Линейный подход к управлению равновесными состояниями нелинейных нормированных моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

£1------------

УДК 519.876.2

ЛИНЕЙНЫЙ ПОДХОД К УПРАВЛЕНИМ РАНННВЕСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ НЕЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ

Е.К. Корноушенко

Рассмотрена задача управления нелинейной нормированной моделью при переводе ее из одного равновесного состояния в какое-либо другое с изменением выходных переменных модели в заданных направлениях. Предложено ее решение в линейной постановке: нелинейной модели ставится в соответствие линейная система с определенными свойствами, которая и переводится из одного равновесного состояния в другое с выполнением требований, наложенных на выходные переменные. Сформулированы достаточные условия, при которых управление, найденное для линейной системы, переводит нелинейную модель в некоторое равновесное состояние с требуемыми изменениями выходных переменных модели. Дан пример, иллюстрирующий все этапы предложенного подхода.

Ключевые слова: нелинейная нормированная модель, равновесное состояние, сопутствующая линейная система, частично монотонная модель.

ВВЕДЕНИЕ

При моделировании динамических систем определенный интерес могут представлять установившиеся (равновесные) состояния исследуемой системы. Так, например, достижение равновесного состояния в эконометрической модели может свидетельствовать о наступлении периода «застоя» в моделируемой экономической системе. Однако то или иное равновесное состояние может не устраивать исследователя по каким-либо предметным соображениям: моделируемый «уровень жизни» слишком «низок», «цены» и «налоги» слитком «высоки» и т. п. В рамках используемой модели ему желательно предпринять комплекс каких-то предметно интерпретируемых «мер» для «улучшения» ситуации: другими словами, ему надо найти такие управления, которые перевели бы модель из «неудовлетворительного» равновесного состояния в какое-либо «хорошее», в котором равновесные значения интересующих исследователя (целевых) переменных его бы «удовлетворили». Решение этой задачи существенно зависит от типа и свойств принятой модели. В случае линейной модели и при выборе константных управлений решение этой задачи, не представляющее трудностей, было описано в работе [1].

Цель настоящей работы — дать решение задачи для более сложного случая, когда уравнения модели содержат билинейные и квадратичные члены. Это позволит распространить описанный в работе [1] линейный подход к управлению равновесными состояниями на модели, содержащие произведения переменных. Несмотря на очевидную практическую значимость решения этой задачи, работы, в которых бы она рассматривалась для указанных типов уравнений, автору не известны.

Для решения поставленной задачи в данной работе привлекается ряд условий, существенно облегчающих поиск решения, главное из которых заключается в предположении о единственности равновесного состояния модели для всякого допустимого константного вектора входов. В работах Э. Зонтага и его коллег, посвященных вопросам устойчивости нелинейных систем (см., например, работы [2—4]), системы с подобным свойством называются системами, обладающими «характеристикой», а само свойство — моностабильностью реакции системы на константный вектор входов. Выполнение этого условия вместе с некоторыми специальными условиями (см. далее § 2) позволяет сопоставить исходной нелинейной модели линейную систему с тем же равновесным состоянием. С помощью такой линейной системы искомые управления могут быть найдены посредством обычного метода наименьших квадратов (МНК). Пока-

зано, что найденные таким образом управления гарантируют перевод нелинейной модели из одного равновесного состояния в другое с выполнением наложенных требований на знаки приращений выходных переменных модели в случае, когда модель является так называемой частично монотонной системой (см. § 3). Теория монотонных систем, широко применяющихся для моделирования и решения биологических проблем, получила существенное развитие в работах Э. Зонтага и его коллег (см.библиографию, приведенную в статьях [2, 3]).

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предмет настоящего рассмотрения — нелинейная модель, функционирующая в дискретном времени и определяемая совокупностью уравнений:

x(t + І) = f(X(t), U(t)), i = І, ..., n.

