Логарифмический метод анализа абсолютных приростов результативных явлений Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ МЕТОД АНАЛИЗА АБСОЛЮТНЫХ ПРИРОСТОВ РЕЗУЛЬТАТИВНЫХ ЯВЛЕНИЙ

в.П.СЕРГЕЕЕ,

кандидат экономических наук, доцент Ярославского филиала ВЗФЭИ

Выявление влияния отдельных обстоятельств на абсолютное изменение результатов хозяйственной деятельности является повседневной практикой экономического анализа. Значение таких расчетов возрастает, когда требуется доказать, что снижение уровней важнейших показателей — объема выпуска, доходов, производительности труда, рентабельности и других параметров организации

— есть следствие воздействия внешних по отношении к предприятию причин. Факторы, как известно, по-разному воздействуют на явления-следствия. В предлагаемой статье рассматривается мультипликативная детерминированная зависимость показателей на примере товарооборота (V), цен (р) и количества реализованных товаров (д):

V= р д.

Для расчета абсолютных факторных приростов

— абсолютного изменения отклика, обусловленного изменением цены (Ар), и абсолютного изменения результативного явления под влиянием динамики количества проданного товара (Ад) — предложено несколько методов: методы дифференциального исчисления и цепных подстановок, индексный метод, метод присоединения неразложимого остатка и взвешенных конечных разностей, метод дробления приращения факторов, а также интегральный и логарифмический методы [1, с. 117 — 143).

Признание научным сообществом легитимности нескольких вариантов решения одной экономической задачи служит благоприятной средой для получения заранее намеченных оценок влияния тех или других факторов на изменение результативного показателя, провоцирует усиление сомнений в объективном характере статистических методов. В целях выявления наиболее надежной методики проведем сравнительный анализ вышеперечисленных приемов на основе соответствия каждого из них трем, по мнению автора, бесспорным и естественным критериям (аксиомам).

Первый критерий. Метод не должен содержать внутреннего противоречия.

Второй критерий. При изменении направления сравнения абсолютный уровень факторной величины остается прежним, меняется только ее знак.

Третий критерий. Сумма всех факторных слагаемых равна приращению отклика.

Метод дифференциального исчисления позволяет представить абсолютное изменение товарооборота в виде трех слагаемых: дV дV

д V=--------Др +---------Дд + 0 (Др2 + Дд2 )1/2,

дд

V

0'

др

где ДV= У1 -

Др = Р1 - р0; Дд = д1 - д0;

0 (Др2 +Дд2)1/2 — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем (Др2 + Дд2)1/2.

Применительно к рассматриваемому примеру имеем:

АР = д0(р1 - р,); Ад = р0 (д1- д<).

Покажем расчет абсолютных факторных величин, основанный на указанных алгоритмах.

Известны следующие данные о ценах и реализации товара (табл.1). Осуществив подстановку, найдем, что

Ар = 40(2,6 - 2) = 24 [руб.] и А= 2(44 - 40) = 8 [руб].

Так как сумма факторных приростов равна 32 руб. (24 + 8), а приращение отклика — 34,4 руб. (114,4 — 80), то полученный результат признается ошибочным, поскольку он не отвечает требованию третьей аксиомы.

Таблица 1

Базисный период Отчетный период

Цена, Коли- Товаро- Цена, Коли- Товаро-

руб. чество, оборот, руб. чество, оборот,

за ед. ед. руб. за ед. ед. руб.

р„ д„ р, д,

2 40 80 2,6 44 114,4

индексный метод предполагает определение факторных приростов как разности между числителями и знаменателями соответствующих общих индексов. Так, на основе индекса цен Г. Пааше

Хр1 д1 / Хр0 д1 рассчитывается абсолютная разность

Ар = Хр1 д1 - Хр0 д.. Индексу физического объема -X р0 д1 /Х Ро д0 соответствует факторный прирост, равный

Ад = ХРо д1 - ХРо до0

Данный метод не дееспособен по двум причинам. Во-первых, при его применении не выполняется второе требование. Во-вторых, если индекс цен равен или более двух, то независимо от величины индекса физического объема ценовой факторный прирост превышает приращение, вызванное динамикой количества проданного товара. То есть если 1р > 2, то Ар > А . При построении индекса цен по схеме Э. Ласпейреса возникает противоречие аналогичного характера.

