ЛОГИКА ДЛЯ КРОСС-МИРОВОЙ ПРЕДИКАЦИИ: ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2024.

№ 79. С. 5-16.

Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 2024. 79. pp. 5-16.

ОНТОЛОГИЯ, ЭПИСТЕМОЛОГИЯ, ЛОГИКА

Научная статья УДК 16

doi: 10.17223/1998863Х/79/1

ЛОГИКА ДЛЯ КРОСС-МИРОВОЙ ПРЕДИКАЦИИ: ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Евгений Васильевич Борисов

Институт философии и права Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, Россия, [email protected]

Аннотация. В одной из недавних публикаций я представил синтаксис и семантику логики СШРЬ, решающей проблему кросс-мировой предикации. В данной статье описана упрощенная версия этой логики (СШРЬ0), предложена табличная теория доказательства для нее и показана корректность и полнота этой теории относительно соответствующей семантики. Кроме того, показано, как данная теория доказательства может быть трансформирована в теорию доказательства для СЖРЬ. Ключевые слова: модальная логика первого порядка, кросс-мировая предикация, СЖРЬо, семантика, табличная теория доказательства, полнота

Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-28-01465, https://rscf.ru/project/23-28-01465. Я признателен И.И. Мухаметшиной за помощь в подготовке текста.

Для цитирования: Борисов Е.В. Логика для кросс-мировой предикации: теория доказательства // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2024. № 79. С. 5-16. doi: 10.17223/1998863Х/79/1

ONTOLOGY, EPISTEMOLOGY, LOGIC

Original article

A PROOF THEORY FOR A LOGIC FOR CROSSWORLD PREDICATION

Evgeny V. Borisov

Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russian Federation, [email protected]

Abstract. Some sentences of natural languages, such as John might have been taller than Mary is, ascribe relations to objects each of which is associated with a possible world. In this example, Mary is associated with the actual world whereas John is associated with a possible world that can be distinct from the actual one. This phenomenon - the phenomenon of crossworld predication - cannot be reflected by means of standard modal logic. Recently, I elaborated a nonstandard logic accommodating crossworld predication; I shall call it CWPL (a logic for crossworld predication). CWPL is a first-order modal logic with equality; its

© Е.В. Борисов, 2024

formal language contains individual constants and lambda-operator. Semantically, CWPL is based on crossworld interpretation of predicates that assigns extensions to each ra-ary predicate with respect to n-tuples of possible worlds rather than single possible worlds. Models for CWPL have varying domains. In CWPL's semantics, truth values of formulae are relativized, inter alia, to partial functions from variables to possible worlds - this enables us to employ crossworld interpretation of predicates when evaluating formulae. In my 2023 paper, I presented syntax and semantics of CWPL; in the present paper, I elaborate a tableau proof theory for a slightly simplified version of CWPL that I shall call CWPLo. CWPLo is simpler than CWPL in following respects: it is a logic without equality, its formal language does not contain individual constants, and it is based on models with constant domain. In the present paper, a tableau system for CWPL0 is presented and its completeness with respect to the crossworld semantics is established. The presented tableau system is based on tableau proof theory for standard modal logic proposed by Fitting and Mendelsohn, but their proof theory is modified so as to be adequate to crossworld semantics. I also show that the simplifications of CWPL mentioned above are not essential in the sense that the presented proof theory for CWPL0 can be transformed into a proof theory for CWPL without loss of completeness.

Keywords: first-order modal logic, crossworld predication, CWPLo, semantics, tableau proof theory, completeness

Acknowledgements: The research was supported by the Russian Science Foundation, Project No. 23-28-01465, https://rscf.ru/project/23-28-01465/. I am indebted to I. Mukhametshina for assistance in editing.

