Линейные и нелинейные моды полоскового волновода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Физико-технического института

Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского Том 1 (67-69). № 3. 2017. С. 53-70

Journal of Physics and Technology Institute of V. I. Vernadsky Crimean Federal University Volume 1 (67-69). No. 3. 2017. P. 53-70

УДК 535.137

ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЫ ПОЛОСКОВОГО ВОЛНОВОДА

Перескоков В. С., Дзедолик И. В. *

Физико-технический институт, Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского, Симферополь 295007, Россия *E-mail: igor. dzedolik@cfuv. ru

Теоретически исследованы линейные и нелинейные плазмон-поляритонные моды металлического полоскового волновода, расположенного на диэлектрической подложке. Рассмотрены непрерывный и импульсный режимы.

Ключевые слова: полосковый волновод, плазмон-поляритоные линейные и нелинейные моды, плазмон-поляритонный импульс.

PACS: 73.20.Mf ВВЕДЕНИЕ

Плазмон-поляритоны (1111) привлекают внимание исследователей в связи с задачами передачи сигналов и управления электромагнитными полями оптических частот в ПП-устройствах, создания оптических процессоров, спазеров, других устройств и элементов плазмонной техники [1-7]. Сигналы в ПП-устройствах передаются между элементами плазмонной цепи по полосковым волноводам, расположенным на диэлектрической подложке и окруженным диэлектрической средой [8-12].

Цель работы - теоретически исследовать процесс генерации мод IIII в металлическом полосковом волноводе при непрерывном и импульсном возбуждении в оптическом диапазоне в линейном и нелинейном режимах и сравнить их свойства. Анализ свойств линейных и нелинейных мод полоскового волновода позволит выбрать требуемые режимы работы ПП-элементов.

1. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЫ ПОЛОСКОВОГО ВОЛНОВОДА

Рассмотрим формирование линейных ПП мод в металлическом полосковом волноводе с размерами поперечного сечения 2a х 2b с диэлектрической и магнитной проницаемостями e1, fl\, расположенного на подложке с параметрами e3, m, и окруженного с трех сторон средой с параметрами e2, fi2, (рис. 1). Полосковый волновод в рассматриваемом случае симметричен относительно оси x , но асимметричен относительно оси y из-за разных диэлектрической и магнитной проницаемостей сред 2 и 3. Диэлектрическая проницаемость металла на оптических частотах является комплексной величиной с отрицательной действительной частью eM = -e'M +ie"M . Поэтому постоянные распространения мод плазмон-поляритонов Ь = р'+ib" также будут комплексными величинами. Их мнимые части

характеризуют затухание 1111 вдоль оси г , т.е. определяют длину распространения 1111 в металлическом слое Ь = 1 / 2р" [4].

е т х

а

-Ь

е1

-> У

ез Мз

Ь

а

Рис. 1. Полосковый волновод на диэлектрической подложке

Диэлектрические проницаемости

сред

имеют

вид

[6]:

£м (Ю)=1 +

е0 (а) =1 +

О,1м -а - (Гма а + 1юмю

металле,

и

с

а2

+

О2 п -а2 - IV с сС -а2 - IV с 10 0 0 0 в диэлектрической среде, где о0

электронная резонансная частота, £21 - резонансная частота кристаллической решетки, о,2 = 4яе2И1 / ш1 - ионная плазменная частота, а2 = 4ж2Ые / ше -электронная плазменная частота, ам, Гм, Г0 - частоты релаксации в металле и диэлектрике.

Компоненты электрического и магнитного векторов ПП удовлетворяют уравнениям Максвелла УхН = с_1еЭЕ/Эt, УхЕ = -с_1мЭН/Эt. Выражения для поперечных компонент поля ПП Ех,Еу и Нх,Ну, пропорциональных ~ ехр(1рг - iwt), в средах 1, 2 и 3 имеют вид (Приложение А)

I

Е =_

Ех 2

Чт V

( ЭЕ ах

, анг ^

+ коМт^Т ау

Нх =--2"

Чт V

i ( дЕ РЭНг >

Эу

Эх

/

i

Е =_

ЕУ а2 .

Чт V

( ЭЕ

РЕ

Эу

коМп

ЭН

Эх

\

НУ =ТГ

(, ЭЕг оЭН7 ^

ковт^ + Р—1

Эх

Эу

(1)

