Логические методы в теории надежности сложных систем. I. математический аппарат Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.09

ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ. I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

© В.И. Левин

Ключевые слова: логические определители; их свойства; раскрытие; проблема размерности; надежность. Описаны логические определители, служащие математическим аппаратом для моделирования надежности сложных систем.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] были предложены автоматно-логические модели и методы анализа надежности технических систем, основанные на математическом аппарате двузначной (булевой) и бесконечнозначной (непрерывной) логики (НЛ). Было показано, что предложенные модели и методы позволяют анализировать надежность, в принципе, любых систем в аналитической форме, что имеет большое теоретическое и практическое значение. Однако попытки непосредственного применения предложенного подхода к сложным системам, у которых логические схемы-модели сложны, а их входные процессы имеют большое число последовательных изменений сигнала (что является следствием многоразового восстановления блоков системы), наталкиваются на очень большие трудности. Эти трудности обусловлены необозримостью получаемых выражений и большой сложностью их вычисления.

В данной работе предложен другой подход к анализу надежности сложных систем, основанный на математическом аппарате логических определителей (ЛО), вводимых как числовые характеристики некоторых квазиматриц, вычисляемые по соответствующим формулам алгебры НЛ [2]. В целом квазиматрицы и ЛО в рассматриваемой области играют ту же роль параметров укрупненного (блочного) описания изучаемых нелинейных систем, что и обычные матрицы и определители в области линейных систем, т. е. способствуют лучшей обозримости и вычислимости различных характеристик изучаемых технических систем. В нашем случае это характеристики надежности.

1. ПОРЯДКОВАЯ ЛОГИКА И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1. Рассмотрим множество X = ,,х„} из п элементов х1, я,- е [А, В]. Расположим элементы в порядке неубывания:

хт<х{2)<..<х(п\ х(г)*Х . (1)

Введем над множеством X операцию выделения произвольного порядкового элемента х^ этого множества ( г -операцию):

y = f(r\xx,...,xn) = x(r\ r = U.,n. (2)

Здесь г называется рангом операции. Легко видеть, что г -операция обобщает операции конъюнкции л = min и дизъюнкции v = max непрерывной логики (НЛ) [1], переходя в них соответственно при г = 1 и г = п.

Результатом г -операции над элементами множества является один из элементов этого же множества. Назовем произвольную функцию, аргументы которой х,,...,хИ взяты из множества X и которая представляется в виде суперпозиции г -операций над X с различными значениями ранга г , функцией порядковой логики. Простейший пример такой функции - сама г -функция (2). Более сложный пример - функция

У ~ [/^ (xi > х2 > хъ)»f^ixl' х2' хг' х4)] •

Любая функция порядковой логики у =/(хи...,хп) на любом наборе .аргументов (х^...,хп) принимает значение одного из аргументов.

Это связано с тем, что г -операции, суперпозицией которых представляется выражение у, всегда имеют своим результатом одну из переменных, участвующих в операциях.

Задать функцию порядковой логики у = f(xu...,xn) можно, перечислив все и! вариантов

упорядочения аргументов х^,...,хп и указав для каждого варианта аргумент я,-, значение которого принимает функция. Такое задание функции порядковой логики есть частный случай первичного задания любой функции непрерывной логики [1].

Поэтому от такого первичного задания функции порядковой логики можно перейти к ее аналитическому представлению с помощью суперпозиции операций НЛ - конъюнкции и дизъюнкции (отрицание при этом не участвует, т. к. г -операция всегда имеет своим результатом значение одной из переменных, но не ее

отрицания). Методика перехода та же, что и для функций НЛ.

Пример 1. Функция порядковой логики У = - медиана - задана с помощью

табл. 1. Найти ее представление с помощью НЛ.

