CC BY
17
Вычислительные технологии
Том 22, № 2, 2017
Линейная задача о допусках для интервальной модели межотраслевого баланса
Е. А. Воронцова
Дальневосточный федеральный университет, Владивосток, Россия Контактный e-mail: vorontsovaea@gmail.com
Рассматривается интервальная модель межотраслевого экономического баланса. Для системы балансовых уравнений В.В. Леонтьева ставится интервальная линейная задача о допусках. Обосновывается решение этой задачи методом распознающего функционала множества решений С.П. Шарого. Ключевым этапом метода является решение задачи максимизации недифференцируемого вогнутого функционала, для решения которой предлагается метод отделяющих плоскостей с дополнительными отсечениями.
Приводятся результаты практического решения задачи оценки перспектив развития региональной экономики на примере Приморского края. Результаты вычислительных экспериментов показали эффективность метода с отсечениями и подтвердили преимущества метода распознающего функционала по сравнению с другими методами.
Ключевые слова: интервальная система уравнений, линейная задача о допусках, модель "затраты — выпуск", распознающий функционал, методы отделяющих плоскостей, недифференцируемая оптимизация, региональная экономика.
Введение
В математической экономике часто возникают задачи с неточными исходными данными. Принятие решений в практической деятельности экономических агентов осложняется необходимостью учета большого количества разнообразных факторов. Часто информация о воздействии данных факторов и их взаимосвязях является неполной. В качестве модели описания неопределенных данных можно использовать, например, вероятностно-статистическую, нечеткую и интервальную модели.
В интервальной модели описания данных, которая рассматривается в настоящей работе, неопределенность параметра х описывается только границами его возможных значений, т.е. задается интервалом х Е [жт;п, жтах]. Интервалы неопределенности позволяют описать неоднозначные, вариабельные и/или неточные исходные данные. Все значения внутри интервала предполагаются равновозможными.
В ряде прикладных экономических задач интервальная модель оказывается наиболее предпочтительной (см., например, [1]). Одной из задач такого класса, который
© ИВТ СО РАН, 2017
рассматривается в данной работе, является интервальная линейная задача о допусках (ЛЗД) для балансового уравнения В.В. Леонтьева [2]:
х = Сх + у, (1)
где х Е Кга — вектор объемов продукции по п отраслям; у Е Кга — вектор объемов конечного потребления по этим отраслям; С = (с^) Е Кга х п — матрица коэффициентов прямых производственных затрат; Кга — евклидово п-мерное пространство.
В интервальном уравнении Леонтьева вместо точечных значений коэффициентов с^ используют их оценки сверху и снизу. Из-за принципиальных особенностей методики измерения коэффициентов прямых производственных затрат удобно считать, что эти коэффициенты известны лишь с некоторой интервальной неопределенностью [3, 4]: с^ Е с^ и С = (су , где С = (су) — интервальная матрица. Здесь и далее интервалы и интервальные величины выделяются полужирным шрифтом, что соответствует принятому международному стандарту обозначений в интервальном анализе [5]. Вектор конечного потребления у также становится интервальным: у Е у, т. е. потребителям достаточно не какого-то конкретного значения объема потребления, а нахождения этого объема потребления в определенном "коридоре" - интервале у.
Один из наиболее перспективных подходов к исследованию разрешимости интервальной линейной задачи о допусках — использование распознающего функционала множества решений С.П. Шарого [6, 7]. При этом возникает задача максимизации распознающего функционала. Поскольку распознающий функционал является глобально вогнутым и негладким (недифференцируемым), для применения данного метода требуется использование эффективных методов решения задач выпуклой недифференцируе-мой оптимизации. В данной работе рассмотрено применение метода отделяющих плоскостей с дополнительными отсечениями [8, 9] для исследования разрешимости ЛЗД методом распознающего функционала.
1. Интервальная модель "затраты — выпуск
Рассматривается интервальная система линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) вида
ацх\ + а\2Х2 + ... + а,1пхп = Ь\, 0,21X1 + а22Х2 + ... + 0,2пХп = Ь2,
+ + ... +
с интервальными коэффициентами а^ и свободными членами Ьг, г = 1, 2 1, 2, ...,п.
Систему (2) можно кратко записать в виде
т, ] =
Ах = Ь,
(3)
А г т т,п _, (
= {а^ — интервальная т х и-матрица (множество всевозможных точечных матриц с элементами из заданных интервалов), Ь = {Ьг}г=1 — интервальный вектор из т интервальных компонент. Подобные интервальные системы — символические записи для множества обычных точечных систем уравнений того же вида, что и (2), (3), с коэффициентами при неизвестных и элементами правой части из соответствующих
интервалов. Арифметические операции с интервалами — это операции классической интервальной арифметики [10-13]. Далее в работе будут использоваться следующие обозначения:
— а и a — соответственно верхний и нижний концы интервала а;
— rad a = 2 (a — a) — радиус интервала;
— mid a = 1 (a + a) — середина интервала;
— |a| = max [|a|, |a|} — модуль интервала.
Интервальные уравнения могут иметь различные множества решений.
Объединенным множеством решений ИСЛАУ называется множество, образованное всевозможными решениями точечных систем линейных уравнений Ах = Ь, где А Е А, b Е b (см., например, [10, 11, 13]).
В настоящей работе рассматривается другое, так называемое допусковое множество решений.
Допусковым множеством решений ИСЛАУ называется множество
~tol(A, b) = [х Е | (V А Е А)(Э b Е b) (Ах = Ь)} =
= [х Е Rra | (V А Е А) (Ах Е b)}, ( )
образованное всеми такими векторами х Е Rra, что произведение Ах попадает в b для любого А Е А [14].
Допусковое множество решений часто возникает в задачах математической экономики. В данной статье рассматривается модель межотраслевого экономического баланса (1), т.е. классическое уравнение В.В. Леонтьева.
Интервальный аналог уравнения Леонтьева (1) записывается в следующем виде:
х = С х + у. (5)
Если в вещественном случае решение системы (1) относительно х позволяет спрогнозировать необходимые для запланированного потребления у объемы производства по отраслям, то в интервальном случае важная прикладная задача для интервального уравнения Леонтьева может быть сформулирована следующим образом [15]: для каких объемов производства х при любых значениях коэффициентов прямых производственных затрат Cij Е Cij конечное потребление будет принадлежать заданным интервалам у^, г = 1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., п?
