Линейные модели теории вязкоупругости соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

М.В. Фалалеев

В работе методами теории фундаментальных оператор-функций и теории полугрупп операторв с ядрами исследована задача Коши для интегро-дифференциального уравнения соболевского типа в банаховых пространствах. Построена фундаментальная оператор-функция, с помощью которой получена конструктивная формула для обобщенного решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Описаны условия совпадения классического и обобщенного решений. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах задач Коши-Дирихле из математической теории вязкоупругости.

Ключевые слова: банаховы пространства; обобщенные функции; вязкоупругость.

Введение

Некоторые колебательные процессы в вязкоупругих средах моделируются начальнокраевыми задачами для неклассических интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с необратимым оператором при старшей по времени производной. Редукция таких задач к вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах позволяет исследовать их в наиболее общей постановке с единых методологических позиций. Таковыми в данной работе являются теория фундаментальных оператор-функций [1] и теория полугрупп операторов с ядрами [2]. Целью предлагаемой работы является через комбинирование основных идей этих двух подходов получить общие теоремы о разрешимости в классах распределений задачи Коши

t

Bu(N\t) = Au(t) + j g(t — s)Bu(s)ds + f (t), (1)

0

u(0) = u0, u (0) = ui, ..., u(N-i)(0) = uN_i, (2)

где B G L(Ei, E2), A G Cl(Ei,E2), B необратим, Ei, E2 — банаховы пространства g(t) : R+ ^ R. На этой основе можно получить полное представление о структуре обобщенного решения и сформулировать утверждения о гладких решениях задачи (1), (2), что в свою очередь позволяет всесторонне исследовать некоторые задачи теории вязкоупругости.

1. Построение обобщенного решения

В обобщенных функциях [1] задача (1), (2) переписывается в виде

(b [s(n\t) — g(t)d(t)) — A5(t)^ * u(t) =

= f (t)O(t) + Bun _1 S(t) + Bun-2$' (t) + ■■■ + BuoS(N _1')(t). (3)

В классе K+(Ei) обобщенных функций с ограниченным слева носителем единственным решением уравнения (3) является функция

u(t) = En(t) * (f (t)O(t) + Bun_i$(t) + Bun-2$(t) + ... + Buo$(N-i\t)). (4)

Здесь Ем ^) — фундаментадьная оператор-функция [1] интегро-дифференциального оператора См(5^)) = В (5(м— д(Ь)в^)) — А5(Ь) , удовлетворяющая следующей паре уравнений

См(5^)) * Ем&) * ь(Ь) = ь(Ь), У ь(Ь) € К+ (Е2),

Ем(^ * См(5(1)) * -ш^) = w(t), У -ш^) € К+ (Е1).

Пусть оператор А спектрально ограничен относительно оператора В (или (В,а)~ ограничен) [2], т.е. вне некоторого круга радиуса а непрерывно обратим оператор (^В — А). Тогда проекторы

£ В(рВ — А)-1с!^ : Е2 ^ Е2, г г

Г = {^ € С : \^\ = г > а} , порождают разложения пространств в прямые суммы Е1 = Е0 ф Е\ = N(Р)фК(Р) и Е2 = Е20фЕ1 = N^)фЯ^). Действия операторов А и В расщепляются таким образом, что непрерывно обратимы Ао : Е0 ^ Ео и В1 : Е1 ^ Е^, ограничен А1 : Е1 ^ Е2), QB = ВР и QA = АР. Отсюда естественным образом вытекают вспомогательные тождества

ВВ°^ = Q, АА—1(1 — Q) = I — Q, (А^-1) ВР = (А1В—1)к—1 А1Р,

А (А-1Во)к Ао(1 — Q)= Во (А-1Во)к-1 Ао(1 — Q), к > 1.

В дальнейшем изложении потребуется следующая вспомогательная лемма из [3]

,N—1

Лемма 1. Пусть — резольвента ядра к({) = ^-1), в^) * д(^в^), тогда в сверточной алгебре £>+ справедливы равенства

1^М — 1 ( ч ( ч

N — ^в(^ * [5(^ + Щ^вЩ * (5(м— д^)вЩ =5(t),

Лк+1)м—1 / \ к+1 / ,.п \

((к + 1)N — 1)!в(1;) * (5^) + п^)вЩ * (5( (^ — д^)вЩ =

tkM —1 ( ч к

= ^N—1)1в(1;) * \5(1;)+, к >1

здесь под степенью обобщенной функции понимается ее кратная свертка с собой, нулевая степень обобщенной функции есть 5^).

В введенных здесь обобзначениях сформулируем следующую

А В,

дифференциальный оператор См(5{Ь)) имеет фундаментальную оператор-функцию вида

+ж ^м—1 . .к .

