Линии на параболоиде, близкие к геодезическим Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 6(38)

МАТЕМАТИКА

УДК 519.711.3, 514.181.22 DOI 10.17223/19988621/38/1

М.С. Бухтяк

ЛИНИИ НА ПАРАБОЛОИДЕ, БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ

Завершено решение задачи, поставленной в [1]. Свойства линии пересечения параболоида вращения с демиквадрикой дополнены фактами, убеждающими в целесообразности избранного подхода к построениям линий на параболоиде, близких к геодезическим линиям и обладающих свойствами, достаточно удобными для использования их в качестве линий раскроя сетеполотна. Основной результат - демонстрация близости главных нормалей найденных линий (они названы SG-линиями) и геодезических.

Ключевые слова: параболоид, геодезическая линия, нормальная конгруэнция, демиквадрика, линейчатое пространство.

1. Постановка проблемы

В [1] поставлена задача об отыскании на параболоиде вращения линий, которые локально близки к геодезическим линиям, без осложнений допускают отнесение к натуральному параметру, а также определяются своими концевыми точками. В той же работе обоснована перспективность использования в качестве такой линии сечения параболоида куском демиквадрики Q , ограничивающими лучами которого служат две нормали параболоида. С этой целью в специальном линейном комплексе прямых, пересекающих ось параболоида, выделено подмножество К прямых, непараллельных директориальной плоскости а параболоида. Наличие оси и указанной плоскости позволило ввести систему координат на К, отождествляющую его с областью в М3.

Нормальной конгруэнции параболоида соответствует алгебраическая поверхность Z в К3. В работе [1] оценена степень близости прямой в К3, изображающей демиквадрику Q, к поверхности Z . В той же работе поставлен следующий вопрос. Пусть L - линия пересечения демиквадрики Q и параболоида. Необходимо оценить угловое отклонение главных нормалей линии L от нормалей параболоида в соответствующих точках. В [1] этот вопрос не решен, поскольку используемая в ней модель приводит к чрезмерно сложным вычислениям. Здесь мы применим иную модель, которая проигрывает в применении к нормальной конгруэнции параболоида, но удобна для решения поставленной здесь задачи.

6

М.С. Бухтяк

2. Локальная карта на многообразии прямых

Линейчатое пространство [2, 3] наделяется структурой дифференцируемого многообразия [4] различными способами. Нас будет интересовать локальная карта, примененная автором в [5]. Именно, пусть в трехмерном аффинном пространстве А3 задана неподвижная пара параллельных (и не совпадающих) плоскостей П и П2. Вершину репера O помещаем в плоскость П, векторы е1 и е2 параллельны обеим плоскостям. Вектор е3, отложенный из точки O, имеет концевую точку в плоскости П2. Область Л локальной карты содержит все прямые в А3, пересекающие пару плоскостей nt, П2. Если прямая l пересекает плоскость П в точке А (x1, x2,0), а плоскость П 2 в точке B (x3, x4,l), то локальными координатами прямой l объявляем четверку чисел (xj, x2, x3, x4).

Рис. l. Правило присвоения локальных координат прямой l еА

Гомеоморфизм

Лэ l —-—■(, x2, x3, x4 )е M4 (2.1)

позволяет ввести на А структуру 4-мерного точечно-векторного пространства. Его свойствам посвящена работа [5]. При этом группа преобразований пространства А3 - эквиаффинная. Отдавая предпочтения метрическим свойствам указанного пространства, сужаем эквиаффинную группу до группы движений, а репер {O, е1, е2, е3} полагаем ортонормированным.

Мы не видим оснований для терминологического различения прямой l еА и соответствующей ей точкой ((, x2, x3, x4) е М4 и будем писать l (x1, x2, x3, x4). Если, кроме того, имеем n(y1,y2,y3,y4), то определяем расстояние между прямыми:

p(l, n ) = V (X1 - yi )2 + (X2 - y2 )2 + (X3 - y3 )2 + (X4 - y4 )2 .

