ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

6. Молодцов И. Н., Бабаева Д. О. Некоторые математические модели упругопластических процессов сложного иагружеиия // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2018. 22, вып. 2. 19^36.

Поступила в редакцию 08.11.2021

УДК 532.517

ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ ДВУХ ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ

О. А. Логвинов1

Проанализирована устойчивость к малым возмущениям двухслойного параболического течения в плоском канале. Дисперсионное соотношение между длиной волны возмущения и интенсивностью его нарастания справедливо во всем диапазоне волновых чисел при малых и умеренно больших числах Рейнольдса. Полученные результаты согласуются с известными выводами асимптотической теории. Кроме того, выявлен новый эффект для течений, обладающих помимо стратификации вязкости еще и стратификацией плотности. Соответствие экспериментальным данным приемлемое.

Ключевые слова: стратифицированное течение, линейная устойчивость, уравнение Орра-Зоммерфельда.

Stability to small perturbations of two-layered parabolic flow in a plane channel is analyzed. The dispersion relation between a disturbance wavelength and its growth rate is valid in the whole range of wavenumbers and for moderately large Reynolds numbers. The results coincide with known asymptotic theory conclusions. Besides, a new effect for flows not only with viscosity-stratification but also with density stratification is revealed. The agreement with experimental data is acceptable.

Key words: stratified flow, linear stability, Orr-Sommerfeld equation.

Введение. Течения со стратификацией вязкости возникают в различных природных и промышленных процессах: при движении магмы в земной коре или лимфы по сосудам, при входе спускаемых аппаратов в атмосферу или транспортировке жидких полезных ископаемых по трубопроводам. Вязкость в таких течениях может претерпевать скачок (для несмешивающихся жидкостей) или меняться непрерывно вместе с температурой или концентрацией [1].

Возможна промежуточная ситуация, при которой жидкости смешиваются, но граница между ними размывается слабо (числа Пекле велики). В настоящей работе рассматривается подобное двухслойное стратифицированное течение двух вязких, плохо смешивающихся жидкостей в плоском канале с жесткими стенками, когда на межфазной границе отсутствуют силы поверхностного натяжения.

Исследования линейной устойчивости подобной границы обычно начинаются с выделения стационарного решения, соответствующего течению с кусочно-параболическим распределением скорости по поперечной координате. Задача на малые возмущения в плоском канале для подобного течения сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению Орра-Зоммерфельда, которое решается аналитически при помощи асимптотических методов или интегрируется численно.

В пионерской работе [2] упомянутое уравнение Орра-Зоммерфельда исследовалось аналитически в длинноволновом приближении. Собственные функции раскладывались в ряд по степеням малого безразмерного волнового числа (точнее, малым должно быть его произведение на число Рейнольдса) . Интенсивность роста возмущений на межфазной границе оказалась строго положительной и пропорциональной числу Рейнольдса. Таким образом, впервые теоретически была показана возможная неустойчивость границы раздела двухслойного параболического течения для сколь угодно малых чисел Рейнольдса.

1 Логвинов Олег Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oleglogvinovQmail.ru.

Logvinov Oleg Anatol'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.

Следующей вехой стала работа [3]: в приближениях как длинных, так и коротких волн было исследовано влияние на линейную устойчивость межфазной границы основных физических параметров: отношения вязкостей М, отношения плотностей I) и отношения е толщин слоев, занятых жидкостями по ширине канала. Впервые была получена нейтральная кривая е = у/М и выявлено стабилизирующее действие сил поверхностного натяжения.

Численное интегрирование уравнения Орра-Зоммерфельда для малых длин волн "детерми-нантным методом" [4] ("compound matrix method") выявило неустойчивость течения не только по отношению к возмущениям межфазной границы, но и к сдвиговым возмущениям в потоке при больших числах Рейнольдса. Аналогичные возмущения приводят к потере устойчивости течения Пуазейля одиночной жидкости (волны Толлмина-Шлихтинга).