(І)

Здесь ї — моменты дискретного времени, принадлежащие множеству /+ неотрицательных целых чисел, состояния X(^) для любого ї є /+ принадлежат полуоткрытому положительному единичному

кубу1 К = [0, 1)”, а входы и(ї) — суть константные векторы, определенные в неотрицательном ортан-

те $1 .Считаем, что каждая из функций ^ может содержать, помимо линейных членов, суммы попарных произведений каких-либо координат входов на какие-либо координаты вектора состояния, а также попарные произведения координат вектора состояния. Для краткости, модель (1) с указанными свойствами будем называть нелинейной нормированной моделью (ННМ). Далее везде будем считать выполненными следующие ограничения на функции ^:

— все функции /. непрерывны и удовлетворяют условию Д0, 0) = 0, і = 1, ..., п;

— каждая входная переменная может входить лишь один раз в каждую из функций /. либо в виде сомножителя при какой-либо координате состояния, либо как свободный член уравнения.

Для каждого ^ є К и каждого константного

вектора входов и є обозначим через х( •, ^, и)

траекторию системы (1) с начальным состоянием Х(0) = ^ и входом и. Из непрерывности функций /. следует, что каждая траектория определяется

1 Такой выбор области определения для состояний ННМ обусловлен тем обстоятельством, что ННМ строится в рамках качественного моделирования с использованием качественных непрерывных шкал в виде единичных положительных интер-

однозначно на множестве J+ и для каждого U е R1 и каждого t е J+ X(t, U) непрерывно зависит от

Вход U назовем допустимым для ННМ, если для любого состояния ^ е K каждая точка траектории X(t, ^, U) принадлежит кубу K. Достаточным условием допустимости константного входа U является выполнение следующих покоординатных соотношений для вектора состояния:

sup Я*, ^, U) е [0, 1) для каждого i = 1, ..., n.

i;e K

Ключевым в данной работе является условие

существования такой области W с R1, что для любого допустимого константного вектора U е W в кубе K существует единственное равновесное состояние Хц, для которого справедливо: для любого Х(0) е K

lim X(t, X(0), U) = XU є K,

t —— то

(2)

где Хи — предельная точка траектории Х(ї, ^, и). В терминологии работ [2—4] такое свойство ННМ называется моностабильностью реакции системы на константный вектор входов. Область № предполагается неизвестной исследователю, так что всякое условие и є № проверяется экспериментально в процессе моделирования ННМ.

Формальная постановка рассматриваемой далее задачи выглядит так. Пусть для некоторого допустимого входа и є Ж выполняется условие (2), так что X * = Хи — равновесное состояние ННМ. В векторе состояния X выделяется некоторая совокупность так называемых целевых (или выходных) координат У = (у1, ..., ур), значения которых

интересуют исследователя, и пусть (у1, у2, ..., ур) — значения этих координат в состоянии X*. Исследователем задается вектор 2* = (г!, , ..., г*р) жела-

тельных значений выходных координат, по которому с учетом исходного состояния X* определяется вектор знаков приращений значений выходных координат БУ = (БІ§п(Ау1), ..., 8І§п(Аур)). Задача состоит в нахождении такого допустимого константного корректирующего вектора икор, который переведет ННМ из состояния X* в какое-либо (не задаваемое априори) другое равновесное состояние X ** с выполнением условия:

(sign( у1 - y1), sign( y2* - у2 ),

sign( у; - у; )) = sy.

()

Далее показано, при каких допущениях эта задача может быть решена в рамках линейного подхода с помощью обычного МНК.

2.ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА СОПУТСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НОРМИРОВАННОЙ МОДЕЛИ

Пусть ННМ находится в некотором равновесном состоянии X* е К. Предположим, для простоты, что уравнение для координаты состояния хк содержит один билинейный член вида кх.(1)ы. и

* У

один член вида gx(t)x(t):

хк(г + 1) = Л(к)Щ + Нх(1)Ыу + gxp(t)xq(^). (3)

Здесь Л(к) — к-я строка матрицы Л коэффициентов при координатах вектора состояния, входящих линейно в уравнения ННМ. Поскольку равновесное состояние не меняется со временем, символ t в уравнении (3) можно опустить, и в равновесном состоянии X* оно примет вид:

хк = Л(к)Х* + Их* ык + £х; х;. (4)

«Звездочка» означает, что значения всех переменных рассматриваются в равновесном состоянии X *. Уравнение (4) можно представить в линейном виде как

( У**\

*

ик

Соотношения вида (5) открывают возможность для построения линейной системы по уравнениям ННМ и ее равновесным значениям переменных, для которой X* является неподвижной точкой в кубе К, как и для ННМ. Назовем такую линейную систему сопутствующей (для ННМ) системой и будем обозначать ее как СС^*, и*), где символы X* и и* указывают, что СС строится по известному равновесному состоянию X* ННМ, обусловленному константным входом и*. Пусть V = (ур ..., уи) — вектор состояния сопутствующей системы. Процедура формирования уравнений СС^*, и*) выглядит следующим образом:

— каждому уравнению ННМ однозначно соответствует уравнение СС^*, и *);

— все линейные члены, входящие в уравнения для ННМ и являющиеся произведениями какой-либо входной переменной или какой-либо координаты состояния на постоянный коэффи-

циент, переносятся в соответствующие уравнения

СС^*, и*);

— всякое произведение входной переменной на переменную состояния вида й.м.х. заменяется

в уравнениях СС^ *, и *) суммой (а^./2)( ы* у^) + + х* ы*) («звездочка» по-прежнему говорит о том, что рассматривается значение данной переменной в равновесном состоянии X *);

— всякое произведение переменных состояния вида Я;;х;х; заменяется в уравнениях СС^*, и*)

суммой (?;;/2)( х; У;^) + х; У;Ш

— подобным образом преобразуется каждое из уравнений ННМ.

Считаем, что СС^*, и*)так же, как и ННМ, определена на множестве /+. Совокупность результирующих уравнений СС^*, и *) представим в матричной форме (см. § 4) как

V(t + 1) = Л^*, и*) V(t) + В(X*)и, t е /+,

где запись Л^ *, и*) и В^*) указывает на то, что эти матрицы содержат координаты состояния и входные переменные, входящие в билинейные и квадратичные члены ННМ, и значения этих переменных определены в равновесном состоянии X *. Если все собственные значения матрицы *, и *) лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости, то СС^ *, и *) — асимптотически устойчива (а. у.), т. е. справедливо соотношение:

Иш V(t + 1) = Иш Л^*, и*) Ц() + В(X*)и* = X*.

t —— то t —— то

Это означает, что равновесное состояние X* ННМ является а. у. состоянием и для СС^ *, и *). Ключевой момент при использовании СС^, и*) — проверка СС^ *, и *)на а. у. путем анализа собственных чисел матрицы Л^ *, и *).

3. УПРАВЛЕНИЕ РАВНОВЕСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ НЕЛИНЕЙНОЙ НОРМИРОВАННОЙ МОДЕЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОПУТСТВУЮЩЕЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Эволюция СС(Х*, и*) из произвольного начального состояния Г(0) под действием константного входа и * описывается уравнением

V» = А1 Г(0) + (Е + А + А2 + ... + А1)Ви*,

где А = А(Х*, и*), В = В(Х*). Если СС(Х*, и*) - а. у., то матричный ряд Е + А + А2 +...+ А1 + ... сходится,

откуда вытекает асимптотическое соотношение для равновесного состояния X *:

X* = (Е +Л + Л2 + ... + Л" + ...)Ви*. (6)

Зададимся конечным числом q членов ряда

Е +Л + Л2 + ... + Л" + ... в пределах приемлемой точности выполнения соотношения (6) и обозначим Q(X*, и*) = Е + Л + Л2 + ... + Л;, тогда

V* = Q(X*, и*)В(Х*)и* * X'

(7)

где V* — равновесное состояние СС(Х*, и*) с учетом «обрезания» матричного ряда в соотношении (6). Матрица Q(X*, и*)В(Х*) однозначно определяет связь между значениями произвольных константных входов и равновесными значениями координат состояния в а. у. СС(Х*, и *).

Выделим из совокупности Х координат состояния ННМ выходные (целевые) переменные, и пусть У есть р-вектор выходных переменных: У = СХ, где С — соответствующая (0, 1)-матрица размера р х п. По аналогии с матрицей Q(X*, и*)В(Х*) можно сказать, что матрица CQ(X*, и*)В(Х*) однозначно определяет связь между значениями произвольных константных входов и равновесными значениями выходных переменных в а. у. СС(Х*, и*).

Далее по умолчанию будем считать, что СС(Х*, и*) — а. у. Сопоставим вектору У* = СХ* вектор Z* того же размера, формируемый по правилу: если для данной координаты у. из вектора У* желательно увеличение (уменьшение) ее равновесного значения до некоторой величины у+ (у- ) , то значение соответствующей координаты в векторе Z * принимаем равным ее наибольшему (наименьшему) желательному значению. Если же желательно сохранение ее прежнего равновесного значения, то в векторе Z * ставим это значение. Вместе с вектором Z * задается вектор ^У знаков желательных приращений выходных координат ННМ.

