Линеаризованная модель привода червячной машины для шприцевания резиновых смесей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 519.876.5:678.057 Р. Н. Ганиев

ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ПРИВОДА ЧЕРВЯЧНОЙ МАШИНЫ ДЛЯ ШПРИЦЕВАНИЯ РЕЗИНОВЫХ СМЕСЕЙ

Ключевые слова: червячная машина, экструдер, нелинейный объект, линеаризация.

Показана модель червячной машины учетом нелинейности в цепи обратной связи, выражающееся в наличии нелинейных взаимосвязй между моментом сопротивления на валу червяка, скоростью вращения червяка и эффеквтиной вязкостью смеси. Предложена линеаризация указанной модели путем разложения в ряд Тейлора основных переменных, входящих в состав математической модели экструдера. Предложена упрощенная линеаризованная система «электропривод-экструдер-продукт», которая позволит провести анализ работы экструдера в режиме малых отклонений, а также решить задачу синтеза регуляторов в замкнутых системах управления электроприводов экструдеров.

Keywords: hobbing machine, extruder, non-linear object, linearization.

Shows the model of the worm machine the non-linearity in the feedback circuit, as expressed in the presence of nonlinear vzaimosvjazi between the torque on the shaft of the worm speed of the worm and effecting viscosity of the mixture. The proposed linearization of the model by expanding in a Taylor series of the main variables included in the mathematical model of the extruder. The simplified linearized system "electric drive-extruder-product", which will allow to analyze the operation of the extruder in the regime of small deviations, but also solve the problem of controller synthesis in closed systems of electric drives control of extruders.

Как показано в [1] модель системы управления червячных машин (экструдеров) для шприцевания резиновых смесей имеет цепь обратной связи, содержащую нелинейность в виде звеньев умножения и деления переменных. Наличие звеньев обусловлено нелинейными характеристиками шприцующей головки экструдера и реологическими свойствами смесей (рис. 1). Уравнение в цепи обратной связи выражает взаимосвязь между моментом сопротивления вращению червяка, полной мощностью W и скоростью вращения червяка тш [2]:

Г _ т

М„ =■

(1)

со,,

со.,

Связь производительности Qг с давлением в головке Рг может быть определена по формуле [2]

Qг _ВРТ(2)

где Вэ - коэффициент формы головки, пэф-эффективная вязкость смеси, зависящая от скорости вращения червяка и давления смеси.

Таким образом, в структурной схеме системы «экструдер - нагрузка» присутствует внутренняя отрицательная обратная связь [33].

Рис. 1 - Структурная схема привода экструдера с учётом цепи внутренней обратной связи

Согласно данному выводу, структурную схему привода экструдера можно представить в виде схемы на рис.1.

Наличие нелинейности затрудняет анализ процессов экструзии в режиме малых отклонений для вывода основных передаточных функций. Предлагается провести линеаризацию

представленной системы уравнений. Проведём ее методом разложения переменных Р, а>ш Мс в ряд Тейлора. Предположение о малых отклонениях переменных позволяет исключить производные второго и более высокого порядка, представляя каждую из переменных в виде суммы установившегося значения и приращения первого порядка:

Р _ Р, + АР, ( _ (ш 0 + А( Мс _ Мс0 + АМс 0 (3) С учетом (3), уравнение (1) перепишется:

(P + AP)2

K

(Сш0 + ДСш

= М0 +ДМ, (4)

Тогда после очевидных преобразований получим:

(Р02 + 2Р0АР + АР2)К

( 0Л ФМ 0 + А( л фМ 0 + А(0л ф АМ +(5)

ш0 I эф с0 ш I эф с0 0 I эф с

+ (ш0Лэф АМс

Исключая слагаемые, представляющие собой установившиеся значения переменных или их произведения, запишем линеаризованное уравнение относительно приращений переменных

2Р0АРК _ А(шЛэфМс0 + (ПАМс. (6)

Получим уравнение связи момента сопротивления вращен и давления в формующей головке машины:

ДМс =-

J_

СЛэф

-(2P0APK -ДсМс0)-

(7)

С учетом (3)-(7) структурная схема линеаризованной системы «экструдер-нагрузка» примет вид, приведенный в [3].

При поиске передаточной функции указанную схему представим в виде сигнального графа (рис. 2). Пользуясь методикой определения передаточной функции по формуле Мейсона [4], запишем формулу, связывающая выходную Y(p) и входную X(p) переменные графа, в общем виде:

W (p) =

Ш

X(p) A

(8)

где Рк - коэффициент передачи к-го пути в виде непрерывной последовательности ветвей в направлении указанном стрелками, причем исключается учет одного и того же узла более одного раза.

Рис. 2 - Сигнальный граф системы «экструдер -нагрузка» в линеаризованной системе

Общий вид определителя графа:

N м, д

А=1 -Е Ln + Е ьЛ-ЕЬАЬ ••• , (9)

п=1 ш=1, д=1

где Ь - коэффициент передачи контура; Дк -дополнительный множитель для к-го пути, равный определителю всех касающихся контуров при исключении к-го пути.