Множество всех таких векторов х образует допусковое множество решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений
(Е — С )х = у,
где Е — единичная матрица размерности п х п.
Допусковое множество решений ИСЛАУ является выпуклым многогранником в Rra. Доказательство данного факта можно найти, например, в [12, 16]. Тем не менее прямое описание допускового множества решений для систем большой размерности слишком трудоемкое: количество ограничивающих гиперплоскостей растет пропорционально т ■ 2га. Поэтому вместо прямого описания допускового множества гораздо проще найти некоторые его оценки, а еще лучше — подмножества. Исходная задача заменяется на так называемую линейную задачу о допусках.
Линейной задачей о допусках называется задача нахождения (по возможности, большего) бруса, который содержится в допусковом множестве решений данной интервальной линейной системы уравнений.
2. Исследование разрешимости линейной задачи о допусках для интервальной модели "затраты — выпуск"
Важной подзадачей линейной задачи о допусках является задача исследования ее разрешимости, поскольку допусковое множество может оказаться пустым даже для "хороших" интервальных данных. В таких случаях говорят, что линейная задача о допусках неразрешима или несовместна.
Исследование разрешимости линейной задачи о допусках впервые сделано в работе [15], но приведенные формулы могли применяться только для интервальных матриц А специального вида и неотрицательных правых частей Ь. В работе [17] для проверки разрешимости использовался "тест средней системы" (вычисляется решение х* точечной системы (mid А) х = mid b, затем оно тестируется на включение Ах* С Ъ). В [12] приведены контрпримеры, показывающие, что данный тест не всегда является верным.
Другим подходом к определению разрешимости ЛЗД может быть так называемый формально-алгебраический подход [12, гл. 11], при котором сначала решается ИСЛАУ и только затем принимается решение о пустоте или непустоте допускового множества. Недостатком этого подхода является необходимость решения ИСЛАУ (актуально для прямоугольных систем уравнений). Кроме того, формально-алгебраический подход не всегда позволяет до конца исследовать разрешимость задачи, поскольку в результате может быть получено формальное решение с неправильными, "вывернутыми" интервалами. Поэтому более перспективным методом, предназначенным для полного исследования разрешимости ЛЗД, представляется техника, основанная на использовании распознающего функционала множества решений [18].
Изложение техники распознающего функционала во многом следует [12]. Пусть даны интервальная т х n-матрица А и интервальный m-вектор правой части Ь, а выражением
Tol(x) = Tol(x; A, b) = min < rad bi —
Ki<m '
( П \
l rad bi — mid bi — ^^ a^Xj >
(6)
определяется распознающий функционал Tol : Rra ^ R. Тогда принадлежность x E B,toi(A, b) равносильна выполнению неравенства Tol(x; A, b) > 0. Кроме того, функционал Tol(x) является вогнутым и достигает конечного максимума на всем пространстве Rra.
Итак, алгоритм исследования разрешимости интервальной ЛЗД выглядит следующим образом.
Шаг 1. Решить задачу безусловной максимизации по х вогнутого функционала
max Tol (х, A, b) = Tol (г, A, b) = Т*. (7)
Шаг 2. Если Т* > 0, то т E Stoi(А, Ь) = 0, т. е. ЛЗД для Ах = b разрешима. Иначе перейти к шагу 4.
Шаг 3. Если Т* > 0, то т E int "Etoi(A, b) = 0 и принадлежность точки т допуско-вому множеству решений устойчива к малым возмущениям данных. Перейти к шагу 5.
Шаг 4. Т* < 0, следовательно, ЛЗД для Ах = b неразрешима.
Шаг 5. Конец.
Как следует из приведенного алгоритма, при практическом решении ЛЗД для интервального уравнения Леонтьева необходимо решить задачу максимизации недиффе-
ренцируемой вогнутой функции (7) (или, что эквивалентно, задачу минимизации выпуклой функции), поскольку распознающий функционал Tol(ж) — негладкая функция. В данной работе для решения задачи (7) применяется метод отделяющих плоскостей (МОП) с дополнительными отсечениями [8, 9]. Метод относится к семейству методов отделяющих плоскостей [19] и предназначен для решения задачи вычисления min f (х),
х € Rn
где f (х) — выпуклая, не обязательно дифференцируемая функция. Метод отделяющих плоскостей с отсечениями является методом первого порядка, для его работы на каждой итерации необходимо вычислять значения целевой функции f (хк) и значения одного из субградиентов g целевой функции f, взятого из субдифференциала df в точке хк.
Множество
df (хк) = {g е R | Vж е dom f f (х) — f (хк) > д(х — хк) }
называется субдифференциалом функции f в точке хк. Элемент g е df (хк) называется субградиентом функции f (х) в точке хк. Здесь и далее при умножении векторов пространства R берется их скалярное произведение. Если функция f (х) конечна в окрестности точки хк, выпукла и дифференцируема в точке хк, то субградиент g е df (хк) единственен и совпадает с градиентом функции f в точке хк (см., например, [20]).
Никакой дополнительной информации, кроме значений целевой функции и субградиентов, для работы метода не требуется. Таким образом, МОП с отсечениями является методом оракульного типа.
Отличительная особенность семейства методов отделяющих плоскостей заключается в том, что работа методов происходит в расширенном сопряженном пространстве значений субградиентов и сопряженной функции Лежандра — Фенхеля f *(g) = sup {gx — f (ж)}, g е df. Для выпуклых недифференцируемых функций классическое
X
условие экстремума гладких функций — равенство 0 производной f в точке оптимума х* — заменяется на задачу нахождения корня субдифференциального отображения: 0 е df (ж*). С помощью несложных преобразований можно показать, что задача нахождения минимума функции многих переменных f (х) эквивалентна задаче нахождения значения сопряженной функции f * в точке 0:
f (х*) = min f (х) = — sup{0 ■ х — f (х)} = —f *(0), (8)
ж€Кп х
т.е. оптимальная точка х* удовлетворяет необходимым, а следовательно, и достаточным условиям экстремума для задачи безусловной выпуклой минимизации. Надграфик сопряженной функции f *(х) аппроксимируется двумя полиэдрами — внутренним, полностью лежащим в epi f *(х), и внешним, содержащим epi f *(х). Из вершины внешнего полиэдра (по сути, являющейся текущим рекордом функции f (х) — точкой, дающей минимальное на текущий момент значение f (х)) делается проекция на внутренний полиэдр, что позволяет построить гиперплоскость, отделяющую текущий рекорд от полиэдра внутренней аппроксимации. Для улучшения свойств монотонности МОП с отсечениями на каждой итерации производятся дополнительные отсечения по верхней оценке значения f *(0).