Таблица 1

Упорядочение аргументов Значение функции Упорядочение аргументов Значение функции

^ %2 — ^ *2 х2 — х3 — хх

Х1 - ^3 - х2 *з х3 < X] < х2 Х1

х2 < X, < х3 хх Х3 — х2 ~ хх х2

Согласно табл. 1, искомую функцию можно представить так:

У =

х1 при х2 <хх < х3 или х3 < хх < х2; х2 при хх < х2 < х3 или х3 < х2 ^ х1; х3 при хх < х3 < х2 или х2 <х3 < хх.

Объединим при помощи конъюнкции НЛ 1-ю строку при 2-м условии со 2-й строкой при 2-м условии, 1-ю строку при 1-м условии с 3-й строкой при 2-м условии и 2-ю строку при 1-м условии с 3-й строкой при 1-м условии:

У =

ххх2 при ххх2 > х3 (Т.е. при х]х2 > ххх3,х2х3); ххх3 при ххх3 >х2 (Т.е. при > ххх2,х2х3); х2х} при Х2ХЪ >ХХ (Т.е. при х2х3 > ххх2,ххх3).

Объединяя теперь три строки в одну с помощью операции дизъюнкции НЛ, получаем искомое представление у = ХХХ2 V Х)Х3 V х2х3.

Из сказанного следует, что функции порядковой логики - отдельный класс функций НЛ. Поэтому выражения функций порядковой логики можно подвергать эквивалентным преобразованиям (с целью их упрощения) с помощью законов НЛ [1]. Однако некоторые законы присущи лишь порядковой логике: тавтология

переместительный /(Г)(Х1,...,Хп) = /(Г)(Х;1,...,Х!п),

- любая перестановка хи...,хп

распределительный

(3)

(4)

= ф(?г)(*1,-,*„), дх<...<др\\<г<р

И

= А'-1 >1

1=1

V/

(6)

При помощи этих законов можно преобразовывать представления функций порядковой логики, не являющиеся выражениями НЛ.

2. Рассмотрим множество X , состоящее из непересекающихся подмножеств (х^,...,х1т ), г = 1,...,<7, с элементами Ху е [А, 5], упорядоченными согласно

<х1г <...<х,т , 1=1,...,д. (7)

я

Число элементов этого множества п = ^ т1.

/=1

Множество X частично упорядоченное; его удобно записывать в виде квазиматрицы д -го порядка со строками - упорядоченными подмножествами

Хя =

*п • •■ х1т.

= Ы, 1=1 ,...,д; 7 = 1 . (8)

Квазиматрица (8) отличается от обычной матрицы неодинаковым числом элементов в различных строках и упорядоченностью элементов в строках согласно формуле (7). Рассмотренное выше неупорядоченное

множество = .....хп) представляет собой частный

случай множества (8) при п строках из одного элемента каждая. Поэтому множество X можно записать в виде матрицы-столбца

(9)

В другом частном случае, когда множество Х(/

полностью упорядочено, оно содержит лишь одно упорядоченное подмножество (одну строку в (8)). При этом матричная запись множества Xц имеет вид матрицы-строки

Х„ =Цж,,...,*„|. (Ю)

Для частично упорядоченного множества Хд с

квазиматрицей (8), как и для упорядоченного множества X, вводится Г -операция (2) в виде функции

У = /(г)С*п,■■■»*«,.) = г = -

(И)

и его частные случаи

выделяющей нужный порядковый элемент х^ из Xч . Введенная функция называется логическим определителем (ЛО) г -го ранга <у -го порядка от квазиматрицы Хд = Ьс(у и обозначается

х:

хи . •■ х1т/

хд\ ■

(г)

- \ХН

(12)

Свойство 2. Перестановка любых 2 строк ЛО Xг

не меняет его значения.

Доказательства свойств 1, 2 вытекают из определения Хд.

Свойство 3. Общее для всех элементов определителя слагаемое можно вынести за знак ЛО:

К+сН = ь

(г)

+ с.

(16)

Специально отметим некоторые частные случаи введенных выше логических определителей - определитель-столбец

х: =

(13)

Доказательство: прибавление общего слагаемого ко всем элементам Ху не меняет их взаимной упорядоченности согласно (7).

