CC BY
51
ЛОГИКА МАТРИЦ И АНАЛИЗ ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНЫХ СТРУКТУР НОРМАЛЬНОГО ЯЗЫКА, ОПОСРЕДОВАННЫХ ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ МНЕНИЯ
А.В. Нехаев
В статье предлагается проект логики матриц, призванной стать инструментом, обеспечивающим операции над истинностным значением таких референциально непрозрачных повествовательных структур нормального языка, как мнения.
Ключевые слова: логика матриц, доксоморфный дискурс, супрасегментарная функция, пара-грамматизм.
Логика матриц является системой исчисления истинностного значения конечных и вполне упорядоченных множеств высказываний, взятых как целое и имеющих форму доксоморфной аргументации. Современная логика и содержащиеся в ней системы исчисления, как классические, так и неклассические, принципиально игнорируют специфику доксоморфной формы аргументации, интерпретируя ее как некоторое «неправильно» заданное или построенное конечное множество высказываний или, точнее, «анормально», т. е. не по канонам имеющихся систем исчисления, сконцентрированных преимущественно на анализе номотетико-дедуктивной формы аргументации, сконструированную совокупность логических элементов. Тем не менее следует особо отметить, что такого рода позиция классических и неклассических систем исчисления имплицитно содержит в себе непонимание и принципиальный отказ от учета специфики структуры и принципов доксоморфной формы аргументации, а именно, от того, что отношения между высказываниями или элементами некоторого конечного и вполне определенного множества высказываний - доксы - устанавливает и определяет такой особый интенсиональный логический компонент, как «точка зрения». Как следствие, проект логики матриц как системы исчисления истинностного значения конечных и вполне упорядоченных множеств высказываний, взятых как целое и имеющих форму доксоморфной аргументации, предполагает, что данная система исчисления, принимая во внимание специфику структуры и принципов доксоморфной формы аргументации, будет производить операции над любыми типами конечных и вполне упорядоченных множеств, истинностное значение которых берется и ана-
лизируется как целое, а это, в свою очередь, предполагает, что сами процедуры и операции логики высказываний меняют свое значение и приобретают иной характер по сравнению как с классическими, так и не классическими системами исчислений.
Основные обозначения логики матриц. ||<^|| - неособенная, или невырожденная, квадратная матрица ||<^|| - матрица, обратная матрице £ ||^| - матрица, псевдо-
обратная матрице £ ||<Т|| - особенная, или
о
вырожденная, абсолютно-ложная квадратная
матрица ||<^|| - особенная, или вырожден-
1
ная, абсолютно-истинная квадратная матрица £ ^ - определитель матрицы £
Определения и принципы логики матриц. Если дано некоторое поле истинностных значений элементов конечного множества высказываний А, то, соответственно, квадратная таблица истинностных значений из поля А,
а\\ а\2 ■ а1п
а21 а22 ■ а2п
“ті аш2 ■ атп
называется матрицей истинностных значений высказываний некоторого конечного вполне упорядоченного множества высказываний - доксы.
Истинностные значения высказываний, включенных в поле А и составляющих матрицу, называются ее элементами. При этом,
поскольку для элементов матрицы используется двухиндексное обозначение, то, соответственно, первый индекс данного обозначения всегда указывает номер строки, а второй индекс - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Для специального обозначения строк и столбцов матрицы
1^11 = 1К*1 приняты - 7-Я строка матрицы
обозначается через и, . а /-и столбец -
через а/:
виалъно-истиннои -
либо тривиалъно-
а
= [ап,ап,...,ат], а^=\_^,ау,...,ащ]
где / = 1, ...,/и;;= 1, ...,п.
Наряду с указанным обозначением матрицы логика матриц может использовать и
сокращенное обозначение \а,к || ■ где / = 1, 2, т; к= 1,2, ...,«, а также, в целях удобства, неособенная, или невырожденная, матрица обозначается одной буквой -
И|,||/?||,...,И|,...,Й. При этом, поскольку
логика матриц использует в исчислениях только квадратные матрицы, т. с. т п. где, соответственно, переменная п, равная переменной т. называется порядком матрицы, то
в ситуации, когда ||<^|| - квадратная матрица
порядка п, она обозначается как |^|| = |с'/(/. | .