Также авторами работы [3] анализировались экспериментальные данные [5]. Было показано, что в промоделированном в работе [5] диапазоне чисел Рейнольдса коротковолновые межфазные возмущения гасятся поверхностным натяжением, а длинноволновые — гравитацией. Поэтому неустойчивость, обнаруженная авторами [5], могла быть вызвана только упомянутыми выше сдвиговыми возмущениями в потоке, даже несмотря на то, что числа Рейнольдса были еще недостаточно велики для этого. Данное кажущееся расхождение также находит объяснение: в работе [5] число Рейнольдса определялось иначе, чем в работе [3].

В работе [6] исследовалась устойчивость межфазной границы к возмущениям конечной амплитуды — задача решалась в нелинейной постановке. Однако интересный вывод сделан в линейном приближении: двухслойное параболическое течение устойчиво по отношению к длинным волнам для чисел Рейнольдса порядка единицы, если и только если его стационарный профиль скорости выпуклый. По существу это полный аналог теоремы Рэлея о точке перегиба для течения невязкой жидкости.

По-видимому, впервые экспериментально неустойчивость границы двухслойного стратифицированного течения двух вязких жидкостей по отношению именно к межфазной моде была смоделирована авторами [7] благодаря использованию жидкостей с малым поверхностным натяжением. Отмечен экспоненциальный характер роста малых возмущений, даны аккуратные оценки их роста со временем.

В работе [8] проведено прямое численное моделирование двухслойного параболического течения в плоском канале. Для малых начальных амплитуд и чисел Рейнольдса характер роста возмущений хорошо согласуется с линейной теорией. Нелинейный режим возникает при относительно больших начальных амплитудах (2 % ширины канала) возмущений межфазной границы. Более вязкая жидкость проникает в менее вязкую, образуя структуры в виде пальцев, однако поверхностное натяжение ожидаемо демпфирует это проникновение.

В [9] уравнение Орра-Зоммерфельда интегрировалось численно с использованием трех независимых алгоритмов. Классический метод стрельбы ожидаемо не дал результатов при больших значениях произведения безразмерного волнового числа на число Рейнольдса. Метод дифференциальной прогонки в этом случае также оказался неприменим. Только с помощью "детерминантного" подхода [4] удалось получить профили поперечной скорости, остающиеся линейными в широком диапазоне параметров.

В настоящей работе уравнение Орра-Зоммерфельда решается аналитически во всем диапазоне безразмерных волновых чисел при малых и умеренно больших числах Рейнольдса. Собственные функции раскладываются в бесконечные степенные ряды по поперечной координате, комплексные коэффициенты которых удовлетворяют линейным рекуррентным соотношениям. Близкий подход использовался автором при анализе устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу менее вязкой жидкостью [10]. В результате удается получить неявное дисперсионное соотношение между интенсивностью нарастания возмущения и длиной его волны. Действие гравитации не учитывалось, чтобы влияние стратификации вязкости на устойчивость основного течения проявлялось непосредственно.

Постановка задачи на малые возмущения. Рассмотрим двухслойное параболическое течение в плоском канале постоянной ширины H = hi + h-2 с неподвижными стенками (рис. 1, а). Жидкость 1 (динамическая вязкость плотность р\) занимает область х [£ (ж; t); hi],

жидкость 2 (динамическая вязкость ^2, плотность р^) — область х [—h2; £ (ж; t)].

Линеаризованная система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости имеет следующий вид:

/ ди' * ди' , du* \ др' / д2и' д2и' \ ^ \ 9t U дх dy J дх ^ \ дх2 ду2 )

( dv'

.dv'

P -777 + U ——

V dt

dx

dp' + тг- = fJ-dy

d2v' d2v'

+

dx2 dy2

du' dv' dx dy

0.

