Линейно-корреляционная модель водного баланса Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 556.512 З. К. Иофин,

канд. географ. наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный технический университет»

ЛИНЕЙНО-КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ВОДНОГО БАЛАНСА LINEAR-CORRELATION MODEL OF WATER BALANCE

В статье рассматривается сравнение оценок водно-балансовых элементов, вычисленных по методу линейно-корреляционной модели водного баланса и измеренных на водно-балансовых станциях. Результаты сравнения показали хорошую сходимость вычисленных и измеренных значений. Сравнению подверглись инфильтрация, суммарное испарение, испарение с водной поверхности, влажность почв, запасы воды в почве. Такой набор параметров водного баланса позволяет решать ряд практических задач. При этом других способов аналитической оценки указанных параметров в настоящее время просто не существует.

The article deals with the comparison of the values which are estimated with the help of the linear-correla-tion pattern of water balance and those which are observed at water balance stations of water balance elements. The results of the comparison show some closeness of the estimated and observed values. The following parameters are compared: infiltration, three types of soil absorption at different stages of the runoffformation, total evaporation, water surface evaporation, layer of surface detention in the catchment area, soil moisture, water storage in the soil. These parameters of water balance make it possible to decide a number ofpractical problems. Whereas there are no other methods of analytical estimation of the mentioned parameters at the present time.

Ключевые слова: линейно-корреляционная модель водного баланса, впитывание в почву, поверхностное задержание на водосборе, инфильтрация, суммарное испарение, испарение с водной поверхности.

Key words: linear-correlation pattern of water balance, soil absorption, surface detention in the catchment area, infiltration, total evaporation, water surface evaporation.

Введение

Имея в виду, что теоретические предпосылки должны подвергаться экспериментальным испытаниям, в работе для оценки точности вычисленных значений водно-балансовых параметров использованы данные измерений на водно-балансовых станциях. Оценка точности выполнена как по каждому из элементов, определяемых по линейно-корреляционной модели, так и в целом для водного баланса рек водно-балансовых станций.

Материалы и методы

В качестве материалов в статье используются экспериментальные данные наблюдений на водно-балансовых станциях России: Валдайского филиала ГГИ, Нижнедевицкой, Подмосковной, Приморской.

Методы, используемые в работе, представлены методом сравнения, когда вычисленные водно-балансовые величины сравниваются по абсолютной величине с экспериментальными данными. При этом для вычисления используется метод ЛКМ. Таким образом, возникает необходимость в пояснении основных принципов и используемых зависимостей, входящих в ЛКМ.

ЛКМ строится на философском утверждении перехода количественных изменений в качественные. То есть атмосферные осадки, выпадающие на водосбор, при их количественном изменении переходят в новое качество — речной сток. При этом величина речного стока отличается от величины атмосферных осадков, выпадающих на водосбор, величиной потерь. На этом свой-

стве основывается ЛКМ. Представляется важным оценить не только теоретические предпосылки ЛКМ, но и возможность их практического применения.

Результаты и их обсуждение

Оценку возможной применимости ЛКМ в практических целях выполним по каждому члену уравнения

Р = У + Е + и. (1)

Следует, однако, заметить, что непосредственно величины впитывания в почву, составляющие суммарное испарение, на стоковых станциях не измеряются. Поэтому вместо слоя впитывания в почву рассмотрим влажность почв и запасы воды в почве, для расчетов которых используется слой впитывания.

Влажность почв и запасы влаги в почве

Использование слоя впитывания для определения величины влажности почвы в дальнейшем состоит в том, чтобы определить по нему тот слой, в который проникает впитавшаяся влага в почву. На первый взгляд то количество влаги, которое впитала почва слоем Я, и есть влажность почв. Однако согласно (2) эта влага распределяется в почве слоем большим, чем Я, и отсюда влажность уменьшается за счет увеличения слоя распространения влаги кЯ.

й = —, мм. (2)

Р

где кЯ — слой почвы, на который проникает влага по порам от слоя впитывания, мм;

Я — слой впитывания, мм;

Р — порозность почвы, в долях единицы.