где чШ = -Р , т = 1,2,3. Продольные компоненты поля ПП Ег и Нг

удовлетворяют уравнению

в

т

(<?_ + + 2 ^ Е

йх2 йу2 т

V / 1

г \ = 0. (2) Н I

Граничные условия для тангенциальных компонент поля 1111 должны выполняться во всех точках верхней и нижней, правой и левой границ полоскового волновода, в том числе, в точках х = ±а, у = 0, и х = 0, у = ±Ь (рис. 1). В областях 2 и 3 компоненты полей должны убывать при удалении от границ волновода, поэтому представим продольные компоненты в области 2 в виде Е2. = A2exp(-а2х), Н2. = В2 ехр(-а2х) при х > а , и Е3г = А3 ехр(а3х), Н3г = В3 ехр(а3х) при х <-а ; Е2г = А2 ехр(-а2у), Н2г = В2 ехр(-а2у) при у > Ь, и Е2 г = А2 ехр(а2 у), Н 2 г = В2 ехр(а2 у) при у <-Ь . Для выполнения граничных условий во всех точках границ выбираем четное решение уравнений (2) для продольных компонент мод (Приложение А)

Е. = А1 со$(юс)со$(уу), Нг = В1 соя(ю )соэ(]у),

тогда поперечные компоненты мод (1) будут иметь вид

Ех = —у\РА мп(ю)соя(уу)+к0уи1В1 cos(юx)sin(yy)}, ?1

(3)

(4)

Еу = —\АА ^(ю)sin(уy)-к0юи1В1 sin(ю)cos(уy)},

Нх =-—т[к0щА cos(юx)sin(уy)-@юВ1 ят(ю)соя(уу)}, ?1

Ну = —1-т{к0юе А sin(юx)cos(yy)+ ВуВ1 cos(ю)sin(уy)}, С

где ю2 + у2 = .

Характеристические уравнения для поперечных компонент волновых векторов ю и у четных мод получаем из граничных условий на стенках волновода (Приложение А)

соя(ю) cos(уЬ)

2

= ехр[а2 (Ь - а)], (5)

и-а-^3 = ехр[(а2 -а3)а]. (6)

иа3<?2

Уравнения (5) и (6) нужно дополнить характеристическими уравнениями, полученными из уравнений (2) в волноводе

коЧм-к2 -Г2-Р2 = 0, (7)

и в областях 2 и 3

к0Ч2М2 + а22 -Р2 = 0, (8)

к02е3м3 + а32 -Р2 = 0. (9)

Постоянную распространения моды в волноводе найдем из уравнения (7) Р = (к^е1м1 - к2 - у2) . Исключая постоянную распространения р из уравнений (8) и (9), получаем поперечные декременты волновых векторов в областях 2 и 3

«2 = k2(em -Cißi -g j172, (10)

= [k2(em -£ъ№)- k - Г2j172. (11)

Решения системы уравнений (7)—(11) определяют значения компонент волновых векторов мод k , g, «2, «3 и Р соответствующей моды. Волноводная мода исчезает при равенстве нулю постоянной распространения Р = (k02e1m1 - q2) = 0 , то есть при q1 = k0 (e1m1)'2, откуда находим частоту отсечки моды wc = cq(e1m1 )-17 2, где q1 = (k + Г )17 2.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЫ ПОЛОСКОВОГО ВОЛНОВОДА

Рассмотрим формирование нелинейных мод плазмон-поляритонов в полосковом волноводе (рис. 1). Уравнение для электрического вектора, полученное из уравнений Максвелла, имеет вид V2E -V(VE)+ k^ßeE = 0, где e ® em + 4pC(3)(e*xEx + E*yEy + E*zEz) — нелинейная диэлектрическая проницаемость сред 1, 2 и 3, С(з) — диэлектрическая восприимчивость третьего порядка, m® mm , E ~ exp(- iwt). Полагаем, что диэлектрическая проницаемость волновода если изменяется, то плавно, на расстояниях порядка половины длины волны плазмон-поляритонов, то есть V lne» 0. Тогда из теоремы Гаусса для электрического вектора V(eE)=(Ve)E + eVE = 0 находим, что VE = -(V lne)E » 0 . В этом случае уравнение для электрического вектора можно представить в виде системы уравнений для его компонент.

Представляя решения системы уравнений для полоскового волновода в форме мод с медленно меняющимися амплитудами [6, 13—16]

Ej = 4Ej(z)elkc + e~гюс)егг + e~ir)exp(ipz), где Ej(z) — действительные амплитуды. Пренебрегая несинхронными пространственными гармониками ~ e±l2ш и e±l2rr в

7^*^ 1 ~2 (ъ . -2юх . --2юх;У^ . i2уу . --2уу \

слагаемых ЕЕ = — Еу ^2 + е + е Д2 + е + е ), получаем систему

уравнений для амплитуд мод (Приложение Б)

й йЕ • — 1 о » ■

^ + + К Еу + -к2СЕу £ Е2= 0, (12)

йг 4 У'=Ту,г

где К2 = к2-ю2-у2-р2, к2 = к02и1е1, С = 4лиСГ(э), У = х>у>г.