For citation: Borisov, E.V. (2024) A proof theory for a logic for crossworld predication. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya -Tomsk State University Journal ofPhilosophy, Sociology and Political Science. 79. pp. 5-16. (In Russian). doi: 10.17223/1998863Х/79/1

Введение

В одной из недавних публикаций [1] я представил синтаксис и семантику логики CWPL (crossworld predication logic), отображающей кросс-мировую предикацию. Это модальная логика первого порядка с равенством; ее синтаксические особенности состоят в том, что она содержит Х-оператор и константы. В семантическом плане она базируется на кросс-мировой интерпретации предикатов в моделях с переменным доменом, при этом константы имеют нежесткую интерпретацию. В упомянутой статье, как и в других известных мне публикациях по проблеме кросс-мировой предикации (в частности, [2-5]), дается только синтаксис и семантика соответствующих логических систем, но не приводится теория доказательства. В данной статье восполняется этот пробел для CWPL. Ниже дана табличная теория доказательства для незначительно упрощенной версии CWPL, которую я обозначу как CWPL0. Упрощения состоят в следующем:

1) в CWPL0 в качестве термов используются только переменные (константы не используются);

2) CWPL0 - логика без равенства;

3) в семантике CWPL0 используются модели с постоянным доменом.

Эти упрощения несущественны в том смысле, что данную ниже теорию

доказательства можно адаптировать к CWPL, т.е. модифицировать так, чтобы учесть наличие в языке констант с нежесткой интерпретацией и предиката равенства, а также интерпретацию на моделях с переменным доменом (подробнее об этих модификациях будет сказано в разделе 2.4). Первый вариант табличной теории доказательства для логики с кросс-мировой интерпретаци-

ей предикатов был представлен в [6]. Этот вариант имел лишь ограниченную применимость: он позволял доказывать только замкнутые формулы. Кроме того, в [6] не была показана корректность и полнота этого варианта относительно соответствующей семантики. Теория доказательства, представленная в настоящей статье, преодолевает эту ограниченность: она применима ко всем формулам - как замкнутым, так и открытым. Кроме того, здесь демонстрируется ее корректность и полнота.

1. Синтаксис и семантика СМГРЬ0

CWPL0 строится на языке £, алфавит которого содержит счетное множество индивидных переменных, счетное множество п-местных предикатов для каждого натурального п > 1, булевы операторы —, модальный оператор □, квантор V, А-оператор, запятую и скобки. Множество формул данного языка определяется следующей грамматикой:

ф ::= P(X1, ..., Xn) I ^ ф I (ф ^ у) I □Ф I Vx ф | (Ах.ф)(у),

где P - п-местный предикат, x1, ..., xn, у - переменные, ф и у - формулы. Операторы &, V, 0, 3 определяются стандартным образом.

Соглашение. Выражение (х / у)ф будет использоваться как сокращение для (Ау.ф)(х).

Определение 1. (Модель) CWPL0-модель (модель) M - это упорядоченная четверка ^, R, D, I), где:

• G - непустое множество (множество возможных миров);

• R - бинарное отношение на G (отношение достижимости);

• D - непустое множество (домен M);

• I - функция, назначающая каждому п-местному предикату и каждой упорядоченной п-ке возможных миров п-местное отношение на D (интерпретация предикатов)1.

Определение 2. (Оценка переменных в модели) Пусть M = R, D, I) -модель. Оценка переменных в M - это функция, отображающая переменные на объекты в D.

Определение 3. (УР-функция в модели) Пусть M = R, D, I) - модель. VP-функция в M - это частичная функция, отображающая переменные на возможные миры в G.2

Определение 4. (x-вариант оценки переменных) Пусть M = R, D, I) -модель, v - оценка переменных в M, e Е D, x - переменная. Тогда v[e / x] - это оценка переменных в M, отображающая x на e, а любую переменную у, отличную от x, на v(y).

Определение 5. (x-вариант УР-функции) Пусть M = R, D, I) - модель, f - УР-функция в M, e Е D, x - переменная. Тогда f [е / x] - это УР-функция в M, такая что:

1) f [e / x](x) = e,

1 Таким образом, I назначает экстенсионалы и-местному предикату не для отдельных миров, как в стандартной семантике, а для упорядоченных и-ок миров. В этом состоит специфика кросс-мировой интерпретации предикатов. Подробнее о кросс-мировой интерпретации предикатов и подходов к ее использованию в семантике см. в [1].

2 Термин «VP-функция» происходит от «variable» и «possible world». Отмечу, что, поскольку VP-функции определяются как частичные, 0 является VP-функцией в любой модели.

