CC BY
77
Docent dr Milorad Vidović,
dipl. inž.
profesor dr Momčilo Miljuš,
dipl. inž.
Saobraćajni fakultet, Beograd
LOKACIJSKI PROBLEMI - ZNAČAJ, VRSTE I NAČINI RESAVANJA
UDC: 330.341.46 : 711 : 355.41
Rezime:
Lokacijski problemi, u sirem smislu, odnose se na određivanje pozicije jednog ili gru-pe objekata u prostoru određene dimenzionalnosti. U u'em smislu, posebno u logistici, ovi problemi odnose se na lociranje resursa, skladisnih objekata, terminala, pretovarnih mesta, ... i sl., pa jepo pravilu reč o zadacima lociranja tačke u dvodimenzionom prostoru. To je lo-gično kada se ima u vidu da se dimenzije, npr. skladisnog objekta, mogu zanemariti u odnosu na teritoriju na kojoj se objekat locira. Teorija lokacije bavi se formulacijom i resavanjem lokacijskih problema, pri čemu je te probleme moguće klasifkovati u odnosu na: broj objekata koji se lociraju, karakter raspolo'ivih lokacija, kriterijume koji se koriste pri izboru lokacije, karakter zadataka koji se resavaju, tip ciljne funkcije, pristup i metode koje se koriste pri izboru lokacije. U ovom radu prikazane su osnovne postavke lokacijske teorije, formuli-sani osnovni tipovi problema i definisani mogući pristupi za njihovo resavanje, uključujući i neke od tipično vojnih primena.
Ključne reči: lokacijska analiza, teorija lokacije.
LOCATION PROBLEMS - IMPORTANCE, TYPES AND SOLVING METHODS
Summary:
In their wider sense, location problems are related to locating one ore more objects in the area of certain dimensionality. In narrower sense, particularly in logistics, these problems are related to locating resources, warehouses, terminals,... Hence, these are problems of locating points in the two dimensional space. This sounds logical since for example, warehouse dimensions, may be neglected in comparison with the area where the object is located. The location theory deals with formulation and solving location problems. Such problems may be classified with respect to: number of objects, location type (discrete — continuous), criterions, tasks realized by the system, objective function types applied solution methods, etc. This paper is organized to present the basic concepts in the location theory, defining fundamental problems and proposing general approaches to their solution. Some of typically military applications are also discussed.
Key words: location analysis, location theory.
Uvod
Lociranje proizvodnog pogona, skla-dista, distributivnog centra, terminala, ili nekog drugog cvorista u logistickom lan-cu, kao i lociranje protivpožarne stanice, stanice hitne pomoći, deponije otpadnog materijala i slicnih resursa, predstavlja
kompleksan zadatak strateskog planiranja. Realizacija ovih zadataka povezana je, sa jedne strane, sa visokim investicionim ulaganjima, a sa druge i sa znacajnim ri-zicima, kako onim finansijskim, tako i ekoloskim i onim koji rezultiraju iz izo-stalog kvaliteta realizacije zahteva koji su inicirali lociranje nekog resursa.
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
445
Nema nikakve sumnje da je upravo svest o znacaju lokacijskih problema ini-cirala veliki broj istraživanja, pa je kao rezultat toga u svetskoj literaturi moguće pronaći vise od 3000 publikovanih rado-va iz ove oblasti. Teoreticari i prakticari iz oblasti operacionih istraživanja razvili su veliki broj modela i nude ogroman broj pristupa resavanju problema iz tog domena. Sa jedne strane, to svakako predstavlja prednost, ali mnostvo infor-macija o tipovima problema i nacinima njihovog resavanja predstavlja i objektiv-nu prepreku svakom pokusaju obuhvatni-jeg pristupa lokacijskim problemima, od-nosno izlaganju lokacijske teorije. Pri tome, lokacijski problemi odnose se na od-redivanje mesta ili pozicije nekog objek-ta ili grupe objekata u prostoru odredene dimenzionalnosti, a teorija lokacije bavi se formulacijom i resavanjem tih problema. Kada se govori o „dimenzionalno-sti“, rec je u stvari o prisustvu razlicitih mogućih kombinacija objekta koji je po-trebno locirati i prostora u kojem se taj objekat locira. Naime, u svom sirem zna-cenju lokacijski problemi - ako se po-smatraju samo tipicne kombinacije, mo-gu se odnositi na lociranje 3D tela - kva-dra u 3D prostoru (tovarenje vozila, kon-tejnera, ...), na lociranje 2D povrsine -pravougaonika u ravni (secenje ploca, problemi prostornog rasporedivanja ele-menata sistema - layout), lociranje 1D objekta - linije u 1D prostoru (secenje sip-ki, lociranje komisione zone u regalskom prolazu), odnosno na lociranje 0D objekta - tacke, u 2D prostor, ravan, ili pak u 1D prostor - na liniju. Medutim, u užem smi-slu i uobicajenom znacenju teorija lokacije razmatra probleme lociranja tacke u dvodi-menzionalnom prostoru (0D & 2D), s ob-
zirom na to da su dimenzije sistema koji je potrebno locirati (objekta - kompleksa) zanemarljive u odnosu na prostor u kojem se lokacija bira (teritorija grada, re-gija, podrucje države, region koji obu-hvata vise država,...).