Для поиска корректирующего константного вектора икор привлечем СС(Х*, и*).При этом используем соотношение (для простоты считаем, что все входные переменные из вектора и можно изменять):

CQ(X*, и*)В(Х*)икор = Z*.

(8)

Уравнение (8) решается с помощью обычного МНК с линейными ограничениями вида

икор) < D,

(9)

учитывающими предметную и формальную допустимость тех или иных изменений входных переменных. Предметная допустимость может быть

обусловлена предметной спецификой рассматриваемой задачи и прежде всего — ограниченностью «ресурсов» на выработку того или иного предметно интерпретируемого «управления». Формальная же допустимость состоит в том, чтобы найденный в результате решения задачи (8), (9) вектор был допустимым для ННМ, т. е. не выводил ее из куба К. Более конкретно ограничения (9) представлены в Приложении.

Пусть икор = ^(Х*, U*)B(X*))+Z* есть МНК-

решение задачи (8), (9), где запись (£)+ означает псевдоинверсию матрицы Є, стоящей в скобках. Обозначим через X** равновесное состояние, в которое перейдет ННМ под действием вектора ик и для которого справедливо:

кор

X** = ЩТ*, икор),

где Е — вектор-функция с координатами /., I = = 1, ..., п. По предположению, для всякого допустимого вектора и ННМ обладает свойством моностабильности, так что начальное состояние в ^(•, икор) может быть произвольным. Анализ перехода ННМ из состояния X* в состояние X** проводится с помощью СС «переходного периода» СС(^*, икор), поскольку именно эта СС обусловливает переход сопутствующей системы из состояния X* в некоторое другое равновесное состояние. В СС(^*, икор) равновесные значения переменных состояния те же, что и в X*, а входы — координаты найденного вектора икор. Будем считать, что СС^*, икор) также а. у. система2. Пусть V** — равновесное состояние, в которое перейдет а. у. СС^*, икор) и которое по аналогии с соотношением (12), определяется как

V** = Q(X*, и^В^икор * X**.

Найдем условия, при которых знаки приращений переменных из У** = СX** совпадают со знаками приращений соответствующих переменных при переходе СС^*, икор) из состояния V* в состояние V**.

Далее потребуются некоторые понятия из структурного анализа линейных моделей (см., например, работу [5]). Обозначим ликор = икор — и*. Рассмотрим соотношение

CQ(X*, и^В^*)ликор = ЛУСС = су* - СУ*.

кор

Заметим, что СС(Х*, икор) будет отличаться от СС(Х**, икор), где X** — равновесное состояние, в которое перейдет ННМ под действием вектора икор.

Будем говорить, что корректирующее воздействие Ли{ е ликор согласовано с выходной переменной УцСС в СС^*, икор), если при изменении в момент коррекции ^ ы. на ы. + Ли. результирующее (установившееся) приращение Лу. значения переменной у. происходит в желательном направлении: 81§п(Лу.) е Формально этот факт выражается асимптотическим соотношением

^(Лы'^п^Ь.) = 8ЩП(Лу.СС), (10)

где сqЬ■■ — (/, у)-й элемент матрицы CQ(X*, Uкор)B(X*). Отметим, что в линейной системе справедливость соотношения (10) не зависит от размера изменения Лы . входа ы;.

Корректирующее воздействие Лы. е Л икор согласовано с множеством УСС, если Лы. согласовано с каждой переменной из УСС. Переменная у.СС не зависима от Лы, если cqЬiJ = 0. По предположению, координаты вектора икор независимые. Но тогда в линейной СС^*, икор) их суммарное действие равно сумме действий одновременных одиночных коррекций.

Аналогично, выходную переменную укСС считаем согласованной с выходной переменной уцСС, если при ее приращении ЛукСС в момент коррекции ^ в желательном направлении установившееся приращение Лу.СС значения переменной у. происходит также в желательном направлении, что выражается соотношением

81ЕП(ЛукСС)81£П^кц.) = 81§П(Луц.СС), (11)

где сq.. — (I, у)-й элемент матрицы СQ(X*, и ).