Метод отделяющих плоскостей с отсечениями был успешно применен при исследовании разрешимости ЛЗД для интервальной модели межотраслевого баланса. Кроме того, для решения задачи были применены другие методы минимизации недифферен-цируемых функций. (Результаты см. в следующих разделах.)
3. Создание модели задачи на языке моделирования AMPL
Для изучения возможностей решения ЛЗД с помощью существующих методов решения задач недифференцируемой оптимизации (НДО) необходимо описать модель задачи на одном из языков моделирования. В качестве такого языка выбран один из самых широко применяемых для решения задач математического программирования язык так называемого алгебраического моделирования AMPL (A Modeling Language for Mathematical Programming) [21].
Код для модели представлен в алгоритме 1. Для записи исходных данных создается еще один файл, начинающийся со служебного слова data. В этом файле задаются все параметры модели (задаваемые служебным словом param).
А л г о р и т м 1. Линейная задача о допусках для модели межотраслевого баланса как задача НДО
Data: Другой файл inoutdata.ampl
1 set Y 'y - output' ordered; # Потребление продукции
2 set X 'x - input' ordered; # Выпуск продукции
3 set C := Y cross X;
4 param ly_real{Y} >= 0; # Потребление в разрезе отраслей
5 param io{C} >= 0; # Матрица коэф-в прямых произв. затрат
6 param otkl >= 0; # Ширина отклонения для интервальной матрицы коэф-в
7 param io1_ot {i in Y, j in X} = (io[i, j] - otkl*io[i, j]);
8 param io2_ot {i in Y, j in X} = (io[i, j] + otkl*io[i, j]);
9 param E{i in Y, j in X} := if (ord(i,Y)=ord(j, X)) then 1 else 0;
10 param io1 {i in Y, j in X} = E[i, j] - io2_ot[i, j];
11 param io2 {i in Y, j in X} = E[i, j] - io1_ot[i, j];
12 param uy {j in Y} = 1.2*ly_real[j];
13 param ly {j in Y} = if (j = 'y1') then 1.1*ly_real['y1'] else
ly_real[j];
14 var x {i in X};
15 var s1 {i in Y} = 0.5*(ly[i]+uy[i]) - ^ {k in X} io1[i,k]*x[k];
16 var s2 {i in Y} = 0.5*(ly[i]+uy[i]) - ^ {k in X} io2[i,k]*x[k];
17 var sus {i in Y} = max (s1[i], s2[i]);
18 var los {i in Y} = min (s1[i], s2[i]);
19 var mags {i in Y} = max (abs(los[i]), abs(sus[i]));
20 minimize minosTol: -(min {i in Y} (0.5*(uy[i]-ly[i]) - mags[i])); # Распознающий функционал
После описания модели необходимо выбрать программный пакет для решения оптимизационной задачи. Наиболее известным и крупнейшим в мире сервером, предоставляющим возможность решать задачи оптимизации в режиме онлайн, является NEOS (Network-Enabled Optimization Server) [22]. Были сделаны попытки решить представленную в следующем разделе задачу оценки перспектив развития региональной экономики (на примере Приморского края) с применением интервальной модели межотрас-
левого баланса (МОБ). Для решения задачи использовались следующие программы, доступные на http://neos-server.org/neos/:
— CONDOR (COnstrained, Non-linear, Direct, parallel, multi-objective Optimization using trust Region method for high-computing load, noisy objective functions) [23] -программа, специально предназначенная для решения задач НДО, но размерности не более 50 переменных;
— LANCELOT [24] — пакет, предназначенный для решения задач нелинейного программирования большой размерности;
— CONOPT (http://www.conopt.com/) — пакет, предназначенный для решения задач нелинейного программирования.
Ни один из перечисленных программных продуктов с задачами, представленными в следующем разделе, не справился.
4. Вычислительные эксперименты
Для доказательства эффективности предложенного в работе подхода с применением НДО была использована свободно распространяемая программа для исследования разрешимости интервальной линейной задачи о допусках TOLSOLVTY С.П. Шарого (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск), которая выдает заключение о разрешимости задачи о допусках для интервальной линейной системы Ах = Ь, значение максимума распознающего функционала ее допускового множества решений и доставляющий его вектор аргументов. Программа выложена на сервере Института вычислительных технологий СО РАН по адресу http://www.nsc.ru/interval/Programing/MCodes/index.php.
В данной программе для максимизации распознающего функционала используется вариант алгоритма суперградиентного подъема с растяжением пространства в направлении разности двух последовательных суперградиентов (г-алгоритм) [25, 26]. Код r-алгоритма написан П.И. Стецюком (Институт кибернетики, Киев). Также на основе данной программы написан ее модифицированный вариант на языке octave, использующий для решения задачи негладкой оптимизации МОП с отсечениями. Программа имеет название "Алгоритм SPACLIP". При этом задача на максимум вогнутой функции заменена задачей на минимум выпуклой функции.
4.1. Оценка перспектив развития экономики Приморского края с помощью решения линейной задачи о допусках
В качестве практического применения предложенных в работе методов решен ряд задач оценки перспектив развития региональной экономики на примере Приморского края с использованием интервальной модели межотраслевого баланса. В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 14 февраля 2009 г. № 201-р завершена разработка базовых таблиц "затраты — выпуск" [27] за 2011 г., необходимых для расчетов по интервальной модели Леонтьева. Ожидается, что эти таблицы будут опубликованы в 2017 г. на официальном сайте Федеральной службы государственной статистики. В связи с этим будет актуальным использование предложенных в работе методов.