£м(^ = в—1 £^^в(г) * [5(1)+щш) (А1В—V Q—

— (Ао 1во)4 Ао1(1 — 0) (5(м— д^)в(^ . (5)

4=о

Р = 2ПГ (^В — А) 1В(1^: Е1 ^ Еъ Q = 2П1

Доказательство. В соответствии с определением фундаментальной оператор-функции проверим справедливость следующих двух сверточных равенств

См(5(Ъ)) * Ем(Ъ) = 125^), Ем(Ъ) * См(5(Ъ)) = 115^),

где 11, 12 — тождественные операторы банаховых пространств Е1 и Е2 соответственно. Справедлива следующая цепочка равенств

tM—1 ( \ / \

См(5(ъ)) *Ем(ъ) = ВВ—1 N — щ(ъ) * (5(Ю(ъ) — д^)в(^) * [5(ъ) + ^

(................\ .................\к+1 , , _пк

+ВВ—1 £ {{к + т — ^Щ(Ъ) * («5(м)(Ъ) — д(т^) * (5(Ъ)+ Щт^ А В—1)к Q-

+1

— В £ (Д, 1во)Я А°1(1 — 0) (5(м\Ъ) — g(t)в(t)^ —

д=о

tkM—1 ( \к к

— Е Щ(ъ) * (5(1) + Щ(Мъ)) (ав—1)" Q+

+<х> +АА—1(1 — ^5(ъ) + А £ (А) 1во)ч+ А^—1(1 — 0) (5(м\ъ) — g(t)в(t)Лj

,д+1

ч=о

Отсюда в соответствии со вспомогательными тождествами и леммой получаем

+км —1 ( \ к

1 '.....-.........'к ( \В—')к

Смт)) * ЕмЮ = Q5(t) + £ в(() * (5Ю + К(то) {А,В—1)к Q

+ГО +1

—Во £ (А0 1во) ч ^ 1(1 — Ф (5(м\ъ) — g(t)в(t)^ —

ч=о

+те tkм—1 ( \к к

— Е Щ(Ъ) * [5(Ъ) + Щ(МЪ)) {А1В—1) Q+

к=1 + <Х:

Ч . / -(мл,., , , ,, , \ч+1

+(1 — ^5(ъ) + Во £ (Д) 1во)ч А—1(1 — 0) ($(м\ъ) — g(t)в(t)^j

ч=о

= Q5(t) + (I — Q)5(t)= 15(Ъ). Аналогично доказывается второе равенство

+те tkм —1 ( \к к

Ем(Ъ) * См(5(Ъ)) = В—^В5(^ + В—1^ Щ(Ъ) * (5® + П(Ъ)Щ(Ъ)) (А1В—1) QB

к=г (Ш — 1)!

+те +1

У, (Ао 1во)ч Д)1(1 — 0!)В (5(м\ъ) — g(t)в(t)^ —

ч=о

+<х ^м —1 . \к 1

В—1 £ ^в(1) * (5(1) + П(1)в(1)) {А1В—1)- QA+

+1

+Ао 1(І - Я)А$(і) + £ (А° 1Во)д+ А0 1(І — Q)A ')(і) - д(і)е(і)^

д=0

Поскольку

В01ЯВ = В01ВР = Р, (АіВ01)к ЯВ = (АіВ01 )к ВР = (АіВ01)ко 1 АіР, (АіВ0-1)ко1 ЯА = (АіВ^)^1 А1Р, А°1(І - Я)А = А^1Ао(І - Р) = I - Р,

тогда

£м(і) * См(5(і)) = Р5(і) + (І - Р)5(і) = І5(і).

□

1

Замечание 1. Если бесконечность является устранимой особой точкой [2] для (цВ - А) (В-резольвенты оператора А), т.е. А01Во = 0, то представление (5) для фундаментальной оператор-функции £м (і) имеет следующий наиболее простой вид

ікм 0і ( )к 1

Ем (і) = В01 £ °(і) * У5(і) + ПШі)) (А^1)*-1 Я - А0\І - Я)5(і).

Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 бесконечность является устранимой особой точкой для (цВ - А)01, то обобщенное решение (4) задачи (1), (2) является регулярной обобщенной функцией и имеет вид

ікм 0і ( )к .

и(і) = В001 £ ^ -1)!е(і) * [5(і)+п(і)в(і)) * (АіВ0;^ Я!(і)в(і) - А01(І-я)!(і)е(і)

IV л. -г^ ікм 0і0^ к к 1

+ Е В01Т, т_ .V е(і) * [5(і) + те(і)) * {АВ01) 0 ЯВим005(і). (6)

3=0 к=1

Далее из формулы (6) прямыми вычислениями находим

й3

(IV у 1

= -А0\І - Я)!(з)(0) + В01ЯВи3 = Риз - А01(І - Я)!(з)(0).

у — ± и,3

і=0

Поскольку функция и(Ъ) удовлетворяет уравнению (1), то потребовав выполнения условий и(з\0) = из, получим

А В,

является устранимой особой точкой для, В-резольвенты оператора, А, f (Ъ) — достаточно гладкая, то задача Коши (1), (2) имеет единственное решение класса См(Ъ > 0,Е1) вида (6), если выполнены условия

(I — Q) (Аиз + f(з)(0)) =0, з =0,1,...^ — 1.