(2) (3)

a

-h-

-^«1* (у)

Жидкость 1

и. Pi

Жидкость 2/ 2,Jsu2 ( У) X

H = hx + h2

к

и/ f s и

и и s III

у II 8* -

U

Рис. 1. Двухслойное параболическое течение в плоском канале: Н — ширина канала; Н\ и Н2 толщины слоев, занимаемых жидкостями; £ (х^) — граница раздела жидкостей (о). Диаграмма устойчивости двухслойного параболического течения по отношению к межфазной моде в плоскости (е, к). Области Я соответствуют устойчивости, области и — неустойчивости; жирная вертикальная прямая е = е* — нейтральная кривая, отделяющая области различного поведения (б)

Стационарное двухслойное параболическое течение с общим градиентом давления (параметры отмечены звездочками) получается аналогично классическому течению Пуазейля:

\ тт I 1 М2 - ^2hl

^Ф'2 + l-L'lhl 2 ¡¿ihihvH ^

(4)

(5)

и* (у) = и( 1 - _ М2+М1 2

dp\ dpi 2^(^1/7-2+^2^1) dx dx h1h2 H '

U = ui(y)ly=o = u2(y)|y=0 ,

где u*, v*, p* — невозмущенные (стационарные) значения компонент вектора скорости и давления, a u', v', p' — малые возмущения стационарных параметров.

На границе раздела жидкостей ставятся условия равенства векторов скоростей и векторов напряжений, на жестких стенках условия прилипания. Линеаризованная форма граничных условий (при y = 0) имеет вид

dv[ , „ dv'2

p'l ~ = Pi ~ 2^'2'ду '

Vi

du[ dvl dy dx

dr

+ = № dy

i du2 dv2

V dy

+

dx

dr| dy

/ du* ^ / du* y = h1 : u1 = v1 =0, y = —h2 : u'2 = v' = 0,

•j- dui Ф dun v,

где rf = ¡л t.J = стационарные значения касательных напряжении.

(6)

(7)

(8) (9)

Возмущенное решение. Введением функции тока и' = Щ, V1 = из линеаризованной системы (1)-(3) исключается давление:

( д3ф д3ф * ( д3ф д3ф \ <2и* дф \ (д4ф д4ф д4ф \

Р + 7^7^ +и 773 + 773^ --77Г771 =М773Г+277^72+7^7Т • (п)

\dtdx2 д1ду2 и \<9ж3 дхду2) Ау2 дх) ^\дх4 дх2ду2 дуА)

Возмущенное решение ищется в виде нормальных мод:

ф = £(у)ехр(ш£ — гкх), г2 = —1, (12)

где 5(у) — неизвестная функция, к = 2п/Л — волновое число (Л — действительная длина волны), ш — интенсивность (инкремент) роста возмущений с фиксированной длиной волны Л.

Подставляя решение (12) в уравнение (11) и граничные условия (6)—(10), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение Орра-Зоммерфельда для неизвестной функции £ (у) с четырьмя граничными условиями при у = 0 и условиями прилипания на стенках {] = 1, 2):

2 / . \ d Ui 4

pjk [со — Ujik) — pjík ^ 2 + fijk

Sj = 0; (13)

d3Si , x 2 \ dSi du

/ii —§— (pi (oj — u\ik) + 3/j,\k2) —--piik-r^-Si =

d3S2 / / * .7 \ o 7 2\ dS2 du2 „ .4

= ~ (P2 ^ ~ Щ ^ + № ) lk¡ ~ P2 lk¡ 21 ^ ^

d2 Si 2 d2 S2 2

SiJ=',2Uí+í; 32 )■ (1S)

dSi ^ du\ ík g dS2 ^ du\ ík ^ dy dy lo — u\ik dy dy и — u\ik '

Si = S2; (17)

У = h : Si = ^ = 0, y = -h2: S2 = ^- = 0. (18)

После обезразмеривания и подстановки стационарных профилей (4), (5) уравнение (13) принимает следующий вид (j = 1, 2):

{s'} - и«+«2) © - <*>'<*>)-»■

ni = Reeff aj ((и) _ (k) i) + 2 (k)2 ,

U2 = R^ а,- (к)2 ((w) - (Л) i)+2 (к)2 + Re^/3,- (Л) ¿2(g2 + Mgl) + 2 (fc)4 ,

e1e2

^2 _ M£2 E2 + MMEi

П3 = Reeff f3j (k) i—-П4 = Reeff ¡3j {к) i-,

e1e2 e1e2

Ei + M£2 Ei + M£2 D 1

CKi = Di = -, CKo =--, P2 = -CKo.