Систему уравнений (12) можно представить в виде одного уравнения для величины I = Е Е2 , пропорциональной плотности энергии поля ПП. Умножая

I2

У=х,у,г

уравнения системы (12) на соответствующие амплитуды компонент полей Еу и складывая, получаем уравнение для непрерывного возбуждения волновода

1 й21 ,Л1 =1т , 1, 2-Т2

+-р—+К21+- к2С12 = ¡1 (г), (13)

2 йг2 йг 4 0

где

Л (г )= Е (йЕу/йг )2. Учитывая, что в уравнении (13)

у

у=х,у,г

2 2 / ' " \ ' 2 " 2 к = к0 ии\£(]) + -£(1))° к + -к - комплексная величина, можно разделить его

действительную и мнимую части

й21 = 1

+ 2 К'21 + - к2С12 = 2 / (г), (14)

йг 2

Р— + К"21 = 0. (15)

йг

Решение линейного уравнения (15) I = 10 ехр(- К 2Р"1 г) характеризует диссипацию энергии при распространении ПП вдоль оси волновода. Аналитическое решение нелинейного уравнения (14) имеет форму кноидальных волн -периодических нелинейных волн, если учесть медленность изменения амплитуд и

пренебречь правой частью, полагая (йЕу/йг )2 ® 0 , (Приложение В)

I = ат2 [ф,к)+ [ф,к), (16)

где ф=

л/а - с _ I к1х а 1а - Ь

% ^—г

к =л ~—~ - модуль эллиптического интеграла V а - с

2

первого рода ¥(%,к), постоянные а,Ь,с определяются из уравнений аЬс = 3р2 /к(2с, + Ьс + ас = 0, а + Ь + с =-6К2

p2 = ^ + 2K 210 + 3jo = представлен на рис. 2.

-т— F (р,к)/о. Вид л1а - с 1а

кноидальной волны (16)

Рис. 2. Кноидальная волна I(ф) плазмон-поляритонов в полосковом волноводе (все величины нормированные, а = 0.9, b = 0.3, к = 0.97)

При b @ с модуль к ® 1, cn2ф,к)® cosh'1 (ф), sn2фф,к)® tank2(ф), и плотность энергии определяется соотношением

= (а - b )cosk 2 (ф)+b .

(17)

Из выражения (17) следует, что этом частном случае соотношения параметров волновода плотность энергии плазмон-поляритонов убывает вдоль оси волновода z пропорционально ~ cosh-(ф) даже без учета диссипации.

Из сравнения выражений для линейной моды IIII IL = ^E2~exp(i2fiz)

(выражения (4)-(5)) и для нелинейной моды INL = ^Ej ~ cn(ф)+ ,^п(ф)

L ¿u-j

}=x,y,z

2 j

j = x,y,z

(выражение (16)) следует, что в нелинейном режиме происходят ангармонические пульсации плотности энергии 1111 вдоль оси волновода (рис. 2) в отличие от гармонического изменения плотности энергии в линейном режиме. Период пульсаций плотности энергии ПП ~ /ж зависит от величины диэлектрической

восприимчивости С(з) волновода. Этот эффект аналогичен возбуждению и

трансформации нелинейных мод в оптическом волокне [15, 16].

3. ИМПУЛЬСЫ В НЕЛИНЕЙНОМ ПОЛОСКОВОМ ВОЛНОВОДЕ

Рассмотрим динамику импульса IIII в нелинейном полосковом волноводе. При распространении импульсов в нелинейном полосковом волноводе необходимо учитывать нелинейный отклик среды e(t), зависящий от времени [6].

Распространение импульсов в полосковом волноводе с учетом нелинейных эффектов может быть описано с помощью уравнения для электрического вектора

„2^, 1 d 2emE „ —т(\

V E —2--2— = 0, где e ® em + —I (t) неявно зависит от времен через медленно

dt

c

меняющиеся во времени амплитуды Ej (t,z) компонент электрического вектора

Ej = 1 Ej (t,z %1кх + e~ik teig + e~ig> )exp(ip z - iwt).

Из лабораторной системы отсчета перейдем в подвижную систему отсчета с помощью введения «смещенного времени» t = t — z/v, где v = dw/dk = const -скорость импульса. Скорость импульса определим как

т-1

Тогда получаем уравнение для

v = (dk/dW) 1 = c -Jme(1)(l + dlne^)/2dw)

импульсного возбуждения волновода (Приложение Г)

(1 — V)

d2I

dt

dt

2

i dl \ dl T t2 „ .

a2 I — | — a3 — + a41 + a51 = 2f2,

dt

(18)

где a1 =

a4 = 2K

3ko2C

-f

4w

1 koei

2„' V

oe(1)

22 v2 w

a=

kOC

-f

v /

-1

2„' V

1 koe(1)

w

= 1t2-' a5 = 2 k0-

2W

(

1 ko2e.