. кор

Справедливость соотношения (11) также не зависит от размера изменения ЛукСС. Переменная у.СС независима от укСС, если сqkJ = 0. Множество УСС взаимно согласовано, если согласована каждая пара его взаимно зависимых переменных.

Справедливо очевидное.

Предложение 1. Если координаты вектора Ли согласованы с переменными из множества УСС и множество УСС взаимно согласовано, то переход СС^*, икор) из состояния V* в состояние V** происходит без изменения значений выходных переменных из множества УСС в нежелательных направлениях. ♦

Вернемся к ННМ. Проведению подобных рассуждений в ННМ мешает наличие билинейных и

квадратичных членов: при отклонениях разных знаков в сомножителях билинейного (квадратичного) члена направление изменения его значения зависит от соотношения между значениями отклонений сомножителей, что делает невозможным прямое применение приведенного выше анализа к исходной ННМ. Покажем, что такое применение возможно для всякой подсистемы ННМ1 в ННМ, удовлетворяющей условиям:

— ННМ1 независима в ННМ;

— все слагаемые в ННМ1, кроме входных переменных, входящих в ННМ1 как свободные члены, положительны.

Независимость ННМ1 означает, что среди уравнений ННМ можно выделить такую совокупность ^ уравнений, в которую входят координаты состояния лишь из этой совокупности. Второе ограничение на ННМ1 похоже на требование ее монотонности. Динамическая система (для простоты — без выходов) называется монотонной, если на множествах ее состояний и входов определены соответствующие частичные порядки и выполняется условие: из того, что X1 < X2 и и 1 < и2 следует Е^ 1, и 1) < Е^2, и2) (см., например, статьи [2, 3]).По аналогии с определением монотонности системы определим в кубе К частичный порядок

«<» для состояний ННМ1. Назовем ННМ1 частично монотонной, если для каждого допустимого константного входа и выполняется условие: из того, что X! < X2, следует Е^1, и) < Е^2, и). Нетрудно заметить, что при частично монотонной ННМ1 в СС^*, и кор) также можно выделить частично монотонную подсистему СС1 с теми же координатами состояния, что и в ННМ1, причем матрица А1 подсистемы СС1 содержит лишь неотрицательные элементы. Но тогда и в матрице СQ(X*, и кор) содержится подматрица CQ1 той же размерности, что и А1, и также с неотрицательными элементами. Обозначим через X1^ 1СС1) множество координат состояния ННМ1(СС1), а через и 1 С и — множество входных переменных в ННМ1.

Предложение 2. Допустим, что в ННМ можно выделить частично монотонную подсистему ННМ1, а икор — вектор корректирующих воздействий, найденный путем решения задачи (8), (9). Если выполняются условия:

3 Поскольку выходы ННМ1 суть некоторые координаты состояния, а входы могут входить в уравнения ННМ1 с разными знаками, рассматриваем частичный порядок лишь на множестве состояний ННМ1.

1) желательные направления изменения для всех координат состояния из X1 совпадают,4;

2) все коррекции из Ли 1кор с Ликор, действующие на координаты состояния из Х1, согласованы с этими координатами,

то направления изменения координат из Х1 при переходе ННМ из состояния X* в состояние X** под действием вектора икор совпадают с направлениями изменения этих же координат при переходе СС^*, икор) из состояния V* в состояние V**.

Доказательство. Из частичной монотонности ННМ1 следует, что в матрице СО(Х*, и *) содержится подматрица С01 с неотрицательными элементами, отображающая влияние каждой пары координат из Х1СС1

друг на друга в установившемся состоянии V**. Из неотрицательности матрицы СШ и условия 1 следует, что множество Х1СС1 в СС1 взаимно согласовано. Сопоставим ННМ1 и СС1(Х*, икор). По построению СС(Х*, Ц,ор) каждый билинейный (квадратичный) член в ННМ1 заменяется парой линейных членов в СС1(Х*, и )). При этом, если линейные члены в каждой из таких пар не изменяются в разных направлениях, то направление изменения соответствующего билинейного (квадратичного) члена совпадает с направлением изменения суммы этих линейных членов. А если при этом функция частично монотонна, то и ее значение будет изменяться в сторону изменения входящих в нее билинейных (квадратичных) членов. Поскольку при этом желательные направления изменений таких линейных членов совпадают, то все функции ^ будут изменяться в желательном направлении. Если некоторое корректирующее воздействие Ам; е ЛЦ,ор согласовано с множеством Х1СС, то под действием Ам; координаты из Х1СС, зависящие от Ам;, получат приращения в желательном направлении. С учетом сказанного приращения в желательном направлении получат также соответствующие координаты из Х1. ♦

Таким образом, если выходными переменными ННМ являются координаты состояния частично монотонной ННМ1, то при выполнении условий предложения 2 исходная задача о переводе ННМ из одного равновесного состояния в другое имеет решение.