Опираясь на предложенное определение матрицы, необходимо указать, что по своей сути любая матрица, согласно логике матриц, есть такое описание некоторого пространства истинностных значений, состоящих в некоторых отношениях между собой, которое использует в этих целях два типа элементов - 'истина' и 'ложь'. Это означает, что принцип двузначности, но в то же время не принцип бивалентности в отношении матричного представления истинностного значения элементов некоторого конечного вполне упорядоченного множества, сохраняется. Иными словами, любая матрица может содержать в себе только два типа элементов 'истина' - |м| или 'ложь' - |л|.
При этом если все элементы матрицы являются |м| или |л|, то такая матрица называется особенной, или вырожденной, либо три-
ложнои -
, в зависимости от того, какое
значение - истина - \и\ или ложь - \л\ -имеют составляющие ее элементы.
и и и л Л Л
аи «12 - ат «11 «12 ■ ■ «1„
и и и л Л л
«21 а22 - «2 п 1*1= «21 а22 ■ «2»
0
и и и Л л Л
«М ат2 - ашп «м «и/2 ■ а тп
Иными словами, квадратную матрицу
\с\ = Щаг| п-то порядка, у которой все элементы принимают значение либо 'истина', либо 'ложь', следует называть вырожденной,
в противном случае квадратная матрица ||<Г| называется невырожденной.
Соответственно, любая матрица -
|^| = \\ац- | я-го порядка, которая содержит некоторое произвольное число элементов 'истина' - |^|, или 'ложь' - |л|, является неособенной, или невырожденной.
и Л Л
«п «12 ■ ■ «1„
л и и
«21 а22 ■ «2 „
Л л Л
«м «и/2 ■ а тп
Принимая во внимание, что любая докса есть некоторое конечное и вполне упорядоченное множество высказываний -
^ {а„’--->ап+т} , где п=1, а т - любое число, порядок следования которых и отношения между которыми внутри данного множества не произвольны, а имеют принципиальное значение, т. к., взятая сама по себе докса не является простой конъюнкцией составляю-
к
щих ее высказываний - лак, то, соответст-
г=1
венно, порядок следования и отношения между высказываниями в рамках некоторого конечного и вполне упорядоченного множества высказываний - доксы, задается таким ее особым логическим компонентом, как «точка зрения», являющаяся тем самым искомым интенсиональным способом разбиения истинностного значения, взятого как це-
лое, на части в некотором конечном вполне упорядоченном множестве высказываний -доксе, аналогично тому, как смысл - Sinn - в фрегеанской двухчленной семантике является интенсиональным способом разбиения истинностного значения - Bedeutung - на части внутри предложения [1].
Соответственно с этим, правила разбиения истинностного значения, взятого как целое, на части в таком конечном вполне определенном множестве, как докса -
^ предполагают, что истинно-
стные значения элементов первой горизонтали и вертикали матричного представления -
- истинностного значения доксы
,} взаимнооднозначно соответствуют истинностным значениям высказываний - ап-,---,ап+т, составляющих доксу, иными словами, их значения эквивалентны, при этом первые горизонталь и вертикаль матрицы \\С\\ заполняются в соответствии с порядком следования этих высказываний в самой доксе.
Так, если имеется некоторая докса, состоящая из к элементов - высказываний -
5і{а1,а2,...,ак\, то ее матричное представ-строится в соответствии со схе-
ление
мой:
положения, а именно, от номера строки, на которой данный элемент расположен.
Так, если т - это индекс, указывающий номер строки, на которой расположен некоторый элемент минора ат, то число операций отрицания над данным элементом ат, согласно правилу «контрадикторной конструкции по вертикали», исчисляется в соответствии с принципом — (т— 1).
k«ll=
ап = ах «12 = а2 аи ЕЕ Я3 . ■ <hn = ак
«21 = а2 а22 = «2 ■ а2 п = ак
«31 = аъ ^32 = ^2 Язз^з . ■ «3* = ак
(т-1) (т-1) (т-1)
«м = «і аш2 = а2 атЪ = аъ ■ атп S ак
Например, если имеется некоторая докса, состоящая из трех элементов - высказываний -
3, \а \,а 2->а з) , истинностное значение которых известно, то ее матричное представление \\С\\ строится следующим образом:
далее по правилу «контрадикторной конструкции по вертикали» достраивается минор матрицы,
л и л
и ...
