Логистика как Прикладная задача технической кибернетики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3:681.5

В. Г. Шахов, Е. П. Вишнякова ЛОГИСТИКА КАК ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

В статье рассматриваются задачи прикладной кибернетики применительно к территориально разнесенным объектам, которые являются предметом изучения логистики. Приводятся разделы кибернетики, нашедшие применение в логистике, даются некоторые определения и задачи, решаемые с помощью этого математического аппарата.

По определению, данному основателями научного направления логистики, оно предполагается как раздел экономики, связанный с финансовыми потоками на некоторой территории и с оптимизацией этих потоков по одному из критериев [1]. Фактически задача оптимизации может обобщаться на достаточно большое число приложений, основанных на гипотезе территориальной разобщенности. В результате получается задача, которую можно сформулировать следующим образом.

Существует конечное множество территориально рассредоточенных пунктов, связанных между собой одним из способов транспортировки и взаимодействующих друг с другом как непосредственно, так и опосредованно.

Существуют числовые оценки непосредственного взаимодействия клиентов. При этом возникают количественные характеристики взаимодействий, оцениваемые, например, в денежных единицах, во времени, в затрачиваемой энергии передачи или других количественных эквивалентах. Необходимо оптимизировать совокупность таких взаимодействий по одному из критериев оптимизации и подобрать способ взаимодействия клиентов рассредоточенной сети, оптимизирующий эти взаимодействия по выбранному критерию.

Общая постановка задачи может быть использована в большом числе приложений. Приведем несколько примеров, конкретизирующих общую проблему.

1) Существует территория, которую можно разбить на конечное множество территориально рассредоточенных пунктов. Необходимо создать алгоритм взаимодействия этих пунктов по одному из критериев оптимизации. В качестве примеров можно привести службу скорой помощи, пожарную службу, системы быстрого реагирования, полицейские услуги, средства почтовой связи и т. д. Критерии оптимизации - минимум времени или минимум стоимости. При этом если в качестве критерия выбрать один из параметров количественного оценивания (время, стоимость транспортировки, стоимость потерь, совокупные затраты), то можно составить алгоритм взаимодействия, отвечающий выбранному критерию.

2) Существует конечное множество объектов взаимодействия на обозначенной территории, а также совокупность приоритетов взаимодействия. Желательно оптимизировать (гармонизировать) протоколы взаимодействия по одному из выбранных критериев. Предположим, общая структура логистического взаимодействия может быть представлена в виде, приведенном на рисунке 1.

Внутренние взаимодействия представлены ребрами графа, обозначающего взаимодействия территориально рассредоточенных объектов. Подобная модель предполагает множество вариантов исследования, зависящих от объектов исследования, критериев оценивания и способов описания (моделирования).

Простейшая модель - топологическая. В ней вершины внутреннего графа обозначают конкретные объекты взаимодействия, ребра имеют количественные оценки из числа приведенных выше (стоимость, время и др.). Методика исследования строится на основе выбранного критерия оптимизации и одним из известных способов оптимизации [2 - 4].

Второй тип модели - имитационная. В ней входы воспринимаются как случайные воздействия на систему, описываемую по формату на рисунке 1. Для дальнейшего анализа система воспринимается как система массового обслуживания, на которую принимаются заявки.

Каждая заявка принимается независимо от других, но может иметь свой приоритет (очередность обслуживания). Если модель составлена удачно (отвечает принципам адекватности модели группе объектов), то с ее помощью можно принимать реальные решения для множества однотипных объектов, что позволяет экономить время и средства для получения или прогнозирования реальных результатов.

Рисунок 1- Структура взаимодействия в логистической модели: ОИ - объект исследования, т. е. собственно рассредоточенная система пунктов со своими связями;

Вх - входные воздействия, влияющие на систему; Вых - реакция системы, выраженная в некоторой контролируемой форме; Возм - возмущения, действующие на ОИ и не поддающиеся управлению;

СОК - система оценки качества функционирования ОИ; СК - система коррекции

Назовем некоторые методы анализа рассредоточенных объектов, которые можно отнести к разряду логистических моделей.