Метод цепных подстановок основывается на гипотезе о последовательном влиянии факторов на динамику результативного явления. Доказать ту или иную очередность изменения факторов до сих пор не удалось. Один вариант этого метода — изменению цены предшествует изменение количества товаров — широко используется в экономическом анализе и российской статистике с начала тридцатых годов ХХ в. Метод не удовлетворяет второму критерию.

Метод присоединения неразложимого остатка основан на присоединении так называемого неразложимого остатка (Др Дq) к какой-то одной факторной величине. Иллюстрация неразложимого остатка при увеличении уровней обоих факторов представлена на рис. 1.

У А

Р1

М1

Мо

до

д1 х

Рис.1

Два товарооборота р0 д0 и р1 д1 разделены временем. Фигура М0}АМ1В рассматривается как неразложимый между двумя факторами остаток их воздействия на отклик. Гипотетической траектории движения конца вектора товарооборота соответствует линия М10М1 (М — функция), которая в зависимости от принятой гипотезы может быть прямой или криволинейной. Если считать весь неразложимый остаток следствием изменения цены, то Ар = д0(р1 - р) + Др Дд = д1(р1 - р).

Признание неразложимого остатка частью факторного объемного прироста означает, что

Ад = р0 (д1 - д) + Др Дд = Р1 (д1 - д).

П р и м е ч а н и е. Когда неразложимый остаток в какой-либо пропорции распределяется между факторными приростами, то такой прием нами к данному методу не относится.

Поскольку результаты, получаемые на основе рассматриваемого метода, противоречат второй аксиоме, то данный прием анализа следует признать непригодным для практического использования.

Метод взвешенных конечных разностей состоит в том, что искомые величины рассчитываются как средние из факторных приростов, каждый из которых определен по методу цепных подстановок.

Ар = д<( Р1-Ар" = д/Р1- Рс)'>

Ар = 0,5 (Ар' + Ар'').

Ад = р0 (д1- д0); А, = Р1 (д1- д^ А = ощ'+а;).

Метод неприемлем для анализа хозяйственной деятельности, поскольку содержит внутреннее противоречие. С одной стороны, признается существование определенной очередности влияния факторов. С другой — очередность влияния этих же факторов при усреднении отрицается. Кроме того, методу свойственны недостатки методики цепных подстановок.

В основу метода дробления приращения факторов положено представление динамики уровня каждого фактора в виде нескольких (п) гипотетических изменений во времени. Каждая факторная величина рассматривается как сумма некоторого числа слагаемых. При больших п, допуская незначительную погрешность, неразложимыми остатками можно пренебречь и процесс можно считать непрерывным. Замысел метода показан на рис. 2.

Площади Бур Бу2, Бу3 и т.д. соответствуют абсолютному приросту товарооборота, обусловленного изменением цены. Этот прием можно рассматривать как продолжение дифференциального метода. Одновременно, когда п стремится к бесконечности, он является исходным пунктом для интегрального и логарифмического методов. По указанной причине данный прием анализа как самостоятельный метод не рассматривается.

Если п бесконечно велико и абсолютные приросты уровней факторов на элементарных отрезках времени постулируются постоянными, то метод дробления превращается в интегральный метод факторного анализа. При указанных предположениях и однонаправленной динамике факторов неразло-

В

о

о

жимый остаток делится между ними поровну. Когда уровни цен и количества товаров изменяются в разных направлениях, неразложимый остаток с разными знаками включается в обе факторные величины.