2) для любой переменной у, отличной от х: если f не определена для у, то и f [е / х] не определена для у, а если f определена для у, то f [е / х](у) = f (у).

Определение 6. (Фундированная VP-функция) Пусть М = (О, R, Б, I) -модель, f - VP-функция в М, ^ 6 О. Тогда [/у>] - VP-функция в М, такая что для любой переменной х:

1) если f определена для х, то [/" w](x) = f (х);

2) если № не определена для х, то № w](x) = w1.

Определение 7. (Истина в модели) Пусть М = (О, R, Б, I) - модель, ^ 6 О, V - оценка переменных в М, № - УР-функция в М, Р - п-местный предикат, х1, ..., хп, х, у - переменные, ф и у - формулы. Отношение истинности (1=) между моделями, возможными мирами, оценками переменных, УР-функция-ми и формулами определяется следующим образом:

• М, W, V,№ = Р(хь..., хп) «• (v(Xl), v(Xп)) 6 1(Р)(([/>](х1), [№ w](Xп)));

• М, w, V, № = - Ф «> М, w, V, № ^ф;

М, w, V, № = ф ^ у (М, w, V, № = ф ^ М, w, V, № = у);

• М, w, V,№ = □ф (У и 6 R[w])М, w, V,№ = ф, где R[w] := {и: w R и};

• М, w, V,№ = Ух ф (Уе 6 Б) М, w, v[e / х],/\м> / х] = ф;

• М, w, V,№ = (у / х)ф ^М, w, v[v(y) / х],№^ / х] = ф.

Определение 8. (Общезначимость) Формула ф называется CWРL0гобще-значимой (общезначимой), если для любой модели М = (О, R, Б, I), любого возможного мира w в О и любой оценки переменных V в М, М, w, V, 0 = ф.2

Соглашение. Если ф - формула, то = ф означает, что ф общезначима.

2. Табличная теория доказательства СЖРЬ0

В табличной теории доказательства CWРL0 доказательство имеет форму дерева, вершинами которого являются формулы с префиксами3. Префикс представляет собой конечную последовательность натуральных чисел, разделенных точками; например, 1.7.3 - префикс. Формулы записываются на расширенном языке £+, который содержит все символы £, а также переменные формы х°, где х - переменная £, о - префикс.

Деревья имитируют семантическую оценку формул. В частности, ветку дерева можно понимать как репрезентацию некоторой модели. При этом:

1. Префиксы можно понимать как возможные миры этой модели.

2. Структура префиксов отображает отношение достижимости: если на ветке встречаются префиксы о и о.п (п - натуральное число), то о.п достижим из о.

3. Верхние индексы переменных репрезентируют VP-функцию в данной модели: эта функцию отображает переменную формы хо на о.

Будем называть вхождение переменной в формуле немодальным, если оно не лежит в области действия модальных операторов.

Соглашение. Пусть ф - формула, а о - префикс. Тогда фо - формула, полученная в результате замены в ф всех немодальных свободных вхожде-

1 Стоит заметить, что [/V] - полная функция.

2 В [1] даны два определения общезначимости для CWРL. Здесь используется приведенное определение, потому что оно отражает особую роль пустой УР-функции в семантике CWРL и CWРLí¡.

3 Данная здесь теория доказательства представляет собой модификацию табличной теории доказательства, представленной в [7] для разных систем пропозициональной и первопорядковой модальной логики. Необходимость модификаций вызвана рядом семантических особенностей CWРL (сохраняющихся в CWРL¡¡), отмеченных в [1] и [8].

ний любой переменной х вхождениями х . Например, если ф - это Vx 0(х, у) ^ 0Р(у), то ф° - это Vx 0(х, у°) ^ 0Р(у).

Ветка дерева называется замкнутой, если она содержит о ф и о — ф для некоторого префикса о и некоторой формулы ф или о ф и т — ф для некоторых префиксов о и т и некоторой атомарной формулы ф. Незамкнутая ветка называется открытой. Дерево называется замкнутым, если замкнуты все его

ветки; незамкнутое дерево называется открытым. Доказательство формулы ф -

1

это замкнутое дерево с корнем 1 — ф , построенное по перечисленным ниже правилам табличного доказательства.