^ ei+^2 E1+DE2M' M

Безразмерные параметры определяются следующим образом:

<f> = lJ> М = ^ {к) = кН, {S}= S

где

Н' " ' U ' w ' N ' UH'

pe&UH

Reeff = -, /^eff = + Peff = +

^eff

В дальнейшем треугольные скобки, относящиеся к безразмерным величинам, будут опущены. Таким образом, основными параметрами задачи оказываются отношения вязкостей и плотностей М иД а также эффективное число Рейнольдса Нееа, определенное с помощью эффективных вязкости и плотности течения. Эффективные параметры определяются с помощью объемных содержаний £) и £2 жидкостей в вертикальном сечении канала. Последним важным безразмерным параметром задачи является отношение объемных содержаний £, представляющее собой также отношение толщин слоев, занимаемых жидкостями по ширине канала.

Решение в виде степенных рядов. Решения уравнений (19) ищутся в виде бесконечных степенных рядов

те

% (У) = £ а™ (У Т £?)п , (20)

п=2

причем для j = 1 вместо знака "т" берется знак "—", а для j =2 — знак "+".

Вид решения (20) автоматически удовлетворяет условиям (18) на стенках канала. Константы а2, а], а2, а2 определяются из условий на границе раздела жидкостей, остальные коэффициенты рядов (20) зависят от них рекуррентным образом.

Подставляя (20) в (19) и перегруппировывая слагаемые около неизвестных констант а2, а], а2,

а2

те те

% (у) = а^у) + а3в3(у) = а2^ ^,2 (У Т £з) + а,3 £ (у Т £3) , (21)

где

"з

=2 =2

2 3 4 п) ± п,£ о + п4 £2 _ п3 ± 2П4 £ о

А2= 1, А3 2 = 0, 4 =--1-12-Ы_ А5--з-з_±

З,2 ' З,2 ' З,2 12 ' з>2 60

б — (п) ± П3£з + п4£2) 2 + П2 Т П3к2£з — п4к2£2 + 2П4

¿42 = -

]'2 360

2

4/тт1^Тт3^. I тт4,-2\ , Тт2^тт3г,2^. ТЛ^ЛЛ \ отт4

МП] : п;; , • и; ]) з п^- . 211

Ал О — —

З,2

360

4з = о, 43 = 1, ли = о, =

6 п3 ± 2П4 £з

А6--3_-з_±

-7'3 60

Лз3 = —

— (П] ± П3£з + П4£2)2 + П2 Т П3к2£з — П4к2£2 + 6П4

840

3,п 1(1-1) ¿га 1(1-1)(1-2) п

П2 Т П3^ - И^к2е2 + П4(/ - 4)(* - 5) +

1(1 — 1)(1 — 2)(1 — 3) з'га

п3к2 Т 2п4к2£з , _ п4к2 , 6 I__з 1_з -' А -|__-_А

г(/ - 1)(г - 2)(г - з) /(/-1)(/-2)(/-з)

; = 1,2; п = 2,3; I ^ 8,

причем для j = 1 вместо знаков "Т" и "±" всегда берется верхний знак, а для j =2 — нижний.

Подставим решения (21) в граничные условия (14)—(17) при у = 0. Получим

-М

+

-М

йу3 й382 йу3 сРв3 йу3

йу3

^ — (Неея «1 (и — гк) + 3 к2]

— (Кеея (ш — гк) + 3к2

— (Неея а (ш — гк) + 3к2

— (Квей а2 (ш — гк) + 3к2]

й2з2

М — ¿2

-Ывей/?!