Вторым вариантом продолжения приема дробления является логарифмический метод анализа абсолютного прироста товарооборота. Алгоритм его расчета можно доказать, если принять две гипотезы: 1) п стремится к бесконечности; 2) уровни факторов изменяются одновременно с постоянными темпами роста. Докажем основные алгоритмы данного метода, используя следующие условные обозначения:

Ь — относительное изменение цены на каждой фазе приращения товарооборота ;

с — относительное изменение количества товара на каждой фазе;

п — число фаз (п ^ +те); I — порядковый номер фазы (I = 1, 2, .., п); х — аргумент (количество проданного товара); у — функция (цена единицы товара); h — индивидуальный индекс количества (к =

Хп /х)';

т — индивидуальный индекс цены (т=уп / у); w — индивидуальный индекс товарооборота ^ = Уп / У0 и w = тк);

У0 и У1 — начальные и конечные уровни товарооборота.

Требуется доказать, что

А% (1)

где Ах — прирост отклика, вызванный изменением объема товара;

L — среднее логарифмическое значение отклика:

ъ = (К - V )/1и ^.

Доказательство. 1. Вначале допустим, что на каждом элементарном отрезке времени факторы влияют поочередно. Тогда на каждой фазе гипотетического процесса изменяется уровень только одного фактора, что проявляется в равенстве подиндексов:

Ь1=Ь2=.=Ьп и C1=C2=.=Cn,

где ь1 =у1 / у0 , ь2 = у2/у1 и т.д.;

с1 = х1 /х0 , с2 = х2/х1 и т.д. 2. Произведения подиндексов равны индивидуальным индексам:

b,b= m и сг-сп-...-с = h.

1 2 п 1 2 n

Следовательно, b = m1'n;

(2) (3)

с=к1/п;

м>=тк=Ьпсп. (4)

3. На каждой фазе абсолютный прирост товарооборота есть функция либо изменения количества либо изменения цены (рис. 2).

У Уп

yt

У1 У

SY3

Sy2

Sv, S2

Si

S3, .... Sn

0 х0 х2 Х(, ..., Хп

Рис.2

Абсолютное приращение товарооборота вследствие изменения количества равно сумме площадей

=*1++-+% +-+Бп , (5)

t=1

где

S1 (х1 X0)y0' S2 =(x2 - x1 y1;

Sn = (xn — Xn-1)Уп-1

(6)

Так как

X / x. Л =c, то cx л= x. t t—1 t—1 t

или Xi=CXg,

x2 =c2 x0,

x =cnxn, n 0

(7)

аналогично имеем

Уt1 у-1=Ь, Ьуг -1= уг и У1=ЬУо, У 2 =ь2Уo, уп =ЬПу0. (8)

4. После подстановок значений Х1 и У( из (7) и (8) в (6) и далее значений St в (5) найдем, что

Е5гК0(с-1)(1-сп^1-сй), (9)

где

Г0 = х0 у0.

5. Заменив значения с, Ь и сп Ьп в (2), (3) и (4), получим:

(10)

6. Сумма l,St характеризует абсолютный прирост товарооборота, обусловленный изменением количества, когда п конечно. Теперь допустим, что число фаз стремится к бесконечности. Тогда абсолютный факторный прирост (Ах) будет равен пределу l,St при п, стремящемся к бесконечности, т. е.

n

A = lim 2 S

x , t

n^-ж t=1

7. В выражении (10) V0 и w есть постоянные величины. Используя правило Лопиталя, рассчитаем предел отношения

У

Н1/п -1] /[1-п

при п ^ те. Предел равен

1п Н /(- 1п w)

Следовательно,

Ах =^0(1-^)1п Н /(- 1п w).

8. После замены знаков и учитывая, что

V , п 0

имеем:

Ах =[[Уп V ) 1п н)/1п ^ или А^ ]/1п 1п Н. (11)

Таким образом, абсолютный прирост товарооборота за счет динамики количества проданных товаров равен произведению среднего логарифмического товарооборота на логарифм индекса количества.

Аналогичным способом можно доказать, что

Ар]/1п 1п т. (12)

Исследуем основные свойства М-функции и абсолютных факторных приростов, рассчитанные логарифмическим методом.

