пр. академика Глушкова, 40, e-mail: ludapl@ukr.net, 8(050)2034585,8(0532)666915.
настоящего времени еще не построен комплекс адекватных стандартизованных математических моделей стационарных неизотермических режимов транспорта природного газа, которые корректноучитываютвсе значимые физические эффекты, оказывающие влияние на физические параметры транспортируемого газа. Для успешного развития этих моделей необходимо эффективное сочетание методов аналитического анализа и адекватного численного анализа.
В наших работах [11,12] сформулирована математическая модель нестационарного неизотермического движения реального газа по участку трубопровода, построенная на основе базовых в газовой динамике фундаментальных законов сохранения массы, импульса и энергии с использованием общих положений термодинамики. Эта модель также описывает стационарные режимы работы участка газопровода, когда параметры системы не зависят от времени. В [11,12] проведен аналитический и численный анализ модели стационарного неизотермического движения
РИ, 2009, № 1
81