йу2 2

2 - Ыеее /?2

й2в2

йу й2в3

— Неее в1

йу2

3

2 - Кеее /?2

й2з2

е

м - е2

е

м - £2

е

м - е2

й2 в

йу

I + к2 в2

а{ — М

йу й2 в

гк83

гкв2

гкв\

гкв 32

а\ —

а2 +

а31 —

а32

0,

(22)

+

й2в3

+

йв2 йу с^3 йу

+

+

йу2 М -е2

1 +к283

а31 — М

йу2

й2в3

+ к2в2

гк

е ш — гк М е2 гк

е

ш гк в1

а21 —

а31 —

йу2

й4

йу йв2

2 + к2 з3

+

Ме

а2 +

а32 = 0,

гк

(23)

йу

+

Ме ш — гк 2

М — е2 гк з' Ме ш-гк82

а2 +

а32

в2а2 — в2а2 + в3а3 — в3а3 = 0.

(24)

(25)

Дисперсионное соотношение. Нетривиальное решение алгебраической системы (22)-(25)

у=0

лю ее определителя. Приравняв определитель системы к нулю, получим уравнение на собственные значения ш: / (к,ш) = 0, где / () — известная комплексная функция. Вместо одного комплексного уравнения /(к, ш) = 0 удобно рассматривать систему двух действительных алгебраических уравнений Ыеа1(/) и Image(/) с двумя неизвестными шх и шу, где ш = шх + гшу.

кМ

О, е фиксировались, после чего строилась трехмерная поверхность

Е (шх,шу) = [Кеа1(/)]2 + [1таёе(/)]2 = 0,

локальные минимумы (нули) которой соответствуют решениям системы (22)-(25).

Во всем рассмотренном диапазоне изменения безразмерных параметров существует только одно

шх

межфазной моде. Обнаружить неустойчивые сдвиговые моды (волны Толлмина-Шлихтинга) не удалось даже при относительно больших числах Рейнольдса — метод терял сходимость. Основной тест предложенной полуаналитической методики нахождения собственных значений заключался в том [2, 3], что при отсутствии силы тяжести замена М о М-1, О о О-1, е о е-1 оставляет на месте собственные значения, хотя, возможно, и меняет вид поверхности Е (шх,шу) = 0. Во всех рассмотренных случаях предложенный тест выдерживался.

Диаграмма устойчивости. Перед обсуждением основных результатов полезно изучить диа-

(е, к)

на рис. 1, б. Жирной вертикальной линией показана нейтральная кривая, соответствующая постоянному отношению толщин слоев жидкостей, равному е = \[~М. Для критического значения е* = \[~М течение оказывается нейтрально-устойчивым по отношению к возмущениям всех длин волн. Легко видеть, что при е = л/М у=0

у=0

Е (шх,шу) = 0 при критическом значении отношения толщин слоев превращается в плоскость ш = 0.

Для отношений толщин слоев, превосходящих е* (течения с тонким слоем менее вязкой жидкости — область III), длинноволновые возмущения всегда устойчивы, коротковолновые — неустойчивы. Для отношений толщин, меньших критического (области I и II), ситуация обратная: длинные волны всегда неустойчивы. При этом в промежуточной области II существует зона устойчивости. Однако с ростом волнового числа это зона вырождается до нейтральной кривой. При е* <С 1 (течения

2

с тонким слоем более вязкой жидкости область I) наблюдается неустойчивость но отношению к возмущениям всех длин волн.

Результаты. Во всех представленных ниже случаях более вязкая и более плотная жидкость (j = 2) находится снизу, т.е. M > 1 и D > 1. Нумерация кривых на графиках всегда соответствует областям на диаграмме устойчивости. Рассмотрим сначала случай отсутствия стратифи-D=1

типичная зависимость безразмерного темна роста возмущений от безразмерного волнового числа при Reeff = 0.01 и M = 2.