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

7

Заметим также, что наши построения не претерпевают существенных изменений, если расстояние между параллельными плоскостями П и П2 взять равным не единице, а другой отличной от нуля константе. Правило (2.1) остается неизменным.

3. Конгруэнция нормалей параболоида вращения. Координатное представление

Рассмотрим кусок параболоида вращения

Г и2 1

R — {и cos v, и sin v,-), 0 < и < r , 0 < v < 2n.

I 4F I

(3.1)

Здесь r - радиус вырезающего цилиндра. На практике r < F, и мы можем одно из условий в (3.1) записать (и это существенно) иначе:

0 < и < F .

Пару неподвижных плоскостей выбираем следующим образом. П = (xOy), П2 задана уравнением

= F Z = 4 .

Не нарушая общности, полагаем

F — 1.

Взаимное расположение куска параболоида, плоскостей П и П2 и нормали l параболоида пояснено на рис. 2.

Рис. 2. Кусок параболоида и сопутствующие объекты: плоскости П1, П2 и нормали l

Нормаль, отвечающая значениям параметров и и v, есть годограф векторфункции

к Г Г, t л . ( t л , и2

1 l 2 J l 2 J 4

8

М.С. Бухтяк

Если A - точка пересечения нормали с плоскостью П и B - точка пересечения нормали с плоскостью П2, то

A = |cos v (8 + u2 ), '"■sin v (8 + u2 ),o}, B = {^cos v ( + u 2), 8sin v ( + u 2 ),)■}.

Точка в M4, изображающая нормаль (попросту, сама нормаль), пробегает 2-поверхность, заданную вектор-функцией

r = {, x2, x3, x4}

(■cosv(8+u2), 8sinv(8+u2), 8cosv(7 + u2

u

-sin v 8

(7

+u

I

(3.2)

Эта 2-поверхность принадлежит гиперквадрике (детерминантное многообразие [6, ст. 99])

X x4 - x2 x3 = 0 .

Она также принадлежит гиперповерхности 6-го порядка

I4 X2 - 6 у У2 - I6 У22 + 49У - 64 У2 + ( - У2 )3 = 0,

где

У1 = 64 (x12 + x2 ) , У2 = 64 (x3 + x4 ) .

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Впрочем, 2-поверхность (3.2) допускает и другое задание. Разрешая (3.3) параметрически

x3 = tx1, x4 = tx2, (3.6)

где t - новый вещественный параметр, и учитывая (3.5), приводим уравнение (3.4) к виду

(xi + x2 ) fif2 = 0 .

Здесь

f = 64x2t3 - 192t2x12 +192x12t - 64x12 - 7 + 8t + 64t3x22 - 192t2x22 + 192tx22 - 64x22,

f = 64x1 t + 192t x1 +192 x1 t + 64 x1 + 7 + 8t + 64t x2 + 192t x2 + 192tx2 + 64x2 . Стоит заметить, что

(3.7)

f = 64 (t -1)3 (x2 + x22 + 8t - 7), f2 = 64(t +1)3 ( + x22 + 8t + 7).

Если применено (3.6), то при различных значениях параметра t получаем линии в плоскости x10x2: это окружности вещественного радиуса при t

- 7,-1| и |1,7

и мнимого радиуса при остальных вещественных значениях t . Если ввести новые переменные

&

2 2 + x2

то, как видно из (3.2),

1 x3 x4

2 1 >г- + 3 U + x42- - \/xf + x42

z1 = z3 = cos v, z2 = z4 = sin v

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

9

и, следовательно, формулы (3.7) отображают поверхность 2 на тор Клиффорда [7, с. 13].