2„' \

1

0e(1)

2„ " f

22 v2 w

V У

1

a=

2k0e(1)

w

1 k02e(

2' \

—1

2„ ( V

— k0e(1) 2 2 v w

V У

, f2 = f

(л l2„ ( Y11 1 k0e(1)

w

0e(1) w

Вблизи

вершины импульса при dEj / dт ® 0 из (18) получаем уравнение с насыщением нелинейности для плотности энергии импульса

d21 a41 + a512

dt2

a1 l - 1

(19)

В частном случае, при соотношении параметров импульса и волновода ¡Па I -1| << ь-1ь2 ( а11 -1)2, решение уравнения (19) имеет вид (Приложение Д)

2a1b

2a1b2

(20)

2

v

2

2

v

v

где

°° = ^ёГ ) - Ь1 ^^ ~1 - Ь2 (а1[° -1)2 " 2Ь3 (а17° "1) , Ь1 = 2

а 4 а5 —— +—-

2 3

V а1 а1 у

05

Ь2 ~ 3

а1

Ь = -5

, Ь2 3 ,

Ьз = 2

Г а4 2а5 —— +--5

2 з V а1 а1 у

-,„,2Ь2 (а17° - 1)+ Ь3

, Г° = агитк", 1 °—/23 . Анализ решения (2°) показывает, что

(^0 - Ь2)

импульс, поданный на вход в нелинейный полосковый волновод, возбуждает ударную волну, распространяющуюся по волноводу (рис. 3).

Рис. 3. Ударная волна I (г) , возбужденная импульсом в полосковом волноводе

(все величины нормированные)

Если плотность энергии плазмон-поляритонного импульса не слишком велика а11 << 1, и насыщения нелинейности не возникает, то вблизи вершины импульса уравнение (18) можно представить в виде

ё21

+ а41 + а512 = ° .

2 -ги41 ти.5

ёг

Решение уравнения (21) имеет вид (Приложение Е)

где Ф =

- с Г

2а5

9°

= ~сн2 ф,~)+ Ьъп1 ф,~),

(21)

(22)

~ - Ь

, к =* ~—~ , ~Ь~ = 3Х / 2а5, ~Ь + Ь~ + ~с = °,

а - с

~ + Ь + с =-3аА / 2а5, X2 = [ у) + а41°2 + 1°3, 9° = р )

ёг

2а

л/~ -<

Из

выражения (22) следует, что импульс, поданный на вход волновода, в общем случае не сохраняет свою форму, но возбуждает в волноводе нелинейные волны.

2

При соотношении параметров Ь @ с , к ® 1, 1111 импульс распространяется в нелинейном полосковом волноводе в форме солитона с пьедесталом (рис. 4)

I = (а - Ь)сгаГ2 (Ф)+ Ь . (23)

—3--

5 0 5 10

Ф

Рис. 4. Плазмон-поляритонный импульс I(Ф) в полосковом волноводе (все величины нормированные, а = 3,Ь = 1)

Для реализации режима распространения солитонного импульса параметры импульса и волновода должны удовлетворять уравнениям ЬЬ2 = 3£2 /2а5,

Ь + 2Ь = -3а4 / 2а5. Тогда а = -2Ь - 3а4 / 2а5, а Ь определяется действительными решениями кубичного уравнением

Ь3 + (3а4 / 4а5)~2 + 3£2 / 4а5 = 0. (24)

Набор корней уравнения (24) имеет вид Ь1 = А1 + А2, Ь2 3 = -[(1 1>/3 )А1 + (1 ± ¿43)а2] /2, где Аи = (- д/2 ± ^)1 /3,

д = 2(3а4 / 4а5 )3 / 27 + 3£2 / 4а5, р = -(3а4 / 4а5 )2 / 3, й = ръ / 27 + д2 / 4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Линейные моды полоскового волновода распространяются в форме гармонических волн. При этом поперечная структура линейных мод описывается произведением синусов и косинусов с числом максимумов и минимумов, зависящим от поперечных размеров, диэлектрической и магнитной проницаемостей волновода.

Нелинейные моды полоскового волновода распространяются в форме кноидальных волн, период которых зависит от нелинейной диэлектрической восприимчивости третьего порядка среды волновода. При этом поперечная структура нелинейных мод может быть аппроксимирована произведением гармонических функций, если плотность энергии поля 1111 не слишком велика, и нет необходимости учитывать нелинейные эффекты в поперечном поле мод, что обычно реализуется на практике.

Импульсное возбуждение полоскового волновода приводит к возникновению в нем кноидальных волн 1111, либо солитонного импульса с пьедесталом, что зависит от соотношения параметров возбуждающего импульса и волновода.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Уравнения Максвелла УхН = с 1вдЕ/д1, УхЕ = —с 1д)И/д1 для линейных мод волновода ~ вхр(1р7 — ) имеют вид

дИ ,ов — фИу =—1-Ех,

ду с

дИ 7 .0 ов г

■—7 + ФИХ =—1-Еу,

дх с

дИу дИх =_. ОвЕ

дх ду 7

^ — Щ =, °.И„

ду с

—дЬ-+=I Шиг.