Для расчетов приняты данные таблиц "затраты — выпуск" для Приморского края за 2011 г., представленные в работе [28], а также статистические данные ежегодника
"Приморский край. Социально-экономические показатели" за 2013 г. [29]. Экономические показатели региона разбиты на пятнадцать отраслей:
1. Сельское хозяйство, охота и лесоводство.
2. Рыболовство, рыбоводство.
3. Добыча полезных ископаемых.
4. Обрабатывающие производства.
5. Производство и распределение энергии.
6. Строительство.
7. Оптовая и розничная торговля.
8. Гостиницы и рестораны.
9. Транспорт и связь.
10. Финансовая деятельность.
11. Операции с недвижимостью, аренда.
12. Государственное управление.
13. Образование.
14. Здравоохранение и предоставление социальных услуг.
15. Предоставление коммерческих услуг.
По данным таблицы "Межотраслевой баланс экономики региона (Приморского края за 2011 г.)", взятой из [28, с. 280], построена матрица С = (с^) € Кга хп коэффициентов прямых производственных затрат, представленная в табл. 1. Коэффициенты с^ рассчитывались по формуле с^ = х^/х^, где х^ — величина выпуска г-й отрасли, используемого в качестве ресурса в отрасли с номером ]; х^ — выпуск ]-й отрасли, г, ] = 1, ... , п (см., например, [27]).
Поскольку основное допущение модели "затраты — выпуск" состоит в том, что технологические коэффициенты с^ принимаются неизменными [30], данную матрицу можно использовать и при моделировании экономики региона в последующие годы. Однако эти коэффициенты могли быть рассчитаны по данным, приведенным с некоторой неизвестной погрешностью. Преимущество интервальной модели в том, что можно учесть эту неопределенность в данных, превратив матрицу С в интервальную.
Для решения ЛЗД требуются также данные по региональному конечному спросу (помимо конечного потребления учитываются валовое накопление основного капитала и изменение запасов материальных средств) в разрезе отраслей (уг, г = 1, ..., п, в модели). Расчетные данные представлены в табл. 2, там же для сравнения приведены расчетные объемы производства. Расчет производился на основе данных табл. 1 [28, с. 279], которые были откорректированы с учетом обновленных сведений за 2011 и 2012 гг. из [29] (строка Итого табл. 2). Корректировка сделана с помощью поправки на процент изменения.
С помощью представленных данных можно решить ряд задач прогнозирования развития экономики региона, применив приведенные в работе методы. В следующем подразделе даны примеры таких задач с решениями.
4.1.1. Прогнозирование увеличения конечного спроса для сельского хозяйства
Задачи прогнозирования, решенные в данном разделе, относятся к первому классу задач прогнозирования для модели межотраслевых материальных связей региональной экономики, представленных в [30] (определение сбалансированных выпусков отраслей,
Таблица 1. Матрица коэффициентов прямых производственных затрат для модели "затраты-выпуск" (Приморский край, 2011 г.)
Отрасль 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0.1334 0.0554 0.0283 0.0625 0.0160 0.0100 0.0247 0.0216 0.0065
2 0.0322 0.1720 0.0001 0.1137 0.0176 0.0012 0.0330 0.0124 0.0003
3 0.0135 0.0005 0.0710 0.0247 0.0634 0.0093 0.0051 0.0013 0.0018
4 0.0430 0.0705 0.0890 0.1044 0.1458 0.0912 0.1209 0.0061 0.0799
5 0.0479 0.0532 0.1381 0.0430 0.1240 0.0633 0.0252 0.0186 0.0407
6 0.0313 0.0285 0.0359 0.1253 0.1416 0.0873 0.0034 0.0593 0.0742
7 0.0066 0.0089 0.0128 0.0908 0.0342 0.0669 0.0235 0.1406 0.0744
8 0.0035 0.0059 0.0115 0.0089 0.0088 0.0056 0.0198 0.0049 0.0047
9 0.0196 0.0026 0.0346 0.0622 0.0077 0.0754 0.0428 0.0761 0.0396
10 0.0006 0.0006 0.0010 0.0008 0.0013 0.0012 0.0007 0.0027 0.0009
11 0.0133 0.0115 0.0267 0.0097 0.0452 0.0458 0.0268 0.0598 0.0359
12 0.0078 0.0095 0.0212 0.0073 0.0250 0.0175 0.0028 0.0338 0.0331
13 0.0094 0.0076 0.0287 0.0081 0.0056 0.0023 0.0009 0.0013 0.0144
14 0.0187 0.0177 0.0283 0.0114 0.0268 0.0315 0.0018 0.0202 0.0208
15 0.0009 0.0114 0.0193 0.0068 0.0056 0.0085 0.0026 0.0207 0.0014
Отрасль 10 11 12 13 14 15
1 0.0105 0.0008 0.0021 0.0053 0.0068 0.0183
2 0.0056 0.0029 0.0024 0.0038 0.0025 0.0061
3 0.0176 0.0004 0.0010 0.0005 0.0003 0.0148
4 0.0133 0.0145 0.0162 0.0133 0.0213 0.0322
5 0.0169 0.0012 0.0173 0.0256 0.0380 0.0982
6 0.0239 0.0898 0.0759 0.0577 0.0759 0.0256
7 0.0428 0.0418 0.0469 0.0658 0.0670 0.0639
8 0.0162 0.0026 0.0013 0.0035 0.0015 0.0155
9 0.0492 0.0522 0.0133 0.0062 0.0363 0.0436
10 0.0077 0.0014 0.0014 0.0017 0.0017 0.0019
11 0.0232 0.0364 0.0112 0.0174 0.0045 0.0083
12 0.0569 0.0371 0.0187 0.0463 0.0360 0.0319
13 0.0379 0.0084 0.0266 0.0416 0.0433 0.0447
14 0.0239 0.0152 0.0405 0.0276 0.0295 0.0304
15 0.0225 0.0019 0.0029 0.0046 0.0028 0.0069
обеспечивающих задаваемые варианты конечного спроса), но с использованием преимуществ интервальной модели.