Рис. 3. Проекции на координатную плоскость ХтОх2 линий, высекаемых на поверхности 2 уравнениями (3.6). Линия А соответствует значению t = 0.876, для B : t = 0.878, для C : t = 0.880, Для D : t = 0.882

4. Отклонение демиквадрики от нормальной конгруэнции

Как и в [1], строим кусок гиперболического параболоида, взяв в качестве опорных прямых [1] две нормали параболоида вращения. В нашем четырехмерном евклидовом пространстве М4 он изображается отрезком, концевые точки которого A1, А2 принадлежат поверхности (3.2). Нас интересует оценка близости точек отрезка [А1А2 ] к поверхности, изображающей нормальную конгруэнцию

параболоида вращения. Эта задача может показаться излишней ввиду [1]. Но там использована принципиально иная модель, и выводы, к которым мы придем в данном пункте, либо подтвердят ранее сделанные выводы, либо потребуют их пересмотра.

Действуем так, как в [1]. Вводим в рассмотрение плоскость Г полярных координат (uOv) . Точки А1, А2 определятся из (3.2) своими радиус-векторами, полученными соответственно при u = u1, v = v1 и при u = u2, v = v2. В плоскости Г точкам А1, А2 биективно соответствуют точки E1, E2. причем выбор полярной

10

М.С. Бухтяк

системы координат в плоскости (uOv) и полярных радиусов точек E1, Е2 совершается так, как в [1], то есть приводит к соотношениям

u2 = R - u1, v2 = -v1.

Иллюстрацией служит заимствованный в [1] рис. 3.

Рис. 3. Точки Е1 и Е2 на полярной плоскости.

ZHOK = v , ZHOE2 = -v , \OEx\ = u1, \OE2\ = 1 -u1 .

Тогда

A1 = j^-cos vi (8 + u2 ), ^-sin v1 (8 + u 2 ), ^cos v\ (7 + u2 ), ^-sin vi ( + u2 )|, A2 ='{1'8uLc0s v1 (8 + (1 - u1 )2 ),)) sin v1 (8 +(1 - u1)2 ), x-u-cos v1 (7+(1 - u1 )2),)-sin v1 (7+(1 - u1 )2 )|.

Радиус-вектор текущей точки отрезка [A1A2 ] имеет вид

L = {a1,a2,a3,a4} ,

где

1

a, =— cos v, 1 8 1

1

a2 = — sin у

1

a3 = — cos v

1

a4 = — sin vi

(u + u13 -19u1t - 2u13t + 9t + 3tu2 ), (u + u13 + 3u1t - 9t - 3tu12 ),

(u + u1 - 17u1t - 2u1 t + 8t + 3tu1 ), (u + u1 + 3u1t - 8t - 3tu1 ),

0 < t < 1.

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

11

Квадрат расстояния от текущей точки отрезка [A1А2 ] до текущей точки поверхности (3.2) имеет вид

^ = £( -a? .

i=1

Подробное исследование экстремумов этой функции весьма затруднительно, если проводить его в символьном виде. Вместо этого мы, действуя как в [1], проведем численную оценку верхних значений наименьших расстояний для вполне правдоподобных ситуаций.

Верхние оценки максимальных значений функции Т при различных значениях параметров ы1, t