Lokacijske probleme moguće je kla-sifikovati u odnosu na planski horizont (staticki i dinamicki problemi), u odnosu na broj objekata koji se lociraju (lociranje jednog objekta ili vise objekata), ka-rakter raspoloživih lokacija (diskretan prostor: mreža, ili konacni broj pozicija), prema kriterijumu koji se koristi pri izbo-ru lokacije (medijana - težiste, centar, anti-centar), prema karakteru zadatka ko-ji se resava (lokacijski, alokacijski, loka-cijsko-alokacijski), u odnosu na tip ciljne funkcije (jednokriterijumska, visekriteri-jumska), kao i u odnosu na pristup i me-tode koje se koriste pri izboru lokacije (intuitivni pristup, egzaktni optimizacio-ni model, simulacija, heuristicki modeli, ekspertni sistem). Iako i ova klasifikacija dovoljno govori o kompleksnosti proble-matike razmatrane u ovoj oblasti, treba naglasiti da time nisu iscrpljeni svi aspekti lokacijske teorije, niti obuhvaće-ne sve klase problema.
Ovim radom obuhvaćeni su samo ne-ki od tipicnih problema i nacini za njihovo resavanje, i upućuje se na veoma obimnu literaturu iz ove oblasti, ciji se iscrpan pri-kaz može pronaći na adresi koja u ovom trenutku ima 3400 naslova: http://www. ent.ohiou.edu/~thale/thlocation.html.
Razvoj lokacijske teorije
Razvoj lokacijske teorije u literaturi uglavnom se vezuje za agronomiju i geo-
446
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
grafiju, pa se kao zacetnici ove oblasti najčešće navode nemacki agroekonomi-sta Johann Heinrich von Thunen (1875), odnosno Alfred Weber (1929) koji raz-matra industrijsku proizvodnju. Tako se Thunenu pripisuje prva od lokacijskih te-orija, bazirana na razmatranju troškova i rastojanja, gde se za pogone poljopri-vredne proizvodnje kaže da se u odnosu na tržište prodaje moraju locirati tako da minimiziraju transportne troškove. Weber prepoznaje znacaj sirovina u odvija-nju proizvodnih procesa i u tome uticaj lokacije. Tako, Weber uocava da su koli-cine sirovina u industriji celika veće od kolicine gotovih proizvoda, pa zakljucuje da je radi minimizacije transportnih tro-škova proizvodne pogone potrebno pri-bližiti izvorima sirovina. Medutim, on ta-kođe uocava i prisustvo proizvoda kod kojih su sir ovine prisutne prakticno svu-da (npr. vazduh i voda), pa zakljucuje da je u tom slucaju, radi minimizacije tran-sportnih troškova, proizvodne pogone potrebno locirati što bliže tržištu, to jest potrošacima.
Ipak, posmatrano sa aspekta mate-maticke formulacije, smatra se da je cuve-ni Ferma (Fermat Pierre de 1601-1665) pocetkom XVII veka zapoceo razmatra-nje lokacijskih problema ukazujući na sledeći problem: „Za zadate tri tacke u ravni pronaći cetvrtu, tako da zbir rasto-janja izmedu cetvrte tacke i zadate tri, bude minimalan“.
Idući još dalje u prošlost, Dickman (1995) postavku lokacijskog problema nala-zi u Bibliji, u Starom zavetu, u Petoj knjizi Mojsijevoj (Gl. 19, 1—10)1: „1) Kad Gospod
1 Sveto pismo Staroga i Novoga zavjeta, u prevodu Đ.
Danicića (Stari zavjet) i Vuka S. Karadžića (Novi zavjet), Izda-nje britanskog i inostranog biblijskog društva 1985.
Bog tvoj potre narode kojih zemlju daje tebi Gospod Bog tvoj, i kad ih naslijediš i nasta-niš se po gradovima njihovijem i po kuća-ma njihovijem, 2) Odvoj tri grada usred ze-mlje svoje koju ti daje Gospod Bog tvoj da je naslijediš, 3) Nacini put i razdijeli na troje krajeve zemlje svoje, koju ti da Gospod Bog tvoj u našljedstvo, pa neki bježi onamo svaki krvnik, ...“
Rešenje navedenog lokacijskog pro-blema, ovde citiranog samo delimicno, navodi se u Knjizi Isusa Navina (Gl. 20, 7)2, kao ispunjenje Božje zapovesti: „I odjeliše Kedes u Galileji u gori Neftali-movoj, i Sihem u gori Jefremovoj i Kiri-jat-Arvu, to je Hevron u gori Judinoj“.