2.1. Правила табличного доказательства

Данная теория доказательства содержит правила для булевых операторов, модальных операторов, кванторов и А-оператора1. Некоторые правила могут применяться к одной и той же формуле несколько раз на одной и той же ветке; это оговаривается в примечаниях к правилам. Если такого примечания нет, правило применяется к каждой формуле подходящего вида только один раз на ветке.

Правила для булевых операторов

Конъюнктивные правила:

о ф & у о — (ф V у)

о ф, о у о — ф, о — у

Дизъюнктивные правила:

о — (ф & у) о ф V у

о — ф I о — у о ф I о у

Знак «I» между формулами означает разветвление. Правило двойного отрицания:

о

• (Ф ^ ¥)

о Ф, о - у

о Ф ^ у

1 Ф I о у

о ф

Правила для модальных операторов

Правила возможности:

о Оф

□Ф

о.П ф о.п Префикс о.п должен быть новым на ветке.

Правила необходимости:

о □ф о —

■ Оф

о.п ф о.п — ф

Префикс о.п должен встречаться на ветке выше. Правило может быть применено к о □ф многократно - один раз для каждого префикса о.п, встречающегося на ветке; аналогично для о — 0ф.

1 Для удобства читателя ниже даются правила не только для примитивных, но и для определяемых операторов.

а

Ф

о

о. и

Ф

Правила для кванторов

Правила экзистенциальной квантификации:

о Эх ф(х)

о - Ух ф(х)

о ф(уо)

о — ф(уо)

у - новая для ветки переменная.

Правила универсальной квантификации: о Ух ф(х)

о - Эх ф(х)

о ф(уо)

о - ф(уо)

у - любая (не обязательно новая для ветки) переменная. Правило может быть применено много раз: один раз для каждой переменной у. Отмечу, что при применении этого правила мы можем использовать переменную у независимо от того, с какими верхними индексами она встречается на ветке выше. Например, при применении этого правила мы можем дописать формулу о — ф(уо), даже если выше у встречалась с другим верхним индексом.

Правила для Х-оператора:

где х - переменная х с верхним индексом или без такового. Отмечу, что если

- т

х = х для некоторого т, при применении правила мы в отмеченных вхождениях х заменяем т на о.

Соглашение. Ь ф означает, что ф - теорема CWРL0.

2.2. Корректность табличной теории доказательства CWPL0

Нижеследующая лемма является аналогом стандартной леммы логики первого порядка. Лемма доказывается индукцией по структуре ф(х); доказательство рутинно, поэтому я его опускаю.

Лемма 1. Пусть ф(х) - формула, в которой не встречается переменная у, ф(у) - результат подстановки у вместо всех свободных вхождений х в ф(х), М = (О, R, Б, I) - модель, w 6 О, V и и - оценки переменных в М, № и g -УР-функции вМ, и пусть верно следующее:

• для любой переменной z, свободной в ф(х), кроме х, v(z) = ы^);

• v(x) = ы(у);

• для любой свободной в ф(х) переменной z, кроме х, либо № и g не определены для z, либо №= g(z);

• либо № не определена для х и g не определена для у, либо № (х) = g(y).

Тогда

М, w, V, № = ф(х) ^ М, w, и, g = ф(у).

Следствие 1. Пусть М = (О, R, Б, I) - модель, w 6 О, V - оценка переменных в М, № и g - УР-функции в М, и пусть № и g согласны относительно всех свободных переменных в ф, т.е. для каждой такой переменной х, либо № и g не определены для х, либо №(х) = g(x). Тогда

о (х / у) ф(у)

о — (х / у) Ф(у)

о ф(хо)

о — ф(хо)

М, w, V, № = ф ^ М, w, V, g = ф.

Следующая лемма потребуется как в доказательстве корректности, так и в доказательстве полноты рассматриваемой теории доказательства.

Лемма 2. Пусть х1, ..., хп - переменные, ф - формула, переменные у1, ..., уп не встречаются в ф. Обозначим как ф* результат замены в ф всех немодальных свободных вхождений х■ (1 < ■ < п) вхождениями у. Пусть М = (G, R, D, I) - модель, w Е М, V и и - оценки переменных в М, f и /+ -УР-функции вМ, и пусть верно следующее:

• для любой свободной в ф переменной х v(x) = и(х);

• для любого ■ (1 < ■ < п), v(xг■) = и(у);

• /не определена для х1, ..., хп, у1, ..., уп;

• /+ = / и((У1, ..., Уп№}).