Свойство 1. М-функция имеет аналитическое выражение

*=( V Хой К,

где х — независимая переменная (условно принято, что количество изменяется независимо от динамики цены);

у —зависимая переменная (условно принято, что цена изменяется в зависимости от динамики количества);

у0 и х0 — параметры, равные, соответственно, цене и количеству базисного периода (Р) и ( Qс); а — параметр (а=1п т /1п Н). В принятых в статистике обозначениях М-функ-цию можно записать так:

Ла |, а

У=( V во ]/ ^.

Таким образом, факторные приросты разграничивает степенная функция.

П р и м е ч а н и е. При использовании интегрального метода М-функция имеет вид

у = с + d х, где с = (р0 д 1 - р1 д0) / (д1 - д0);

d = (р1 - р0) / (д1 - д0).

Свойство 2. Если индивидуальные индексы цен и количества равны, т. е. при т = h, то параметр а равен единице и М-функция есть прямая, разделяющая неразложимый остаток пополам.

Свойство 3. Когда товарооборот отчетного периода равен базисному товарообороту, то

У=^0/х

и а = -1.

Свойство 4. Если считать у аргументом, а х — функцией, то М-функция принимает вид:

Ь1 Ь

х=[б0/ Ро] У, где Ь=1/а.

Свойство 5. Сумма факторных приростов равна абсолютному изменению отклика.

Действительно,

Ь 1п т+Ь 1п Н=Ь 1п w=Vl .

Свойство 6. Соотношение факторных приростов равно параметру а.

Свойство 7. Абсолютные факторные приросты обратимы во времени, т. е.

А^[1/0]=-А^[0/1] и А9(1/0)=-А9(0/1), где (1/0) — сравнение данных первого периода с данными нулевого периода;

(0/1) — сравнение данных нулевого периода с данными первого периода.

Свойство 8. Абсолютные приросты отвечают требованию теста обратимости по факторам.

Свойство 9. Абсолютные факторные приросты можно рассматривать как функции переменной а,

и

Ар ТГ^ )а /(1+а)

Ад =(«) /(1+а).

Свойство 10. Если принята гипотеза, согласно которой влияние изменения количества на динамику отклика опережает влияние изменения цен, то

Ад =(^0) /(1+а),

где

а=й(т-1)/(й-1).

Доказательство.

а=

Н(т-1) = в

Н-1 ~в0 (Р0

-1

в

в0

-1

в,(/1- Р0) ЭД-в))

Тогда a+1=(V1-V0)/(/0(Q1-Q0)).

Подставив значение (а + 1) в исходное выражение, убедимся в справедливости свойства:

Ад = ЭД-вР.

Свойство 11. Когда принята гипотеза, согласно которой воздействие цен на отклик опережает влияние количества, то

Ад = К-*0) /(1 + а),

где а=(т-1)/(Н-1)т. Доказательство.

Р

а = 1 /I -1) / в -1) /I,

в0

&(/ - /0)

/0 /1(61 - 60)

Следовательно, а+1=(^-^)//1(61-60).

После подстановки значения (а + 1) в исходное выражение найдем, что Aq=P1(Q1-Qg).

Свойство доказано.

Таким образом, анализ методов расчета факторных приростов можно завершить «выяснением отношений» между интегральным и логарифмическим методами. В интегральной модели на каждой фазе гипотетического процесса принимаются неизменными абсолютные факторные приросты и приращения товарооборота. Как известно, при положительной динамике уровней факторов и постоянных абсолютных приростах темпы роста снижаются. При отрицательной динамике факторов — темпы изменения возрастают.

Логарифмическая модель опирается на предположение о постоянном темпе роста факторов. Следовательно, допускаются неизменными темпы роста товарооборота. В формально-математическом плане различие методов состоит в разном подходе к распределению неразложимого остатка между факторными величинами. Согласно интегральному методу неразложимый остаток надо делить поровну между факторными приростами независимо от темпов изменения уровней цены и количества товара. По логарифмической модели неразложимый остаток распределяется между факторными приростами в пропорции

Щпт -¥д (т -1))/(Ыпк -У0 (к - 1)).