л ...
III III ьР • <hn=°k
а1Х = а2 л ии ч л и л
II vjf и л и 1 г* л II и лп н
III S ? л и л и л
где к = т = п, т. е. число элементов - высказываний - некоторой данной доксы
3{{а1,а2,...,ак} равно числу строк и столбцов ее матричного представления ||<Г||. Оставшийся минор матрицы - пустые ячейки матрицы - заполняются в соответствии с правилом «контрадикторной конструкции по вертикали», иными словами, минор заполняется или достраивается элементами, значения которых попеременно противоположны значениям вышестоящих элементов. При этом число операций отрицания над элементом минора зависит от места его рас-
В соответствии с принципами логики матриц, для любой произвольной матрицы
, вне зависимости от того является данная матрица вырожденной или нет, может быть найден ее определитель - \С\, выражающий истинное значение ее элементов, взятых как целое.
Так, если \\С\\ есть некоторая матрица п-то порядка, где п = 3:
«11 «12 «13
II «21 «22 «23
«31 «32 а33
то определитель
\с\
матрицы
находится согласно следующей схеме:
14=
(ац ла^ АОзз) ^{а12 ла23 л^3) v(a21 ла32 ла^)
у а дизыснкт
(3 дизыонкт
(«13 Л«22 Л«31) ^(«32 Л«23 Л«33)
)(а,2 ла21 АОц)
£• кснсеквенг у 4* кожеквенг
Таким образом, схема определителя матрицы «-го порядка, в своей структуре предполагает шесть сложных конъюнктивных частей: а дизъюнкт, р дизъюнкт, у дизъюнкт, 5 антецедент, в консеквент, ^ консеквент, которые определяются следующим образом: на место а дизъюнкт подставляется конъюнкция, включающая в себя все элементы диагонали - {ап, ..., ат„}. пересекающей матрицу слева направо; Р дизъюнкт состоит из конъюнкции элементов матрицы, которые отсекаются диагональю и располагаются над ней; ^дизъюнкт включает в себя конъюнкцию элементов, отсеченных диагональю и расположенных под ней; на место д антецедента подставляется конъюнкция, включающая в себя все элементы контрдиагонали - {а1п, ..., ат]}. пересекающей матрицу справа налево; в консеквент состоит из конъюнкции элементов матрицы, которые отсекаются контрдиагональю и располагаются под ней; ^ консеквент включает в себя конъюнкцию элементов, отсеченных контрдиагональю и расположенных над ней.
Найдем \С\ - определитель для вырожденной тривиально-ложной матрицы
п-то порядка, где п = 3:
л л л
п ^ О л л л 14
л л л 5 0
|ллллл)у(ллллл)у(ллллл))з |((ллллл) 3 (л А л А л )И л ЛЛ лл)| = -
Найдем \С\ - определитель для вырожденной тривиально-истинной матрицы \\С|| п-то по-
1
рядка, где п = 3:
1
Л|=(( ИАЙАи)у(иАИАи)у(аАИА!( )) = (« илили)з(илили ))=>(илили)) = и.
Найдем \С\ - определитель для некоторой произвольной невырожденной матрицы п-то порядка, где п = 3:
и л л
141= л и и
л л л
||^| =((и ЛЯАл)у(лАЯ Ал) у(лАЛАл)) “Э(((Л ЛМ Ал)э(лллля))э(« АЛ Лл)| =|л|
Теперь необходимо рассмотреть две важные операции над матрицами - получе-
ние обратной матрицы
и переход к
псевдообратной матрице
Любая произвольная неособенная, т. е. невырожденная матрица ||<Г| имеет обратную себе матрицу \\С\\: если ||<Г|| = \ац\ , где /' = 1, 2, ..., га; к= 1, 2, ...,«, то обратная ей
матрица
определяется равенством
т;
1К1НК11 , где аш~агк, /■ = 1, 2, ... к= 1,2, ...,«.