Меньший радиус и 1 = 8 Меньший радиус и 1 = 6

п п п п п п

t

1 8 1 8 1 7 1 3 1 7 1 3

0 0.00000 0.00000 0.00000 0.03501 0.00000 0.01962

1/8 0.00002 0.00001 0.00001 0.00002 0.00002 0.00002

1/4 0.00006 0.00004 0.00004 0.00006 0.00006 0.00008

3/8 0.00010 0.00007 0.00007 0.00011 0.00011 0.00015

1/2 0.00013 0.00008 0.00009 0.00015 0.00013 0.00019

5/8 0.00012 0.00008 0.00008 0.00015 0.00012 0.00018

3/4 0.00008 0.00005 0.00006 0.00010 0.00008 0.00013

7/8 0.00003 0.00002 0.00002 0.00004 0.00003 0.00004

1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

Продолжение таблицы

Меньший радиус и 1 = 4 Меньший радиус и 1 = 3

п п п п п п

t

1 8 1 7 1 8 1 7 1 3 1 3

0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

1/8 0.502 -10-5 0.535 -10-5 0.161 -10-5 0.181 -10-5 0.229 -10-5 0.675 -10-5

1/4 0.00002 0.00002 0.522 -10-5 0.600 -10-5 0.00001 0.00003

3/8 0.00003 0.00003 0.892 -10-5 0.00001 0.00003 0.00006

1/2 0.00003 0.00004 0.00001 0.00001 0.00004 0.00008

5/8 0.00003 0.00004 0.00001 0.00001 0.00005 0.00009

3/4 0.00002 0.00002 0.699 -10-5 0.849 -10-5 0.00004 0.00007

7/8 0.741 -10-5 0.833 -10-5 0.250 -10-5 0.306 -10-5 0.00001 0.00002

1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

12

М.С. Бухтяк

5. Отклонение главных нормалей линии L от нормалей параболоида

Здесь используются те же величины, что и в пункте 4: меньший радиус и1, больший радиус u2 = R - u1, а также половина угла расхождения радиус-векторов проекций пары точек на координатную плоскость xOy . Главный параметр - угол у в радианах между главной нормалью исследуемой линии и нормалью параболоида в соответствующей точке. Опуская вычислительные детали (они весьма сложны), приводим итоговый рис. 4.

0.14

0.12

0.10-

0.08

0.06

0.04

0.02

10 20 30 40 50 60 70

Номера комбинаций исследуемых параметров

80

0

Рис. 4. Влияние параметров u1, u2 , v1 на величину у

На основании графика можно заключить, что от чего бы ни зависело поведение переменной у , размах колебаний (а они не уменьшались в 10 раз) позволяет

надеяться на такое отклонение нормалей исследуемой линии от нормалей параболоида, которое оправдывает использование указанных линий (в разумных пределах) вместо геодезических линий параболоида вращения.

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

13

6. SG-линии

Линии, о которых идет речь в этой и предыдущей статьях, суть линии пересечения параболоида вращения с демиквадрикой, для которой двумя прямыми служат нормали параболоида. Как мы выяснили, эти линии довольно хорошо воспроизводят свойства геодезических, не являясь на самом деле таковыми. Автору показалось уместным присвоить этим линиям обозначение SG-линии (от английского Substitute Geodesic).

Вообще, удобный исходный материал для демиквадрики - пространственный четырехугольник [8]. Действительно, пусть (A1A2В2В1) - пространственный четырехугольник. Пусть

М = (1 -1) A + tA2, N = (1 -1 )BX + tA2, t £ Ж.

Тогда, как нетрудно проверить, при t £ Ж. прямые MN заполняют демиквадри-ку, включающую прямые A1B1 и А2В2, а при 0 < t < 1 получаем часть демиквад-рики, ограниченную этими прямыми.

R

Рис. 5. Схема построения демиквадрики по пространственному четырехугольнику (A1A В2В1)

2

Обозначим демиквадрику, построенную на пространственном четырехугольнике (A1A2В2В1) символом D (A1 A2В2Б), а параболоид - символом P . Тогда SG-линия есть P n D (A1A2В2В). При этом произвол в отыскании SG-линии не столь велик. Точки A1 , A1 - те точки параболоида, которые предполагается соединить SG-линией. Прямые Л1В[ , A2В2 направлены по нормалям параболоида в точках A1 , A2 . Кроме того, если выбор точек В1 , В2 уже совершен, то заменяя их на точки C1, С2 так, что при некотором Х£ Ж имеем A1C1 = XA^ , A2C2 = XA2В2 и получим ту же самую демиквадрику.