Кривая I соответствует тонкому слою более вязкой жидкости е = 0.33, кривая III — тонкому слою менее вязкой жидкости е = 3, кривая II

0.12 0.08 0.04 0

-0.04

-ГП-103

Г--

с 3

о — J _____________

—-- ______ -----------------f........ III

""------- ------- ГГ 7

Е= = 1 i

0

2 4 6 8 10

Рис. 2. Зависимость безразмерного темпа роста возмущений от безразмерного волнового числа при Reeff = 0.01 D = 1 и M = 2: кривая I соответствует е = 0.33, кривая 11 — е = 1, кривая III — е = 3 одинаковой толщине слоев, е = 1. Видно, что течение с тонким слоем более вязкой жидкости неустойчиво по отношению к возмущениям всех длин волн. Течение с тонким слоем менее вязкой жидкости устойчиво по отношению к длинноволновым возмущениям и неустойчиво к коротковолновым. При этом при одинаковой толщине слоев (е = 1 < е* = \/2) заметна область устойчивости при умеренных значениях волновых чисел.

Отметим, что представленная в настоящей статье линейная теория полностью воспроизводит все результаты и режимы, указанные на диаграмме устойчивости рис. 1, б. При этом есть важное уточнение, связанное с областью III. На основании классической диаграммы устойчивости работы [3]

е

волновой устойчивости в области III медленно уменьшается. Однако настоящая теория показывает,

е

тается.

Таким образом, мы приходим к важному для практики свойству: чем тоньше слой менее вязкой жидкости, тем в большем диапазоне длинных и даже средних волн наблюдается устойчивость. Это свойство обычно называется "эффектом тонкого слоя". Данный эффект помогает снизить трение о стенки в основном вязком потоке. Течение при этом оказывается устойчивым в широком диапазоне волновых чисел. Из классической диаграммы устойчивости на рис. 1, б этот эффект не следует.

Также может быть интересным вопрос о зависимости темпа роста возмущений от числа Рей-нольдса. Результаты настоящего анализа показывают, что в рассмотренном диапазоне изменений чисел Рейнольдса темп роста возмущений линейно увеличивается вместе с числом Рейнольдса.

Влияние стратификации плотности при Reeff = 0.01 и M = 2 представлено на рис. 3. Отношение толщин слоев е = 3 соответствует более тонкому слою менее вязкой жидкости. Заметно уменьшение области длинноволновой устойчивости с увеличением отношения плотностей. Интересным результатом, не замеченным ранее, является устойчивость по отношению даже к коротковолновым возмущениям (кривая Ille) в случае, когда более вязкая жидкость оказывается заметно более плотной: D = 20. Для жидкостей равной плотности подобное свойство не имеет места: при отсутствии стабилизирующих факторов в виде поверхностного натяжения или молекулярной диффузии коротковолновый спектр оказывается неустойчивым для всех возможных режимов (т.е. областей I III на классической диаграмме устойчивости, рис. 1,6). Однако для кривой Ille на рис. 3 мы наблюдаем устойчивость коротковолнового спектра. Таким образом, возможна стабилизация коротких волн за счет большого скачка плотности на межфазной границе.

Сравнение с экспериментальными данными. В заключение проведем сравнение с экспериментальными данными работы [7], в которой рассматривалось течение силиконового масла (silicone oil) и керосина (polybutene-kerosene mixture) в тонком канале шириной H = 5.08 мм. Керо-

0.02

0.01

-0.01

-0.02

ю ■ О3

ü/D-- =1

III6 ü = 5

-------- — . к

__ D=20 ~ттт7

i

0 2 4 6 8 10

Рис. 3. Зависимость безразмерного темпа роста возмущений от безразмерного волнового числа при Кее® = 0.01 М = 2 и е = 3: кривая Шо соответствует В = 1, кривая Шб — В = 5, кривая III в — В = 20

сии располагался сверху: р1 = 890 кг/м3, = 8.85 Па-с, силиконовое масло — снизу: р2 = 910 кг/м3, ß2 = 1.8 Па-с. В наших обозначениях М = 0.203, D = 1.022 Отношение толщин слоев жидкостей е = 3.33.

