ЛИНЕЙНОЕ ОБОБЩЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ПЕРВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЕЙ В ПРАВОЙ ЧАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Линейное обобщенное дифференциальное уравнение с переменным первым коэффициентом и дельта-функцией в правой части

Шипов Николай Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, nvshi@mail.ru

В известных обзорных публикациях и курсах уравнений математической физики [1-4] для класса линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (произвольного порядка) имеется лишь незначительное число уравнений[2-3], решения которых могут быть представлены в аналитическом виде. В работе [4] найдены аналитические решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения вида (с переменным первым коэффициентом) х п у (т) = Д(х), где правая часть Д(х) является бесконечно дифференцируемой функцией аргумента х, т - порядок производной искомой обобщенной функции у(х), п - натуральное число (показатель степени многочлена, являющегося первым коэффициентом в линейном неоднородном обобщенном уравнении). Отметим, что указанные уравнения не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (излучения или возмущения системы) расположен именно в начале координат. Математическим описанием такого физического источника, как известно [1], является дельта функция 5(х), которая является сингулярной обобщенной функцией Д(х), стоящей в правой части линейного неоднородного обобщенного уравнения х п у (т) =

Д(х).

В настоящей работе доказывается существование обобщенного решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения (с переменным первым коэффициентом) вида хп у(т) = Д(х), где Д(х) есть произвольная обобщенная функция. В простейшем частном случае, когда правая часть Д(х) является дельта-функцией 5(х), то есть является сингулярной обобщенной функцией, найдены аналитические частные и общие решения данного линейного обобщенного неоднородного дифференциального уравнения. Найденные аналитические решения расширяют узкий класс аналитически решаемых линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: обобщенная функция, сингулярная обобщенная функция, пространство основных функций D, пространство обобщенных функций D', дельта-функция 5(х).

Введение

Обобщенная функция является обобщением определения функции, что позволяет выразить такие понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя [1-3]. На практике нельзя измерить плотность вещества, или плотность заряда, в одной точке. Можно лишь вычислить его плотность в малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной точке, то есть обобщенная функция определяется своими средними значениями в окрестности каждой точки. Поэтому обобщенные функции часто называют распределениями [1-3].

В уравнениях физики дельта-функция 5(х) описывает либо плотность единичной массы, либо плотность заряда в точке х = 0. Плотность тока движущейся с постоянной скоростью V заряженной частицы вдоль оси ОХ можно выразить с помощью дельта-функции вида б (х- V)), где t есть время движения заряженной частицы, отсчитываемое от начального момента t = 0.

В работе [4] найдены аналитические решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения вида (с переменным первым коэффициентом) х п у (т) = ^х), где правая часть ^х) является бесконечно дифференцируемой функцией аргумента х, т -порядок производной искомой обобщенной функции у(х), п - натуральное число (показатель степени многочлена, являющегося первым коэффициентом в линейном неоднородном обобщенном уравнении). Отметим, что указанные уравнения не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на систему (излучения или возмущения системы) расположен именно в начале координат. Математическим описанием такого физического источника, как известно [1], является дельта функция б(х), которая является сингулярной обобщенной функцией ^х), стоящей в правой части линейного неоднородного обобщенного уравнения х п у <т> = ^х).

В настоящей работе доказывается существование обобщенного решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения (с переменным первым коэффициентом) вида х п у (т) = ^х), где ^х) есть произвольная обобщенная функция. В простейшем частном случае, когда правая часть ^х) является дельта-функцией б(х), то есть является сингулярной обобщенной функцией, найдены аналитические частные и общие решения данного линейного обобщенного неоднородного дифференциального уравнения.

X X

о

го А с.

X

го т

о

2 О

м м

сч сч о сч

оэ

о ш Ш X

<

m о х

X

Основные свойства дельта-функции и её носителя, используемые при решении линейных обобщенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как известно [1-3], простейшим примером обобщенной функции является функционал (в пространстве обобщенных функций D'), порождаемый локально интегрируемой в R функцией ^х):

№ф) = J f(x)ф(x)dx,ф

cD,

где D - пространство бесконечно дифференцируемых финитных (то есть имеющих ограниченный носитель) функций ^(х). Такой функционал называется регулярной обобщенной функцией ^х). Свойства линейности и непрерывности этого функционала непосредственно следуют из этого определения.

Сингулярную обобщенную функцию нельзя отождествить ни с какой локально интегрируемой функцией ^х). Классическим примером сингулярной обобщенной функции является дельта-функция:

(1)

В частности (5(х - а),^(х)) = с о.

Очевидно, что указанный функционал является линейным и непрерывным ввиду свойств функции 5 с D',5(x) = 0,x ^0. Поэтому носитель дельта-функции supp б = 0.