При равенстве индивидуальных индексов этот остаток делится пополам. В этом смысле интегральный метод является частным случаем логарифмического. Арифметическое различие между результатами вычислений зависит от соотношения темпа роста цены и количества товара. Например, при условии, представленном в табл.1,

ответы почти совпадают: 25,20 и 25,24 руб.

АР(т) = - 2) 40 + 0,5 - 2)

(44 - 40) = 25,20 [руб.].

Средний логарифмический оборот (Е) равен 96,17 руб.

L = (V - V,,) / 1п w = (114,4 -80 ) / (1п 114,4 - 1п 80) = 96,17 [руб.].

Индивидуальный индекс цены равен 1,3.

Ар(лог.) = L 1п т = 96,17 1п 1,3 = 25,24 [руб.].

С увеличением различия между индексами разрыв между результатами анализа возрастает; М-функция все более и более прогибается в сторону фактора, имеющего более низкий темп роста. Рассмотрим соотношения между факторными величинами в сравниваемых моделях.

В интегральной схеме АА = (т - 1) (к +1)/ (т +1) (к - 1). (13)

В логарифмической модели

А/Ад = 1п т / 1п к . (14)

При небольших значениях индивидуальных индексов соотношения практически совпадают. Однако когда т >> к или т << к, различие становится большим. Например, если т = 5 000 и к = 50, то первое соотношение равно 1,04, второе — 2, 18. По мнению автора, второй результат надо признать более правдоподобным, поскольку цена изменилась резче, чем объем продажи. Недостаточная логичность интегрального метода четко проявляется, когда рассматривается соотношение абсолютных факторных приростов при неизменном соотношении индивидуальных индексов, но изменяющихся их уровнях. По мере увеличения значений индексов независимо от соотношения уровней выражение (13) стремится к единице. Пример такой ситуации представлен в табл. 2. Как видно, если уровни факторов подвержены сильным изменениям, то соотношение факторных приростов не зависит от соотношения темпов роста причин. В этом, по-видимому, проявляется противоречивость интегрального метода анализа.

Таблица 2

Зависимость соотношения факторных приростов от уровней индексов в интегральной модели при m / А = 10

Индекс цены (т) 10,5 105,0 1050

Индекс количества (к) 1,05 10,5 105

Соотношение (13) 33,87 1,19 1,02

Логарифмический метод дает возможность объединить анализ абсолютных и относительных факторных приростов результативных явлений.

Так, если

где I, I — общие индексы цен и физического объема товаров, то

Ар = L 1п1 А = L 1п1

Г р и q q.

Приведенные схемы расчетов факторных величин не зависят от алгоритмов исчисления сводных показателей динамики. Точка зрения, согласно которой выражение (12) при неизменном уровне товарооборота будто бы равно нулю, не представляется убедительной, поскольку в указанном выражении числитель (У1 - У0 ) и знаменатель (1п w) представляют собой единое целое — среднее логарифмическое значение двух товарооборотов. Следовательно, в выражении (12) множитель при 1п т может быть только положительной величиной.

Алгоритм расчета данным методом не зависит от числа включенных в модель факторов. Поэтому абсолютный прирост товарооборота, вызванный

структурными сдвигами в однородной товарной массе, рассчитывается как произведение средней логарифмической величины товарооборота на логарифм индекса влияния структурных сдвигов в векторе количества товаров. Метод дает возможность также осуществлять пространственный сравнительный анализ. В таких случаях требуется только в формулах заменить индексы соответствующими коэффициентами соотношения уровней факторов.

Метод можно использовать также для анализа кратных моделей. Если, например, z = х/у, то Ах = L ln х и Ау = - L ln у.

х У

При логарифмировании показатели теряют свою размерность, поэтому такие модели анализа абсолютных приростов откликов можно отнести к моделям более высокого уровня абстрагирования, чем интегральные схемы.