Sl. 1 — Biblijski lokacijski problem
2 Ibidem.
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
447
Lokacijska teorija ponovo ulazi u žižu interesovanja sa radom S. L. Hakimi (1964), koji razmatra lociranje cvorova komunikacione mreže i policijskih stani-ca na mreži autoputeva. U tom radu Hakimi razmatra mnogo opstiji problem lo-ciranja jednog ili vise objekata na mreži, sa ciljem minimizacije ukupnog rastoja-nja između korisnika i njima najbližeg objekta, ili sa ciljem minimizacije maksi-malnog rastojanja od korisnika do objek-ta na koji su oslonjeni.
Od sredine sezdesetih godina proslog veka lokacijska teorija pocinje sve vise da se razvija, matematski se formuli-su razliciti tipovi lokacijskih problema i prezentiraju se razliciti algoritmi za nji-hovo resavanje.
Osnovni tipovi lokacijskih
problema
Respektujući visedimenzionalnost i veliki broj kriterijuma koji bi mogli biti korisćeni pri kategorizaciji lokacijskih problema, za potrebe ovog rada izdvojeni su samo oni najznacajniji, i na osnovu toga ucinjen je pokusaj određenog struktui-ranja tipicnih grupa zadataka iz domena lokacijske analize. Naravno, prikazani nacin struktuiranja lokacijskih problema nije i jedini mogući, niti sveobuhvatan, a neke aspekte klasifikacije lokacijskih problema detaljnije su razradili H. W. Hamacher, Nickel (1998), koji su, tako-đe, predložili i jednu od mogućih klasifi-kacionih sema.
Statički — dinamički lokacijski
problemi
Pod statickim problemima podrazu-mevaju se formulacije kojima se ne obu-
hvata dinamika promene relevantnih pa-rametara za izbor lokacije, pa tako ni eventualna faznost u uvođenju resenja. Staticki problemi najcesće su i determini-sticki, a treba naglasiti da je najveći broj modela koji su u primeni upravo ovog ti-pa - staticki. Sa druge strane, dinamicke formulacije lokacijskih problema, s obzi-rom na cinjenicu da su lokacijski problemi u svojoj sustini strateskog karaktera -dugorocni, pokusavaju da u analizu ukljuce i određen stepen neizvesnosti koji je moguće ocekivati u perspektivi. Otu-da je ideja ove klase lokacijskih modela da u planiranje ukljuce dinamiku ponasa-nja zahteva u budućnosti.
Kontinualni — diskretni (mre'ni)
lokacijski problemi
U slucaju kontinualnih problema iza-brana lokacija može biti bilo gde u oblasti dopustenog prostora, a u slucaju diskret-nih lokacijskih problema bira se jedna ili vise od skupa potencijalno raspoloživih lokacija. Dakle, u slucaju kontinualnih problema broj raspoloživih lokacija je beskonacan, a u diskretnim problemima konacan i unapred poznat (slika 2).
Lociranje jednog ili vise objekata
Razlika u broju objekata koje je po-trebno locirati direktno determinise nacin resavanja odnosnog lokacijskog problema.
Postojanje — nepostojanje
kapacitivnih ograničenja
Odnosi se na postojanje ogranicenja u pogledu maksimalnog kapaciteta objekta
448
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
na određenoj lokaciji, ili na ogranicenja ka-paciteta transportnih sredstava koja reali-zuju tokove, sto je posebno znacajno za kombinovane lokacijske i ruting-probleme.
Lokacijski, alokacijski i lokacijsko-
-alokacijski problemi
U sustini, problem lociranja resursa sadrži tri grupe potproblema: određivanje broja objekata koji se lociraju, njihove pozicije na mreži i povezivanje korisnika sa lokacijama. Lokacijski problemi („ci-sti“) prisutni su prevashodno u slucaju lociranja jednog objekta, kada se svi „korisnici“ oslanjaju na tu jednu iza-branu lokaciju. Po pravilu, u slucaju da je broj objekata koji se lociraju veći od 1, potrebno je i alocirati korisnike, tj. svakog korisnika „dodeliti“ nekom od objekata. Lokacijski problem (bez alo-ciranja korisnika) prisutan je i kod pre-liminarne analize skupa potencijalno raspoloživih lokacija, kada se problem obicno resava primenom kvalitativne analize.
Alokacijski problemi odnose se na „dodeljivanje“ korisnika skladisnim lokacijama, tj. na nacin povezivanja korisnika (ili grupe korisnika u zoni) i skladi-snih lokacija. Jasno je da alokacija pod-razumeva da su poznate lokacije korisni-
ka i lokacije skladista. Alokacija korisnika cesto se realizuje na bazi najkraćeg puta, ali se optimalna alokacija, za po-znate lokacije korisnika i skladista, kao i za poznate tokove koji se realizuju, i po-znate troskove transporta, uspesno utvr-đuje resavanjem transportnog zadatka.
Lokacijsko-alokacijski problemi re-savaju se u slucaju da je potrebno locirati vise od jednog skladisnog objekta. Kada je rec o lociranju skladista i lokacijskim problemima u logistici uopste, onda je bas ova klasa problema najcesća. Postoji izuzetno veliki broj pristupa za resavanje ovih problema, kako u kontinualnom, ta-ko i u diskretnom slucaju.