дх с

дЕу дЕх _.Щ1

= I-

с

дх ду с

И

(А.1)

Из системы уравнений (А.1) получаем выражения для поперечных компонент поля ПП Ех,Еу и Их,Иу ,

Е = —

Ех 2 ?

Е = — Еу д2

а дЕ7 дИ7

р-7-+кт—^

дх ду

Р

дЕ.

ду

■ кт

х

Их =--2

д

г

к0в 7

V

Иу = 7

(

к0в 7

х

V

дЕ.—р Ил

у х дЕ7 адИ7 ^

+ Р—7

у

(А.2)

где д2 = к^в/1 — р2. Для продольных компонент поля Е7 и И7 получаем уравнения второго порядка

( й2 й2 2 —+тт+д

Е7

И,

= 0.

(А.3)

йх йу

В волноводе решения для продольных компонент [Е7,И7 }®щ(х,у) представим в факторизованной форме у( х, у ) = X (х) У (у). Тогда из уравнения

(d2 й2 ^

■+~тт+д

у = 0 получаем два уравнения й Х + к2 X = 0 и + уУ = 0,

йх йу

йх йу

где К2 + у2 = д2. Общие решения этих уравнений имеют вид

X = А1 sin(кx) + В1 ), (А 4)

У = А2 sin(уy) + В2 cos(gy).

Представим частные решения у для продольных компонент поля в волноводе в виде

Ум (х,у )= Asin(кx )sin(^)y), (А.5)

у5с (х,у )= Asin(кx )со^(уу), (А.6)

¥сэ (х,у ) = Acos(кx )$т(1у), (А.7)

¥сс (х,у )= Асо$(кх)со$(уу). (А.8)

Приравнивая соответствующие компоненты полей мод на верхней границе, а также на нижней границе волновода, и соответствующих областей, получаем уравнения для амплитуд полей. Приравнивая компоненты полей Ег на границах волновода: в точке х = а, у = 0, А1 соъ(т) = А2 ехр(-а2а), и в точке х = 0, у = Ь, А1 со^(уЬ)= А2 ехр(-а2Ь), получаем характеристическое уравнение для поперечных компонент волновых векторов четной моды

cos

(ка)

= ехр[а2 (Ь - а)]. (А.9)

соя(}Ь)

Приравнивая компоненты полей на границах: Еу в точке х = а, у = 0 , /11 — В18т(т ) = т а2 В2 ехр(-а2а), и Еу в точке х = -а,у = 0,

д1 д2

т ~тВ15т(ка) = т3 а В2 ехр(-а3а), получаем характеристическое уравнение

2 и1 лиутл! — ^3 2 1

д1 д3

2

= ехр[(а2 - а3 )а]. (А.10)

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Векторное уравнение V 2Е -У(УЕ)+ к0>еЕ = 0 представим в виде системы уравнений

2Е 2Е 2Е

-+-

х2 у 2

-+-

д7 2

- +

;2 + коС IЕ*,Е/

}' =х,у,7 /

Е, = 0,

(Б.1)

где к2 = к02тв(1), С = 4^тС(3), 7 = х, у,7 . Решения системы уравнений (Б.1) для полоскового волновода в форме мод с медленно меняющимися амплитудами

Е, = 1Е] (7 )(е1к с + е 1К \е1у + е 17у )вхр(1р7), где Е, (7) - действительные амплитуды.

■ _ — 1 пл Н _ 1 /у I

+е е +

Тогда, пренебрегая несинхронными пространственными гармониками ~ е±12кс, е±12у

в слагаемых

Е*Е = — ~2 (2 + е12юс + е~12кх )2 + е12у + е ~г2у), из (Б. 1)

16 7

уравнений для амплитуд мод

получаем систему

й 2 Е,

й7 2

йЕ: =

1,2- ~

+ар—7+К2Е, +-IЕ2, = о,

й7

где К2 = к2 — к2 — у2 —р ПРИЛОЖЕНИЕ В

2

} =х,у,7

(Б.2)

Представим уравнение (14)

+ 2К 21 +1 &2 = 0

й7 2

+1 2К 2! +1 к2С/2 ]^ = 0,

1 А. (йк

2 й71 й7

2

й7

И§)=_/ ^^к'21+й,

и

находим

проинтегрируем

первый

форме

его

интеграл

й1 Л ( й1 Л ='2 2 1 2_ 3 ='2 2 1 2_ 3

— I —I — I = —2К 2! — к^С! + 2К 27(2 +- к(2с1с). Второй интеграл уравнения

й7

й7

ищем в виде эллиптического интеграла |

й!

/ — 2К '2!2 — кС3 / 3)

\1 / 2

= 7, где

2 ( й1 1 —' 2 2 12_ 3

р = I — I + 2К !0 + —к0с!о . Представим эллиптический интеграл в виде

й У0

й!

__Г_

[(~ — !)(~ — !)(~ — ! )]1 / 2 ~ [(~ — ! )(Ь — !)(~ — !)]