Свойство 4, Общий для всех элементов дизъюнктивный (конъюнктивный) член можно вынести за знак ЛО:

соответствующий матрице-столбцу (9) и совпадающий с обычной г-функцией вида (2), и определитель-строку

~ Г* ~ Хг> г —1,...,п ,

(14)

соответствующий матрице-строке (10). Логический определитель XТ от квазиматрицы Xц является числовой характеристикой этой квазиматрицы, как обычный определитель (детерминант) есть характеристика квадратной матрицы. Формально ЛО - это обобщение обычной г -функции (2) на случай частично упорядоченного множества аргументов, сохраняющее все основные черты г -функции. Так, любой ЛО

X* = |дг^г) на любом наборе элементов Хц,...,хдт

принимает значение одного из элементов. Далее, любая функция, аргументы которой - элементы х11,...,х<]т

квазиматрицы Хц и которая представлена в виде суперпозиции логических определителей Хгч различных рангов г от Хч есть функция порядковой логики. Так

что ЛО и суперпозицию ЛО можно задать, указав для каждого варианта упорядочения элементов хц,...,хчт элемент х,у, значение которого принимает

функция. От такого задания логических определителей можно перейти к их аналитическому представлению с помощью операций НЛ (пример 1). Значит, ЛО и их суперпозиции образуют специальный класс функций НЛ. Их можно подвергать эквивалентным преобразованиям с помощью законов НЛ [1] и порядковой логики (ЗН6).

2. СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Свойство 1. ЛО является монотонно неубывающей функцией ранга

хгя>хц, если г > р.

(15)

К Н<г) =ы

V с;

О)

к АС =Ш

(П

АС.

(17)

Доказательство следует из того, что введение общего для всех элементов дизъюнктивного (конъюнктивного) члена с не вменяет взаимной упорядоченности элементов, а лишь приводит к замене на с тех из них, которые вначале были меньше (больше) с.

Свойство 5. Общий для всех элементов сомножитель с можно вынести за знак ЛО с сохранением первоначального ранга г, если с > 0 , и с заменой его на дополнительный ранг п - г +1 при & < :

м

и

сх,

м

с> 0

дс(/ , с<0

(18)

Доказательство. При С > 0 упорядоченность значений ХуС и Ху (г' = 1.....ц ; } = 1,...,/и,) одинаковая, а при с < 0 - обратная (максимальному Ху соответствует минимальное ХуС и т.д.).

Свойство 6. Если с > х!т (г = 1,..., 17), то значение ЛО не меняется при добавлении к нему справа столбца

из элементов с:

хп . ■Х\т, С

Хд1 • "•V", с

хи ■■■ Х\т,

хч\ ■■■ V,

с

, г = \,...,п\ (19)

, г = я + 1,...,и + д.

Свойство 7. При добавлении к ЛО столбца из с; при с <хп (г значение ЛО не изменится,

если его ранг уменьшить на число строк:

с дг,, —хХт,

С Хд] ... х,

1т(

(20)

Свойство 8. Значение ЛО не меняется при исключении элемента оо (бесконечность) в конце какой-либо строки:

*11 • • хщ 00

хч\ ••ХЯтч

Х\\ — х\т,

ХЧ\

00

(г)

г = 1,...,п;

г~п +1.

(21)

Свойство 9. Значение ЛО не меняется, если из него исключить, элемент -оо в начале какой-либо строки, а ранг уменьшить на единицу:

-оо*,, . •Х\т,

хч\ •

— СО , г = 1,...,<7; ^11 ■■■х1т, (Г) хп.

= . ХП ■■■ Х1т, (22) , г = д + 1,...,д + п. хч\ —хятч хд\ • •ХЧГ„

ХЧ\ — хЧт1

Доказательства свойств 6-9 вытекают из определения ЛО.