Первым — в середине 1930-х гг. — логарифмический метод анализа предложил Л. Торнквист. Практически в это же время Н.Р. Вейцман выдвинул идею об одновременном влиянии факторов на следствие [2, с. 105-107]. В 1962 г. в Известиях академии наук Эстонской ССР (серияфизико-математических и технических наук, том XI, № 1) была напечатана статья А. Хумала, в которой предлагался этот прием анализа и подчеркивалось значение последовательности изменения, по Хумалу, «хода факторов». Он считал, что без знания М-функции задачу решить нельзя (в 1964 г. его работа была опубликована в Ученых записках по статистике АН СССР; см. том VIII, М.: Наука, с. 206-212).

В 1966 г. во втором номере журнала Statistische Praxis (с. 116-119) Р. Штрук (R. Struck) в статье «Общая конструкция индексных систем (Die allgemeine Konstruktion von Indexsustemen) без ссылок на других авторов предложил логарифмическую схему расчета влияния факторов.

В 1971 г. в Вестнике Московского университета выходит статья А.Д. Шеремета, Г.Г. Дея, В.Н. Шаповалова «Метод цепных подстановок и совершенствование факторного анализа экономических показателей», в которой логарифмический метод распространяется на модели отношений, вводится понятие элементарного периода времени и ставится вопрос о поиске М-функции (Г-функции, по терминологии авторов).

В 1977 г. В. Федорова и Ю. Егоров на страницах журнала «Вестник статистики» (№ 5, с. 71-73), не апеллируя к М-функции, предложили использовать этот метод для расчета абсолютных факторных величин.

В 1982 г. В.А. Прокофьев опубликовал несколько работ, посвященных логике и применению логарифмического метода. В 1984 г. А.Д. Шеремет, Г.Г. Дей и С.С Липовецкий [3, с. 44] аналитически выразили М-функцию ^-траекторию интегрирования, по терминологии авторов).

В 1985 г. Г. Эдельгауз и Л. Курова на страницах «Вестника статистики» выступили в защиту метода цепных подстановок и с критикой логарифмического метода [4]. Через пятнадцать месяцев в том же издании им оппонируют А. Ванинский и В. Рожнов [5]. На взгляд автора, убедительную критику метода цепных подстановок дал В. Меерович [6], а противникам интегрального метода удачно ответил В. Зубов [7].

В 1990 г. Э. Ершов во вступительной статье к переводу с венгерского книги В. Кевеша «Теория индексов и практика экономического анализа» [8, с. 28] отметил возможности использования в анализе гипотетической М-функции и доказал постоянный характер соотношения факторных значений откликов.

Таким образом, на протяжении последних 70 лет многие статистики поддерживали и разрабатывали логарифмический метод анализа абсолютных факторных приростов уровней результативных явлений, практическое применение которого сдерживалось его слабой связью с господствовавшей в российской (советской) статистике концепцией агрегатных индексов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баканов М.Н., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. — 4-е изд., доп. и перераб. — М.: Финансы и статистика, 1997.

2. Вейцман Н.Р. Анализ хозяйственной деятельности предприятий по данным учета: счетный анализ. — Изд. 5-е. — М.: Союзоргучет, 1938.

3. Шеремет А.Д., Дей Г.Г., Липовецкий С.С. Логарифмический метод экономического анализа многофакторных показателей хозяйственной деятельности // Вестник Моск. ун-та. — Серия 6. — Экономика. — М.: Изд-во МГУ, 1984. - № 1. - С. 39-45.

4. Эдельгауз Г., Курова Л. В защиту статистических методов анализа влияния факторов // Вестник статистики. - 1985. - № 10. - С. 62-66.

5. Ванинский А., Рожнов В. Некоторые проблемы методологии анализа влияния факторов // Вестник статистики. - 1987. - № 1. - С. 18-26.

6. Меерович В.Г. Оборотные средства и эффективность производства. - М.: Финансы, 1974.

7. Зубов В. Формальное и содержательное в индексном методе // Вестник статистики. - 1987. - № 9. - С. 71-74.

8. Кевеш П. Теория индексов и практика экономического анализа: Пер. с венг. - М.: Финансы и статистика, 1990.