Среди видов почвенной влаги может существовать капиллярно-подвешенная влага. Вероятно, слой почвы между капиллярной влагой и сухой почвой, до которой атмосферные осадки не просочились, может быть назван капиллярной каймой. Ведь капиллярная влага передвигается во всех направлениях. Тогда разность между ку = кЯ - Я может быть отнесена к капиллярной кайме. Для оценки влажности почв и запасов влаги в почве воспользуемся данными измерений и наблюдений на водно-балансовых станциях. Это Нижнедевицкая стоковая станция (Воронежская область), Подмосковная станция, расположенная в Московской области, Валдайский филиал ГГИ в Новгородской области. По Нижнедевицкой стоковой станции использованы данные по водосборам р. Девицы, руч. Ясенок, логам Барский и Вершинин. По Подмосковной стоковой станции использованы данные по водосборам р. Медвенки, логов Прогоны и Лесного, по Валдайскому филиалу — руч. Архиерейский и лога Синяя Гнилка. Характеристики этих водосборов приведены в табл. 1.

На основе данных многолетних наблюдений за речным стоком и атмосферными осадками по пунктам наблюдений, приведенным в табл. 1, было выполнено построение корреляционных графиков зависимости среднегодового стока от атмосферных осадков за год. Выполнены вычисления корреляционных характеристик и водно-балансовых параметров. Для этого использованы фондовые материалы наблюдений среднегодовых значений указанных характеристик на воднобалансовых станциях. (

Необходимо отметить, что для каждого водосбора, использованного в расчетах, в осреднение попало сравнительно большое количество точек на каждом водосборе. Всего в оценке влажности почв на всех 9 водосборах приняли участие более 200 точек за каждый год. За использованный период наблюдений привлечена информация более чем 2 тыс. точек отбора проб грунта на влажность и запасы влаги.

Выпуск 2

Таблица 1

Характеристика водосборов, использованных для оценки увлажненности

№ п/п Река-пункт Площадь водосбора, ¥, км2 Уравнение регрессии речного стока от атмосферных осадков Слой впитывания, Я, мм Использованный период наблюдений

1 р. Девица 76,0 У = 0,31х - 35,7 115 1966-1980

2 лог Барский 3,16 У = 0,32х - 136 426 1966-1980

3 руч. Ясенок 21,7 У = 0,27х - 49,4 183 1966-1980

4 лог Вершинин 0,45 У = 0,46х - 202 438 1966-1980

5 р. Медвенка-дер. Лапино 10,0 У = 0,66х - 254 384 1964-1979

6 лог Прогоны 0,80 У = 0,37х - 112 302 1960-1979

7 лог Лесной 0,066 У = 0,29х - 131 454 1960-1979

8 руч. Архиерейский 2,67 У = 0,60х - 132 221 1957-1987

9 лог Синяя Гнилка 0,015 У = 0,89х - 417 468 1957-1987

см

X

о

т

Как известно, влажность почвы — это отношение объема воды, содержащегося в почве, к объему абсолютно сухой почвы, выраженное в процентах. Поэтому, зная слой, в который проникает влага в почве, можно определить для этого слоя объем почвы с учетом воды в ней:

тЕ = К = (Я + ку )3, см3. (3)

Объем воды в почве определим по слою впитывания Я:

ту = Я, см3. (4)

Тогда масса сухой почвы в слое кЯ определится как

т8 = тЯ- ту = - Я3 = (Я + ку)3 - Я3, см3. (5)

Влажность почвы по полученным данным можно вычислить по соотношению

ту _ _ Я3 (б)

выч т3 Къ-Яъ (Ц + кгУ-Я*. (6)

Исходя из приведенных рассуждений, выполним вычисления объемов влаги тЯ в почве по слою Я и соответственно объемов почвы т& по слою кЯ и, наконец, влажности почвы по зависимости (6). Выполненные вычисления влажности по зависимости (6) V показывают

4 ' 4 ' выч

(табл. 2), что имеет место некоторое различие в вычисленных и измеренных величинах. Средняя ошибка в вычисленных и измеренных величинах влажности почв не превышает 14,4 %. Если сравнить эту ошибку с принятой точностью инструментального определения влажности почвы [3], составляющей 5-7 %, то полученная нами точность может быть отнесена к удовлетворительной.

Представляется, что ошибки, полученные при сопоставлении вычисленной и измеренной влажностей, имеют многофакторную основу и, вполне возможно, связаны с условиями формирования капиллярной каймы. При этом слой впитывания в свою очередь косвенно является показателем влияния на капиллярную кайму многих физических и водно-физических свойств почвы. На рис. 1 показана ориентировочная зависимость слоя капиллярной каймы от слоя впитывания для небольшой группы водосборов рек с определенными почвенными разностями.