Иными словами, операция получения обратной матрицы предполагает следующую схему:
«11 «21 • • «я1
II «12 «22 • • «»2
«! „ «2И • • ашп
согласно которой обращение предполагает взаимную перестановку элементов исходной матрицы, расположенных вдоль диагонали -
11? • • • ? @тп} •
При этом если квадратная матрица 1^1 = \агк\ и"го порядка совпадает со своей
обратной, т. е. \\С\\ = П, то такая матрица называется симметрической:
л и л л и л
с\\ = и л и и л и
л и л ? л и л
Найдем обратную матрицу ||Ь || к некоторой произвольно заданной невырожденной матрице \\С\\, а также вычислим для всех
этих матриц
и
их определители:
л л и
л л л
и и и
л л и
м= л л и
и л и
\с\ = \А
Все это позволяет сделать важнейший для логики матриц вывод, а именно, что определитель некоторой произвольной невырожденной матрицы ||® || и определитель об-
ратной к ней матрицы
II® || не состоят с необходимостью между собой в двойственных
отношениях, т. е. |®| ^ |®| Иными словами, обратным значением нетривиальной лжи и нетривиальной истины не являются нетривиальная истина и нетривиальная ложь, соответственно, их обратным значением является новая матрица, определитель которой сохраняет то же самое истинностное значение, что и у исходной матрицы.
Свойства обратной матрицы:
(ШЙ=(И-Й), $М1)=(ИЛЙ).
(ИлМ)=(ЙлЙ).
(1.1)
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.3)
Свойства обратной матрицы (1.1), (1.2.1) и (1.2.2) позволяют продемонстрировать принципиальную специфику логики матриц, состоящую в том, что многие из канонических равносильностей как классических, так и неклассических систем исчисления в данной логической системе не соблюдаются, и в частности, не соблюдаются известные равносильности Моргана - {а /\Ь) = а \/ Ь и
(ауй) = алй. При этом необходимо учитывать, что все перечисленные свойства обратной матрицы (1.1), (1.2.1) и (1.2.2) соблюдаются, если в процессе операций над матрицами не происходит их вырождения, иными словами, данные свойства выполнимы при условии, что результатом операций
(ИлИ)и(ММй)
не является вырожденная матрица, а это, в свою очередь, связа-
но с некоторыми особенностями вырожденных матриц.
Вырожденная тривиально-истинная матрица не имеет в качестве обратной тривиально-ложную и наоборот, тем самым оказывается, что такие значения, как 'истина' и 'ложь' в логике матриц не являются взаимно обратными, т. е. тривиальная ложь и тривиальная истина не имеют своими обратными значениями друг друга, подобно тому, как это принято в традиционной логике высказываний.
Ф
0 1 •
Для любой произвольной, как невырожденной, так и вырожденной, квадратной матрицы ||<г|| существует псевдообратная матрица |рГ||. Переход к псевдообратной матрице осуществляется посредством того, что каждый из элементов исходной матрицы ||<Г|, имеющий некоторое значение, 'истина' - |^|
или 'ложь' - |л|, имплицируется противоположным ему значением, т. е.:
Й=
Соответственно, матрица ||^ || называется псевдообратной для матрицы ||<Г||, если для нее выполняются следующие равенства:
(3.1)
данное равенство выражает собой взаимность понятия псевдобратной матрицы, т. к., согласно этому равенству, псевдообратной
матрицей для матрица
является сама исходная
vn£ =
(3.2)
данное равенство указывает, что дизъюнкция некоторой произвольной матрицы ||<Г| со
своей обратной матрицей ||ь || с необходимостью дает вырожденную абсолютно-истин-
ную матрицу
т
(3.3)
указанные свойства означают, что операции перехода от обратной к псевдообратной матрице и наоборот перестановочны между собой.
Матрицы можно соединять посредством логических союзов конъюнкции, дизъюнкции, импликации.