Задача, известная в литературе как симплекс-метод [4]. В ней оптимизируется решение на основе системы линейных уравнений. В основе решения используется принцип, на основе которого количество уравнений меньше количества неизвестных. Под линейным программированием понимается задача оптимизации, связанная с наличием альтернативных вариантов, т. е. с неоднозначностью решений. Для транспортных систем это может сводиться к различным маршрутам перевозок. Такая задача была сформулирована в средине прошлого века и была реализована в различных конкретных проектах.

Название метода связано с тем, что в его основе лежит система линейных алгебраических уравнений вида:

а11 Х1 + а12Х2 + — + а1МХМ - Ь1; а21 Х1 + а22 Х2 + • • • + а2 = Ь2;

(1)

а

N1

Х1 + аы 2 Х2 + ... + aNNXN — Ь

где N - порядок системы (имеется в виду сама логистическая система, т. е. количество участвующих в ней клиентов, или узлов графической модели); аи - константы, подлежащие оптимизации; ЬJ- константы, определяющие цену решения.

Применительно к логистике каждое уравнение может быть представлено как маршрут на графе логистической системы, в котором вершины соответствуют этапам производимых работ или местам нахождения пунктов системы, коэффициенты аи - веса ребер соответствующего графа, а Ьи- цены соответствующих маршрутов. Необходимо минимизировать издержки на транспортировку или затрачиваемое на это время.

Основным принципом, лежащим в основе оптимизации, является то, что количество уравнений меньше числа неизвестных, т. е. появляется возможность выбора. Если жесткая

система лииеииых уравнении имеет единственное решение, то даже при одном «недостающем» уравнении появляется бесконечное количество решений. В этом и состоит принцип оптимизации.

В задачах линейного программирования вводится так называемая целевая функция:

^ — С- Х- С2 ^^ • • • ^^ С N X N. (2)

Необходимо добиться неотрицательного решения уравнения (1), обеспечивающего минимум целевой функции. Сущность симплекс-метода сводится к следующему. Вначале находится некоторое допустимое базисное решение. Его можно найти классическим методом, приравняв к нулю «лишние» аргументы и решив систему линейных алгебраических уравнений. Это и есть базовое решение. После этого проверяется, является ли это решение оптимальным. Для этого любой из аргументов можно проварьировать методом чувствительности: насколько каждый из коэффициентов уравнения влияет на конечный результат. После этого можно составить ранжированный ряд коэффициентов влияния по принципу убывания:

С1 ^ ^ ^ Ск ••• ^ %. (3)

После ранжирования составляется матрица решений размерности Ы, в которой решение находится методом просмотра с левого верхнего угла. Матрица составляется по принципу уменьшения коэффициентов влияния, которые располагаются методом «змейки».

Применительно к логистике каждое уравнение может быть представлено как маршрут на графе логистической системы, в котором вершины соответствуют этапам производимых работ или местам нахождения пунктов системы, коэффициенты ац - веса ребер соответствующего графа, а bJ- цены соответствующих маршрутов. Необходимо минимизировать издержки на транспортировку или затрачиваемое на это время.

Цена маршрута определяется в зависимости от типа решаемой задачи по разным критериям. В простейшем случае это суммарное время на перевозку Гсум или суммарные издержки

Ц,СУМ:

Тсум ; (4)

I J

ЦСУМ =ЕЕЦи. (5)

I J у у

Возможны другие варианты оценивания. В частности, в некоторых случаях вместо сумм используют произведения:

Тсум =ПП Ти ; (6)

I J

ЦСУМ =ППЦ и. (7)

I J у 7

Еще один вариант - введение нормирующих (весовых) коэффициентов аи. Выражение (4) принимает вид:

Тсум =ЪЪаиТи. (8)

I J у 7

Здесь значения ац могут иметь разную интерпретацию в зависимости от типа решаемой задачи. Например, это ограничения по скорости на выделяемом участке или требования уступить дорогу для более срочных грузов (пассажиров), или особые условия транспортировки (например, скоропортящиеся, взрывоопасные или токсичные грузы). На железнодорожном транспорте это могут быть контейнерные (контрейлерные) поезда транснационального назначения.

Следующий, более сложный вариант - использование констант, входящих в выражения

(4) - (8) в виде функций времени. Задача при этом намного усложняется, так как от системы линейных уравнений надо переходить к дифференциальным уравнениям.

Наконец, еще более сложная задача - введение нелинейностей в упомянутые уравнения. Нелинейности могут входить как зависимости от скорости движения, от профиля пути, от технических характеристик транспортного средства.