Свойство 10. Значение ЛО не изменится, если любую совокупность строк заменить ЛО, образованными этой совокупностью и расположенными в одной строке в порядке возрастания ранга:

_________

VI у2 уЛГ

Л1...кЛ1...к —л1...к

(г)

(23)

Доказательство данного свойства получаем повторным применением (21). Бесконечности в (25) можно заменить конечными элементами х1к,к > , такими, чтобы сохранилась упорядоченность (7) элементов в строках и выполнялись неравенства ч

(=1

Свойство 13. Значение ЛО г -го ранга не изменится, если в любой г -й строке исключить элементы

Х1,г+\'Х1,г+2— '

, где г( = г л (26)

Доказательство. Действительно, г-и порядковым

элементом х'г> квазиматрицы Xц может быть только

один из г первых элементов какой-либо ее строки. Свойство 14 (закон тавтологии)'.

X ... X X ...X

= х, г = 1,...,п.

(27)

Доказательство следует из определения ЛО. Свойство 15 (распределительный закон):

Здесь ХцЧ к - квазиматрица, полученная из квазимат-

рицы Xц исключением строк ; X? к =

ЛО р -го ранга из строк ¡,...,к .

Доказательство. Указанная замена означает совместное упорядочение элементов строк г,...,к и не

(г)

влияет на значение порядкового элемента х ' множества Хч следовательно, и на значение .

Свойство 11. ЛО <7-го порядка с двумя одинаковыми строками представим как ЛО (</ -1) -го порядка с различными строками:

уР\\ уй»! лд ■лч

уР.!\ уР"»,

Здесь

= Х? , гдер; =

Ри-Р\п

РА —РЯ

■ (28)

А

Рц < Р>г < - < Рм, . г = 1,2,..., л, л = .

1=1

Свойство 16 (частный случай распределительного закона):

Ахя' = ХТ ■ /=1

(29)

хи . ■ х1т, *11 — ^т,

хд-\ 1 ■■■ хч ХЧ-\.\ХЧ-\,\ — *»-1,л1,_,*»-1,1И,_,

(24)

Доказательство. Такая перестановка удовлетворяет условию упорядоченности элементов в строках (7), т. е. снова дает логический определитель, причем не меняет его значения.

Свойство 12. Конечный ЛО можно представить как бесконечный:

Свойство 17 (частный случай распределительного закона):

Vх'? =Хя'

Vл

(30)

(=1

Доказательство свойств 15-17 вытекает из свойства 1. По нему упорядочение множества ЛО Х^ различных рангов г от одной квазиматрицы X ч можно заменить упорядочением множества рангов.

*п ■ ■ *1т,

Хд1 ■■ ХЧ'",,

И

Х\1 ... X]

1т.

00 00 ,

00 00 ■

(0

(25)

3. РАСКРЫТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Раскрыть ЛО - значит указать аналитическое представление функции НЛ, выражающей значение ЛО

через значения его элементов. В § 1 был предложен прямой метод раскрытия ЛО. Однако этот метод громоздок и не работает в случае больших ЛО. Удобнее раскрывать ЛО по готовым формулам, дающим аналитическое представление функции НЛ, выражающей значения целого класса ЛО.

1. ЛО-столбец г -го ранга с п элементами выражается ДНФ

х:

= V ^н-К-гЛ \ (31)

'I *-*'п-г+I

или такой КНФ:

Хг.=

= А

\ Е (32)

Доказательство (31). Пусть - упорядо-

ченные согласно (1) элементы х1,...,хп . Каждая конъюнкция состоит из п — г +1 различных элементов. Одна конъюнкция вида Ъ = , остальные

вида ¿7,- = х^Ц , где .ч < г, т. с. Ь = х(г*, < х^ и

правая часть выражения (31) равна х^ т.е. левой части. Формула (32) доказывается аналогично.

2. Общий бесконечный ЛО г -го ранга д -порядка

выражается ДНФ:

хи.