Определим прямые пути и дополнительные множители по рис. 3.

р=_^--^ А1 = 1; Р2 = 1/к,, а2 = 1 -Ь1;

1 Тэр +1 р 2 1

Р3 = -_1_ Ь,, Аз = 1. ¿ш Р к1

Передаточные функции замкнутых контуров :

L _- Мс0 1 , L _- 2P0K 1 K,

ВДф ¿Р ®0Лэф ¿ш Р Т Р + 1 Определитель графа перепишется в виде:

Л , , , , Щя 1 1 АЗ

ОЪф^ ОУЪф^иР ТзР+!

Считая воздействием на входе момент привода, а выходным сигналом - давление смеси в головке, запишем передаточную функцию экструдера:

W (p) _

AP(p) _ P1A1 + P2A2 + P3A3

AM (p)

A

K, 1 1 Mc0 1 1 k2 •

--+—(1 +—---)----

Тэp +1 ш k1 ЮоПэф Jm p Jш pk1

1 +

Mc0 1 2P0 K 1 K,

®оЯф ¿ш Р ®оЯэф ¿ш Р ТэР + 1

После преобразований уравнение (9)

перепишется как:

W(p)=

AP(p) _ AM(p)"

(10)

=p\k2J®0^) + РУш^оЛф-к2®оПэф)+a0^3k +Mc0

_ ^(кЛодТ)+Рк^ЩЛф) +кМс0 +20KK

Принимая в качестве установившихся значений номинальные данные экструдера МЧТ-250 в составе поточной линии производства протекторов ИРУ-16Б на ООО «Нижнекамский завод грузовых шин» при шприцевании резиновой смеси 4НК-971 и подставив численные значения параметров в (1о), перепишем передаточную функцию в численном виде:

ЩР У

№ £>)_ 26 0,015р2 + 0Д7р + 1

^ Р ) 0,037р2 + 0,023р +1

Характеристическое уравнение данной системы имеет левые комплексно-сопряженные корни р1=-0,31 ^у'5,17 и р2=-0,31 -/5.17. Переходный

процесс изменения давления при скачкообразном изменении момента имеет колебательный затухающий характер. Переходная функция на рис.3 указывает на большую длительность процесса установления давления на выходе экструдера, достигающую 16 с. Это свойство является недостатком, которое может привести к уменьшению производительности и получению некачественного экструдата.

Step Response

Рис. 3 - Переходный процесс отработки скачка момента на входе системы «экструдер-нагрузка»

Колебательный вид переходного процесса говорит о необходимости коррекции существующей системы автоматического управления. Известно, что процесс экструзии протекает при взаимном влиянии множества переменных, характеризующих с одной стороны физико-химические, а с другой -механические свойства перерабатываемой смеси. Трудность коррекции системы обусловлена

невозможностью отдельного рассмотрения лишь одного из указанных факторов.

Данное затруднение может быть преодолено разработкой полной математической модели комплекса «электропривод-экструдер-продукт», с доступом к управляющим сигналам на входе электропривода. Принципиальную схему такой модели можно получить объединенив полученную структурную схему экструдера системы электропривода с передаточной функцией WЭП(р) и датчиком обратной связи косс. Механическая часть системы образуется кинематической цепью «ротор двигателя - редуктор - червяк». Несмотря на разветвлённость этой цепи, демпфирующие свойства перерабатываемой смеси позволяют считать кинематические связи бесконечно жесткими [5]. Поэтому объект допустимо представить в виде одномассовой системы с суммарным, приведенным к валу двигателя моментом инерции Связь между скоростью двигателя и скоростью вращения червяка будет определяется коэффициентом передачи редуктора кр. Аналогичным образом через кр определится связь между приводным моментом ДМ и моментом на валу червяка ЛМШ.

Таким образом полная структурная схема объекта приобретает вид рис.4 [6].

Данная схема пригодна для анализа работы привода экструдера «в малом»

2P0K

Рис. 4 - Полная структурная схема системы

«электропривод-экструдер-продукт»

Литература

1. Р. Н. Ганиев. Вестник Казанского технологического университета, 17, 5, 264 - 267 (2014).

2. Р. Н. Ганиев, Н. И. Горбачевский, В. Н. Дмитриев, С. Н. Сидоров. Частотно-регулируемые электроприводы в технологиях шинного производства, УлГТУ, Ульяновск, 2015. 245 с.

3. Р. Н. Ганиев. Дисс. канд. техн. наук, УлГТУ, Ульяновск, 2012, 200 с.

4. Р. Дорф, Л. Бишоп. Современные системы управления, Лаборатория Базовых знаний, Москва, 2002. 832 с.

5. Г. Б. Онищенко, Автоматизированный электропривод промышленных установок, РАСХН, Москва, 2001. 520 с.

6. Р. Н. Ганиев. Вестник Казанского технологического университета, 16, 12, 263 - 265 (2013).

© Р. Н. Ганиев - к.т.н., доцент кафедры ЭТЭОП НХТИ КНИТУ, [email protected]. © R. N. Ganiev - Candidate of Technical Sciences, docent, NCHTI, KNRTU, [email protected].