Kvalitativni i kvantitativni pristup
resavanju problema
U slucaju da se radi o diskretnim lokacijskim problemima, koji podrazume-vaju postojanje određenog broja raspolo-živih lokacija, izbor konkretne lokacije može se realizovati ili na bazi kvantita-tivne analize - primenom nekog od mo-dela koji najcesće analiziraju transportne i skladisne troskove, ili na bazi odgova-rajuće kvalitativne analize. Kvalitativna analiza može se sprovesti tehnikom „check list“, ali i korisćenjem neke od tehnika visekriterijumske analize.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
449
Jednoešelonski i multiešelonski
problemi
Multieselonski problemi uvek pod-razumevaju tokove između objekata na pojedinim nivoima, a jednoeselonski sis-temi mogu, ali i ne moraju da podrazu-mevaju interakciju - realizaciju robnih tokova između objekata. Tako viseese-lonski skladisni sistemi podrazumevaju, u sustini, postojanje hijerarhijski uređe-nog sistema skladista koja su organizova-na po nivoima - centralno, regionalna,... Pri tome, skladista jednog nivoa snabde-vaju ona sa sledećeg nižeg.
Problemi lociranja habova
Primeri hab-mreža mogu se pronaći u sistemima za isporuku ekspres posiljki, kod avio i drumskih prevoznika, kao i u razlicitim racunarskim i telekomunikaci-onim mrežama. Modeli lociranja habova razlikuju se od ostalih tipova lokacijskih problema i po tome sto se zahtevi defini-su kao tokovi između cvorova, a ne kao u slucaju konvencionalnih diskretnih loka-cijskih problema. Hab-mreže ukljucuju tri tipa cvorova: izvore, destinacije i ha-bove, kao i lukove preko kojih se realizu-
ju transportni tokovi. Mreže ovog tipa obezbeđuju povezivanje izvorisnih i od-redisnih cvorova rutiranjem tokova preko habova. Opsti tip hab-lokacijskog problema ukljucuje lociranje habova i definisa-nje ruta za transportne tokove između izvorisnih i odredisnih cvorova.
Jednokriterijumski i višekriterijumski
problemi
Sirok spektar raspoloživih tehnika operacionih istraživanja i metoda podrske odlucivanju nudi mogućnost traženja opti-malnog resenja u prostoru jednog ili vise kriterijuma, pa su s tim povezane i razlici-te formulacije lokacijskih problema.
Problemi medijan, centar i anticentar
Za razumevanje sustinske razlike iz-među ova tri tipa problema, odnosno tri ti-pa ciljne funkcije, možda je najjednostav-nije iskoristiti primer koji navodi Go-etschalckh (2000), definisući ove tri ka-rakteristicne tacke na brojnoj osi (slika 5).
Problem medijan ili „minisum“ oznacava pristup u kojem se ciljna funk-cija formira tako da se lociranje objekta realizuje na bazi minimizacije srednjeg
450
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
rastojanja - troškova između objekta koji se locira i korisnika:
min
x
Z C (X)
Ovaj pristup najčeš}i je u logistici i primenjuje se pri rešavanju najve}eg bro-ja lokacijskih problema.
Problem centar ili „minimax“ ozna-cava pristup u kojem se ciljna funkcija formira tako da se lociranje skladišta rea-lizuje na bazi minimizacije rastojanja do najudaljenijeg korisnika:
min
X
Tipican primer su problemi locira-nja stanice hitne pomo}i, vatrogasne je-dinice, kao i skladišta u nekom servi-snom centru.
Anticentar ili „maximin“ oznacava pristup u kojem se ciljna funkcija formira tako da se lociranje skladišta realizuje na bazi maksimizacije rastojanja do najbli-žeg korisnika.
max
X
Tipican primer su problemi locira-nja deponija za otpad, skladišta opasnih roba i slicno.
Ukoliko se uz navedene kriterijume klasifikacije uoci da je pri rešavanju pro-blema mogu}e koristiti i razlicite algorit-me - tehnike (matematicko programira-nje, analiticke metode, graficke metode, hibridne tehnike i heuristike), naznacena višeznacnost, kompleksnost i prisustvo
Anticentar Centar Medijana (5.5)
0 2.5 3.5 5 6 7
Sl. 5 — Pozicije medijane, centra i anticentra na brojnoj osi sa ,,zahtevima“jednakim brojnim vrednostima u ta~kama 0, 5, 6 i 7
razlicitih klasa lokacijskih problema po-staje ocigledna.
Formulacija i način rešavanja lokacijskih problema
Pristupi re{avanju lokacijskih problema
U principu, tehnike rešavanja lokacijskih problema zasnivaju se, najceš}e, na minimizaciji ponderisanih transport-nih troškova (vremena, distance) od objekta koji se locira do korisnika, pri cemu se troškovi gradnje objekta na od-ređenoj lokaciji ponekad ukljucuju u ana-lizu, a ponekad ne.