Следующий уровень - введение случайностей в модель транспортировки. Это может быть связано с атмосферными явлениями (ветер, температура, течения для водного транспорта, сигналы светофоров для наземного транспорта), а также с дорожными ситуациями. Несмотря на кажущуюся незначительность этот фактор имеет большое значение на практике. Например, случайная неисправность рельсового транспорта приводит к его остановке, загрузка порта приводит к задержкам на обслуживание транспортных единиц, занятость взлетно-посадочных полос создает задержки для самолетов. Обнаруженные неисправности транспортных единиц влияют на пропускную способность систем перевозки независимо от их типа.

Перечисленные задачи на практике должны решаться в динамичном режиме: условия транспортировки меняются в зависимости от сезона, месяца, дня недели, времени суток. Обычно этим занимаются диспетчеры - опытные специалисты с профессиональными знаниями по управлению движением транспорта. Для совершенствования методов управления перевозками существуют специальные методы и оборудование, облегчающие работу диспетчеров, но тем не менее это очень ответственная и напряженная работа.

Применительно к транспортным системам применимы несколько типов характерных задач.

Определение критических вершин графа транспортной системы. Под критической вершиной понимается вершина, называемая узловой. Это такая вершина, которая приводит граф к несвязному (ее удаление приводит к невозможности составления маршрута по всем вершинам).

На рисунке 2 приведен граф с критической вершиной 4: ее удаление приводит граф к несвязному. Возможны частично критические вершины, удаление которых приводит к заметному усложнению перевозок, но не лишает возможности доставки. На том же графе вершина 2 является частично критической, так как связь между 1 и 3 остается, но она более длинная.

Определение оптимального маршрута на графе. Оптимальным считается маршрут, имеющий наименьший вес (цену). Часто задачи оптимизации сводятся к частным случаям

для двух выбранных вершин. При этом наиболее часто используется метод перебора. В принципе некоторое псевдооптимальное решение при этом может быть получено, но оно для всей системы объектов не является по-настоящему оптимальным, так как не учитывает других взаимодействий, но даже и в этом случае задача достаточно сложна. Предполо-Рисунок 2 - К определению кри- жим, в графе транспортной сети имеется N вершин. Тогда для тическои вершины прокладки одного оптимального маршрута необходимо в

среднем 2 = N^2 операций, а для всей сети с учетом независимости маршрутов 5 = 2(2-1)/2. Как видно из последнего выражения, с ростом сложности сети сложность вычислений увеличивается по кубическому закону. Здесь еще не учитывается топология сетей, т. е. количество ребер и их расположение, взаимодействия между ребрами и вершинами, а также критические ситуации на дорогах в течение суток и в зависимости от погодных условий. Простой пример - управление светофорами в городе. Ночью при практическом отсутствии движения светофоры можно переключать на мигающий режим, и этого достаточно. Днем жесткое управление светофорами приводит к пробкам, особенно в критические часы. Тогда на выручку приходит регулировщик. В последнее время работа регулировщиков отдается интеллектуальным техническим системам, управляющим светофорами в зависимости от длины очередей. А если по дороге следует машина «скорой помощи», МЧС

или должностного лица с эскортом сопровождения? Таких факторов появляется достаточно много для любого вида транспортировки, в том числе при передаче информации.

Формирование дублирования. Задача наиболее актуальна при наличии критических вершин: при их наличии нужно создать дублирующие маршруты. Для любого графа, описывающего транспортную сеть, важным является определение связности Б: это наименьшее количество вершин, удаление которых приводит граф к несвязному. Полный, или полносвязный, граф имеет все возможные ребра, т. е. в нем каждая вершина связана с остальными. Понятно, что для графа с N вершинами связность равна единице. В наше время дублирование возможно несколькими способами:

дублирование видов транспортировки (например, резервные самолеты, локомотивы, автомобили, суда). Это достаточно затратный путь, требующий немалых средств для поддержания работоспособности транспортных средств;

дублирование маршрутов (способов связи с вершинами графа). Это могут быть физические маршруты (новые дороги, транспортные развязки), что еще дороже;

переход на другие виды транспортировки (например, сопряжение железнодорожного и водного транспорта). При этом необходимы специальные транспортные интерфейсы - узлы сопряжения видов транспорта. Это погрузочно-разгрузочные узлы, склады, их инфраструктура с соответствующими технологиями. Например, при разгрузке нефтепродуктов из цистерн нужны соответствующие емкости, при перегрузке сыпучих продуктов или контейнеров необходимы специальные краны, а твердых малогабаритных грузов - кары.