4. ПРИМЕР

Пусть ННМ описывается уравнениями х(1, ґ + 1) = 0,5(х(1, ґ) + х(3,ґ))2 — 0,2х(1, ґ) + м3х(3, ґ);

х(2, ґ + 1) = 0,3х(2, ґ)х(3, ґ) + 0,4х(2, ґ) +

+ м2х(3, ґ) — 0,05м1;

х(3, ґ + 1) = 0,2(х(3, ґ) + х(2, ґ))2 + м3,

где м1, м2, м3 — константные входы ННМ. Пусть м1 = 0,1, м2 = 0,2, м3 = 0,3. Непосредственная проверка условия (2) показывает, что эти входы являются допустимыми. Обозначим и* = (0,1; 0,2; 0,3). Равновесное состояние ННМ есть X* = (х*(1), х*(2), х*(3)) = (0,2185; 0,1289; 0,3449). После преобразования каждого билинейного и квадратичного членов в виде суммы линейных членов уравнения СС(Х*, и*) примут вид:

у(1, г + 1) = (0,5х*(1) + 0,5х*(3) — 0,2)у(1, г) +

+ (0,5х*(1) + 0,5х*(3) + 0,5м3)у(3, г) + 0,5м3х*(3);

у(2, г + 1) = (0,15х*(3) + 0,4)у(2, г) +

+ (0,15х*(2) + 0,5м2)у(3, г) + 0,5м2х*(3) — 0,05м1;

у(3, г + 1) = (0,2х*(3) + 0,2х*(2))у(2, г) +

+ (0,2х*(3) + 0,2х*(2))у(3, г) + м3.

Матрицы А(Х*, и*) и В(Х*)СС(Х*, и*) выглядят следующим образом:

А(Х*, и*) =

0,5х* (1) + 0,5*(3) - 0,2 0 0,5 х*(1) + 0,5*(3) + 0,5и3

0 0,15х* + 0,4 0,15х*(2) + 0,5и*2

0 0,2 х*( 3) + 0,2х*(2) 0,2х* (3) + 0,2х*( 2)

В(Х*) =

0

-0,05

0

0 0,5х*( 3)

0,5х*( 3) 0

Л

0

1

Это условие вытекает также и из теоремы Камке для монотонных систем [2] при ее применении к равновесным состояниям частично монотонной ННМ1.

Евклидова норма матрицы А(Х*, и*) равна 0,5258. Равновесное состояние X*, общее для ННМ и СС(Х*, и*), является а. у. Нетрудно убедиться в том, что два последних уравнения в совокупности исходных уравнений ННМ определяют частично монотонную подсистему ННМ1. Обозначим X1 = X1СС1 = (х2, х3), и1 = и = (м1, м2, м3).

Коррекция с возрастанием координат из ННМ1. Пусть задача заключается в переводе ННМ из равновесного состояния X* = (х*(1), х*(2), х*(3)) в какое-либо другое равновесное состояние Х** с увеличением значений координат из Х1. Пусть для определенности х*(2) < у**(2) < 0,4, х*(3) < у**(3) < 0,5. Поскольку х1 не входит в ННМ1, положим для определенности х**(1) = 0. Тогда вектор желательных равновесных значений Z* = (0; 0,4; 0,5).

Допустим, что в матрицу ограничений входят следующие ограничения:

— координаты вектора Ц,ор не должны быть отрицательными;

— координаты х2 и х3 должны удовлетворять неравенствам х*(2) < у**(2) < 0,4, х*(3) < у**(3) < 0,5;

— МКор (2) + МКОр (3) < 0,7 («ресурсное» ограничение).