Тогда

М, w, V,/= ф ^ М, w, и,/+ = ф*.

Доказательство. Лемма доказывается индукцией по структуре ф. Рассмотрим базу индукции и случай, когда ф = □у; для остальных индуктивных случаев доказательство рутинно.

1) База индукции. Чтобы убедиться, что лемма выполняется для атомарных формул, достаточно обратить внимание на следующее: (а) поскольку / не определена для х, / w](xl) = w; (Ь) поскольку /+(у) = w, / w](yг■) = w. Таким образом, />](хг) = /+w](yг).

2) Случай, когда ф = пу. В этом случае ф* = ф, а значит,/и/+ согласны относительно всех свободных в ф переменных. Тогда лемма вытекает из следствия 1 леммы 1. ■

Определение 9. Пусть 5" - множество формул с префиксами на языке £. Пусть PREF(S) и FOR(S) - множество встречающихся в S префиксов и множество встречающихся в 5 формул соответственно. Пусть все переменные во всех немодальных свободных вхождениях в формулах из FOR(S) имеют верхний индекс из PREF(S). 5 называется выполнимым, если существует модель М = R, D, I), оценка переменных V в М, УР-функция/в М и функция Ъ от PREF(S) к G, такие что:

1) для любых префиксов о и о.п в PREF(S), Ъ(о) R Ъ(о.п),

2) для любой переменной х и любого префикса о в PREF(S), v(xо) = v(x),

3) для всех переменных без верхнего индекса / не определена,

4) для любой переменной х и любого префикса о в PREF(S), / (хо) = Ъ(о),

5) для любой формулы ф и любого префикса о, если о ф Е 5, М, Ъ(о), V, / = ф.

Будем называть ветку дерева выполнимой, если выполнимо множество встречающихся на ней формул с префиксами. Пусть В - ветка некоторого дерева. Если на В применить недизъюнктивное правило, мы получим новую ветку В'. Если на В применить дизъюнктивное правило, мы получим две новые ветки В/ и В2'.

Лемма 3. Пусть В - выполнимая ветка дерева. Если на В применить недизъюнктивное правило, то В' выполнима; если на В применить дизъюнктивное правило, то как минимум одна из веток В1' и В2' выполнима.

Доказательство. Лемма доказывается перебором правил. Для большинства правил доказательство рутинно. Например, допустим, что на ветке при-

менено конъюнктивное правило к формуле вида о ф & у. Поскольку множество формул на В выполнимо, существуют модель М, функция h, оценка переменных V и УР-функция№ предусмотренные определением 9. При этом мы имеем М, ^о), V, № = ф & у, а значит, М, ^о), V, № = ф и М, ^о), V, № = у, т.е. две формулы, которых не было в В и которые появляются в В', не нарушают пункт (5) определения 9. Сохранение остальных пунктов определения очевидно. Таким образом, М, h, V и № показывают выполнимость В'.

Рассмотрим единственный интересный случай - случай применения правила возможности. Пусть В' образуется при применении на В правила возможности к формуле с префиксом о Оф (случай применения правила для — □аналогичен). Это значит, что В' содержит о.п фоп, причем о.п не встречается на В. Поскольку В выполнима и о Оф присутствует на В, существуют М, h, V и № соответствующие условиям определения 9; в частности, М, ^о), V, № = Оф. Следовательно, в М существует достижимый из ^о) мир w, такой что М, w, V, № = ф. Определим ^ как h и {(о.п, w)}. Тогда М, ^о.п), V, № = ф. Пусть (хь ..., хп} - множество переменных, имеющих немодальные

свободные вхождения в ф. Отметим, что, поскольку префикс о.п не встречать о.п о.п « Г\

ется на В, переменные х1 , ., хп не имеют вхождений в ф. Определим и как v[v(x1) / х1оп]...^(хп) / хпап], а как № и{(х1оп, w), ..., (х^п, w)}. Тогда, по лемме 2, мы имеем М, ^о.п), и, № = фоп. При этом следствие 1 леммы 1 показывает, что для любой формулы т у на В верно М, h '(т), и, № + = у. Наконец, мы имеем ^(о) R h'(о.п). Таким образом, все условия определения 9 верны для множества формул на В', модели М, функций и и №+, а значит, В' выполнима. ■

Лемма 4. Для любой формулы ф на языке £, если ф не общезначима, то {1— ф1} выполнимо.

