ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

прогнозирования банкротства организаций //Инновации и инвестиции. - 2023. - №. 5. - С. 107-110.

7. Сапогов А. А. Существующие методики агрегирования финансовых данных //Инновации и инвестиции. - 2023. - №. 8. - С. 247-250.

8. Гуров И.Н., Картаев Ф.С., Виноградова О.С. Прогнозирование оттока депозитов населения на основе интенсивности поисковых запросов //Финансы: теория и практика. - 2023. - Т. 27. - №. 3. - С. 92-104.

© Карпов С.В., 2023

УДК 519.852

Плиев И.М.

Студент 2 курса Института экономики и управления в АПК ФГБОУ ВО РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева,

г. Москва, РФ

Научный руководитель: Войтицкий В.И.

к.ф.-м.н., доцент Институт экономики и управления в АПК ФГБОУ ВО РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева,

г. Москва, РФ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Аннотация

В статье рассматривается линейное программирование как математический метод, используемый для оптимизации распределения ресурсов, решения сложных задач и принятия обоснованных решений в экономике. Подчеркивается его важность в экономическом анализе, а также в решении реальных проблем, с которыми сталкиваются предприятия, правительства и организации. Описаны различные методы решения задач линейного программирования, включая графический метод, теорию двойственности, транспортные задачи, симплекс-метод и двойственный симплекс-метод. Приводится пример задачи по максимизации прибыли и объясняется, как ее решить с помощью симплексного метода.

Ключевые слова

Экономика, линейное программирование, метод оптимизации, математическое моделирование, графический метод, симплекс-метод, теория двойственности, транспортная задача.

Pliev I.M.

2nd year student of the Institute of Economics and Management in the Agroindustrial Complex, K.A. Timiryazev Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education of the

Timiryazev Russian Academy of Agricultural Sciences, Moscow, Russia

Scientific supervisor: Voititsky V.I. Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Institute of Economics and Management in Agroindustrial Complex, K.A. Timiryazev Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education of K.A.

Timiryazev Russian Academy of Agricultural Sciences,

Moscow, Russia

LINEAR PROGRAMMING IN ECONOMICS Annotation

The article discusses linear programming as a mathematical method used to optimise resource allocation, solve complex problems and make informed decisions in economics. Its importance in economic analysis as well as in solving real-world problems faced by businesses, governments and organisations is highlighted. Various methods for solving linear programming problems are described, including the graphical method, duality theory, transport problems, simplex method and dual simplex method. An example of a profit maximisation problem is given and how to solve it using the simplex method is explained.

Key words

Economics, linear programming, optimization method, mathematical modelling, graphical method, simplex-method, duality theory, transport problem.

Линейное программирование — это математический метод, используемый для оптимизации распределения ресурсов, решения сложных проблем и принятия обоснованных решений. Он предполагает поиск наилучшего возможного результата в данной ситуации с учетом различных ограничений и ограничений.

Важность линейного программирования в экономическом анализе и принятии решений невозможно переоценить. Оно предоставляет собой мощный инструмент для моделирования и решения реальных проблем, с которыми сталкиваются предприятия, правительства и организации. Формулируя задачи в математической форме, линейное программирование позволяет проводить систематический анализ и оптимизацию распределения ресурсов, планирования производства, распределения и составления графиков.

Математическое моделирование различных процессов, в том числе и экономических, является эффективным методом изучения этих процессов в тех случаях, когда реальные эксперименты трудноосуществимы или затратны [1].

Методы решения задач линейного программирования:

1. Графический метод — это метод, применяемый для решения задач линейного программирования с двумя переменными [2]. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и целевой функции задачи [3]. Он включает в себя графическое представление ограничений и целевой функции для поиска оптимального решения.

2. Теория двойственности.

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной, или прямой [4].

Двойственная задача выводится из основной проблемы путем формирования новой задачи оптимизации, которая обеспечивает верхнюю границу оптимального значения основной задачи. Он предполагает создание нового набора переменных, соответствующих ограничениям основной задачи.

Интерпретация двойной проблемы с экономической точки зрения весьма проницательна. Переменные в двойной задаче представляют собой такие экономические понятия, как цены, теневые цены или альтернативные издержки. Решение двойной проблемы позволяет нам получить экономическое понимание основной проблемы, такой как определение ценности ресурсов или влияние меняющихся ограничений.

