CC BY
8
УДК 519.7 DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2019.4(116).78-80
ЛИНЕЙНАЯ СЛОЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПЕРИОДА qpn
В.А.Едемский, А.В.Иванов LINEAR COMPLEXITY GENERALIZED CYCLOTOMIC SEQUENCES OF PERIOD qpn
V.A.Edemskiy, A.I.Ivanov
Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого, Vladimir.Edemsky@novsu.ru
Линейная сложность последовательности над конечным полем является ее важной характеристикой, значимой при применении в потоковых шифрах в системах передачи информации. Циклотомические и обобщенные циклотомические классы часто применяются для построения последовательностей с высокой линейной сложностью. В статье предлагается новое семейство обобщенных циклотомических последовательностей с периодом qpn, где p, q — нечетные простые числа, а n — натуральное число. Последовательности определены на основе новых обобщенных циклотомических классов, недавно предложенных X.Zeng и др. Для исследования линейной сложности последовательностей применяется дискретное преоразование Фурье. Получена оценка линейной сложности рассматриваемых последовательностей над конечным полем порядка q и показано, что эти последовательности обладают высокой линейной сложностью для n > 2. Обобщены результаты исследования q-ичных последовательностей периода p.
Ключевые слова: q-ичные последовательности, линейная сложность, обобщенные циклотомические классы
The linear complexity of a sequence over a finite field is its important characteristic, significant when applied in stream ciphers for information transmission systems. Cyclotomic and generalized cyclotomic classes are often used to construct sequences with high linear complexity. The paper proposes a new family of generalized cyclotomic sequences with period qpn , where p, q are odd primes and n is an integer. Sequences are defined based on new generalized cyclotomic classes recently proposed by X.Zeng and others. Discrete Fourier transform is used to study the linear complexity of sequences. We obtain an estimate of the linear complexity of the considered sequences over the finite field of order q and show that these sequences have high linear complexity when n > 2. We generalize the results about q-ary sequences of period p.
Keywords: q-ary sequences, linear complexity, generalized cyclotomic classes
1. Введение
Линейная сложность (I) является важной характеристикой псевдослучайных последовательностей при их применении в потоковых шифрах в системах передачи информации. Она определяется как длина самого короткого линейного регистра сдвига с обратной связью, который может генерировать последовательность [1]. С криптографической точки зрения, согласно алгоритму Берлекэмпа—Месси, разумно предположить, что линейная сложность «хорошей» последовательности должна удовлетворять неравенству L > N/2 , где N обозначает период последовательности [1].
Циклотомия является одной из старых тем элементарной теории чисел, связанной с разностными множествами, последовательностями, теорией кодирования и криптографией. Использование классических и обобщенных циклотомических классов для построения последовательностей, которые называются классическими и обобщенными циклотомически-ми последовательностями соответственно, является важным методом проектирования последовательностей [2]. Много работ посвящено изучению линейной сложности циклотомических последовательностей и обобщенных циклотомических последовательностей. В частности, в последние годы был получен ряд результатов о обобщенных циклотомических бинарных
и q-ичных последовательностей периода pn [3-6] (см. также ссылки в них).
Основываясь на обобщенных циклотомических классах, предложенных в [7], Z. Xiao и другие представили новое семейство бинарных циклотомических
последовательностей периода pn [8]. Линейная сложность этих последовательностей была изучена в [9]. В этой статье обобщаем конструкцию из [9] и изучаем линейную сложность новых q-ичных обобщенных
циклотомических последовательностей периода qpn над конечным полем GF(q) порядка q. Линейная сложность q-ичных обобщенных циклотомических последовательностей периода pn изучалась в [10].
2. Основные определения
Прежде всего, напомним основные понятия о линейной сложности периодических последовательностей, определение новых обобщенных циклотоми-ческих классов из [7] и рассмотрим обобщение бинарных последовательностей, иследованных в [8].
Пусть sx = (s0,sbs2,...) — последовательность
периода N и S (x) So ^SiX* Sn-\Х . Хорошо известно, что линейная сложность последовательности sx может быть вычислена по формуле [2]:
L = N - deg(НОД(xN -1 ,S(x))).
В этой работе будем рассматривать последовательности с периодом N=qpn, где p,q — нечетные
простые числа, n — натуральное число. В этом случае, над конечным полем характеристики q справедливо соотношение:
L = N-deg(^ (xp" -1)q ,S(x))). (1)
Пусть а — примитивный корень степени pn из единицы в расширении поля GF(q). Тогда, согласно (1), для вычисления линейной сложности последовательности s достаточно найти корни многочлена S(x) в множестве {av,v = 0,1,...,pn-1} и определить их кратность. В частности, изучить дискретное преобразование Фурье последовательности.