Х2\. X -

м

: \/ (хиг..Хчч). (33)

Ч

Раскроем ЛО (36) по формуле (31). Каждая конъюнкция в (31) включает г+1 различных элементов. Из этих элементов хотя бы один вида хи и хотя бы один вида X2j ■ Пусть В^ - .у -я из конъюнкций, включающих к элементов вида х2/ и г + 1-к элементов вида

г

хи . Тогда, согласно (31), Хг2 = \/\/ Вь . При фик-

сированном к по условию (7) максимальна та конъюнкция Вь (5 = 1,2,...), в которую входят элементы

х1к'—< х1г> х2,г+1-к'-">х2г ■ она Равна х\кх2,г+1-к ■ Отсюда следует, что \/Вь = я^л^г+ь* ■ Подставив

это в выражение Х\ , получим (34).

Теперь формулу (33) докажем индукцией по <7. При <7 = 1 (33) переходит в установленное ранее (см.

(14)) равенство Х[ = , ...Хц ...|<г) = хи., а при <у = 2

- в уже доказанное соотношение (34). Допустим, что формула (33) верна для некоторого Я = р ■ Докажем,

что тогда она верна и при <7 = р +1. Представим Хгр+х

по правилу (23) в виде блочного определителя 2-го порядка:

хп ... ...

Хр+1 -

ХР\ — хр!р ••• ХР+1,1

^+1,1 - хР+1,/„, -

Раскроем последний по формуле (34)

Доказательство. Сначала докажем частный случай (33) при д = 2.

*2 =

Хи—Хч1 ■

Х2\--Х2и

М

х1кх2,г+\~к

(34)

ЛО Х2 согласно свойству 13 можно представить как конечный ЛО:

Хр+1 - \/ ^рХр+1,г+\-к ■ к—\

Согласно вышеуказанному допущению, ЛО Хкр можно выразить в виде (33). Отсюда следует

*=1

V Х] Н"'ХР>,>

1

1р+1,г+1-к

Хи...Х1г (г) (35) г = \/ \у —Хр1рХр+\,г+\-к ~

х2\—х2г к=1 а,1.

который, не учитывая упорядоченности в строках, представим как ЛО-столбец

хп

Х21

V

аи, -ар+ир+х ■

В последнем выражении по свойству 13 можно опустить условие 1<1р+\ < г, не изменив значение

ЛО. В итоге получим Хгр+1 = \/ -хр+ц ,

р+1

что и требовалось доказать.

3. Общий конечный ЛО г -го ранга д -го порядка выражается такой ДНФ:

*11 ■■Х1т,

"ХЧтч

V

£ 1,=г+д-1

С Щ ту Л ХЩ -ХЧ'„

(37)

X*-

$2 ^2 В2 С*2 (2*1

где В" =

хпх12 Х21Х22

131

41

М

,Г = 1,2.

,г = 1,...,4; С2Г =

Раскроем теперь ЛО X* по (37): = В2 V V В\С2 V 5^2 . Остается подставить сюда выражения В2 из примера 3 и значение определителя С2 :

Здесь и ниже запись *ц означает, что элемент хк1к исключается из тех конъюнкций, для которых из

условия на ^ /5 формально получается ¿к > тк .

Доказательство формулы (37) получается, если в

соответствии с (25) представить конечный ЛО Х^ как

бесконечный и применить к последнему правило раскрытия (33), учитывая, что х л оо = х.

Пример 2. По формуле (31) раскроем ЛО-столбец

<о

Х\Х2ХЪ > г — 1»

Х1Х2 ^ ХХХ3 V Л'2Л'^, V — 2,

^ул^, г = Ъ.

Второе из выписанных выражений получено более сложным путем - с использованием прямого метода в примере 1.

Пример 3. По формуле (37) раскроем общий ЛО 2-го порядка

х:

1 л\2 х2\ х22

(г)

*11*21> ^ — 1>

ХцХ22 V х!2х21, г = 2,

Х\2Х22^ х\\х2\*

х12х22> Г = 4.