Если бы существовала локально интегрируемая в R функция ^х), которую можно было бы отождествить с дельта-функцией б(х), то для любой функции ф(х) из пространства D должно выполняться равенство / «;х)ф(х^х = ф(0),фсБ. (2)

В частном случае для функции хф(х), принадлежащей пространству D, получаем:

/

Пх)хф(х^х = 0 = (xf, ф),ф c D.

Таким образом локально интегрируемая в R функция х^х) равна нулю в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймонда х/(х)= 0 почти везде, и стало быть, ^х) = 0 почти везде. Но это противоречит равенству (2). Таким образом не существует локально интегрируемой в R функция ^х), которую можно было бы отождествить с дельта-функцией б(х), что является доказательством сингулярности дельта-функции б(х).

Приближением дельта-функции (в смысле слабой сходимости) является бесконечно-дифференцируемая неотрицательная финитная функция о»р(х), равная нулю при |х|> р и удовлетворяющая интегральному равенству

/_„ wp(x)dx = 1.

(3)

Условие слабой сходимости в пространстве обобщенных функций имеет вид:

о»р(х) ^ 5(х),р ^0 + 0, (4)

которое с использованием интегрального представления функционала можно записать следующим образом

í й»р(х)ф(х)йх ^ ф(0),р ^0 + 0,фсБ. (5)

Поскольку ф(х) бесконечно дифференцируемая, и, значит непрерывная функция, то для любого £ > 0 найдется такое б > 0, что |ф(х) -ф(0)| < £ при

|х| <б. Далее, используя равенство (1), при всех р < б приходим к цепочке очевидных неравенств

|/й»р(х)ф(х)йх - ф(0)|< /й»р(х)|ф(х) -ф(0)|^х < £.

(6)

несобственном

Здесь интегралы смысле в пределах от

понимаются в

-от до + от. Неравенство (6) является доказательством предела (4). Таким образом дельта-функция приближенно (в смысле слабой сходимости) описывается бесконечно дифференцируемой функцией о»р(х), носитель supp о»р(х) которой расположен в узкой области |x| <р <б. Поскольку площадь под графиком неотрицательной функции о»р(х) равна единице, то максимальное значение функции о»р(х) оказывается достаточно большим (тем более высоким, чем меньше малое значение положительной величины б).

Бесконечно дифференцируемая финитная функция о»р(х) не является при этом аналитической функцией, поскольку в каждой точке своей области определения (например, на границе своего носителя) не может быть представлена в виде равномерно сходящегося степенного ряда.

Производная обобщенной функции f(x), как известно [1], дается равенством:

(f("'(x), ф) = (-1) n (f(x), ф(">).

Применительно к дельта-функции указанное соотношение принимает следующий вид:

(б<п>, ф) =(-1) n ф<п>(0). (7)

В частном случае первой производной б(х) = - б(х). Далее будет использована «единичная ступенька» -функция 9(x), равная нулю при x < 0, 9(x) = 1 при x > 0. Производная [1-3] указанной функции равна: е'(х) = б(х).

Обратно [1], обобщенная первообразная для функции б(х) равна е(х) + С, где С - произвольная константа. Аналогично, обобщенная первообразная для функции е(х) + С оказывается равной xe(x) + Сх + C1, где C1 -вторая произвольная константа.

Вышеприведенные свойства носителя sup б(х) дельта-функции б(х), её обобщенных производных и обобщенных первообразных, равно как и соответствующие свойства «единичной ступеньки» - функции е(х), её обобщенных производных и обобщенных первообразных, будут использованы ниже при доказательстве существования обобщенного частного и общего решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения порядка п, в правой части которого находится произвольная обобщенная функция f(x), и, в частности, дельта-функция б(х).

В связи с этим напомним [1], что если в правой части линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения порядка п с постоянными коэффициентами находится дельта-функция б(х), то обобщенное решение рассматриваемого уравнения существует и называется фундаментальным решением. Если же в правой части рассматриваемого уравнения с постоянными коэффициентами находится произвольная обобщенная функция f(x), то частное (и, следовательно, общее) обобщенное решение этого уравнения также существует, и аналитически выражается сверткой [1] фундаментального решения с обобщенной функцией f(x).

Особенностью задачи, рассматриваемой в настоящей работе, являются следующие обстоятельства. Прежде всего, коэффициент при высшей обобщенной производной в левой части линейного уравнения не является действительной константой, а является степенной функцией. Во вторых, этот коэффициент может обращаться в ноль при x = 0, а классическое решение линейного однородного уравнения не существует на множествах, содержащих начало координат. Поэтому фун-

даментальное решение, выражаемое через классическое решение, не может быть определено по стандартной процедуре, либо должно быть видоизменено.