Generalno gledano, rešavanje lokacijskih problema u principu je povezano sa obimnim i kompleksnim utvrđivanjem i analizama podataka. U praksi, mnogi faktori uticu na izbor lokacije, a ovde su navedeni neki od najznacajnijih, prema Heragu (1997): blizina izvoru sirovina; troškovi i raspoloživost prikljucaka na elektricnu mrežu; troškovi, raspoloživost, obucenost i produktivnost radne snage; zakonska regulativa na saveznom, repu-blickom regionalnom i lokalnom nivou; porezi i takse na saveznom, republickom regionalnom i lokalnom nivou; osigura-nje; troškovi i cena gradnje; politicka sta-bilnost; fluktuacija kursa; uvozno-izvo-zna regulativa, porezi i takse; transportni sistem; regulativa u oblasti zaštite okoli-
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
451
ne; javni servisi - škole, bolnice, objekti za rekreaciju; ostali servisi; klima; uda-ljenost korisnika; poslovna klima; faktori vezani za konkurenciju.
Poznavanje samo optimizacionih metoda lokacijske analize naj~ešće nije dovoljno za odredivanje lokacije logisti~-kog sistema, ali primena tih metoda obez-beduje kvalitetnu podlogu za izbor lokaci-je, posebno ako se i pomenuti kriterijumi uklju~e u analizu. Kako definisanje pozi-cije nekog objekta unutar nekog geograf-skog podru~ja nije dovoljno za instalaciju tog sistema, u literaturi se problem izbora optimalne lokacije, po pravilu, raš~lanjuje u tri faze (Freese, T., 1994):
- makroanaliza (koja ima za cilj odredivanje broja i približne lokacije skladišta),
- mikroanaliza (bliže odredivanje lokacije - uže podru~je, deo grada,...),
- precizan izbor lokacije (veoma de-taljna analiza sa razli~itih aspekata, na osnovu koje se donosi odluka).
Za formulisanje i rešavanje lokacij-skih problema na raspolaganju je veliki broj razli~itih pristupa i metoda:
- intuitivni pristup (~esto se prime-njuje, premda se ne može govoriti o uni-ficiranom pristupu. Dolaze do izražaja intuicija, pronicljivost, iskustvo i li~na sposobnost, a kao podrška koriste se jed-nostavni prora~uni. Sve ono što veoma teško može biti uklju~eno u model - su-bjektivni faktori, izuzeci, ograni~enja,... uzima se u obzir kroz grubu analizu, pa su rezultati ~esto zadovoljavajući. Ovaj pristup ~esto se koristi i kao jedna od fa-za u izboru lokacije, uz primenu neke eg-zaktnije tehnike);
- simulacioni modeli (s obzirom na to da je re~ o univerzalnoj tehnici koja podrazumeva sprovodenje eksperimenta
na modelu, simulacija se koristi i kao alat za rešavanje lokacijskih problema. Pristup se svodi na simulaciju razli~itih „scenarija“, tj. razli~itih konfiguracija sistema i dozvoljava respektovanje stoha-sti~nosti, kao i drugih specifi~nosti ili de-talja. Postoje i gotovi softverski paketi LREPS, LOCATE, LSD,...);
- heuristike (kao tehnike za utvrdiva-nje zadovoljavajućih rešenja obezbeduju rešavanje kompleksnih lokacijskih mode-la koji uklju~uju veći broj parametara, a jedine su tehnike koje obezbeduju rešava-nje problema većih dimenzija - lociranje više objekata u slu~aju kada je prisutan veliki broj potencijalnih lokacija);
- optimizacioni modeli (garantuju najbolje rešenje u odnosu na postavljenu funkciju cilja, a bazirani su na optimiza-ciji odnosa transportnih i troškova skladi-štenja. Postoji izuzetno veliki broj razli-~itih modela: gravitacioni model, p-me-dian problem, ... koji mogu biti rešavani kao LP, mrežni problemi, problemi dina-mi~kog programiranja,...);
- ekspertni sistemi (kompjuterski programi bazirani na vešta~koj inteligen-ciji koji, koristeći bazu ekspertskog zna-nja, rešavaju probleme sli~no ekspert-skom timu. Popularnost ovih programa raste, mada se ~esto ekspertskim siste-mom nazivaju i programi koji nisu bazi-rani na konceptu vešta~ke inteligencije);
- sistemi za podršku odlu~ivanju (kombinacija baze podataka sa razli~itim alatima i tehnikama modeliranja, prora~u-na i evaluacije jeste ono što se danas nazi-va sistemom za podršku odlu~ivanju. Re~ je o programima koji sadrže odgovarajuće baze podataka, ali i neke od optimizacio-nih metoda ili heuristi~kih tehnika).
452
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
Metode za resavanje lokacijskih problema
Imajući u vidu prethodno izložene opste principe resavanja lokacijskih problema ocigledno je da je, generalno uzevsi, na raspolaganju sirok spektar mo-gućih metoda pristupa, optimizacionih i heuristickih tehnika. Međutim, moguće je izdvojiti i one metode koje su najcesće u primeni, koje imaju fundamentalni zna-caj u ovoj oblasti, i koje najbolje ilustru-ju samu ideju formulacije i pristupa resa-vanju lokacijskih problema. Tako, na primer, S. H. Owen i Daskin M. (1998) u kategoriji diskretnih modela razmatraju „medijan problem“, „problem pokriva-nja“3, „problem centra“, kao i neke modi-fikacije ovih pristupa za slucajeve resavanja stohastickih, odnosno uopste dina-mickih problema. Takođe, u kategoriji kontinualnih modela, u literaturi se cesto prezentira gravitacioni model za izbor lo-kacije jednog objekta.