Конъюнкцией двух произвольных квадратных матриц \\С\ = \К\\ И 1^1 = |^| од-
ного порядка п является матрица Ц^Ц того же порядка:
= С.,
ап ап ... а1п Ьп Ьп ... Ь1ч
а2\ а22 ••• а2п п= Ь1Х Ь22 ... Ъ1ч
а , а 0 ... а т\ т2 тп ? ъ , ъ 0 ... ь и! п2 щ
-2д
у которой элемент си, стоящии на пересечении /-Й строки и /-го столбца, равен дизъюнкции /-Й строки матрицы ||<Г| на /-и столбец матрицы 1^1:
П
сУ=1Ал\
к-1 ?
где 7= 1,2, ...,т;і= 1,2,
Иными словами, конъюнкция двух произвольных квадратных матриц порядка п = 3 определяется следующим образом:
и
одного
«п «12 «1з кі 2 къ
0,1 «22 «3 Л Ь21 К Й23 =
«н «,2 «33 ЬЪ1 Й32 Й33
КМіМ^Л^іМ^з'Л) (^А^М^лбзМйізЛбв)
К/ЛМ^/^2іМа^ЛЙзі) К'АіМа22/А)Ч/К/А) К^зМ«Ьл^М«^з'Л)
(«31 Чі) 4% ЛЙ2і) Ч«33 Чі) («31 Ч2) Ч«!2 ЛЙ2г) 4^3 'А) К ЛАз) 4% Л^з) Ч«В Чз)
При этом необходимо помнить, что операция конъюнкции двух матриц всегда выполнима в соответствии с предложенной схемой, если и только если оба конъюнкта -квадратные матрицы одного и того же порядка.
Конъюнкция матриц не обладает ни коммутативным, ни ассоциативным свойствами, т. е. \\с\\ л |й НИ л \\с\\ и
1^1 Л (1^1 Л 1М1) ^ (1^1 л 1^1) л 1М1 5 кроме ситуации, когда в конъюнкции двух и более квадратных матриц «-го порядка один из конъюнктов является вырожденной абсо-лютно-ложной матрицей, поскольку тогда результат такой конъюнкции с необходимостью принимает значение вырожденной аб-солютно-ложной матрицы.
Дизъюнкцией двух произвольных квадратных матриц ||<Г| = ЩагЦ и 1^1 = ||^л| одного порядка п является матрица Ц'лЦ = Ц6'* | того же порядка:
аи ап ■■ аы *11 Ь12 ■ К
«21 Я22 - а2 ы= 621 Ь22 ■ К
«М Ят2 а тп ? ЬМ Ьп2 ■ ■ К
С11 С\2 ■ ■ %
с21 С22 ■ С2д
Ст1 Ст2 Спщ ?
элементы которой равны дизъюнкциям соответствующих элементов данных матриц:
Сгк =агк+Ъгк, ГДе 7 = 1,2, ...,ГП\к= 1,2, ...,«. Иными словами, дизъюнкция двух произвольных квадратных матриц ||<Г| и Ц^Ц одного порядка п = 3 определяется следующим образом:
ьи К К К К К
к, К
апчЬп а12 VЬи а1ъчЪг
а1^К агг^К «23'А:
а.. V Ъ.л а.. V Ь~ а.. V Ъ~
Из определения дизъюнкции матриц непосредственно следует, что данная операция для матриц одного порядка коммутативна и
ассоциативна, т. е. ||<Г| х/||‘^|| = Ц^Ц Х/||<Г|| и
К!х/ (И1х/ М) = (1Йх/ 1К1) х/ И •
Результатом импликации двух произвольных квадратных матриц ИЧЫГ одного порядка п является матрица 1И1 = ||с*| того же порядка:
«11 «12 ■ ■ «1„ Й11 Ь\2 ■ К
ІІФ «21 «22 ■ «2 и п= Ь21 Ъ12 ■ К
а , т\ «„2 ■ . а тп ? Ът Ъп2 ■ ь щ
сп С\2 ■ ■
С21 С22 ■ С2Ч
Ст\ Ст2 . С тд
¥ =
у которой элемент Су , стоящий на пересече-
С Ьы
нии 7-й строки и /-го столбца, равен дизъюнкции элемента £/,/, матрицы элементом матрицы Ц^Ц:
П
Са =ЦагкХ/Ь,
к=1
где 7 = 1, 2, ..., /и; у = 1, 2,
Иными словами, импликация двух произвольных квадратных матриц ||<Г| и Ц^Ц одного порядка п = 3 определяется следующим образом:
«її «12 «13 611 612 613 «11 V *11 «21 У&12 «31 V ^13
«21 «22 «23 3 ^21 Ъ22 ^23 = «12 V ^21 а22 V Ь22 «52 У К
«31 «32 «33 631 ^32 Лзз «із Аі «23 V 6,2 «зз V Ьъъ
Импликация нетривиальной лжи и тривиальной лжи не приводит к парадоксу, результатом данной импликации является матрица, определитель которой нетривиально ложен.