3. Транспортные задачи

В линейном программировании в экономике транспортные задачи, которые включают в себя определение оптимального распределения товаров из нескольких источников в несколько пунктов назначения при минимизации транспортных расходов. Эти проблемы обычно связаны с поиском оптимальных объемов и маршрутов поставок с учетом таких ограничений, как ограничения спроса и

предложения, мощности и транспортные расходы между различными местами. Решение транспортных задач линейного программирования сводится к поиску плана перевозок, который соответствовал бы критериям оптимизации [5].

4. Симплекс метод — математический метод, используемый в экономике для решения задач линейного программирования. Это итерационный алгоритм, который эффективно находит оптимальное решение для максимизации или минимизации линейной целевой функции с учетом набора линейных ограничений. В этом методе значения базисных переменных непрерывно преобразуются для получения максимального значения целевой функции [6].

Симплексный метод задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план [7].

5. Двойной симплексный метод является дальнейшим развитием и улучшением симплексного метода. Он используется для решения задач линейного программирования с дополнительными условиями и ограничениями. В отличие от симплексного метода, который работает с базисными переменными, двойной симплексный метод работает с двойственными переменными и двойственными ценами.

Основная идея двойного симплексного метода состоит в том, чтобы пересчитывать значения двойственных переменных и двойственных цен на каждой итерации с целью нахождения оптимального решения.

Попробуем решить задачу используя симплес-метод.

Найти оптимальное сочетание посевов трех культур: пшеницы, гречихи и картофеля. Эффективность возделывания названных культур (в расчете на 1 га) характеризуется показателями (см. табл. 1). Производственные ресурсы: 6000 га пашни, 5000 чел. - дней 67 труда механизаторов, 9000 чел. - дней ручного труда. Критерий оптимальности -максимум прибыли.

Таблица 1

Исходные показатели

Показатель Пшеница Гречиха Картофель

Урожайность, ц. 20 10 100

Затраты труда механизаторов, чел.-дней 0,5 1 5

Затраты ручного труда, чел.-дней 0,5 0,5 20

Прибыль от реализации 1 ц продукции, ден. Ед. 4 10 3

Источник: разработано автором

Чтобы решить задачу симплексным методом, нам необходимо выполнить следующие действия:

1. Написать целевую функцию. В этом случае целевой функцией является максимизация прибыли. Пусть Х1, Х2 и Хз — площади земли, отведенные под пшеницу, гречку и картофель соответственно. Тогда целевая функция:

Z = 4x1 + 10x2 + 3хз

2. Написать ограничения. Ограничения основаны на имеющихся ресурсах. Ограничениями для пашни, механизированного и ручного труда являются:

Х1 + Х2 + хз + Sl < 6000 0,5x1 + Х2 + 5хз + S2 < 67 0,5x1 + 0,5Х2 + 20Хз + sз < 9000

Ограничения неотрицательности:

Х1 > 0 Х2 > 0 Хз > 0

3. Преобразовать ограничения в уравнения. Чтобы преобразовать ограничения в уравнения, мы вводим слабые переменные. Слабые переменные представляют неиспользуемые ресурсы. Пусть s1, s2 и s3 — слабые переменные для пашни, механизированного и ручного труда соответственно. Тогда ограничения становятся:

Х1 + Х2 + хз + Sl = 6000 0,5x1 + Х2 + 5хз + S2 = 67 0,5x1 + 0,5x2 + 20хз + sз = 9000

4. Написать исходную симплекс-таблицу (см. табл. 2).

Таблица 2

Исходная симплексная таблица

Основа х1 х2 х3 с1 с2 s3 Ограничения

с1 1 1 1 1 0 0 6000

с2 0,5 1 5 0 1 0 67

s3 0,5 0,5 20 0 0 1 9000

З -4 -10 -3 0 0 0 0

Источник: разработано автором

5. Применить симплексный метод. Начнем с самого отрицательного коэффициента в нижнем ряду, который равен -10. Мы выбираем столбец 2 в качестве входной переменной. Затем мы находим минимальное отношение ограничений к коэффициентам столбца 2 для каждой строки. Минимальное соотношение составляет 67/1 = 67 для строки 2. Мы выбираем строку 2 в качестве уходящей переменной. Затем мы выполняем операции со строками, чтобы сделать опорный элемент 1 и другие элементы в столбце 2 нулевыми (см. табл. 3).

Таблица 3

Итоговая таблица

Основа х1 х2 х3 с1 с2 s3 Ограничения

с1 0,5 0 2,5 1 -0,5 0 5933,5

х2 0,5 1 5 0 1 0 67

s3 0 -0,5 17,5 0 2,5 1 8966,5

З -1 0 -1 0 10 0 670

Источник: разработано автором

Повторяем процесс до тех пор, пока все коэффициенты в нижней строке не станут неотрицательными (см. табл. 4).