Рассмотрим определение новых обобщенных циклотомических классов, введенное в [7]. Пусть p
— нечетное простое число и p=ef+1, где e,f — положительные целые числа. Обозначим через g примитивный корень по модулю pn. Порядок g по модулю p1 равен ф(р; ) = p1-1( p-1), где ф(-) — функция Эйлера [11].
Пусть n — натуральное число. Для
1=1,2,—, n определим dj = ф(^ )/e = p1-1 f и положим, что
D<y) = ^gtdj (modpj)|0<t<e|,
p(p1) = g'D(0p)= |g!x (modp1 ):xeD0p1 )|, 1<i<dj.
(vJ)
Подмножества Pi , i = 0,1,—, dj-1 называются обобщенными циклотомическими классами порядка dj по модулю p1. В [7] было показано, что
\p0pl),D1(pJ),...,D(dpj | образуют разбиение мультип-
ликативной группы Ж ,■ кольца классов вычетов по
рр
модулю р1 для любых ■ >1 и т >1, тогда
d J -1 m J
Z pm = UUpm-JD(^) -{0}.
1=1 i=0
Линейная сложность бинарных последовательностей, определяемых введенными выше обобщенными циклотомическими классами, была изучена в [9], когда / — четное натуральное число. Здесь
обобщим определение бинарных последовательностей из [8] и расмотрим д-ичные последовательности, где д >2 — простое число.
Предположим, что д| / и пусть Ь — целое число такое, что 0 < Ь < р/ . Обозначим dl/д = р]~1 //д через h ■, определим д множеств
H ( p1 ) = M^-1p( pJ)
0 Ui=0 (i+fe)(mod dj)>
H
-1 )=l \2h1 -1r>(p)
(p1)=U
p(
= h (i+fe)(mod d,y "1 1
( p1 ) = | f"-1 n( P1 )
q-1 Ui=(q-1)h
...,H(p ) =
P(i+b)(mod d ) и положим по опре-
делению, что
0^ = Upn-1Hp ), k = 0,1,.,q-1. 1=1
Ясно, что Z n = C0pn)pn)-...^-{0} и
|C(pn)|=(pn-1)/q .
Пусть N=qpn . Тогда ф(а) = (a mod q,a mod pn) является изморфизмом колец классов вычетов ZN и ZqxZ n [11]. Применяя этот изоморфизм, зададим
множества
q-1
Dpn) = UФ^А^) k = 0,1.....q-1
1=0
(2)
Семейство почти сбалансированных д-ичных последовательностей sш = периода дрп
определим как
Si =-
[¿если i (mod qpn) = ф 1({1}x{0}), [k,если i (mod qpn)eD(kp ).
(3)
Основная цель статьи заключается в исследовании линейной сложности этих д-ичных последовательностей над конечным полем GF (д).
3. Линейная сложность последовательностей
Пусть а — примитивный корень рп -й степени из единицы в расширении GF (д).
Лемма 1. Если veЖ , тогда
Z
^(WxCkpn)
avu = ^ av"
(pn)
ueC
для всех 1=0,1,......,q-1 и k=0,1,...,q-1.
Доказательство. Из определения а следует, что а" = au (mod pn). Таким образом,
{м mod pn | меф^ЛхО^)|= C^, что и доказывает утверждение леммы 1.
Линейную сложность последовательности sx, определямой формулой (3), будем исследовать для p
таких, что qp-1 Ф 1(modp2). По [12] p : qp-1 =1(modp2) встречаются редко.
Теорема 1. Пусть p=ef+1 — нечетное простое
число, такое, что qp-1 Ф 1(modp2) и q делит f . Если sx — q-ичная обобщенная циклотомическая последовательность периода qpn, определенная по (1), тогда её линейная сложность над полем GF (q) удовлетворяет неравенству:
L > qpn - p - q +1.
П-\
Доказательство. Пусть £(х) =
для обобщенной циклотомической последовательности , определенной в (3). Так как р=1(mod q), то
£(х)= ^х' = ^ £ X + хрП +2х2рП +...Щ-1)х(«-Г)рП.
1=0 1=0 („") ^)
По определению последовательности, формуле (2) и лемме 1 видно, что
q-l
S(a) = ^ k ^ =
q—i q-i
q—i q—i
=Zk^ Z au=Zk Z Z
k=0 ^=0«еф—if{]},ёР"j ] k=0 J=0«eC(Pn>
(—i)Jk
(—i)Jk
q—i . , 1 ч q—i
= Z f^+(q —k)VI Z a" = Zk Z a" . (4)
k=0
„ec(pn) k=0 „.C(pn)
Далее, рассмотрим вспомогательную q-ичную последовательность uш = (u0,ubu2,...) периода pn, определенную как
[0,если i (mod pn)eC^p")u{0}, "i = 1 n [k,если i (mod pn)&C{kp"\
и пусть U (X) — образующий полином последовательности иш. Тогда, согласно (4), видим, что S(a) = U(а). Линейная сложность последовательности иш была изучена в [i0]. Согласно [i0], справедливо неравенство
|{ieZ pn |U (аг ) = 0} < (р—i)/q—i.