й!

ко С

1 / 2

7,

где (~ — !)(~ — !)(~ — !) = 3р2/к^% — 6К 2!2/к2% — !3, а постоянные

определяются

из

уравнений

~~~ = 3 р2/к0С,

+ + ~с = 0,

в

0

!

!

!

3

а + ~ + с = -6К2 / к^х . Интегрируя, получаем , ^ ¥(р, к) = р0 к°Хг ,

Vе-~ V 3

где

Л ■ а -1 Ь Ь - Ь

¥ <р,к - эллиптический интеграл первого рода, р = агсят -~ , к =, -

V Ь - Ь \ ~ - ~

модуль

10 р =

эллиптического й1 2

интеграла,

~ > х > Ь > с ,

получаем

[(Ь -1 )(Ь -1 )(Ь -1)] Р

1 / 2

С - I

Ь-Ь = хП

а - Ь

= . =■ ¥ (р,Ь) с . Обращая эллиптический интеграл, Vе - с

л]а - с ^

= ~сп2 (ф,ь )+ ^ (ф,~ ), где Ф =

<0

л/а - с

<0

|к0х

,к

— Л

откуда

находим

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Пренебрегая несинхронными пространственными гармониками - е

1 Э 2е/иЕ п

из векторного уравнения V Е —----— = 0 получаем систему уравнений

с Эг

±г' 2кх ±i 2уу

,е

- к02е(1) Э2Щ + +

.ЭЕ;

кпе(,) ЭЕ: =п а

1 + К2 Е: со Эг 1

Эг1

с 2 г2

Эг

коХ Э2 1с -2 кХ Э/ЭЕ: +.2 к2х Э1Ь

2 3*2 1

4с 2 г

4с 2 г г

Е1

4с Эг 1

(Г.1)

к2Х Э2с к2Х ЭЕ 1 2 с к0х / 1 + а+1 кЩх1Е1 = 0.

4с 2 г2 4с г 4

где 1 = х, у, г. Умножая уравнения системы (Г.1) на соответствующие амплитуды Еу и складывая, получаем уравнение для плотности энергии плазмон-поляритонов в виде

2

3

г

2

I

~ Э2 Ej

j Эг2

E;—^e{l)+CI \E,

w

&t2

++¡¿hi &L+к 21

Эг w

Kx Э2 II _ klx( Э1

4w2 Эt2

OX + ¡3 koX Э1 I . * k2c2

4w I Эt

I + - klcI1 _ O. 4w Эt 4 OX

(Г.2)

виде I

Представим первое слагаемое с

2 ' X Э2Ё; '

суммой в уравнении (Г.2) в

~ Э2

Эг2

4

at2

Э21 k2 ( x j1 Э21

э? Г(1) +J1Ja2

■/2 (Z ) ,

где /2 (Z)= I

вид

Щ

dz

w

ko [ e + X 1

--2 I e(1)+_ I

at

, тогда уравнение (Г.2) принимает

Э21 kO

X r 1Э21

—OtI e(l) + — I + i2p— + i2

Эг2 w21 (1) 4 J at2 Эг

I

, kOe(l) aI + 0 F2

w at

1

+ 2K21

kkI_kO^x(&/1 + i6kc^a/I+- 2XI2_2f (z) 2w2 at21 2w21 at J + 4w a t + 2kOXI _2/2(z)-

(Г.3)

Перейдем в подвижную систему отсчета с помощью введения «смещенного времени» t _ t _ z/v, где v _ dw/dk _ const - скорость импульса. Тогда уравнение (Г.3) принимает вид

1 kO2 ,

v

w

3X

2 1 -W 4

d 21 _ i 2bdI_ + i 2^ dL + 2 к 21

dt

v dt

w dt

ищ dL 12+i dL

2w2 ( dt J

(Г.4)

0 , I + - kX2 _ 2/ (z ),

2w dt 2 O 2

где /2 (Z)_

1 ko + XI

7 "w N +7I

I

j _ x,y,Z

dj

dt

. Разделим действительные и мнимые

части в уравнении (Г.4), получаем два уравнения

1 kte.

Ofc(l)

w

d21 2kO2e(1) dI + 0=.2

dt2

3kQXI d I kOx[ dI 4w2

w dt

2

+ 2 K 21

(Г.5)

2t 1.2-t dI у 1

t k 2 [ t + "ГkoXI2 _ 2/2 (Z), dt 2w I dt J 2

j_ x,y,Z

j_x,y,Z

2

j _x.y.Z

2

v

крв(1) й2! + 2(кв р

со2 йт2

2^

с V

V )

^ + 2К 2! йт

(Г.6)

+ ЗМ^! = 2 ^ (7)

2с йт 2

Уравнение (Г.5) описывает динамику плотности энергии импульса плазмон-поляритонов в нелинейном полосковом волноводе, а уравнение (Г.6) характеризует диссипацию энергии импульса при распространении его вдоль волновода.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Представим уравнение (19)

й2! а4! + а5!2

в форме

йт а1! — 1

й ( й! Л2 = 2 а4! + а5!2 й! йтV йт) а1! — 1 йт

! !й!

! г 2

проинтегрируем его Г й I — I = 2а4 Г--+ 2а5 Г-, получаем

V йт ) /а,! — 1 /а,! —1

! 0 4 у ' 0 1 ' 0 1

I I — (КЛ = ^ (а1! — 1 + 1и\а1! — 1)+ а3г[(а1! — 1)2 + 4(а1! — 1)+ 21и\а1! — 1].