На сколько процентов можно увеличить конечное потребление данной отрасли в условиях 2014 г.? Как при этом изменятся объемы производства? Сформулированная задача является линейной задачей о допусках для интервального уравнения Леонтьева. Задача была решена с помощью двух методов — г-алгоритма Н.З. Шора [25, 26] и МОП с отсечениями — алгоритма БРАСЫР [8, 9].
Результаты решения задачи приведены в табл. 3-5. Анализируя табл. 3, можно заключить, что увеличить конечный спрос даже на 5 % для отрасли 1 "Сельское хозяйство, охота и лесоводство" невозможно без изменения объемов производства в других отраслях, поскольку система интервальных уравнений становится несовместной (см. строки 2, 6, 10 таблицы). Если же задать интервальный вектор у как [1.05 • у\, 1.1 • у\],
Таблица 2. Объемы производства Хг и потребления у^ — валовый региональный продукт по отраслям, млн руб. (Приморский край)
Отрасль 2011 г. 2012 г. 2013 г. 2014 г.
Уг х% Уг Х% Уг Х% Уг х%
1 14141 39325 14274 40474 14914 41407 15017 41650
2 10095 40530 10190 41714 10647 42676 10720 42926
3 2628 15106 2653 15547 2772 15906 2791 15999
4 55064 139239 55582 143306 58073 146611 58474 147469
5 14333 63486 14468 65340 15116 66847 15221 67239
6 153625 231323 155072 238079 162022 243570 163140 244995
7 71283 129580 71954 133364 75179 136440 75698 137239
8 988 8593 997 8844 1042 9048 1049 9101
9 136357 183409 137641 188765 143810 193119 144803 194249
10 314 1431 317 1473 331 1507 333 1516
11 30874 61099 31165 62884 32561 64334 32786 64710
12 34433 54624 34757 56219 36315 57516 36565 57853
13 11005 21635 11109 22267 11607 22781 11687 22914
14 12060 33737 12173 34722 12719 35523 12807 35731
15 2574 7960 2598 8192 2715 8381 2734 8430
Итого [29] 549 793 1031103 555 018 1062124 — — — —
Моделирование [28, с. 279] 546 552 1025 827 577610 1 081900 581060 1087200 585100 1093 600
Таблица 3. Разрешимость линейной задачи о допусках для модели МОБ Приморского края
Степень неопределенности Нижняя граница для у1, Максимальное увеличение конечного спроса для Разрешимость Примечание
матрицы С % увеличения других отраслей, %
0.001 5 0 -
0.001 5 10 + см. табл. 4
0.001 10 20 +
0.001 40 10 + см. табл. 5
0.01 5 0 -
0.01 5 10 -
0.01 10 20 +
0.01 40 10 -
0.05 5 0 -
0.05 5 10 -
0.05 10 20 -
0.05 40 10 -
[у2, 1.2 • у2], ... , [у 15, 1.2 • у15], то система будет совместной, но только для матрицы коэффициентов прямых производственных затрат с достаточно малой интервальной неопределенностью С ± 0.001 С (см. строку 3). Результаты решения для этой задачи — найденная точка из допускового множества — приведены в табл. 4. По данным таб-
Таблица 4. Результаты решения задачи об увеличении конечного спроса в сельском хозяйстве на 5 %, млн руб.
г-алгоритм БРАСЫР Интервальный Исходные данные
Увеличение, % Увеличение, % вектор у X У
43018 3.29 42745 2.63 15768 17345 41650 15017
43396 1.10 43238 0.73 10720 11792 42926 10720
16359 2.25 16123 0.78 2791 3070 15999 2791
148870 0.95 148280 0.55 58474 64321 147469 58474
69251 2.99 67698 0.68 15221 16743 67239 15221
246830 0.75 246100 0.45 163140 179450 244995 163140
138510 0.93 137900 0.48 75698 83268 137239 75698
9235 1.47 9180 0.87 1049 1154 9101 1049
195400 0.59 195070 0.42 144800 159280 194249 144803
1550 2.27 1527 0.72 333 366 1516 333
65269 0.86 65049 0.52 32786 36065 64710 32786
59528 2.90 58145 0.51 36565 40222 57853 36565
24060 5.00 23051 0.60 11687 12856 22914 11687
36535 2.25 35938 0.58 12807 14088 35731 12807
8563 1.58 8503 0.86 2734 3007 8430 2734
Таблица 5. Результаты решения задачи об увеличении конечного спроса на 40 % для отрасли 1 при ограничении увеличения конечного спроса в 110 % для других отраслей, млн руб.
г-алгоритм БРАСЫР Интервальный Исходные данные
Увеличение, % Увеличение, % вектор у X У
48920 17.46 49026 17.71 21024 22526 41650 15017
43562 1.48 43653 1.69 10720 11792 42926 10720
16273 1.71 16300 1.88 2791 3070 15999 2791
148790 0.90 149270 1.22 58474 64321 147469 58474
68156 1.36 68362 1.67 15221 16743 67239 15221
246560 0.64 247310 0.94 163140 179450 244995 163140
138100 0.63 138540 0.95 75698 83268 137239 75698
9218 1.29 9238 1.51 1049 1154 9101 1049
195320 0.55 195990 0.90 144800 159280 194249 144803
1548 2.09 1552 2.37 333 366 1516 333
65209 0.77 65412 1.08 32786 36065 64710 32786
58244 0.68 58426 0.99 36565 40222 57853 36565
23145 1.01 23203 1.26 11687 12856 22914 11687
36131 1.12 36216 1.36 12807 14088 35731 12807
8522 1.09 8540 1.30 2734 3007 8430 2734
лицы можно определить, на сколько процентов необходимо будет увеличивать объемы производства для всех отраслей.
Если увеличивать размеры интервалов для матрицы С, то, как видно из табл. 3, задача может стать неразрешимой. Поэтому при решении ЛЗД необходимо обосновывать
выбор конкретных интервалов для матрицы коэффициентов прямых производственных затрат.
Решение еще одной интересной подзадачи, представленной в строке 5 табл. 3, — увеличение конечного спроса на 40 % для отрасли 1 "Сельское хозяйство, охота и лесоводство" при ограничении увеличения конечного спроса в 110 % для других отраслей, — представлено в табл. 5.