Таблица 4

Итоговая таблица

Основа х1 х2 х3 с1 с2 s3 Ограничения

х3 0,1 0 1 0,2 -0,1 0 600

х2 0,3 1 0 -0,1 0,3 0 300

s3 0,2 0 0 -0,1 0,9 1 1800

З -1,3 0 0 0,1 1,7 0 8100

Источник: разработано автором

6. Интерпретировать результаты. Оптимальное решение — х1 = 0, х2 = 300 и хз = 600. Это означает, что оптимальное сочетание культур — отвести 300 га под гречку и 600 га под картофель. Максимальная прибыль составляет 8100 единиц валюты.

В заключение отметим, что линейное программирование обеспечивает систематический подход к анализу и оптимизации распределения ресурсов, планирования производства, составления графиков и других различных проблем, с которыми сталкиваются предприятия, правительства или организации. Математическое моделирование различных процессов, в том числе экономических,

является эффективным методом их изучения, когда реальные эксперименты затруднительны или затратны. Линейное программирование — ценный инструмент для принятия решений и решения проблем в различных областях, и для бизнеса, правительств и организаций важно понимать его принципы и приложения.

Список использованной литературы:

1. Ванина, Е. А. Разновидность двухаспектной задачи линейного программирования. Применение теории ненулевых оценок в экономике / Е. А. Ванина, Л. А. Жукова // ИННОВАЦИОННОЕ РАЗВИТИЕ: ПОТЕНЦИАЛ науки и СОВРЕМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ: сборник статей III Международной научно-практической конференции. В 2 частях, Пенза, 23 декабря 2018 года / Ответственный редактор Г.Ю. Гуляев. Том Часть 2. - Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение», 2018. - С. 95-98. - EDN YQZMXB.

2. Машкова, Е. Г. Графический метод решения задач линейного программирования / Е. Г. Машкова, М. И. Юсупова // Фундаментальные и прикладные исследования: проблемы и результаты: Сборник материалов XXXII Международной научно-практической конференции, Новосибирск, 24 февраля - 24 2017 года / Под общей редакцией С.С. Чернова. - Новосибирск: Общество с ограниченной ответственностью "Центр развития научного сотрудничества", 2017. - С. 106-111. - EDN ZTUGBD.

3. Карманов В.Г. Математическое программирование: учеб. пособие. - М.: Физматлит, 2001. - 263 с.

4. Гераськин М.И. Г371 Линейное программирование: учеб. пособие / М.И. Гераськин, Л.С. Клентак; под общ. ред. Л.С. Клентак. - Самара: Изд-во СГАУ, 2014. - 104 с.

5. Витвицкий, Е. Е. Транспортная задача линейного программирования: сравнение результатов применения методов решения / Е. Е. Витвицкий, Р. Е. Шипицына // Образование. Транспорт. Инновации. Строительство: Сборник материалов IV Национальной научно-практической конференции, Омск, 22-23 апреля 2021 года. - Омск: Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ), 2021. - С. 266-271. - EDN CVMJNK.

6. Плетнева Л.А. Задачи линейного программирования по курсу «Прикладная математика»: учеб. пособие / Л.А. Плетнева, И.Г. Каграманова, М.А. Леева. - М.: МАДИ, 2015. 120 с.

7. Кубышкина, А. В. Линейное программирование в экономике: Методические указания и задания для студентов экономических направлений / А. В. Кубышкина, Н. А. Войтова. - Брянск: Брянский государственный аграрный университет, 2013. - 24 с. - EDN TVGFLR.

© Плиев И.М., 2023

УДК 330.342.3/4

Ундалова Т.Ю.

Студент 2 курса ТПУ, г. Томск, РФ

СТРАТЕГИЯ ЦИФРОВОЙ ТРАНСФОРМАЦИИ В ОТРАСЛИ «ЗДРАВООХРАНЕНИЯ» (НА ПРИМЕРЕ ТОМСКОЙ ОБЛАСТИ)

Аннотация

В статье рассматривается стратегия цифровой трансформации в отрасли здравоохранения на примере Томской области. Актуальность исследования обусловлена необходимостью повышения эффективности системы здравоохранения и качества медицинской помощи населению. Цифровая трансформация является одним из ключевых факторов, которые могут способствовать решению этих