Доказательство. Поскольку ф не общезначима, существуют модель М = (О, R, Б, I), возможный мир w в О и оценка V переменных языка £ в М, такие что М, w, V, 0 £ ф (1). Поскольку £+ - это расширение £, ф является также формулой £+. Пусть х1, ..., хп - переменные, имеющие немодальные свободные вхождения в ф. Определим оценку и' переменных языка £ в М как v[v(xl) / х11].\у(хп) / хп:]; определим УР-функцию № для £+ в М как {(хД w), ..., (хп!, w)}. По лемме 2, М, w, V', 0 = ф М, w, V', № = ф1 (2). При этом, поскольку V1 согласна с V относительно всех переменных без верхнего индекса и поскольку в ф нет переменных с верхним индексом, М, w, V', 0 = ф М, w, V, 0 = ф (3). Из (1) - (3) следует М, w, V', № £ ф1, а значит, М, w, V',№ = — ф1. Определив h как {(1, w)}, легко убедиться, что условия определения 9 выполняются для {1— ф1}, М, h, V1 и № а значит, {1— ф1} выполнимо. ■

Теперь мы можем доказать теорему о корректности.

Теорема 1. (Теорема о корректности табличной теории доказательства CWPL0) Для любой формулы ф, Ь ф ^ = ф.

Доказательство. Докажем теорему контрапозитивно. Пусть £ ф. Тогда, по лемме 4, {1— ф1} выполнимо. Отметим очевидный факт, что любая выполнимая ветка открыта. С учетом этого, по лемме 3, любое дерево с корнем 1— ф1 содержит открытую ветку, а значит, не является доказательством ф. Таким образом, I ф. ■

2.3. Полнота табличной теории доказательства CWPL0

Дерево, на каждой ветке которого правила табличного доказательства применены ко всем формулам с префиксами, к которым они могут быть применены, будем называть насыщенным. Для доказательства полноты нам потребуется следующая лемма об открытой ветке насыщенного дерева.

Лемма 5. Пусть 5 - множество формул, встречающихся на открытой ветке В некоторого насыщенного дерева, а М = (О, R, Б, I) - модель со следующими свойствами:

• О - множество встречающихся в 5 префиксов;

• R = {(о, о.п) : о, о.п Е О};

• (а) если в 5 встречаются свободные переменные без верхнего индекса или переменные с верхним индексом, то Б - множество всех таких переменных; (Ь) если в 5 не встречаются переменные указанных видов, то Б = {х}1;

• для любого п-местного предиката Р, любых переменных х1, ..., хп и префиксов о-ь ., оп, (хь ., хп) Е ДР)((оь ., оп)) т Р(хЛ, ., х°п) Е 5 для некоторого т Е G.

Пусть V - оценка переменных языка £ в М, такая что для любой переменной х Е Б и любого префикса о Е G, v(x) = v(xо) = х. Пусть/- УР-функция в М, такая что:

1) для любой переменной х Е Б и любого префикса о Е G, /(хо) = о,

2) /не определена для любой переменной без верхнего индекса.

Тогда:

о ф Е 5 ^ М, о, V, / = ф и о — ф Е 5 ^ М, о, V, / £ ф

Доказательство. Лемма доказывается индукцией по структуре ф. Рассмотрим базу индукции и один из индуктивных случаев - случай, когда ф = Оу (случай, когда ф = — □у, аналогичен; для остальных случаев доказательство рутинно).

База индукции. В 5 не может быть атомарных формул, содержащих переменные без верхних индексов. Это связано с тем, что 1) в корне дерева все переменные во всех немодальных свободных вхождениях имеют верхний индекс; 2) в формулах, которые мы получаем в результате применения правил, переменные во всех немодальных свободных вхождениях имеют верхний индекс; 3) в атомарных формулах переменные имеют только немодальные свободные вхождения. Следовательно, атомарные формулы в 5 имеют вид Р(х1о1, ..., хп°п). Докажем два пункта леммы для формул такого вида.