14

М.С. Бухтяк

Один из безусловно естественных способов определения положения точек B , В2 сводится к помещению их в плоскость z = 0 . Тогда ситуация передается рис. 6. Точки Aj, A2 лежат на параболоиде. Точки Bj, В2 суть точки пересечения нормалей параболоида в точках Aj, A2 с плоскостью z = 0. Поверхность (Aj A2 В2 Bj) - кусок демиквадрики D (Aj A2 В2 Bj), а линия L (линия пересечения демиквадрики с параболоидом) есть SG-линия.

Рис. 6. SG-линия - один из вариантов (отрезок [В1В2 ] в плоскости xOy )

Рис. 7. SG-линия - иной вариант

F

(отрезок [BjB2 ] в плоскости z = — ).

L

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

15

A2

Bi

Рис. 8. SG-линия. Отрезки AJBJ , A2B2 одинаковой длины отложены на нормалях параболоида в соответствующих точках Aj и А2

Если не применять искусственное сокращение числа параметров, то SG-линия определяется заданием величин F, uj, vj, u2, v2. Уравнение SG-линии при переменных указанных величинах чрезвычайно сложно. Автором разработана программа, которая при заданных значениях перечисленных пяти параметров составляет вектор-функцию r (t), 0 < t < J, годографом которой является искомая SG-

линия. Если параболоид задан не вектор-функцией (3.J), а уравнением

2 . 2 X + у

z =------,

4F

(6.J)

то SG-линия определится набором значений F, xJ, yJ, х2, у2.

7. Сравнение с геодезической линией

Сопоставление SG-линий и геодезических линий параболоида уже проведено выше (в данной статье и в [J]). Но это сопоставление в очевидном смысле косвенное. Прямое же сравнение в общем случае затруднено хотя бы тем, что уравнения SG-линий при произвольных определяющих её параметрах чрезвычайно громоздко. Однако вполне осуществим следующий вычислительный эксперимент. Указав на параболоиде точку Aj и касательное направление в этой точке, решаем задачу Коши для дифференциальных уравнений геодезической. Для полученного решения u = u (t), v = v(t) указываем промежуток изменения параметра t от 0 до некоей константы tJ. Точку на параболоиде, для которой t = tJ, считаем точкой А2. Для пары точек AJ, А2 строим SG-линию (ради определенности - по схеме рис. 8). Сравниваются длина геодезической (вычисленная, разумеется, приближенно) с длиной SG-линии (тоже вычисленной приближенно). Эксперимент фрагментарен, но, по крайней мере, в случае успеха поддерживает гипотезу о близости линий.

Дифференциальные уравнения, определяющие геодезические линии на достаточно гладкой поверхности, хорошо известны (например, [9]) и здесь не приво-

16

М.С. Бухтяк

дятся. Параболоид задаем уравнением (6.1) - там, где это удобно. В ином случае -вектор-функцией (3.1). В этом случае линия на параболоиде задается параметрически:

и = u(t), v = v(t), (7.1)

а дифференциальные уравнения геодезических имеют вид

и (t) d2 , , ■и . ((I,и (t ))2+(f (t )J-)

dt2 4 v (t) d\ F 2 +(v (t ))2 +(u (t ))2 ;(d-.u о )f+( i,v c >)2)

dt 2'V’ 4 F 2 +(v (t ))2 +(u (t ))2

Для приближенного решения данной системы с помощью системы Maple в виде отрезка ряда Тейлора полагаем

и (0) = 0.2; v (0) = 0.2; и'(0) = 0.5; v'(0) = -0.25.

Приближенные значения искомых функций

u(t) И 0.2000 + 0.5000t - 0.0005t2 - 0.0004t3 + 0.1624 • 10-514 +

+ 0.1283 • 10-515 - 0.8592 • 10-816 - 0.5625 • 10-817 + 5.2480 x 10-1118 +

+2.8743 x 10-1119 - 3.4329 x 10-13110 -1.6046 x 10-13111,

v(t) и 0.2000 - 0.2500t - 0.0005t2 + 0.0002t3 + 0.6722 x 10-614 -- 0.6461 x 10-615 -0.1334 x 10-816 + 0.2845 x 10-817 + 5.276 x 10-1318 -

-1.459 x 10-1119 + 2.848 x10-14110 + 8.175 x10-14111. (7.2)

Пусть

0 < t < 8 .