Gravitacioni model za određivanje lokacije jednog objekta u kontinualnom slucaju
Ideja algoritma je u izboru lokacije objekta na bazi nalaženja težista, koje se utvrđuje na bazi minimalnog transport-nog rada (proizvod ukupnih zahteva kori-snika i rastojanja do objekta koji se loci-ra). Pri tome, lokacija objekta može biti bilo gde u prostoru na kojem se nalaze korisnici.
Jedan od pristupa koji pojednosta-vljuje proracun jeste da se euklidsko ra-stojanje do nepoznate lokacije težista sa koordinatama (X, Y) aproksimira kva-
3 Set covering problems.
о (X,Y) О
О о
Qi, (X,Yi)
°i О о
Sl. 6 — Gravitacioni model
dratom tog rastojanja. Tada se težiste od-ređuje iz uslova da funkcija cilja dostig-ne minimum u tackama (X, Y):
F(X,Y) = £Qi •[(X -X)2 + (Yi -Y)2]
i=1
Može se pokazati da je, nakon dif-erenciranja prethodnog izraza po ne-poznatim koordinatama, lokaciju objekta koji je potrebno pozicionirati moguće utvrditi na osnovu sledećeg izraza:
n n
Z Qi■ X Z Q,■ Y
X = —----------, Y = -!=-----
n 7 n
Z Qi Z Qi
i=i i=i
Ukoliko se koristi funkcija cilja sa euklidskim rastojanjem, a ne kvadratom tog rastojanja, tada izvodi na obe strane jednakosti sadrže i nepoznate koordinate (X, Y), pa se problem resava iteracijom (tzv. Weiszfeldov metod).
Problem lociranja skladista p-median
Jedna od najjednostavnijih, ali za lo-gistiku veoma važnih formulacija loka-
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
453
cijskog problema je Hakimijeva formula-cija p-median problema:
razmotrimo skup od n korisnika prostorno disperzovanih u regionu. Problem je kako izabrati lokacije p identic-nih skladista koji opslužuje dati skup korisnika. Pretpostavlja se da postoji m > p potencijalnih lokacija skladista. Nakon sto se svih p skladista locira, sva-ki od n korisnika opsluživaće se iz njemu najbližeg skladista;
sa jednom od najpoznatijih matema-tickih formulacija ovog problema:
razmotrimo neorijentisani graf G = (N, A) sa m cvorova. Neka a; ozna-cava broj zahteva za opslugom cvora i. Neka dij oznacava rastojanje izmedu cvorova i i j, a p broj objekata koje je potreb-no locirati. Objekti mogu biti locirani u bilo kom od m cvorova.
f 1, i se opsluzuje preko j Uvedimo x;j = <
J [0, u suprotnom
Kako je cilj da se minimizira ukupni pređeni put, p-median problem formuli-san je kao:
m m
MinF = ZZaidjxj
i=1 j=1
pri ogranicenjima:
m
ZXij= 1, i = 1, 2,...., m
j=1
m
Z xjj= p
j =i
Xjj> Xjj, i, j = 1,2,....m; ij
Xj e {0,1}, i, j = 1,2,....m;
Generalizovani p-median problem
Za razliku od Hakimijeve formula-cije p-median problema, u uobicajenoj postavci lokacijsko-alokacijskog problema respektuju se i troskovi „otvaranja“ skladista na lokaciji. Takođe, ogranice-njima se definise da li se korisnik snab-deva iskljucivo iz jednog skladista ili se to cini sa vise lokacija:
m m n
Min ^ Z Fi ■ yi+ZZ cij ■ xij
j=1 i=1 j=1
uz ogranicenja:
m
Z xij= Dj j = ^v.^ n
j=1
n n
Zxij- yi ‘ZDj i=1,2,...,m
j=i j=i
xij> 0 i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n
y e{0,1} i = 1,2,...,m
gde je:
m - broj potencijalnih lokacija, n - broj korisnika,
c;j - troskovi transporta jedne jedinice od skladista i do korisnika j,
F; - fiksni troskovi otvaranja i rada skla-dista i,
Dj - broj jedinica koje zahteva korisnik j, Xjj - broj jedinica koje se isporucuju iz skladista i do korisnika j, y - 1 ako je skladiste i otvoreno, 0 u suprotnom.
Formulisani problem predstavlja tzv. Miks celobrojni problem linearnog programiranja i cesto mu se oblik modi-fikuje i prilagođava primeni nekog od metoda za resavanje LP problema. Tako
454
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
se problem rešava primenom tehnike gra-nanja i ogranicavanja (branch and bound), zatim Lagranžeovom relaksacijom, Erlenkoterovom dual ascent procedurom, kao i primenom nekih heuristika.