Применительно к задаче нахождения частного и общего решения линейного неоднородного уравнения с переменным первым коэффициентом и с произвольной обобщенной функцией ^х) в правой части требуется вначале доказать существование самого частного и общего обобщенного решения рассматриваемого уравнения.

Существование частного и общего обобщенного решения уравнения хп у = ^х), где ^х) -обобщенная функция

Рассмотрим в пространстве D' обобщенное уравнение хп у = ^х). (8)

Вначале докажем существование частного обобщенного решения у1 этого уравнения. Следуя [1,3], где существование решения указанного уравнения было доказано при п =1, рассмотрим (для любой ф(х) из пространства D бесконечно дифференцируемых финитных функций) обобщенную функцию у1, определяемую следующим равенством

(у1, ф(х)) = |/(х)

ф(х)-(ф(0)+Хф/(0)4

(п-1)!

-Ж*)

(9)

ф(х)-(ф(0)+Хф/(0)4

где d(x) = 1на любом интервале, содержащем точку х = 0, d(x) = 0 вне этого интервала. Поэтому функция

("-1)! (10) является финитной и бесконечно дифференцируемой, то есть принадлежит пространству D. Функционал, определяемый равенством (9), является линейным и непрерывным, поскольку свойства линейности и непрерывности для него будут выполнены. Действительно, если последовательность функций фк(х) (и соответственно их производных) равномерно сходится к функции ф(х), то последовательность функций с индексом к, вычисляемых по формуле (10) через фк(х), а также соответственно их производных, равномерно сходится к функции к функции (10) и соответственно к производным от функции (10).

Проверим, что обобщенная функция, определяемая равенством (9), удовлетворяет обобщенному уравнению (8). Вычисляем функционал в левой части (9):

(хп у1, ф(х)) = (у1, хпф(х)) = =

№), ф(х)).

Таким образом обобщенная функция, определяемая равенством (9), действительно удовлетворяет обобщенному уравнению (8), то есть частное решение уравнения

(8) существует и определяется равенством (9).

Для нахождения общего решения уравнения (8) действуем по стандартной процедуре [1,3]. Пусть у есть произвольное решение обобщенного уравнения (8), а у1 есть частное решение этого уравнения (8). Вычитая из первого равенства второе равенство, приходим к выводу о том, что разность (у - у1) удовлетворяет обобщенному уравнению

хп (у - у1) = 0. (11)

Общее решение обобщенного уравнения хп у = 0 общеизвестно [1], и выражается через все производные от дельта-функции до порядка п - 1 и п произвольных констант а0, ..., ап-1:

у = ад б(х) + ...+ ап-1 б <п"1' (х).

Таким образом, как следует из (11), общее решение обобщенного уравнения (8) существует и выражается следующим равенством

у = у1 + а0 б(х) + ...+ ап-1 б <п"1' (х). (12)

Аналитическое решение линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения с переменным первым коэффициентом и дельта-функцией в правой части

Как уже отмечалось выше, особенностью задачи, рассматриваемой в настоящей работе, являются следующие обстоятельства. Прежде всего, коэффициент при высшей обобщенной производной в левой части линейного уравнения не является действительной константой, а является степенной функцией. Далее, этот коэффициент может обращаться в ноль при х = 0, а классическое решение линейного однородного уравнения не существует на множествах, содержащих начало координат. Поэтому фундаментальное решение, выражаемое через классическое решение, не может быть определено по стандартной процедуре, либо должно быть видоизменено.

В данном разделе рассматривается частный случай линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения хп у(п"1) = б(х), когда в правой части рассматриваемого уравнения стоит дельта-функция,

ад = б(х).

Общее и частное решение обобщенного уравнения (8) с произвольной обобщенной функцией в правой части, как доказано в предыдущем разделе, существует, но аналитическое представление указанного решения с произвольной обобщенной функцией ^х) в правой части невозможно. Однако при ^х) = б(х) частное решение уравнения (8) можно представить в аналитическом виде. Действительно, используя определение (7) производной дельта-функции порядка п-1, а также вычисляя классическую производную порядка п-1 от функции хп-1 ф(х), приходим к равенству х п-1 б(п"1) (х) = (-1) п-1 (п-1)! б(х). Отсюда получаем аналитическое выражение для частного решения

у1 уравнения (8): у1 = (-1)п б(п)(х) /п!, которое нужно подставить в (12), где у нужно заменить на у(п-1).

Таким образом для нахождения общего решения рассматриваемого линейного неоднородного обобщенного уравнения хп у(п-1) = б(х) выполняем последовательное интегрирование уравнения (12) п-1 раз:

у = (-1) п б (х) /п! +;ШТ1(Ь*+ скв(х))х\ (13) где Ьк, ск- произвольные вещественные константы. Изменение порядка производной п-1 на произвольное целое т приводит к добавлению аналогичных слагаемых в (13).