■) о Р(х1о1, ..., хп°п) Е 5. По определению I, из этого следует, что (хь ., хп) Е /(Р)((оь ., оп)), а значит, М, о, V,/ = Р(хД ., хп°").

и) о — Р(хЛ, ..., хп°п) Е 5. В силу открытости В, для любого т Е О, т Р(х1о1, ..., хп°п) £ 5, следовательно, (х1, ..., хп) £ 7(Р)((о1, ..., оп)), а значит, М, о, V, / £ Р(хЛ, ..., хп°").

Индуктивный случай: ф = Оу.

1 Подпункт (Ь) мотивирован следующим образом. Рассмотрим насыщенное дерево для формулы ■^х Р(х). Его единственная ветка открыта и содержит единственную формулу с префиксом

1— ОVx Р(х). Если строить модель по этой ветке, имея только (а), то домен окажется пустым, что не соответствует определению модели.

о о Оу 6 S. Поскольку В - ветка насыщенного дерева, к данной формуле было применено правило возможности, следовательно, о.п уоп 6 S для некоторого п. По индуктивной гипотезе из этого следует, что М, о.п, V, № = уоп. Отсюда, по лемме 1, М, о.п, V, № = у (лемму нужно применить столько раз, сколько переменных получили верхний индекс о.п при применении правила возможности к о Оф). А поскольку о R о.п, мы получаемМ, о, V,№ = Оу, т.е. М,

о, V, № = ф.

и) о — Оу 6 S. Поскольку В - ветка насыщенного дерева, о.п — у 6 S для каждого о.п 6 О. Применяя к у индуктивную гипотезу, получаем М, о.п, V, № £ у для каждого о.п 6 О. Отсюда, с учетом определения R, М, о, V, № £ Оу. ■

Теорема 2. (Теорема о полноте табличной теории доказательства CWРL0) Для любой формулы ф, = ф ^ Ь ф.

Доказательство. Докажем теорему контрапозитивно. Пусть I ф. Тогда любое дерево с корнем 1— ф1 содержит открытую ветку. Рассмотрим открытую ветку насыщенного дерева с этим корнем. По лемме 5, существуют М, V и № такие что М, 1, V, № = — ф1. Отсюда, по лемме 1, М, 1, V, № = — ф и, по следствию 1 этой леммы, М, 1, V, 0 = — ф, а значит, М, 1, V, 0 £ ф. Таким образом, £ ф.^

2.4. CWPLo и CWPL

Данная теория доказательства может быть адаптирована для CWPL посредством следующих модификаций.

1. Формальный язык CWPL содержит индивидные константы, которые в моделях для CWРL имеют нежесткую интерпретацию. Этот факт может быть отображен в теории доказательства посредством включения в расширенный язык £+ термов формы со, где с - константа, а о - префикс. Семантический смысл со состоит в репрезентации денотата константы с в мире, репрезентируемом префиксом о. Для использования этого инструмента необходима модификация правил для Х-оператора, обеспечивающая их применимость к формулам вида (Хх.ф)(?), где t - константа с индексами или без таковых.

2. Модели для CWРL суть модели с переменным доменом, поэтому в табличных доказательствах для данной логики в некоторых случаях необходимо отображать принадлежность денотата терма домену мира. Это можно сделать, если включить в £+ переменные вида х/, где нижний индекс означает принадлежность денотата х миру, репрезентируемому префиксом т. Это требует соответствующей модификации правил для кванторов: например, при применении правила для Э к о Эх ф(х) мы должны получать о ф(уоо) (где у - новая для ветки константа).

3. Чтобы учесть поведение равенства в логиках с равенством, необходимо к системе правил табличного доказательства добавить стандартные правила для равенства (правило, позволяющее добавлять к веткам формулы вида t = t с релевантными префиксами, и правило замены равных).

Эти модификации не внесли бы принципиальных изменений в доказательство корректности и полноты, но сделали бы его значительно более громоздким, поэтому в данной статье я ограничился упрощенной логикой CWРLo.