Другим возможным подходом к решению рассматриваемой задачи является определение строения допускового множества с помощью решения системы линейных неравенств. Такие подходы исследуются в работах И. Рона [16], И.А. Шарой [31]. Для задач большой размерности такой подход непригоден из-за слишком большого количества линейных неравенств в системе, которую требуется решить. Для задач малой размерности он тоже может быть не всегда применим, поскольку в результате решения системы линейных неравенств может быть получена точка, лежащая на границе допускового множества решений "Etoi {А, Ь).
Тем не менее для рассматриваемой в данном разделе задачи этот подход был применен на практике. Система линейных неравенств решалась с помощью программных продуктов IBM ILOG CPLEX Optimizer и MOSEK, доступных на сервере NEOS [22]. Точки допускового множества решений были найдены, расхождение с данными третьего столбца табл. 4 составило не более 0.5 % в меньшую сторону в случае использования CPLEX и не более 2.5 % в большую сторону в случае использования MOSEK. Однако значение распознающего функционала для этих точек оказалось равным 10-11 для CPLEX и 10-12 для MOSEK, что довольно далеко от его истинного максимума (15.45). Этот факт позволяет считать найденную точку не очень подходящей для дальнейшей работы с допусковым множеством, поскольку она находится почти на границе множества и попытки построить телесную оценку допускового множества вокруг этой точки не приведут к успеху.
4.2. Решение серии задач большой размерности с построением профилей производительности
Для определения производительности предложенного в работе подхода с применением метода отделяющих плоскостей с отсечениями при исследовании разрешимости ЛЗД для интервальной модели межотраслевого баланса в случае задач большой размерности решена серия типовых задач прогнозирования, аналогичных задачам, рассмотренным в предыдущем разделе с данными, сгенерированными случайным образом:
Cij Е [0,1], С = С ± 0.01С, b Е {0,1000], 6=1.2 Ь. (9)
Полученные в ходе вычислительных экспериментов результаты обработаны по методике [32] с построением профилей производительности. Данная методика является альтернативой более традиционному подходу обработки результатов вычислительных экспериментов с построением таблиц полученных результатов по каждому эксперименту. В таблицах обычно приводятся данные по затраченному процессорному времени для решения каждой тестовой задачи, количеству вычислений целевой функции задачи, количеству итераций, требуемых для достижения заданной точности решения задачи. Но такие таблицы можно привести только для сравнительно небольшого количества тестовых задач. В случаях, когда оптимизационные методы сравниваются на
сериях из сотен и тысяч однотипных задач, для обработки и представления результатов вычислительных экспериментов требуются другие методики.
Одним из вариантов является вычисление средних значений или суммирование вычисленных метрик производительности для каждого тестируемого метода [33]. При таком подходе различные результаты решения действительно сложных для тестируемых методов задач могут нивелироваться почти одинаковыми результатами решения более простых задач. Кроме того, при такой простой статистической обработке результатов либо не учитываются в принципе задачи, с которыми методы вообще не смогли справиться, либо для учета таких сбоев необходимо дополнительно вводить и вычислять некоторые штрафные параметры при отсутствии какой-то общепринятой объективной формулы расчета таких штрафных значений. Поэтому более предпочтительным методом оценки и сравнения оптимизационных пакетов представляется постепенно приближающийся к общепринятому подход с построением профилей производительности.
Профилем производительности, (performance profile [32]) ps для метода решения оптимизационной задачи называется функция распределения какого-либо измеримого показателя (метрики) производительности. В качестве показателя производительности tp,s при решении задачи р методом s может использоваться, например, затраченное методом s процессорное время для решения р или количество обращений к оракулу для метода s при решении р. Вычисление профилей производительности позволяет визуализировать различия по эффективности нескольких оптимизационных методов.
Функция ps(r) определяется следующим образом:
Ps(r) = — card {р е Р : rp,s < т}, rp,s = . tp,s-—. (10)
пр mm{rp,s : s е Ь}
Здесь card А — мощность множества А; S — множество сравниваемых методов; Р — множество решаемых с помощью этих методов задач. Количество элементов в Р обозначено через пр, ns — количество элементов в S. Функция rp,s является коэффициентом эффективности. Для лучшего по измеряемому показателю производительности метода на конкретной задаче р она принимает значение 1, для остальных методов ее значения показывают, во сколько раз показатели производительности этих методов хуже оптимального. Тогда функция ps(r) фактически показывает вероятность того, что для метода s е S коэффициент эффективности rp, s будет не больше какого-то вещественного числа т е R. Задавая различные значения для т с определенным шагом, можно получить таблицу значений функции распределения коэффициента эффективности rp,s, называемую профилем производительности ps(r). Часто профилем производительности называют и график функции ps(r).
Функции ps(r) : R ^ [0, 1] для каждого метода являются неубывающими и кусочно-гладкими. Значение ps(1) — вероятность того, что метод s будет оптимальным по данному показателю производительности среди других методов. Графики профилей производительности методов позволяют наглядно представить все результаты вычислительных экспериментов. По графикам можно легко и быстро визуально определить, какие методы наиболее эффективны по измеряемому показателю производительности на конкретном классе задач.
В вычислительных экспериментах, приведенных в данном разделе, количество сравниваемых методов ns = 2. Для решенных задач в качестве измеримых показателей производительности tp,s используются количество обращений к оракулу и затраченное процессорное время. Тестирование проводилось на суперкомпьютере под управлением
Рис. 1. Профили производительности р8(г), 5 = 1, 2, для г-алгоритма и алгоритма 8РАСЫР по затраченному процессорному времени (а) и количеству обращений к оракулу (б) при решении задачи (9), т = п = 10; заданная точность £ = 10-4
а
а
Рис. 2. Профили производительности р8(г), 5 = 1, 2, для г-алгоритма и алгоритма ЭРАСЫР по затраченному процессорному времени (а) и количеству обращений к оракулу (б) при решении задачи (9), т = п = 100; заданная точность £ = 10-1
Рис. 3. Профили производительности р8(г), 5 = 1, 2, для г-алгоритма и алгоритма 8РАСЫР по затраченному процессорному времени (а) и количеству обращений к оракулу (б) при решении задачи (9), т = п = 100; заданная точность £ = 10-4
ОС Linux, дистрибутив Gentoo Base System release 2.2, 32 процессора Intel Xeon E5-2690 @ 2.90GHz, 65 Гб оперативной памяти; версия интерпретатора octave 3.8.2.