В логике матриц, исходя из особенностей заложенной в ней системы исчисления значения, соблюдаются следующие равносильности для однопорядковых матриц:
(Жф(ЙлИ), (4.1.1)
(М|АЙНйАй), (4.1.2)
(ц-ьйН&ьй). ,4.2)
М=И-(РМг1)-(Й=1?1)-(к1=1г-В, (4.3)
И=1й)-Вчй)-11ЯЙ-Н=И1)> (44)
Таким образом, если теперь дать номинальное определение основанного на указанных принципах проекта логического исчисления истинностного значения доксоморф-ного дискурса, взятого как целое, то логика матриц есть особого рода интенсиональная четырехзначная авалентная логика, где истинность является конструктивно определяемым значением, а, соответственно, равноправность и взаимная независимость 'тривиальной истины', 'тривиальной лжи', 'нетривиальной истины' и 'нетривиальной лжи' является одним из фундаментальных положений, на которое опирается предлагаемый логикой матриц формализм.
Необходимо отметить, что проект логики матриц [2], основанный в соответствии с известным принципом логической терпимости Карнапа - согласно которому правила логики можно выбирать произвольно и, следовательно, они условны, если их брать в качестве основы для построения исчисления, объяснение которого должно даваться позднее, хотя, с другой стороны, система логики не является предметом свободного выбора и бывает или правильной, или ложной, если используемое объяснение знаков дается заранее - призван стать тем самым инструментом, который обеспечит операции над истинностным значением таких референциаль-
но непрозрачных повествовательных структур нормального языка, как мнения, а в перспективе имеет возможности стать одним из эффективных инструментов топологического анализа мысли. При этом как классические, так и неклассические модели исчислений двузначной бивалентной логики высказываний являются квази-гомоморфными системами матричной логики высказываний, поскольку их преимущественный интерес направлен прежде всего на поиск выполнимых операций над изолированным истинностным значением высказываний, образующих в соответствии с некоторыми принципами систему, при абсолютном неразличении между собой таких истинностных значений, как тривиальные и нетривиальные истина и ложь, что, как следствие, приводит к возникновению многочисленных парадоксов и отсутствию эффективных систем исчисления и операций над дискурсивно артикулированными структурами нормального языка. При этом многозначность логики матриц не следует отождествлять с многозначностью логик, разработанных такими исследователями, как X. Мак-Кол, Н.А. Васильев, Я. Лукасе-вич, Э. Пост, С.Клини, А. Гейтинг, К. Гедель, Д.А. Бочвар, Дж.М. Данн, поскольку предложенное в них понимание многозначности явно или не явно сохраняет принцип валентности, а сверх того указанные проекты логик в качестве основного предмета анализа избирают изолированное суждение, не исследуя дискурсивно организованные их множества.
1. Фреге Г. О смысле и значении // Логика и логическая семантика. М., 2000. С. 236.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988. С. 13-38.
Поступила в редакцию 14.03.2008 г.
Nekhaev A.V. Logic of matrixes and analysis of narrative structures of normal language determined by the logic form of opinion. The author offers the project of the logic of matrixes, called to become the tool providing operations over the true meaning of such referentially opaque narrative structures of normal language as opinions.
Key words: logic of matrixes, doxomorphic discourse, suprasegmentary function, paragrammatism.