Заключение

В статье предложена табличная теория доказательства для логики CWPL0, которая может быть модифицирована в теорию доказательства для CWPL. Показано, что данная теория корректна и полна относительно семантики, изложенной в первом разделе статьи. Данная теория доказательства является улучшенной версией теории доказательства, изложенной в [6]: последняя позволяет доказывать только замкнутые формулы, тогда как изложенная здесь теория применима и к замкнутым, и к открытым формулам. CWPL имеет преимущество перед кросс-мировыми логиками Баттерфилда и Стерлинга ([3]) и Вемайера ([4]) по выразительной силе и преимущество перед кросс-мировой логикой Коцурека ([2]) по простоте языка (подробнее об этом см.: [1]). При этом все упомянутые логики содержат только семантику, т.е. не содержат теорию доказательства. Наличие теории доказательства, корректной и полной относительно соответствующей семантики, является еще одним достоинством CWPL.

Список источников

1. Borisov E. A Nonhybrid Logic for Crossworld Predication // Логические исследования. 2023. Т. 29, № 2. C. 125-147.

2. Butterfield J., Stirling C. Predicate modifiers in tense logic // Logique et Analyse. 1987. Vol. 30. P. 31-50.

3. Kocurek A. W. The problem of cross-world predication // Journal of Philosophical Logic. 2016. Vol. 45. P. 697-742.

4. Wehmeier K.F. Subjunctivity and cross-world predication // Philosophical Studies. 2012. Vol. 159. P. 107-122.

5. Wehmeier K., Rtickert H. Still in the Mood: The Versatility of Subjunctive Markers in Modal Logic // Topoi. 2019. Vol. 38. P. 361-377.

6. Борисов Е.В. Логика для кросс-мировой предикации // Наука как общественное благо / ред. И.Т. Касавин, Л.В. Шиповалова. М. : РОИФН, 2020. Т. 4. С. 205-209.

7. FittingM.C., Mendelsohn R. First-Order Modal Logic. Dordrecht: Springer Science+Business Media, 1998. 287 p.

8. Ламберов Л.Д. К вопросу об особенностях CPL // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023. № 74. С. 17-24. doi: 10.17223/1998863Х/74/2

References

1. Borisov, E.V. (2023) A Nonhybrid Logic for Crossworld Predication. Logical Investigations. 29. pp. 125-147.

2. Butterfield, J. & Stirling, C. (1987) Predicate modifiers in tense logic. Logique et Analyse. 30. pp. 31-50.

3. Kocurek, A.W. (2016) The problem of cross-world predication. Journal of Philosophical Logic. 45. pp. 697-742.

4. Wehmeier, K. F. (2012) Subjunctivity and cross-world predication. Philosophical Studies. 159. pp. 107-122.

5. Wehmeier, K. & Ruckert, H. (2019) Still in the Mood: The Versatility of Subjunctive Markers in Modal Logic. Topoi. 38. pp. 361-377.

6. Borisov, E.V. (2020) Logika dlya kross-mirovoy predikatsii [A logic for crossworld predication]. In: Kasavin, I.T. & Shipovalova, K.V. (eds) Nauka kak obshchestvennoe blago [Science as a Public Good]. Vol. 4. Moscow: Russian Society for History and Philosophy of Science. pp. 205-209.

7. Fitting, M.C. & Mendelsohn, R. (1998) First-Order Modal Logic. Dordrecht: Springer Science+Business Media.

8. Lamberov, L.D. (2023) On the features of CPL. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Politologiya - Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science. 74. pp. 17-24. (In Russian). DOI: 10.17223/1998863Х/74/2

Сведения об авторе:

Борисов Е.В. - доктор философских наук, доцент, главный научный сотрудник Института философии и права СО РАН (Новосибирск, Россия). E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Information about the author:

Borisov E.V. - Dr. Sci. (Philosophy), docent, chief researcher at the Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

The author declares no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 16.04.2024; одобрена после рецензирования 20.05.2024; принята к публикации 11.06.2024

The article was submitted 16.04.2024; approved after reviewing 20.05.2024; accepted for publication 11.06.2024