Сравнение представлено на рис. 4. Точками показаны результаты экспериментов, сплошной кривой настоящей теории. Значения волнового числа и темпа роста возмущений пересчитаны в соответствии с процедурой введения безразмерных параметров, принятой авторами [7]. Основную сложность вызвал пересчет указанного в [7] числа Рейнольдса Rbl = 0.100. Формула пересчета имеет вид

Reeff = Reb/ [(ei + е2М) ei].

В целом сравнение теории и эксперимента вполне приемлемое. Заключение. Предложенный полуаналитический метод исследования линейной устойчивости двухслойного параболического течения привел к следующим физическим выводам. Для жидкостей одинаковой плотности течения с тонким слоем более вязкой жидкости неустойчивы по отношению к возмущениям всех длин волн, а течения с тонким слоем менее вязкой жидкости устойчивы относительно длинноволновых возмущений, но неустойчивы относительно коротковолновых. При этом чем тоньше слой менее вязкой жидкости, тем больше диапазон устойчивости ("эффект тонкого слоя"). Последний результат представляется важным для приложений. Темп роста возмущений линейно растет вместе с числом Рейнольдса.

Для жидкостей разной плотности возможна устойчивость течений с тонким слоем менее вязкой жидкости относительно даже коротковолновых возмущений, если отношение плотностей жидкостей достаточно велико (порядка нескольких десятков). Отметим, что стабилизация коротких волн наступает именно за счет скачка плотности на межфазной границе.

Данный результат представляется особенно интересным и неожиданным, поскольку в отсутствие известных стабилизирующих факторов (поверхностного натяжения или диффузии) течение оказывается неустойчивым по отношению к ультракоротким волнам во всех режимах (диаграмма устойчивости, рис. 1, б). Однако оказывается, что скачок плотности может стабилизировать течение при наличии скачка вязкости, тогда как в случае идеальной жидкости (в отсутствие вязкости) скачок плотности приводит только к дестабилизации: возникает известная сдвиговая неустойчивость Кельвина Гельмгольца.

Работа выполнена при поддержке РНФ, грант № 21 71 10023.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Govindarajan R., Sahu К. Instabilities in viscosity-stratified flow /'/' Ann. Rev. Finid Mech. 2014. 46. 331 353.

2. Yih C. S. Instability due to viscosity stratification // J. Fluid Mech. 1967. 26. 337 352.

3. Yiantsios S. G., Higgins B. G. Linear stability of plane Poiseuille flow of two superposed fluids // Phys. Fluids. 1988. 31, N 11. 3225 3238.

4. Желтухин H. А. Детерминантный метод решения уравнения Орра Зоммерфельда. Аэрогазодинамика: Тр. Первой сибирской конференции по аэродинамике. Новосибирск, 1973. 70 73.

5. Као Т. W., Park С. Experimental investigations of the stability of channel flows. Part 2: Two-layered co-current flow in a rectangular channel // J. Finid Mech. 1972. 52. 401 423.

6. Charru F., Fahre J. Long waves at the interface between two viscous fluids // Phys. Fluids. 1994. 63. 1223 1235.

7. Khomami В., Su К. С. An experimental/theoretical investigation of interfacial instabilities in superposed pressure driven channel flow of Newtonian and well characterized viscoelastic fluids. Part I: Linear stability and encapsulation effects // J. Non-Newtonian Finid Mech. 2009. 91. 59 84.

8. Cao Q., Sarkar K., Prasad A.K. Direct numerical simulations of two-layer viscosity-stratified flow /'/' Int- J. Mult. Flow. 2004. 30. 1485 1508.

9. Архипов Д-Р- Моделирование динамики нелинейных возмущений границы раздела вязких сред: Канд. дне. Новосибирск, 2008.

10. Логвинов О. А. Об устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 2. 40 46.

Поступила в редакцию 10.11.2021

w-er103

k-z j i

i _

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 4. Сравнение настоящей линейной теории (сплошная кривая) с экспериментальными данными работы [7] (точки) при Иеь = 0.1007, В = 1.0224, М = 0.203 и е = 3.33