Сначала была решена серия из 5000 задач малой размерности m = п = Ю, результаты представлены на рис. 1. Для решения задачи НДО максимизации распознающего функционала применялись r-алгоритм и алгоритм SPACLIP. Видно преимущество алгоритма SPACLIP.
Максимальная размерность задач такого типа, которые были решены с помощью созданного комплекса программ, m = п = ЮО. Результаты решения серии из 100 задач такой размерности представлены на рис. 2, 3. При этом на рис. 2 показаны результаты для заданной точности нахождения решения е = Ю-1, а на рис. 3 — для точности е = Ю-4. Для решения одной задачи с точностью е = Ю-4 каждому методу требовалось более 15 мин. По графикам построенных профилей производительности видно, что преимущество алгоритма SPACLIP и по затраченному процессорному времени, и по количеству обращений к оракулу стало еще более существенным.
Заключение
Результаты практического решения задачи оценки перспектив развития региональной экономики (на примере Приморского края) подтвердили преимущества метода распознающего функционала множества решений для исследования разрешимости интервальной линейной задачи о допусках по сравнению с другими методами решения ЛЗД. Ключевым этапом метода является решение задачи максимизации недифференциру-емого вогнутого функционала. Для решения этой задачи успешно применены метод отделяющих плоскостей с дополнительными отсечениями и r-алгоритм. По результатам проведенных исследований можно сделать следующий вывод: метод отделяющих плоскостей с дополнительными отсечениями (алгоритм SPACLIP) особенно рекомендуется применять для решения задач средних, больших и сверхбольших размерностей либо в случаях, когда требуется высокая точность решения задачи.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-07-12010-офим).
Список литературы / References
[1] Вощинин А.П. Задачи анализа с неопределенными данными — интервальность и/или случайность? // Рабочее совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений ИМР0'04, Новосибирск, 21-22 июня 2004 г. Тр. Междунар. конф. по вычисл. математике МКВМ-2004. Рабочие совещания / Под ред. Ю.И. Шокина, A.M. Федотова, С.П. Ковалева, Ю.И. Молородова, А.Л. Семёнова, С.П. Шарого. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 147-158.
Voschinin, A.P. Data analysis under uncertainty — intervals and/or randomness? // Workshop on Interval Mathematics and Constraint Propagation Methods, Novosibirsk, 21-22 June 2004. Proc. of the Intern. Conf. on Computational Mathematics ICCM-2004. Workshops / Eds Yu.I. Shokin, A.M. Fedotov, S.P. Kovalyov, Yu.I. Molorodov, A.L. Semenov, S.P. Shary. Novosibirsk: IVMiMG SO RAN, 2004. P. 147-158. (In Russ.)
[2] Леонтьев В. Исследование структуры американской экономики: Теор. и эмпир. анализ по схеме затраты — выпуск. M.: Госстатиздат, 1958. 640 c.
Leontief, W. Studies in the structure of the american economy: Theoretical and empirical explorations in input-output analysis. New York: Oxford Univ. Press, 1953. 561 p.
[3] Jerrell, M.E. Applications of interval computations to regional economic input-output models // Applications of Interval Computations / Eds R.B. Kearfott, V. Kreinovich. Kluwer, 1996. P. 133-143.
[4] Rohn, J. Input-output model with interval data // Econometrica. 1980. Vol. 48. P. 767-769.
[5] Kearfott, B., Nakao, M., Neumaier, A., Rump, S., Shary, S.P., Van Hentenryck, P.
Standardized notation in interval analysis // Comput. Technologies. 2010. Vol. 15, No. 1. P. 713.
[6] Ш!арый С.П. Разрешимость интервальных линейных уравнений и анализ данных с неопределенностями // Автоматика и телемеханика. 2012. № 2. С. 111-125.
Shary, S.P. Solvability of interval linear equations and data analysis under uncertainty // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, No. 2. P. 310-322.
[7] ШШарый С.П., ШШарая И.А. Распознавание разрешимости интервальных уравнений и его приложения к анализу данных // Вычисл. технологии. 2013. Т. 18, № 3. С. 80-109. Shary, S.P., Sharaya, I.A. Recognizing solvability of interval equations and its application to data analysis // Comput. Technologies. 2013. Vol. 18, No. 3. P. 80-109. (In Russ.)
[8] Vorontsova, E.A. A projective separating plane method with additional clipping for non-smooth optimization // WSEAS Transactions on Mathematics. 2014. Vol. 13. P. 115-121.
[9] Vorontsova, E.A., Nurminski, E.A. Synthesis of cutting and separating planes in a nonsmooth optimization method // Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, No. 4. P. 619-631.
[10] Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 360 c.
Alefeld, G., Herzberger, J. Introduction to Interval Computation. New York: Acad. Press, 1983. 333 p.
[11] Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
Kalmykov, S.A., Shokin, Yu.I., Yuldashev, Z.Kh. Methods of interval analysis. Novosibirsk: Nauka, 1986. (In Russ.)
[12] ШШарый С.П. Конечномерный интервальный анализ: Электронная книга. Новосибирск: Изд-во XYZ, 2016. 617 c. Адрес доступа: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks
Shary, S.P. Finite-dimensional interval analysis: E-book. Novosibirsk: XYZ Press, 2016. 617 p. Available at: http://www.nsc.ru/interval/Library/InteBooks (In Russ.)
[13] Neumaier, A. Interval methods for systems of equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. 255 p.
[14] Neumaier, A. Tolerance analysis with interval arithmetic // Freiburger Intervall-Berichte. 1986. No. 86/9. P. 5-19.
[15] Rohn, J. Input-output planning with inexact data // Freiburger Intervall-Berichte. 1978. No. 9/78. P. 1-16.
[16] Rohn, J. Inner solutions of linear interval systems // Interval Mathematics 1985 / (Ed.) K. Nickel Lecture Notes in Computer Science, vol. 212. New York: Springer Verlag, 1986. P. 157-158.
[17] Хлебалин Н.А. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: Саратовский политехн. ин-т, 1981. С. 107-123.