Problem pokrivanja skupa (set covering problem)
Ovaj pristup uobicajen je za rešava-nje problema u slucajevima kada je neo-phodno obezbediti da svaki korisnik bu-de „pokriven“ (covered), tj. opsluživan sa najmanje jedne lokacije. Rešavanje ovog tipa problema tipicno je za slucaj lociranja vatrogasnih stanica, domova zdravlja, policijskih stanica, studentskih domova, skladišta maloprodajne mre-že,... Ciljna funkcija minimizira troškove lociranja zahtevanog broja objekata.
n
Funkcija cilja: min ^ cjxj
j=1
uz ogranicenja: ^aijxj > 1 i=1,2,...,m
j=1
- svaki klijent treba da bude „pokriven“ najmanje jednim objektom, gde su:
xj e {0,1} j = 1,2,...,n
cj - troškovi lociranja objekta na mestu j,
m - broj korisnika, n - broj objekata, 1
1, ako objekat na lokaciji j maze pokriti klijenta i
(1, ako c j |0, u svi
svim ostalim slucaj evima
a
x-
1, ako je objekat lociran na mestu j 0,u svim ostalim situacijama
Problemi ovog tipa rešavaju se, naj-češće, tehnikom grananja i ogranicavanja (branch and bound), ali je za probleme većih dimenzija potrebno angažovati znatno racunarsko vreme. Od heuristika je cesto u upotrebi greedy algorithm („gramzivi“ algoritam).
Specificni lokacijski problemi i vojne primene
U zavisnosti od konkretnih zahteva koje generiše realizacija logistickih pro-cesa problemi lociranja razlicitih resursa mogu zahtevati specificne pristupe. Kao ilustracija, prezentirane su neke od tih specificnih primena teorije lokacije.
Problem lociranja depoa za prazne kontejnere kao lokacijski problem sa balansnim zahtevima
Posledica korišćenja povratnih logistickih jedinica jeste neophodnost aktivi-ranja kompleksnih procesa koji obuhva-taju širok spektar razlicitih zadataka, od kojih posebno mesto zauzima izbor loka-cija depoa za prazne kontejnere. Cilj je obezbedenje dopreme praznih jedinica od korisnika i zadovoljenje tražnje za praznim kontejnerima - i jedno i drugo uz minimalne troškove. Specificnost ovog problema jeste cinjenica da tokovi kontejnera, u ovom slucaju postoje ne sa-mo izmedu korisnika i depoa već i izme-đu depoa radi realizacije balansnih zahteva koji su posledica neravnomernosti po-nude i tražnje praznih kontejnera u gravi-tacionim zonama pojedinih depoa.
Ovaj problem, u slucaju determini-sticke tražnje, formulisali su Crainic, De-
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
455
jax i Delorne (1989), kao „obican loka-cijsko-alokacijski problem sa balansnim zahtevima i vise artikala“. Autori prepo-rucuju nekoliko formulacija ovog proble-ma, a jedna od osnovnih ideja je problem minimalnog toka kroz mrežu.
M. Vidović, H. Hwangu, K. H. Kim (2003) uopstavaju ovaj zadatak i tretiraju ga kao lokacijski-ruting problem sa ba-lansnim zahtevima, sto podrazumeva pri-menu na sistemima za male kontejnere i palete. Pri tome se koristi modifikovana postavka problema Crainic, Dejax i Delorne (1989), kombinovana sa formulaci-jom lokacijskog-ruting problema Tuzua and Burke (1999), a resenje je utvrdeno primenom genetskog algoritma.
Određivanje kapaciteta i lokacije vojnog centra za hitnu medicinsku pomoć
Jedan od primera primene lokacij-ske teorije u optimizaciji prostornog ras-poreda resursa medicinske zastite u regi-onu, pod dejstvom hemijskih agensa ili fizickog napada, razmatra R. S. Segall (2000). U radu se razmatra sest scenarija rasporeda vojnih stanica hitne medicinske pomoći, u slucaju kada su poznate raspodele zahteva za tom vrstom pomoći unutar odredene teritorije.
Lociranje novih objekata i raciona-lizacija postojećih kompleksa za smestaj opasnih materija klase 1
Kao rezultat resavanja realnih problema lociranja objekata za smestaj opasnih materija klase 1 (eksplozivne materi-je, prema klasifikaciji UN), radni tim Od-
seka za logistiku Saobraćajnog fakulteta razvio je nekoliko lokacijskih modela koji su uspesno primenjivani na optimizaciji realnih problema. Posebno se mogu iz-dvojiti dve grupe modela. Model za defi-nisanje optimalne strukture novih skladi-snih objekata (S. Vukićević, M. Miljus, 1994) i modeli za optimizaciju broja i rasporeda objekata u postojećim kompleksi-ma (M. Vidović, S. Cvetić, 1996).