Отметим, что подобные задачи возникают и при транспортировке информационных потоков. Например, переход от оптоволоконных линий связи к проводным или радиоканальным (в том числе спутниковым) требует специальных интерфейсов и оборудования. Здесь же присутствует и дублирование линий связи (например, дублирование волокон оптического кабеля), и дублирование типов связи (переход от оптоволокна к спутниковым системам связи).

Наличие дублирования заметно повышает надежность транспортных систем. Это легко доказать на основе теории вероятностей. Предположим, вероятность отказа в обслуживании безызбыточной системы (без дублирования) равна Р0 . Если присутствует дублирование, результирующая вероятность подчиняется формуле Байеса:

Р = РР

(9)

где РЛ - вероятность отказа дублирующей системы.

Если учесть, что вероятности меньше единицы, то результирующая вероятность меньше наименьшей. Можно научиться «продвинутым» технологиям из смежных областей использования, в том числе из теории связи, где накоплен достаточный опыт в повышении надежности транспортировки.

Применительно к транспортным задачам важное значение имеет матричное представление графов. Простейший вариант -матрицы смежностей. Предположим, существует граф транспортной системы, представляющий формальное представление промежуточных и конечных станций и возможные способы их достижения. При этом если возможен маршрут по одному ребру (дуге) из вершины I к вершине J, элемент матрицы Си равен единице, в противном случае - 0. Приведем пример графа транспортной системы, содержащего шесть вершин (например, населенных пунктов или пунктов взаимодействия) (рисунок 3).

Ераф состоит из шести вершин, соединенных маршрутами транспортировки, причем в

Рисунок 3 - Матричное представление графа

Рисунок 4 - Матричное представление орграфа

данном случае не оценивается стоимость доставки. Вершина I, соединенная с вершиной 3 одним ребром, считается смежной к ней. Аналогично вершина 3 считается смежной к I, т. е. отношение смежности симметрично. Поэтому матрица смежностей тоже симметрична. На рисунке 3,6 приведена матрица смежностей для графа. По рисунку 3, а видно, что матрица симметрична (строки можно заменить столбцами и наоборот). Количество единиц матрицы равно половине количества ребер. И граф, и его матрица имеют взаимно однозначное соответствие (по графу можно построить единственную матрицу и наоборот).

Усложненная задача на графе взвешенные графы. В них каждое ребро представляет вес транспортировки в приведенных выше единицах (стоимость или время). Можно решать задачи оптимизации перевозок или их дублирования.

Третий вариант - направленные (ориентированные) графы, или орграфы, в них ребра называются дугами и имеют одно направление. Примером могут служить автодороги с однонаправленным движением, паромные переправы, морские (речные) порты с возможностью ограниченного обслуживания судов. В орграфах возможно движение только в направлении дуг.

Орграфы могут представляться и в матричной форме. При этом если из вершины I можно достичь вершины 3 по одной дуге, соответствующий элемент матрицы равен единице, в противном случае - 0. В качестве примера на рисунке 4 приведены орграф с шестью вершинами и соответствующая ему матрица смежностей.

По сравнению с графом общего вида матрица несимметрична и может содержать особые вершины. В приведенном примере это вершина 5, в которую дуги только входят; она зазывается стоком (вершина, из которой дуги только исходят, - исток).

Так же, как и для графов общего вида, веса дуг могут отличаться от 0 (1) и будут означать веса транспортировки. Это уже задача логистики, оценивающая стоимость транспортировки.

Классические задачи, решаемые на графах, могут иметь следующие виды.

Составить перечень альтернативных маршрутов из п. I в п. / и сопоставить их по критерию наибольшей эффективности.

При наличии основного маршрута следования предложить дублирующие варианты транспортировки.

Разработать проект модернизации транспортной системы по критерию максимальной живучести (предложить варианты строительства новых трасс перевозки, обеспечивающих работоспособность транспортной системы при повреждении основных маршрутов).