Таблица 2

Вычисление точности оценки влажности почвы и слоя капиллярной каймы

Река-пункт Л т с о Щ о о р о По Слой впитывания, Я , см ,й я мо § 1 8 Я Й * Я « ^ Ё § + § ^ * 5® § И 9 к ч м ° 1 с Слой капиллярной каймы, ку, см ,ь т с о Е х® ч в, 1 ^ е р е ме со 53 ,е в ч о п 2 з Я о Ч , оу « § а е ю О ы в ч о а „ « а ^ £° а е ю О ,ь т с о 5 ^ 1 ^ е л исл ычи ы В Ошибка вычисления влажности почв, %

р. Девица 0,60 11,5 18 6 36,6 1521 5832 35,3 3,6

лог Барский 0,58 18,3 29 12 36,1 6128 27 000 29,4 18,7

руч. Ясенок 0,62 42,6 71 26 29,8 77 309 328 509 30,8 3,3

лог Вершинин 0,64 43,8 70 24 30,5 84 028 314 432 36,5 15,8

р. Медвенка-дер. Лапино 0,48 38,4 65 34 21,1 56 623 373 248 17,9 15,1

лог Прогоны 0,47 30,2 51 28 21,6 27 544 195 112 16,4 23,7

лог Лесной 0,50 45,4 74 42 20,8 93 577 658 503 16,6 20,5

руч. Архиерейский 0,63 46,8 82 35 19,2 102 503 448 865 23,0 15,8

лог Синяя Гнилка 0,62 22,1 41 20 14,6 10 794 63 294 17,0 13,1

среднее 14,4

Рис. 1. Зависимость слоя капиллярной каймы ку от слоя впитывания в почву Я

Выпуск 2

Выпуск 2

Вероятно, при использовании более разнообразных природных условий, выраженных в почвенных характеристиках, указанная зависимость может быть представлена серией линий. При этом каждая из линий должна будет относиться к определенному типу почв и их гранулометрическому составу.

Зависимость, представленная на рис. 1, безусловно ориентировочная, так как построена по недостаточному количеству точек и при незначительном охвате генетических типов почв и их гранулометрического состава. С накоплением данных график может быть откорректирован.

По поводу размеров капиллярной каймы в литературе информации недостаточно.

Единственный источник, в котором мы встретили размеры этого слоя, — это монография А. А. Роде [4]. В монографии приводятся экспериментальные данные С. И. Долгова. По этим данным слой капиллярной каймы изменяется от 41 см с размером зерен в гранулометрическом составе 0,1-0,25 мм до 5 см при размере зерен 1-2 мм. Как следует из наших вычислений, размер капиллярной каймы имеет примерно такие же значения. Причем, по нашему мнению, размер капиллярной каймы удобнее выражать через слой впитывания.

По известной влажности почв У, ее объемной массе в и слою, для которого вычисляется запас влаги, вычисление запасов воды в почве не вызывает затруднений:

к = 0,1 • в • У • 5. (7)

Выполним оценку запасов воды в почве на водосборах приведенных выше водно-балансовых станций. Вычисления приведены в табл. 3.

Таблица 3

Вычисление запасов влаги в почве

Река, лог Объемная масса, г/см3 Вычисленная влажность почв, % Вычисленный запас влаги в почве, мм Измеренный запас влаги в почве на 1 см глубины, мм Ошибка вычисления, %

р. Девица 1,10 35,3 194 201 3,5

лог Барский 1,10 29,4 161 197 18,6

руч. Ясенок 1,05 30,8 162 156 3,3

лог Вершинин 0,97 36,5 177 148 13,4

р. Медвенка-дер. Лапино 1,53 17,9 137 161 13,4

лог Прогоны 1,58 16,4 130 170 25,0

лог Лесной 1,53 16,6 159 127 18,5

руч. Архиерейский 1,35 23,0 61,6 62,1 0,7

лог Синяя Г нилка 1,34 17,0 45,7 50,1 ,8 8,

среднее 11,7

Как следует из результатов расчетов, средняя ошибка вычисления запасов влаги в почве для территорий, соизмеримых с административными областями или речными водосборами, не превы-

Ошает 12 %. Максимальная ошибка составляет 25,0 %, минимальная — 0,7 %.