Заключение

В работе [4] найдены аналитические решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения вида (с переменным первым коэффициентом) х п у (т) = ^х), где правая часть ^х) является бесконечно дифференцируемой функцией аргумента х, т -порядок производной искомой обобщенной функции и(х), п - натуральное число (показатель степени многочлена, являющегося первым коэффициентом в линейном неоднородном обобщенном уравнении). Отметим, что указанные уравнения не имеют классического решения на множествах, содержащих начало координат. Однако в ряде практических задач источник воздействия на

X X

о

го А

с.

X

го т

о

2 О

м м

систему (излучения или возмущения системы) расположен именно в начале координат. Математическим описанием такого физического источника, как известно [1], является дельта функция б(х), которая является сингулярной обобщенной функцией f(x), стоящей в правой части линейного неоднородного обобщенного уравнения x n y (m) = f(x).

В настоящей работе доказано существование обобщенного решения линейного неоднородного обобщенного дифференциального уравнения (с переменным первым коэффициентом) вида x n y (m) = f(x), где f(x) есть произвольная обобщенная функция. В простейшем частном случае, когда правая часть f(x) является дельта-функцией б(х), то есть является сингулярной обобщенной функцией, найдено аналитическое частное и общее решение данного линейного обобщенного неоднородного дифференциального уравнения. Найденные аналитические решения расширяют узкий класс аналитически решаемых линейных однородных и неоднородных обобщенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Литература

1. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики: учеб. пособие. для физ.-мат. специальностей вузов. М.: Наука, 1986. 512с.

2. Аленицын А.Г., Благовещенский А.С., Лялинов М.А. Методы математической физики. Сб.задач для студентов третьего курса. - Изд-во СПбГУ, 2005. - 199 с.

3. Пожарский А.А. Лекции по методам математической физики: учеб. пособие. для физ.-мат. специальностей вузов. МФТИ. 2015. - 133 с.

4. Шипов Н.В. К вопросу аналитического решения линейных обобщенных дифференциальных уравнений специального вида. // Инновации и инвестиции. Сер. Современные технологии. 2020, № 6, с.225 -228.

Linear generalized differential equation with variable first coefficient

and delta function on the right side Shipov N.V.

Moscow State Technical University named after N.E.Bauman JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90

In well-known review publications and courses of equations of mathematical physics [1-4] for the class of linear homogeneous and inhomogeneous generalized differential equations with variable coefficients (of arbitrary order), there are only a small number of equations [2-3], the solutions of which can be represented in an analytical form. Analytical solutions [4] were found for a linear inhomogeneous generalized differential equation of the form (with a variable first coefficient) xn y(m) = f(x), where the right side f(x) is an infinitely differentiable function of the argument x, m is the order of the derivative of the desired generalized functions y(x), n is a natural number. Note that these equations do not have a classical solution on sets containing the origin. However, in a number of practical problems, the source of influence on the system (radiation or perturbation of the system) is located precisely at the origin of coordinates. The mathematical description of such a physical source, as is known [1], is the delta function 5(x), which is a singular generalized function f(x) on the right side of the linear inhomogeneous generalized equation.

In this paper, we prove the existence of a generalized solution to a linear inhomogeneous generalized differential equation (with a variable first coefficient) of the form xn y(m) = f(x), where f(x) is an arbitrary generalized function. In the simplest particular case, when the right side of f(x) is a delta function 5(x), that is, it is a singular generalized function, analytical particular and general solutions of this linear generalized inhomogeneous differential equation are found. The found analytical solutions expand a narrow class of analytically solvable linear homogeneous and inhomogeneous generalized differential equations with variable coefficients.

Keywords: generalized function, singular generalized function, space of test functions D, space of generalized functions D', delta function 5(x).

References

1. Vladimirov, V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoy fizike [The generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 318 p.

2. Alenitsyn A.G., Blagoveshchensky A.S., Lyalinov M.A. Metody matematicheskoy fiziki. Sbornik.zadach dlya studentov tret'yego kursa [Methods of mathematical physics. Collection of problems for third year students]. Publishing hous SpbSU, 2005, 199 p.

3. Pozharsky A.A. Lectures on methods of mathematical physics: textbook. allowance. for physic.-math. university specialties. Moscow Institute of Physics and Technology. 2015. - 133 p.

4. Shipov N.V. On the question of the analytical solution of linear generalized differential equations of a special form. // Innovations and investments. Ser. Modern technologies. 2020, No. 6, p.225 -228.

СЧ СЧ

о

СЧ <0

о ш m

X

J

<

m О X X