U prvom modelu za definisanu koli-cinu materija koju je potrebno smestiti u kompleks, primenom modela LP definise se raspored objekata uz respektovanje potrebnih bezbednosnih rastojanja, pri cemu funkcija cilja minimizira investici-je u objekte, saobraćajnice i ocekivanu stetu, koja se definise preko verovatnoća unistenja pri razlicitim vrstama napada na objekte. U okviru resavanja problema optimizacije postojeće strukture objekata razvijena su dva heuristicka modela. Jedan koji se bavi optimizacijom strukture objekata namenjenih za smestaj materija cije se prostorno dejstvo opisuje preko doleta, i drugi koji respektuje materije ci-je se dejstvo opisuje eksplozijom u masi, sto podrazumeva prisustvo nelinearne funkcije koja determinise potrebno mini-malno rastojanje medu objektima.
Zaključak
U radu su na sažet nacin predsta-vljene osnovne postavke lokacijske teorije koja danas, bez ikakve sumnje, pred-stavlja jednu od najrazvijenijih oblasti, kako operacionih istraživanja, tako i stra-teskog planiranja. Kompleksnost problema koji se tretiraju u okviru lokacijske analize i obimnost materije koja je evi-
456
VOJNOTEHNICKI GLASNIK 5/2004.
dentna već i po broju do sada publikova-nih radova, govore da ovim radom nije mogao biti obuhvaćen ~itav niz zadataka koji postoje u literaturi, ali i u realnim lo-gisti~kim sistemima. Ipak, i ovakav pri-kaz lokacijske teorije dovoljan je razlog za samostalno istraživanje ove oblasti, pri ~emu zna~ajnu pomoć može pružiti navedena literatura.
Literatura:
[1] Aikens, C. H.: Facility location models for distribution planning,
European Journal of Operational Research 22 (1985) 263-279.
[2] Daskin, M. S.: Network and Discrete Location: Models Algorithms and Applications, Wiley, New York, (1995).
[3] Francis, R. L.; McGinnis, L. F.; White, J. A: Locational analysis,
European Journal of Operational Research 12 (1983) 220-252.
[4] Krarup, J.; Pruzan, P. M.: Selected families of location problems, Annals of Discrete Mathematics 5 (1979) 327-387.
[5] Leonardi, G.: A unifying framework for public facility location
problems - Part 1: A critical overview and some unsolved problems, Environment and Planning A 13 (1981) 1001-1028.
[6] ReVelle, C.; Marks, D.; Liebman, J. C.: An analysis of private and public sector location models, Management Science 16 (11) (1970) 692-707.
[7] Tansel, B. C.; Francis, R. L.; Lowe, T. J.: Location on networks: A survey. Part I: The P-center and P-median problems, Management Science 29 (4) (1983 a) 482-497.
[8] Tansel, B. C.; Francis, R. L.; Lowe, T. J.: Location on networks: A survey. Part II: Exploiting tree network structure, Management Science 29 (4) (1983 b) 498-511.
[9] Weber, A.: Uber den Standort der Industrien, University of Chicago, (1929).
[10] Thunen J. H.: Der Isolierte Staat in Beziehung auf Land-wirtschaft und Nationalokonomie, Berlin Schumacher-Zarchlin, (1875).
[11] Owen, S. H.; M. Daskin: Strategic facility location: A review, European Journal of Operational Research 111 (1998), 423-447.
[12] Dickman, B.: How the oldest recorded multiple facility location problem was solved, Location Science 3 (1), (1995), 55-60.
[13] Hakimi, S. L.: Optimum locations of switching centers and the absolute centers and medians of a graph, Operations Research 12, (1964) 450-459.
[14] Krarup, J., Pruzan, P. M.: The simple plant location problem: Survey and synthesis, European Journal of Operational Research 12, (1983), 36-81.
[15] Sanderesh, H.: Facility design, PWS Publishing Co., Boston (1997).
[16] Goetschalckh, M.: Logistic systems design, Avg. 1999, www.isye.gatech.edu.
[17] Crainic, T.; Dejax, P.; Delorme, L.: Models for multimode mul-
ticommodity location problems with interdepot balancing requirements, Annals of Operations Research, 18, (1989) 279-302.
[18] Vidović, M.; Hwang, H.; Kim K. H.: Locating depots for empty
containers as a probabilistic location routing problem with balancing demand, Transport & Logistics, No5, (2003) 71-87.
[19] Tuzun, D.; Burke, L.: A two-phase tabu search approach to the location routing problem, European Journal of Operational Research 116, (1999) 87-99.
[20] Segall, R. S.: Some quantitative methods for determining capacities and locations of military emergency medical facilities, Applied Mathematical Modelling 24 (2000) 365-389.
[21] Vidović, M.; Cvetić, S.: Optimizacija korisćenja postojećih kompleksa za skladistenje ubojnih sredstava, Vojnotehnicki glasnik, god. XLIV, br 1, (1996), Beograd.
[22] Vukićević, S.; Miljus M.: Predlog postupaka za optimizaciju strukture objekata novog skladista za zadatu kolicinu UbS, Tematski skup Kvalitet uskladistenih UbS, (1994), Beograd.
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 5/2004.
457