Суммарное испарение

Дополнительно к выполненному сравнению вычисленных и измеренных запасов влаги в почве интересно получить ошибку вычисления по ЛКМ суммарного испарения.

По данным наблюдений на водно-балансовых станциях за суммарным испарением выполнено сравнение вычисленных по ЛКМ и измеренных величин. Данные сопоставлений, вычисленных

по линейно-корреляционной модели и измеренных величин суммарного испарения, приведены в табл. 4. Как следует из вычислений, ошибка определения суммарного испарения по линейно-корреляционной модели минимальна и составляет 2 %, поэтому метод может быть использован при решении практических задач.

Испарение с водной поверхности

Располагая значениями суммарного испарения Е, интересно оценить величину испаряемости Евп, хотя непосредственно слой испарения с водной поверхности не входит в уравнение (1).

Если обратиться к балансовым соображениям испарения с водной поверхности, то, располагая значениями испарения с суши, можно подойти к оценке испаряемости. В частности, А. Н. Бе-фани [5] в одной из формул по учету влияния озерности на норму стока вводит понятие коэффициента избыточного испарения:

и _ Евп - Ес , (8)

е У

где Евп — испарение с водной поверхности; Ес — испарение с суши; У — норма стока.

Из уравнения (8) мы получили уравнение прямой, из которой по данным суммарного испарения Е и слоя речного стока У, мы легко получили слой испарения с водной поверхности, или испаряемость Е .

вп

У * к = Е - Е , (9)

е вп сР ' '

Е = Е - Ук . (10)

вп с е 4 '

Для определения параметра уравнения ке построен график связи Ес = / (У), приведенный на

рис. 2. Отсюда, располагая всеми параметрами уравнения (10), вычислим значение испарения с

водной поверхности.

а

Рис. 2. Зависимость слоя суммарного испарения от слоя речного стока

Выпуск 2

з

Выпуск 2

Таблица 4

Данные по сопоставлению измеренных и вычисленных по линейно-корреляционной модели (ЛКМ)

значений водно-балансовых элементов

Река-створ /■'. км2 Период наблюдения Наблюденные значения, мм Вычисленные значения суммарного испарения по линейно-корреляционной модели, мм Инфильтрация, мм, вычисленная по линейно-корреляционной модели Ошибка вычисления испарения по линейно-корреляционной модели, о/ /О

■^набл. ■^набл. Енабл. Е ЛКМ и

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Подмосковная ВБС

р. Медвенка-дер. Лапино 10 63 179 674 340 384 95 2,6

р. Медвенка — выше устья Закзы 21,5 63 193 674 302 161

р. Медвенка — ниже устья р. Закзы 40 63 213 674 276 181

лог Лызлово 1,76 63 73 674 382 201

лог Кулибин 0,44 50 42 573 344 198

руч. Прогоны 0,8 63 92 573 302 170

лог Полевой 0,11 62 94 573 348 131

лог Лесной 0,066 50 33 573 454 85

Среднее значение по станции 115 624 340 349 153 2,6

к<х а>

Приморская ВБС

р. Комаровка-Комаровский 60,3 38 322 796 388 76

р. Комаровка-Центральный 157 38 300 745 381 58

р. Комаровка-Садовый 395 47 265 726 347 88

р. Комаровка-Сахарный завод 616 47 242 595 311 34

р. Комаровская Падь-Егерьский 24 38 357 775 324 79

р. Волха-Верхний 17,6 38 412 775 270 72

р. Волха-Нижний 69,5 38 365 775 308 73

р. Учхозный Ключ-Дальний 36,2 38 434 775 263 61

р. Семеновская Падь-Доковский 5,64 38 304 778 428 38

р. Барсуковка-Лесничий 36,8 38 250 741 412 67

р. Ключ Студеный-Пионерский 2,44 38 163 664 390 96

р. Глуховка-Мостовой 31,1 47 117 636 435 73

лог Луговой-Луговой 0,28 43 181 648 429 13

р. Раковка-Боголюбовский 126 38 109 648 405 148

р. Раковка-Раковский 198 47 164 627 377 88

р. Раковка-Опытный 755 47 108 610 321 116

р. Каменка-Каменский 31,2 47 298 775 371 140

р. Михайловка-Михайловский 123 38 72 562 419 123

р. Бакарьевка-Дубинский 47,5 47 56 598 476 115

р. Репьевка-Воздвиженекий 154 38 43 570 373 141

Среднее значение по станции 228 691 386 371 85 1,3

а

^“гмэЛшчд

5<х а>

I

Выпуск 2

Таблица 4 (Продолжение)