При задании ограничений необходимо следить за

тем, чтобы скорректированное движение ННМ к новому равновесному состоянию не выходило за пределы куба К. В данном случае решение задачи (8), (9) имеет вид: икор = (0; 0,3857; 0,3061), а вектор корректирующих воздействий Аикор = икор - и* = (-0,1; 0,1857; 0,0061). От-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Графики движения 2-й и 3-й координат состояния ННМ и СС(Х*, икор) от исходных равновесных значений к новым равновесным значениям

личие вектора Цкор от вектора и* приводит к тому, что матрица А^*, икор) отличается от матрицы А^*, и*), поскольку член 0,5и*(2), входящий в элемент (2, 3) матрицы А^*, и*), заменяется на 0,5икор (2) в А^*, икор). Матрицы «X*, икор) и «X*, и*)^*) CC(X*, икор) имеют вид:

Предложенный подход к управлению равновесными состояниями нелинейной нормированной модели (ННМ) с использованием линейных сопутствующих систем позволяет при выполнении определенных условий существенно упростить задачу управления ее равновесными состояниями и использовать для моделирования динамических систем более сложные типы моделей. В частности, данный подход допускает очевидное расширение на нормированные полилинейные модели: в этом случае по аналогии с условием (2) всякий полилинейный член в уравнениях модели, являющийся произведением из к переменных, в равновесном состоянии может быть представлен в виде линейной суммы из к слагаемых с общим множителем И/к), где И — коэффициент при данном полилинейном члене.

Автор благодарен участникам семинара Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН «Математические методы в теории активных систем» и его руководителю чл.-корр. РАН Д.А. Новикову, а также рецензентам за ряд замечаний, способствовавших уточнению отдельных положений настоящей работы.

1,О89О > О,О94О О,545О

икор) = О 1,9ОО1 О,4451 * Q(X*, U*),

1 О О,1988 1,1512 )

- О,ОО47 О,О162 \ О,7327

Q(X*, икор)в(х *) = - О,О95О О,3277 О,4451 *

v -О,ОО99 О,О343 1,1512,

ЛИТЕРАТУРА

* О^*, и*)^*).

Поскольку в данном случае:

— ННМ1частично монотонна;

— желательные изменения координат состояния из ННМ1 однонаправлены (положительны);

— все корректирующие воздействия из Аикор согласованы с координатами состояния из ННМ1,

то выполняются условия предложения 2. Вектор новых равновесных значений ННМ Х** = (0,3687; 0,3447; 0,4239). Графики движения координат х2 и х3 ННМ и СС(Х*, икор)от равновесных значений х*(2) и х*(3) к новым равновесным значениям представлены на рисунке.

Если решение, полученное на одном этапе коррекции (т. е. перевод ННМ из Х* в Х**) не пригодно по каким-либо причинам, можно рассмотреть ряд аналогичных последовательных этапов коррекции. Подобным же образом рассматривается случай коррекции с убыванием координат из ННМ1.

1. Корноушенко Е.К., Максимов В.И. Структуризация целенаправленного взаимодействия участников в сложных ситуациях // Матер. 1-й междунар. конф. «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (CASC 2001)», Москва, 1l — 12 октября 2001 г. — М., 2001. — Т. 2. — С. 118—135.

2. Sontag E.D. Monotone and near-monotone biochemical networks // Syst. Synth. Biol. — 2007. — April — 1(2). — P. 59—87. — URL: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2533521 /?tool=pmcentrez/ (дата обращения 28.12.2010).

3. Angeli D., Sontag E.D. Monotone Control Systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 2003. — Vol. 48, N 10. — P. 1684—1698. — URL: http://www.mit.edu/~esontag/FTP_ DIR/angeli-sontag-monotone-TAC03.pdf (дата обращения 28.12.2010).

4. Ryan E.P, Sontag E.D. Well-defined steady-state response does not imply CICS // Syst. & Control Letters. — 2006. — Vol. 55. — P. 707—710. — uRl: http://www.math.rutgers.edu/~sontag/ FTP_DIR/ryan-sontag-SCL06.pdf (дата обращения 28.12.2010).

5. Корноушенко Е.К., Максимов В.И. Управление ситуацией с использованием структурных свойств ее когнитивной карты // Тр. ИПУ РАН. — Т. XI. — М., — 2000. — С. 85—90.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Корноушенко Евгений Константинович — д-р техн. наук,

гл. науч. сотрудник, Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, Ш (495) 334-90-00.