4. РАСКРЫТИЕ БОЛЬШИХ ЛОГИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Раскрытие больших ЛО (т. е. ЛО с большим числом элементов) по явным формулам § 3 слишком трудоемко. В таких случаях целесообразнее применять разложения ЛО на ЛО меньших размеров. Простейшее такое разложение - (23).

Пример 4. Раскроем ЛО 4-го порядка

Х2\Х22

31

41

Запишем данный ЛО как блочный ЛО 2-го порядка, объединив 1-ю строку со 2-й и 3-ю с 4-й:

с; =

Х31Х41<

г = 1;

*31 у*41> Г = 2"

Окончательно получаем выражение ЛО, сложность которого - 13 двухместных операций V и л НЛ:

^2 = х\\х22 ^ Х\2Х2\ V (*12*22 у Х2}) Л

V Х22) л х31х41

Раскрытие этого ЛО по (37) дает выражение

х2 =ХиХ22 V ХиХ21 V ХиХ31 УХ],^! V Х2\Х31 V 1 'С41 У V Х12Х22Х31 V X,2*22*41 V *12*31*4| v Х22ХЪ\ХА\У

сложность которого - 23 операции. Более конкретные правила разложения ЛО, когда однозначно указываются блоки, на которые разлагается ЛО, даны ниже.

2. Назовем логическим дополнением элемента Ху в

ЛО Хгц ЛО, полученный из Хгц исключением элемента Ху . Обозначим его Хг(/ \ Ху. ЛО-столбец г -го ранга с и элементами можно разложить поэлементно по такой ДНФ:

х: =

= \ух,Хгя\х,.

1=1

(38)

Доказательство. Раскрыв ЛО Хгп \ х1 в правой части по правилу (31), получим раскрытый по этому правилу ЛО левой части Хгп .

Общий ЛО г -го ранга д -го порядка можно разложить поэлементно по ДНФ:

11Г"л1т, хч\—хчтц

- \/ хуХ<1 \ хи ■

ч

(39)

Доказательство. Рассматривая ЛО Хгц без учета

упорядоченности элементов в строках (т. е. как ЛО-столбец), применяем к нему формулу (38).

Формулы (38), (39) задают разложения ЛО по элементам.

3. Пусть Xrq =

xn (r)

xq\■ ■■x4'q "■

общий бесконеч-

ный ЛО г -го ранга <у -го порядка, а Х^ ь - это блок-ЛО 5-го ранга, составленный из строк (1,(1 + 1,.,.,Ь ЛО Хд . Справедливо разложение ЛО по блокам:

Трудоемкость такой процедуры и сложность получаемого выражения ЛО зависят от формулы разложения ЛО и способа его разделения на блоки. Наибольший эффект достигается при использовании поблочных разложений с делением на каждом шаге имеющихся ЛО на два равновеликих.

При этом формулы разложения бесконечного (40) и конечного (41) ЛО принимают соответственно вид:

Хч~ V ^U, Хк%\.к2''-К"^ +1,9

É '¡-r+p-l

(40)

Доказательство. Представим Хгд в блочном виде

(23):

XU ••• Х'\\-

Xk, +U2 - Хк,+\,кг-

У1 У Р

Рассматривая теперь блоки Х5а ь как элементы ЛО Хц , раскроем его по (33). В результате получим (40).

Пусть Xrq =

■^ll-'-^lm, xq\--xqm

М

- общий конечный ЛО г -

го ранга с] -го порядка, а Х^ ь означает то же, что и выше. Тогда справедливо разложение ЛО по блокам:

м,

м,

м„

V

р

£ S,=r+p-1

Х\,кх Xkt+\,k2 -Xkp_l+ \,q ■ (41)

В формуле (41) А/(- - это число элементов в состав,

ветствующем блок-ЛО Х^ь , а запись х ^ означает,

что ЛО Х%ь не входит в те конъюнкции, для которых

из условия на ^ s¡ получается > М1.

Доказательство формулы (41) повторяет доказательство разложения (40), но с раскрытием ЛО по (37).