Нижнедевицкая ВБС

р. Девица 76 40 118 504 115 282

р. Девица-Товарня 103 40 138 504 113 258

лог Барсук 10,7 40 44 522 399 85

лог Круглый 0,83 40 36 606 459 105

лог Медвежий 2,55 40 35 600 474 114

лог Ивкин 0,5 40 37 607 366 471 93 3,9

руч. Ясенок 21,7 40 107 585 183 295

лог Барский 3,16 40 45 582 426 97

лог Татьянин 0,18 40 88 504 364 138

лог Малютка 0,05 40 65 527 398 68

лог Вершинин 0.45 40 65 585 438 79

Среднее значение по станции 71 557 366 349 147 3,9

к<х а>

Валдайский филиал Государственного гидрологического института

р. Лонница-дер. Мосолино 48 61 300 752 309 23

р. Соснинка-дер. Киты 101 61 394 706 273 78 0

р. Полометь-пгт. Лычково 2180 61 292 706 241 173

р. Полометь-дер. Ермошкино 1179 61 326 706 248 125

р. Полометь-дер. Соменка 776 61 327 706 227 144

р. Полометь-с. Яжелбицы 631 61 343 706 238 122

р. Полометь-дер. Дворец 432 61 324 709 336 245 136

р. Соминка-дер. Дворец 34 61 321 752 399 63

руч. Архиерейский 2,67 55 347 778 221 222

лог Сосновый 0,093 55 164 771 490 113

лог Еловый 0,0023 54 20 771 476 255

лог Верховье Усадьевское 0,016 54 125 702 476 96

лог Синяя Гнилка-дер. Усадье 0,015 54 273 771 468 34

лог Таежный 0,45 54 122 771 413 162

Среднее значение по станции 263 736 336 337 125 0

Примечание: 1) ошибка вычисления суммарного испарения приведена без учета знака;

2) значения Е суммарного испарения приняты по имеющимся наблюдениям, проводившимся только в одной точке на стоковой станции.

Выпуск 2

Вычисления по формуле (10) оказались возможными только для Подмосковной стоковой станции, по которой в распоряжении автора имелись материалы наблюдений.

Результаты вычислений приведены в табл. 5.

Таблица 5

Вычисление ошибки определения слоя испарения с водной поверхности

Река-створ Г, км2 Период наблюде- ний Измеренные величины Измеренный слой испарения с водной поверхности Вычисленные значения испарения с водной поверхности, мм Ошибка вычисления испарения с водной поверхности по линей-но-корре-ляционной модели, %

У изм. Р Е с

1 2 3 4 5 6 7 8 9

р. Медвенка-дер. Лапино 10 63 179 674 362 373 3,0

р. Медвенка — выше устья Закзы 21,5 63 193 674 356 374 4,5

р. Медвенка — ниже устья р. Закзы 40 63 213 674 353 375 5,3

лог Лызлово 1,76 63 73 674 407 376 -9,2

лог Кулибин 0,44 50 42 573 423 377 -13,3

руч. Прогоны 0,8 63 92 573 398 378 -6,7

лог Полевой 0,11 62 94 573 398 379 -6,8

лог Лесной 0,066 50 33 573 426 380 -14,2

среднее 115 624 340 390 376 -4,7

Из уравнения водного баланса (1) осталось оценить точность вычисления по ЛКМ слоя инфильтрации.

Оценка точности вычисления слоя инфильтрации выполнена по уравнению (11):

гу=*4Ьк. (11)

к4

Для этой цели использованы данные наблюдений в речных бассейнах водно-балансовых станций, расположенных в разных климатических зонах. Это Нижнедевицкая стоковая станция (Воронежская обл.), данные наблюдений на гидрогеологической сети Валдайского филиала ГГИ (Новгородская обл.). По Нижнедевицкой стоковой станции использованы данные по водосборам р. Девицы, руч. Ясенок, логу Вершинин. По Валдайскому филиалу — лог Верховье Усадьевское, лог Таежный, лог Сосновый, лог Синяя Гнилка.