Khlebalin, N.A. An analytical controller design under parameter uncertainty // Analytical Controller Design Methods. Saratov: Saratovskiy Politekhn. In-t, 1981. P. 107-123. (In Russ.)
[18] Shary, S.P. Solving the linear interval tolerance problem // Mathematics and Computers in Simulation. 1995. Vol. 39. P. 53-85.
[19] Nurminski, E.A. Separating plane algorithms for convex optimization // Math. Program. 1997. Vol. 76. P. 373-391.
[20] Rockafellar, R.T. Convex analysis. Princeton, New Jersey: Princeton Univ. Press, 1970. 451 p.
[21] Fourer, R., Gay, D.M., Kernighan, B.W. AMPL. A modeling language for mathematical programming. 2nd ed. Canada: Thomson Learning Acad. Res. Center, 2003. 517 p.
[22] NEOS Server: State-of-the-Art solvers for numerical optimization. Available at: http://neos-server.org/neos/
[23] Berghen, F.V. Optimization algorithm for non-linear, constrained, derivative-free optimization of continuous, high computing load, noisy objective functions: Technical report. IRIDIA, Univ. of Brussels, Belgium. May 2004.
Available at: http://www.applied-mathematics.net
[24] Lancelot: a Fortran package for large-scale nonlinear optimization (Release A). Available at: : http://www.numerical.rl.ac.uk/lancelot/manual.html
[25] Шор Н.З., Журбенко Н.Г. Метод минимизации, использующий операцию растяжения пространства в направлении разности двух последовательных градиентов // Кибернетика. 1971. № 3. С. 51-59.
Shor, N.Z., Zhurbenko, N.G. A minimization method using the operation of space dilation in the direction of the difference of two successive gradients // Cybernetics. 1971. Vol. 7. P. 450-459.
[26] Шор Н.З., Журбенко Н.Г., Лиховид А.П., Стецюк П.И. Развитие алгоритмов недифференцируемой оптимизации и их приложения // Кибернетика и системный анализ. 2003. № 4. С. 80-94.
Shor, N.Z., Zhurbenko, N.G., Likhovid, A.P., Stetsyuk, P.I. Algorithms of nondifferentiable optimization: Development and application // Cybernetics and Systems Analysis. 2003. Vol. 39, No. 4. P. 537-548.
[27] Miller, R.E., Blair, P.D. Input-output analysis: Foundation and extensions. Cambridge Univ. Press, 2009. 750 p.
[28] Машунин Ю.К., Машунин И.А. Прогнозирование развития экономики региона с использованием таблиц "затраты— выпуск" // Экономика региона. 2014. № 2. С. 276-289. Mashunin, Yu.K., Mashunin, I.A. Forecasting the development of regional economy on the basis of input —output tables // Economy of Region. 2014. No. 2. P. 276-289. (In Russ.)
[29] Приморский край. Социально-экономические показатели: Статистический ежегодник. Владивосток: Приморскстат, 2014. 361 c.
Primorsky Krai. Socio-economic indicators: Statistical yearbook. Vladivostok: Primorskstat, 2014. 361 p. (In Russ.)
[30] Гранберг А.Г. Основы региональной экономики. 3-е изд. М.: ВШЭ, 2003. 495 c. Granberg, A.G. The basics of regional economy. 3rd edition. Moscow: VSHE, 2003. 495 p. (In Russ.)
[31] ШШарая И.А. Допусковое множество решений как проекция выпуклого многогранного множества // Вычисл. технологии. 2007. Т. 12, № 6. С. 124-137.
Sharaya, I.A. Tolerable solution set as a projection of the convex polyhedron // Comput. Technologies. 2007. Vol. 12, No. 6. P. 124-137. (In Russ.)
[32] Dolan, E., More, J. Benchmarking optimization software with performance profiles // Math. Program. 2002. Vol. 91. P. 201-213.
[33] Conn, A.R., Gould, N.I.M., Toint, P.L. Numerical experiments with the LANCELOT package (Release A) for large-scale nonlinear optimization // Math. Program. 1996. Vol. 73. P. 73-110.
Поступила в 'редакцию 28 ноября 2016 г.
Linear tolerance problem for input-output model with interval data
Vorontsova, Evgeniya A.
Far Eastern Federal University, Vladivostok, 690950, Russia
Corresponding author: Vorontsova, Evgeniya A., e-mail: vorontsovaea@gmail.co
The paper considers economic input-output models proposed by W. Leontief. Input-output models are subject to uncertainty. The values of the technical coefficients of input-output models are usually evaluated with interval uncertainty. The final demand vector is also not precisely known and became an interval vector. Solution of linear tolerance problem (LTP) for input-output models is useful in predicting how various industrial sectors of the national (or regional) economy respond to changes in economic activity.
For the interval linear system Ax = b, the LTP requires inner evaluation of the tolerable solution set formed by all point vectors x such that the product Ax remains within interval vector Ъ for all possible point matrix A within interval matrix A.
A method based on the S.P. Shary's recognizing functional (RF) of the tolerable solution set is applied to the problem of recognizing the solvability (emptyness or no-nemptyness of the solution set) of the LTP for input-output models. A key step in the RF method is to solve the non-smooth concave maximization problem. The separating planes method (SPM) with additional clipping is proposed for the approximate numerical solution for different types of non-smooth optimization problem with convex structure. The latter problem can be reformulated as the computation of the convex conjugate functional value at the origin. SPM with clippings is a new effective black-box optimization method.
The applications presented in this paper show how forecasting the development of regional economy on the basis of input-output tables can be done by means of RF method, SPM with clippings and N.Z. Shor's r-algorithm. Results of numerical experiments are presented in the test case of economic modelling for Primorsky Krai region (Russian Federation). The results of computational experiments have shown the effectiveness of SMP with clippings and have confirmed the advantages of the RF method compared to other methods for solution of LTP problems.
Keywords: interval system of linear algebraic equations, linear interval tolerance problem, input-output model, recognizing functional, separating planes methods, non-smooth optimization, regional economy.
Acknowledgements. This research was partly supported by RFBR (grant No. 13-07-12010-ofim).
Received 28 November 2016
© ICT SB RAS, 2017