4. Разложения (23), (38)—(41) составляют основу иерархических процедур раскрытия ЛО. В каждой такой процедуре первый шаг - это разложение вычисляемого ЛО Хг =| Ху по одной из формул (23),

(38)—(41) на блоки-ЛО низшего порядка; второй шаг -разложение получившихся ЛО на определители еще более низкого порядка и т.д., пока не придем к выражению исходного ЛО через определители 1-го порядка, т.е. собственно элементы Ху . Иерархическая процедура раскрытия ЛО показана выше в примере 4.

ХЧ ~ V Xl\qll[X{ql2[+\,q '

i+j=r+1

Ml м2

■j

. У Ak/2[ K>2l+i,q .

I+J=r+1

(М-целая часть а)

(42)

(43)

Получаемые по ним выражения ЛО обладают соответственно сложностью

Ñq - г2 (q — 1) + 2r — I, Nrq = km, k <2 (k-const).

(44)

(45)

Оценка (45) получена в предположении одинакового числа элементов т во всех Ц строках ЛО; в ней п

- общее число элементов (и = тс/). Использование дихотомических блочных разложений (42), (43) обеспечивает раскрытие достаточно больших ЛО с приемлемой сложностью вычислений.

5. При раскрытии особенно больших ЛО получаемые с помощью разложений (42), (43) выражения ЛО могут оказаться недопустимо сложными. В таких случаях целесообразно приближенное раскрытие ЛО, основанное на получении двусторонних аналитических оценок величины ЛО. Эти оценки имеют следующий вид: для ЛО-столбца

{xv..xn_r+i) v(x„_r+2...x2(„_r+1)) V...V v (х(М,-1Хя-г+1)"""^(n-r+l)) v (Xr—xn) -

(46)

< (я, V ... V хг) л (хг+1 V ... V х2г) л... л Л (Х(М2- 1)г+1 V ••• V ХМ2г ) А (хп-г+\ V - V х„),

где Мх =}п !{п-г +1)[, М2 =]и / г[; для общего бесконечного ЛО

XuA...AXqi <

xn

Xq\

<xuv...vxn

(47)

где 1 = [г/д] и [■] - символ округления до ближайшего большего целого числа; для общего конечного ЛО

И1 т< .. .. (г)

í A ... A i < Id. qd„

xll"'x\ml Xq\—Xqm4

<Хщ v„.vb, (48)

где

dp =

{q + r-\)m.

Ч

1=1

1Р=

rmr

ч

Zm<

, p = 1.....q-

Приведенные оценки позволяют получать приближенные выражения ЛО со сложностью, пропорциональной размерам ЛО, что делает возможным вычисление ЛО практически неограниченных размеров.

Пример 5. Оценим ЛО Х\ из примера 4. Имеем

й?! = =]7"2/6[= 2, </3 = й?4 = =]7' 1 /6[= 1, /,=

= /2 = [4 * 2 / 6] = 2, /3 = /4 =]4 * 1 / 6] = 1, и искомые

оценки имеют вид:

„4

■^12 ■^22*^31*^41 — 4 ~ -^12 У ^22 ^ ^"31 ^ "^41 '

Сложность их совместного вычисления - в наличии шести операций, а точность зависит от численных значений Ху . Например, если х,2 - х22 =10,х31 =х41 =

= 11, то имеем оценки 10 < X* <11, погрешность которых 10 %.

ЛИТЕРАТУРА

1. Левин В.И. Логические методы в теории надежности I, II // Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2009. № 1; 2010. № 1.

2. Левый В.И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Советское радио, 1982. 176 с.

Поступила в редакцию 18 марта 2011 г.

Levin V.I. LOGICAL METHODS IN THEORY OF COMPLEX SYSTEMS RELIABILITY. I. MATHEMATICAL MEANS The logical determinants which can serve as mathematical apparatus for modeling of reliability of complex systems are described.

Key words-, logical determinants; their qualities; disclosure; problem of size; reliability.