По известной методике [6] с использованием данных наблюдений в скважинах по 1300 го-допунктам вычислены слои инфильтрации в семи водосборах стоковых станций. Результаты обработки данных наблюдений приведены в табл. 6.

Таблица 6

Оценка точности вычисления слоев инфильтрации по ЛКМ

№ п/п Наименование реки и пункта наблюдений Площадь водосбора, Г, км2 Слой инфильтрации, мм Ошибка вычисления слоя Примечание

по наблюдениям по ЛКМ

1 р. Девица 76,0 229 282 23,1 Средняя ошибка вычислена без учета знака

2 лог Вершинин 10,7 84,5 85 0

3 руч. Ясенок 21,7 325 295 9,2

4 лог Верховье Усадьевское 0,016 104 96 7,7

5 лог Таежный 0,45 146 162 10,9

6 лог Синяя Г нилка 0,0015 34 36 5,6

7 лог Сосновый 0,093 118 113 4,2

среднее 8,7

Несмотря на изменение площади водосбора рассмотренных водотоков в значительных пределах, это обстоятельство не повлияло на точность вычисления величин инфильтрации по ЛКМ. Как следует из табл. 6, средняя ошибка составляет 8,7 % при максимальной ошибке 23,1 %. Кроме этого, подтверждена правомерность использования прямолинейной зависимости речного стока от атмосферных осадков, нашедшая подтверждение в работах [4; 7, с. 53-57].

В заключение рассмотрим вопрос совместного влияния ошибок определения всех воднобалансовых параметров по ЛКМ на точность вычислений по уравнению водного баланса. Необходимые вычисления приведены в табл. 7.

Таблица 7

Оценка точности вычисления водного баланса

«л

№ п/п Наименование реки и пункта наблюдений Атмосферные осадки, мм Речной сток, мм Вычисленный слой суммарного испарения, мм Вычисленный слой инфильтрации, мм Ошибка вычисления водного баланса, %

1. р. Девица 504 118 115 282 2,2

2. лог Вершинин 585 65 438 85 0

3. руч. Ясенок 585 65 183 295 7,7

4. лог Верховье Усадьевское 702 125 476 96 0

5. лог Таежный 771 122 413 162 10,6

6. лог Синяя Г нилка 771 273 468 36 0

7. лог Сосновый 771 273 490 113 13,6

среднее 4,9

Полученная ошибка вычисления водного баланса по водосборам рек стоковых станций демонстрирует высокую точность расчетов. Однако необходимо отметить, что для более уверенного суждения о величине ошибки необходимо располагать более представительным материалом. Од-

Выпуск 2

Выпуск 2

нако в существующем положении расширения базы материалов наблюдений задача практически неосуществима из-за высокой стоимости этих материалов.

Заключение

В настоящей работе выполнена оценка точности вычисления, как по отдельным водно-балансовым параметрам, так и в целом водного баланса. Контроль точности выполнен для запасов воды в почве, слоев суммарного испарения и испарения с водной поверхности слоя инфильтрации. При отдельном рассмотрении определения каждого из перечисленных показателей можно констатировать, что сравнительно высокая точность оценки такого количества показателей неслучайна. Закономерность в сравнительно точной оценке водно-балансовых сведений вытекает также и из расчета водного баланса в целом.

Таким образом, на основании сравнения измеренных данных и вычисленных по ЛКМ доказано существование нового вида уравнения водного баланса в виде прямой линии, связывающей слой речного стока со слоем атмосферных осадков. Доказано также, что математические выражения, входящие в состав линейно-корреляционной модели, жизнеспособны и могут быть рекомендованы для практического применения.

Список литературы

1. Иофин З. К. Новый подход к определению составляющих водного баланса / З. К. Иофин // Тр. VI Всесоюз. гидрологического съезда. — Л., 2008. — Ч. I. — С. 62-67.

2. Бефани А. Н. Вопросы региональной гидрологии. Паводочный сток: учеб. пособие / А. Н. Бефани. — Киев, 1989. — 132 с.

3. Великанов М. А. Гидрология суши / М. А. Великанов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1948. —

530 с.

4. Иофин З. К. Совершенствование теории формирования элементов водного баланса речных бассейнов / З. К. Иофин. — М.: Литературное агентство «Университетская книга», 2012. — 196 с.