V йт) V йт )0 а1 а1

Отсюда находим первый интеграл уравнения

^ | = 2

V йт

а4 а5

~ + 3

V а1 а1 )

1п\й1! — 1 + ^(а1! — 1)2 + 2 + (а1! — 1)+ О0,

2 3

V а1 а1 )

где ^ =1 — I — 2

йт

й!

2

а4 а5 —— +——

2 3

V а1 а1 )

1

(а4 2а5 4 +--5

2 3

V а1 а1 )

¿Па1!0 — 1 — (а1!0 — 1)2 — 2 +—а— (а1!0 — 1). Второй

а1

интеграл уравнения имеет вид

Г (ь1 Щх\ + Ъ2 X2 + Ъ3 X + С0 У'2 йх = ат, где

X = а1! — 1, Ъ1 = 2

а4 а— 2 + 3"

V а1 а1)

, Ъ2 = а-, Ъ3 = 2

а

(а4 2а5 2 + Г а1 а1

Перепишем интеграл в

X

форме Г(¡ПЩ + Ъ1—1Ъ2X2 + Ъ1—1Ъ3X + Ъ1_1G0)1/2йX = а1т1[ь1т и пренебрежем 1п|X\

по

2

!

X

0

X

сравнению с остальными слагаемыми под корнем, находим интеграл

X (ъ—1Ъ2 X2 + Ъ1—1Ъ3 X + Ь—1О0 )—1 / 2 йX = £ arcsinh 2Ъ X + Ъ

тщ тщ ил - г— ии, / */2

,0 >2 ^0 — Ъ2)

X

. Тогда получаем

Xn

2Ъ2 X + Ъ3 Г- . . 2Ъ2 (а1!0 — 1)+Ъ3 агсз1т-,-2-^г = а1Л/Ъ2т+т0, где т0 = агс81ш , -,„3 , то есть

(4Ъ2О0 — Ъ2 )1 / 2 (4Ъ2О0 — Ъ2 )1 / 2

решение уравнения в данном приближении имеет вид

I ^^Я^С^Ь3^-^(а^т+ т,)+^Ъ^.

2а1Ъ2 2а1Ъ2

ПРИЛОЖЕНИЕ Е Уравнение (21)

представим в форме

й2!

+ а4! + а5!2 = 0

——2-г а4^а5!

йт

1 й (й! Л2 ( т т2\й! п

2

(й! ] т2 2а5 т3 е2

проинтегрируем и находим первый интеграл I — | =—а4!--5! +д , где

V йт) 3

е2 (й! Л2 т2 2а5 т3

X = I — | + а4!0 +--!0 . Второй интеграл уравнения ищем в виде эллиптического

V й7 )0 3 \ й!

интеграла К-г^ = т, тогда получаем

! 0 X2 — а4!2 — 2а5!3 / 3)1 / 2

Г_й!___а!_= — 12а—_

~ [(~ — !)(~ — !)~~ — !)]1 /2 — ~ [(~ — !)(~ — !)~~ — !)]1 /2 =1 3 T,

где (а — !)(~ — !)(~ — !) = 3£2/2а5 — 3а4!2/2а5 — !3, ~Ъ~ = 3%2/2а5,

~Ъ + Ъс + ~~ = 0, ~ + Ъ + с = —3а4 / 2а5. Интегрируя получаем

, ~ ¥ <р,~ )= <р0 — 2а—т, где F (<р,~) - эллиптический интеграл первого рода, —~ V 3

ас — ! с ас — Ъ с с с

р = агсят -~ , к = д- - модуль эллиптического интеграла, а > х > Ъ > с ,

~ — Ъ V а — ~

p0 =—j= F p,k) °. Обращая эллиптический интеграл, получаем

„ ~ — ~ 1а

4

a - c

а -1

p = J-~ = sn

л1а - b

' к—а f ^— л Va - "

2a5

Po -ii

,k

f

I = acn2 (ф,а)+ bsn2(ф,к), где Ф = Va C

2a5

Po -л/

откуда

Л

находим

Список литературы

1. Barnes W. L., Dereux A., and Ebbesen T. W. Surface plasmon subwavelength optics // Nature. 2003. Vol. 424. P. 824-830.

2. Krasavin A. V., Zayats A. V., Zheludev N. I. Active control of surface plasmon-polariton waves // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. 2005. Vol. 7. P. S85-S89.

3. Климов В. В. Наноплазмоника. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010. 480 с.

4. Майер С. А. Плазмоника: теория и приложения. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. 296 с.

5. Stockman M. I. Nanoplasmonics: past, present, and glimpse into future // Optics Express. 2011. Vol. 19. P. 22029-22106.

6. Dzedolik I. V. Solitons and Nonlinear Waves of Phonon-Polaritons and Plasmon-Polaritons. New York : Nova Science Publishers, 2016. 151 p.

7. Формирование плазмонных импульсов при кооперативном распаде экситонов квантовых точек вблизи металлической поверхности / А. В. Шестериков, М. Ю. Губин, М. Г. Гладуш, А. В. Прохоров // ЖЭТФ. 2017. Т. 151. Вып. 1. С. 24-39.

8. Ярив А. Введение в оптическую электронику. М. : Высшая школа, 1983. 398 с.

9. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. М. : Мир, 1984. 512 с.

10. Dai D., He S. A silicon-based hybrid plasmonic waveguide with a metal cap for a nano-scale light confinement // Optics Express. 2009. Vol. 17. No. 19. P. 16646-16653.

11. Huang C.-C. Ultra-long-range symmetric plasmonic waveguide for high-density and compact photonic devices // Optics Express. 2013. Vol. 21. No. 24. P. 29544-29557.

12. Mode properties in metallic and non-metallic plasmonic waveguides / W. Liu, Y. Chen, X. Hu, L. Wen, L. Jin, Q. Su, Q. Chen // Applied Optics. 2017. Vol. 56. No. 16. P. 4861.

13. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М. : Наука, 1990. 432 с.

14. Кившарь Ю. С., Агравал Г. П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. 648 с.

15. Дзедолик И. В., Дзедолик А. И. Нелинейные моды оптического волокна // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. Вып. 10. С. 7-12.

16. Dzedolik I. V. Transformation of sinusoidal electromagnetic and polarization waves into cnoidal waves in an optical fibre // Ukrainian Journal of Physical Optics. 2008. Vol. 9. No. 4. P. 226-235.

2

LINEAR AND NONLINEAR MODES OF STRIP WAVEGUIDE

Pereskokov V. S., DzedolikI. V.*

Physics and Technology Institute, V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007, Russia

*E-mail: isor. dzedolik@cfuv. ru Linear and nonlinear plasmon polariton modes of a metal strip waveguide that located on a dielectric substrate are studied theoretically. Continuous-wave and pulsed operations are considered.

Keywords: strip waveguide, plasmon polariton linear and nonlinear modes, plasmon polariton pulse.

References

1. W. L. Barnes, A. Dereux, T. W. Ebbesen, Nature 424, 824 (2003).

2. A. V. Krasavin, A. V. Zayats, N. I. Zheludev, Journal of Optics A : Pure and Applied Optics 7, S85 (2005).

3. V. V. Klimov, Nanoplasmonics (Moscow : FIZMATLIT, 2010) [in Russian].

4. S. A. Maier, Plasmonics : Fundamental and Applications (New York: Springer, 2007).

5. M. I. Stockman, Optics Express 19, 22029 (2011).

6. I. V. Dzedolik, Solitons and Nonlinear Waves of Phonon-Polaritons and Plasmon-Polaritons (New York: Nova Science Publishers, 2016).

7. A. B. Shesterikov, M. Yu. Gubin, M. G. Gladush, A. V. Prokhorov, Journal of Experimental and Theoretical Physics 124, No. 1, 18 (2017) [in Russian].

8. A. Yariv, Introduction to Optical Electronics (Holt, Rinehart and Winston, 1976).

9. M. J. Adams, An Introduction to Optical Waveguides (John Wiley and Sons, 1981).

10. D. Dai, S. He, Optics Express 17, No. 19, 16646 (2009).

11. C.-C. Huang, Optics Express 21, No. 24, 29544 (2013).

12. W. Liu, Y. Chen, X. Hu, L. Wen, L. Jin, Q. Su, Q. Chen, Applied Optics 56, No. 16, 4861 (2017).

13. M. B. Vinogradova, O. V. Rudenko, A. P. Sukhorukov, Theory of waves (Moscow: Nauka, 1990) [in Russian].

14. Yu. S. Kivshar, G. P. Agrawal, Optical solitons: from fibers to photonic crystals (Academic Press, 2003).

15. I. V. Dzedolik, A. I. Dzedolik, Technical Physics Letters 28, No. 5, 7 (2002).

16. I. V. Dzedolik, Ukrainian Journal of Physical Optics 9, No. 4, 226 (2008).

Поступила в редакцию 02.11.2017 г. Принята к публикации 22.12.2017 г. Received November 02, 2017. Accepted for publication December 22, 2017