2. Приложения

Рассмотрим две начально-краевые задачи теории вязкоупругости [4].

Пример 1. Рассмотрим уравнение

(Л — А) и, — Аи — ! д(Ъ — 8) (а — А) и(в, х)йв = f (Ъ, х), (7)

в котором и = и(Ь, х) — искомая функция, х € П С Кт - ограниченная область с границей д П класс а СБудем искать функцию и = и(Ь, х), определенную на цилиндре К+ х Пи удовлетворяющую начально-краевым условиям

= 0, г > 0. (8)

х&ди

и = и0(х), х € П, и

г=о

Задача Коши-Дирихле (7), (8) редуцируется к задаче Коши (1), (2) если положить а = А, пространства Е\ ж Е2 выбрать как соболевские

= 0)1 , Е2 = Ш2(П), (9)

дП )

Е\ = < у(х Є Ш%(П) : V

операторы Аж В определить формулами

В = А - А, А = А, А € а (В). (10)

А В,

В А.

2 получаем следующую

Теорема 3. Пусть для задачи Коши-Дирихле (7), (8) пространства Е\ и Е2 опреде-

АВ

и(Ь,х) € СХ(Ь > 0,Е\) задачи (7), (8) если начально-краевые условия (8) удовлетворяют соотношениям

(Аио(х) + /(0, х), фг(х)) = 0,

здесь фг(х) собственные функции оператора Лапласа, соответствующие собственному значению А € а (В).

Пример 2. Для уравнения

£

(А — А) и££ — вАщ — Аи + 1 д(Ь — в) (а — А) и(в, х)йв = /(Ь, х), (11)

с начально-краевыми условиями и

= ио(х), и

і=0

= 0, г > о, (12)

х&ди

= и\(х), X Є П, и

г=о

положим в = 0, а = А, пространства Е\ж Е2 выбрем как в (9), операторы Аж В как в (10),

тогдіїі справедлива

Теорема 4. Если для задачи Коши-Дирихле (11), (12), в = 0, пространства Е\ и Е2 и АВ

в классе С2(г > 0,Е\), если начально-краевые условия (12) удовлетворяют соотношениям

(Аио(Х) + /(0, X), фі(Х)) = 0,

(Аиі(Х) + /г(0, X), фі(Х)) = 0, здесь фі(Х) те же, что в теореме 3.

Замечание 3. Представленные здесь результаты допускают обобщение на случаи секто-риальной и радиальной ограниченности [5] операторного пучка (^В — А)-1.

Работа проводилась при финансовой поддержке Федеральной целевой программы <Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»на 2009-2013 годы, госкон-тракт Л» Ц.В37.21.0365

Литература

1. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.

2. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // УМН. -1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.

3. Фалалеев, М.В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения / М.В. Фалалеев // Известия Иркут, гос. ун-та. Сер. Математика. - Иркутск, 2012. - Т. 5, № 2. - С. 90-102.

4. Cavalcanti, М.М. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping / M.M. Cavalcanti, V.N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. - 2001. - V. 24. - P. 1043-1053.

5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

Михаил Валентинович Фалалеев, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Математического анализа и дифференциальных уравнений:», Иркутский государственный университет (г. Иркутск, Российская Федерация), mihail@ic.isu.ru.

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 4, pp. 101-107.

MSC 34G10

Linear Models in Theory of Viscoelasticity of Sobolev Type

M. V. Falaleev, Irkutsk State University, Irkutsk, Russian Federation, mihail@ic.isu.ru

In this paper the Cauchy problem for integral differential equation in Banach spaces of a Sobolev type is analyzed by the methods of fundamental operator-functions theory and the theory of operator semigroups with kernels. Fundamental operator-function is constructed and with its help constructive formulae for generalized solution in class of distributions with left-bounded support are obtained. Equal conditions for generalized and classical solutions are described. Abstract results are illustrated by Cauchy-Dirichle problems arised in mathematical theory of viscoelasticity.

Keywords: Banach spaces; generalized functions; viscoelasticity.

References

1. Sidorov N., Loginov B., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2002.

2. Sviridyuk G.A. On the General Theory of Operator Semigroups [K obshchey teorii polugrupp operatorovj. Russ. Math. Surv., 1994, vol. 49, no. 4, pp. 47-74.

3. Falaleev M.V. Integro-Differential Equations with Fredholm Operator by the Derivative of the Higest Order in Banach Spaces and It’s Applications [Integro-differentsialnyye uravneniya s fredgolmovym operatorom pri starshey proizvodnoy v banakhovykh prostranstvakh i ikh prilozheniyal. J. News of Irkutsk State University. Series ^Mathematics», Irkutsk, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 90-102.

4. Cavalcanti M.M., Domingos Cavalcanti V.N., Ferreira J. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping. Math. Meth. Appl. Sci., 2001, vol. 24, pp. 1043-1053.

5. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo, VSP, 2003.

Поступила в редакцию 10 сентября 2013 г.