Для завершения доказательства теоремы осталось воспользоваться формулой (i).
Расчеты линейной сложности последовательности sx, выполненные по алгоритму Берлекэмпа— Месси, подтверждают справедливость полученных результатов.
Заключение
Изучена линейная сложность новых q-ичных обобщенных циклотомических последовательностей длины qpn над конечным полем порядка q . Показано, что эти последовательности имеют высокую линейную сложность, когда n > 2 . Эти последовательности определяются посредством новых обобщенных циклотоми-ческих классов, предложенных в [7]. Обобщены результаты о линейной сложности бинарных циклотомиче-ских последовательностей, полученные ранее в [7-i0].
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и ГФЕН Китая в рамках научного проекта №19-51-53003.
1. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Москва, Мир, i988. 820 с.
2. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, i998. 474 р.
3. Du X., Chen Z. A generalization of the Hall's sextic residue sequences// Information Sciences. 20i3. V.222. P.784-794.
4. Yan T., Li S., Xiao G. On the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with the period pm // Applied Mathematics Letters. 2008. V.2i. P.i87-i93.
5. Ye Z., Ke P., Wu C. A further study of the linear complexity of new binary cyclotomic sequence of length pn // AAECC. 20i9. V.30 (3) P.2i7-23i.
6. Wu C., Chen Z., Du X. The linear complexity of q-ary generalized cyclotomic sequences of period pm // Journal of Wuhan University. 20i3. V.59. P.i29-i36.
7. Zeng X., Cai H., Tang X., Yang Y. Optimal frequency hopping sequences of odd length // IEEE Transactions on Information Theory. V.59. P.3237-3248.
8. Xiao Z., Zeng X., Li C., Helleseth T. New generalized cyclotomic binary sequences of period p2 // Designs, Codes and Cryptography. 20i8. V.86. P.i483-i497.
9. Edemskiy V., Li C., Zeng X., Helleseth T. The linear complexity of generalized cyclotomic binary sequences of period pn // Designs, Codes and Cryptography. 20i8. V.i2. P.805-8i6.
10. Edemskiy V., Sokolovskiy N. The linear complexity of new q-ary generalized cyclotomic sequences of period pn // MATEC Web of Conferences. 20i9. V.292. https://doi.org/i0.i05i/matecconf/20i92920200i
11. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, i987. 4i6 с.
12. Montgomery P. L. New Solutions of ap-i=i(modp2) // Mathematics of Computation. i993. V.6i. №203. P.36i-363.
References
1. Lidl R., Niederreiter H. Finite Fields (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications), vol. 20. Reading, MA: Addison-Wesley, i983. 820 p. (Rus.ed.: Konechnyye polya. Moskva, Mir, i988. 820 p.)
2. Cusick T. W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, i998. 474 р.
3. Du X., Chen Z. A generalization of the Hall's sextic residue sequences. Information Sciences. 20i3, vol. 222, pp.784794.
4. Yan T., Li S., Xiao G. On the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with the period pm. Applied Mathematics Letters. 2008, vol. 2i, pp. i87-i93.
5. Ye Z., Ke P., Wu C. A further study of the linear complexity of new binary cyclotomic sequence of length pn. AAECC, 20i9, vol.30 (3), pp.2i7-23i.
6. Wu C., Chen Z., Du X. The linear complexity of q-ary generalized cyclotomic sequences of period pm. Journal of Wuhan University, 20i3. vol. 59, pp. i29-i36.
7. Zeng X., Cai H., Tang X., Yang Y. Optimal frequency hopping sequences of odd length. IEEE Transactions on Information Theory, vol. 59, pp. 3237-3248.
8. Xiao Z., Zeng X., Li C., Helleseth T. New generalized cyclotomic binary sequences of period p2. Designs, Codes and Cryptography. 20i8, vol.86, pp. i483-i497.
9. Edemskiy V., Li C., Zeng X., Helleseth T. The linear complexity of generalized cyclotomic binary sequences of period pn. Designs, Codes and Cryptography. 20i8, vol.i2, pp. 805-8i6.
10. Edemskiy V., Sokolovskiy N. The linear complexity of new q-ary generalized cyclotomic sequences of period pn. MATEC Web of Conferences, 20i9, vol. 292. doi: i0.i05i/matecconf/20i92920200L
11. Ireland K., Rosen M. A. Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, Berlin, i982, 4i6 p. (Rus. ed.: Klassicheskoye vvedeniye v sovremennuyu teoriyu chisel. Moscow, Mir Publ., i987. 4i6 p.)
12. Montgomery P.L. New Solutions of ap-i=i(modp2). Mathematics of Computation, i993, vol. 6i, no.203, pp.36i-363.
k=° W>n)
a" =