Тогда, согласно (7.2), (7.1) и (3.1),

A (0.2000, 0.2000, 0.0050), A2 (3.9986, -1.7409, 1.1887). (7.3)

Длина геодезической линии [ AjA2 ] равна (приближенно)

4.47181517 .

Для той же пары точек (7.3) находим параметрические уравнения SG-линии, длина её (приближенно) составляет

4.47181558.

Разница длин (в процентах) оценивается величиной

0.91014-10-5%.

8. Заключение

Соображения, приведенные в [1] и в настоящей работе, позволяют считать по-

лезным использование SG-линий в теории и практике раскроя сетеполотна для

параболичесчких рефлекторов вне зависимости от их типа (осесимметричный либо офсетный). Примеры такого использования - в последующих публикациях.

Линии на параболоиде, близкие к геодезическим

17

ЛИТЕРАТУРА

1. БухтякМ.С. Нормальная конгруэнция параболоида. Демиквадрики // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 5(37). С. 5-19.

2. Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. М.; Л., 1933. 72 с.

3. Фиников С.П. Проективно-дифференциальная геометрия. М.-Л.: ОНТИ НКТП, ГТТЛ, 1937. 263 с.

4. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: ИЛ, 1956. 250 с.

5. Бухтяк М.С. Об одном перенесении // Геометрический сборник. Вып. 20. Томск: ТГУ, 1979. С. 44-51.

6. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2. 1103 с.

7. Proceedings of the International Geometry Center. 2011. V. 4. No. 1. 64 p.

8. http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mline.htm

9. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 428 с.

Статья поступила 01.09.2015 г.

Bukhtyak M.S. LINES CLOSE TO GEODETIC LINES ON A PARABOLOID DOI 10.17223/19988621/38/1

The problem posed in [1] has been completely solved. Properties of the line at which a paraboloid of revolution intersects a demiquadric are updated with facts convincing that the selected approach is feasible for constructing lines lying on the paraboloid, close to geodetic lines, and having properties comfortable enough to use them as tailoring lines of a metallic mesh. The main result is a demonstration of proximity of principal normals of the identified lines (they are called SG-lines) and geodetic lines.

Keywords: paraboloid, geodetic line, normal congruence, demiquadrics, ruled space.

BUKHTYAK Mikhail Stepanovych (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: bukhtyakm@mail.ru

REFERENCES

1. Bukhtyak M.S. Normal'naya kongruentsiya paraboloida. Demikvadriki. Vestnik Tomskogo go-sudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2015, no. 5(37), pp. 5-19. (in Russian)

2. Kartan E. Metodpodvizhnogo repera, teoriya nepreryvnykh grupp i obobshchennye prostran-stva. Moskow, Leningrad, 1933. 72 p. (in Russian)

3. Finikov S.P. Proektivno-differentsial'naya geometriya. Moskow, Leningrad, ONTI NKTP Publ., GTTL Publ., 1937. 263 p. (in Russian)

4. de Ram Zh. Differentsiruemye mnogoobraziya. Moskow, IL Publ., 1956. 250 p. (in Russian)

5. Bukhtyak M.S. Ob odnom perenesenii. Geometricheskiy sbornik. Vyp. 20. Tomsk, TGU Publ., 1979, pp. 44-51. (in Russian)

6. Matematicheskaya entsiklopediya. Moskow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1979, vol. 2. 1103 p. (in Russian)

7. Proceedings of the International Geometry Center, 2011, vol. 4, no. 1. 64 p.

8. http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mline.htm

9. Rashevskiy P.K. Kurs differentsial'noy geometrii. Moskow, Leningrad, GITTL Publ., 1950. 428 p. (in Russian)