Модели конечномерной трассировки: на заданной поверхности графа необходимо найти некоторое множество маршрутов, позволяющих достичь конечного пункта с определенными критериями оптимизации.

Модели промежуточных пунктов: имеется конечное множество источников (пунктов передачи) и приемников (пунктов доставки). Необходимо оптимально разместить промежуточные пункты транспортировки, удовлетворяющие выбранному критерию оптимизации. Такая задача в рамках логистических моделей еще не ставилась.

Модели интерфейсов. В контексте логистических систем это означает следующие прикладные задачи. Имеется необходимость взаимодействия разных видов транспорта (морской, речной, железнодорожный, автомобильный, воздушный). Желательно разместить пункты взаимодействия (интерфейсы), обеспечивающие оптимальную транспортировку по выбранному критерию. Здесь же можно решать задачу оптимизации буфера (размера и объемов складов, порядка очередности обработки с учетом категорированности грузов). Такая задача тоже не ставилась.

Несмотря на достаточно формальную оценку задач анализа они имеют хорошие практические приложения, которые могут быть внесены в общую задачу логистики. Приведем некоторые примеры практических задач, которые могут (и должны) решаться на уровне логистики.

1) Имеется конечное множество некоторых ресурсов (товаров, денег, информации), которые нужно переместить по заданному графу взаимодействий с выбранным критерием оптимизации. Например, практическая задача оптимального размещения АЗС (автозаправочных станций) с учетом их ограниченного количества: где их размещать при учете территории и ограниченности средств. Та же задача может ставиться на примере выпечки булочек и других кондитерских изделий с учетом конечного числа кондитерских фабрик, точек продажи и единиц доставки; то же можно исследовать по поводу оптимизации траекторий движения инкассаторов, такси, машин «скорой помощи», пожарных. По таким принципам работают навигаторы, ставшие уже бытовыми приборами.

2) Задачи предпроектного проектирования. Создается новая инфраструктура территории, предназначенной для производства конкретного продукта. Нужно обеспечить своевременную доставку ингредиентов (полуфабрикатов, комплектующих изделий), позволяющих достичь конкретного результата за заданное время и с учетом ограниченного финансирования. Такая задача решалась на множестве госзаказов, включая создание атомного оружия, ракетные программы, системы гособороны. Как правило, такие программы не имеют ограничений финансирования, но с позиций здравого смысла ограничения должны присутствовать всегда.

3) Прогностика - наука, определяющая возможное будущее проектов. Логистика имеет возможности прогнозирования ситуаций и процессов, особенно в области коррекции дальнейших действий управления. Это позволит упростить процедуры принятия решений и их коррекции.

Перечисленные задачи и алгоритмы их решения возникают постоянно и могут быть решены на основе существующих разделов математики. Кроме того, существуют мощные пакеты компьютеризации моделирования, которые имеют множество приложений в области логистических задач. Главное - это четкая формулировка задачи исследования.

Среди множества прикладных задач, которые долгое время считались экзотическими и пригодными только для сугубых математиков, задачи логистики имеют хорошее применение. Например, теория игр [5] может найти применение при анализе вероятных решений логистических задач именно на этапах проектирования и прогнозирования, особенно в регионах Сибири и Дальнего Востока.

Авторы статьи работают в указанном направлении по конкретным проблемам, связанным с достижением конкретных результатов.

Список литературы

1. Джонсон, Дж. Современная логистика [Текст] / Дж. С. Джонсон, Д. Ф. Вуд, Д. Л. Ворд-лоу. - М.: Вильяме, 2004. - 624 с.

2. Просветов, Г. И. Математические методы в логистике: задачи и решения [Текст] / Г. И. Просветов. - М.: Альфа-Пресс, 2009. - 304 с.

3. Николашин, В. М. Основы логистики [Текст] / В. М. Николашин, А. С. Синицына / Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте. - 2007. -252 с.

4. Коршунов, Ю. М. Математические основы кибернетики [Текст] / Ю. М. Коршунов. -М.: Энергия. - 1980. - 448 с.

5. Мазалов, В. В. Математическая теория игр и приложения [Текст] / В. В. Мазалов. -СПб: Лань. - 2010. - 448 с.

6. Ильина, У. В. Использование прикладных задач логистики в теории информационной безопасности [Текст] / У. В. Ильина, В. Г. Шахов // Безопасность информационных систем. -2011. - № 2.