Linear programming as a computational procedure useful in the fire resistance evaluation of a steel loadbearing frame structure Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.12845/bitp.44.4.2016.8

dr hab. inz. Mariusz Maslak, prof. PK1 mgr inz. Anna Tkaczyk2

Przyjçty/Accepted/Принята: 17.01.2016; Zreœnzowany/Reviewed/Рецензирована: 30.11.2016; Opublikowany/Published/Опубликована: 30.12.2016;

Programowanie liniowe jako technika obliczeniowa uzyteczna w szacowaniu odpornosci ogniowej stalowej ramowej konstrukcji nosnej3

Linear Programming as a Computational Procedure Useful in the Fire Resistance Evaluation of a Steel Loadbearing Frame Structure

Использование линейного программирования как метода расчёта огнестойкости стальной рамной несущей конструкции

ABSTRAKT

Cel: Przedstawiono i przedyskutowano oryginaln^ procedurf szacowania odpornosci ogniowej stalowego ramowego ustroju nosnego opart^ na zastosowaniu metodyki programowania liniowego. Tego typu podejscie wymaga dokonania linearyzacji zarówno klasycznych warunków równowagi, jak i warunku opisuj^cego uplastycznienie krytycznego przekroju poprzecznego w elemencie stalowym miarodajnym do oceny nosnosci badanej ramy. Przekroje wybrane do analizy odpowiadaj^ lokalizacji aktywuj^cych sif w pozarze przegubów plastycznych. Metody: Miar^ poszukiwanej odpornosci jest okreslona dla calej ramy temperatura krytyczna odpowiadaj^ca osi^gnifciu przez badany ustrój stanu granicznego nosnosci ogniowej. Stan ten identyfikowany jest z realizaj tego sposród potencjalnie mozliwych mechanizmów czysto plastycznego zniszczenia ramy, który odpowiada najnizszej mozliwej wartosci temperatury aktywacji. Taka specyfikacja wymaga akceptacji zalozenia, ze przez caly czas trwania pozaru prognozowanego dla analizowanego ustroju nosnego wszystkie elementy tego ustroju bfd^ efektywnie stfzone. Dzifki temu nie wystfpuje ryzyko jego wczesniejszego zniszczenia przez globaln^ lub lokaln^ formf utraty statecznosci. Wyniki: Pokazano sposób ogólnego formulowania problemu oraz specyfikacji funkcji celu, a takze zasady budowy nierównosci definiuj^cych miarodajne ograniczenia. Uwzglfdniono przy tym interakcjf momentu zginaj^cego i sily podluznej. Algorytm postfpowania zilustrowano na zal^czonym przykladzie numerycznym. Uzyskane z rekomendowanych w pracy obliczen oszacowanie temperatury krytycznej badanej ramy odniesiono do odpowiadaj^cego mu wyniku alternatywnej analizy, przeprowadzonej w celach porównawczych, opartej na zastosowaniu klasycznego kinematycznego podejscia do teorii nosnosci granicznej.

Wnioski: Zaproponowane podejscie obliczeniowe w opinii autorów artykulu jest bardziej uniwersalne w stosunku do mozliwych procedur alternatywnych, rekomendowanych we wczesniejszych pracach. Pozwala bowiem na jednoznaczne i czytelne w interpretacji oszacowanie odpornosci ogniowej takze w przypadku ram o zlozonej geometrii i rozbudowanym schemacie obci^zenia. W swietle zalozen modelu formalnego, przytoczonych i szczególowo dyskutowanych w tekscie, uzasadnione moze byc równiez twierdzenie o znacz^co wifkszej wiarygodnosci uzyskanych w ten sposób oszacowan temperatury krytycznej analizowanej ramy w porównaniu do oszacowan otrzymanych w sposób konwencjonalny.

Slowa kluczowe: stalowa ramowa konstrukcja nosna, pozar, odpornosc ogniowa, temperatura krytyczna, programowanie liniowe Typ artykulu: oryginalny artykul naukowy

ABSTRACT

Aim: A new original procedure which can be applied to evaluate the fire resistance of a steel frame, based on the linear programming approach, is presented and discussed in this article. Such a computational technique requires the linearisation of both the classical equilibrium conditions and a condition describing the yield of a critical cross-section relating to the structural member conclusive in assessing the frame resistance. The sections selected for the analysis correspond to the location of the plastic hinges forming as a consequence of fire exposure. Methods: The critical temperature, determined for the whole structure, and associated with the structure reaching its fire resistance limit state, is considered to represent the measure of such a fire resistance. This critical temperature corresponds to the realisation of such a potentially possible purely plastic failure mechanism that is bound to the lowest possible formation temperature. Such a specification requires the assumption that

1 Politechnika Krakowska / Cracow University of Technology; mmaslak@pk.edu.pl;

2 Biuro Budowlane Bauko S.C., Kielce;

3 Artykul zostal wyrozniony przez Komitet Redakcyjny / The article was recognised by the Editorial Committee; Procentowy wklad merytoryczny w opracowanie artykulu / Percentage contribution; M. Maslak - 60%, A. Tkaczyk - 40%;

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

throughout the duration of the fire foreseen for the considered bearing structure, all the components of this system will be effectively braced, so that there is no risk of their earlier failure by local or global loss of stability.

Results: The general problem formulation approach, the formulation of the objective function, and the rules governing the development of inequalities defining the representative constraints, are presented in detail. The interaction between the longitudinal force and the bending moment is taken into account as well. The obtained results are illustrated by the numerical example. The estimate resulting from the calculation recommended in this article is related to the corresponding one based on the use of the kinematical approach to the theory of plasticity. Conclusions: The proposed computational approach seems to be more universal in relation to the possible alternative procedures recommended by the authors of this study in their earlier works. It facilitates an unambiguous and clearly interpretable estimate of the steel frame fire resistance also sought in the case of the frame with complex geometry and a complicated load arrangement. In the light of the assumptions of a formal model discussed in detail in this article, the conclusion can also be made that the reliability of the estimates so obtained is significantly greater in comparison to the corresponding results calculated conventionally.

Key words: steel frame load bearing structure, fire, fire resistance, critical temperature, linear programming Type of article: original scientific article

АННОТАЦИЯ

Цель: Представить и обсудить оригинальную процедуру оценки огнестойкости стальной рамной несущей конструкции на основе методологии линейного программирования. Такой подход требует проведения линеаризации как классических условий равновесия, так и условия, описывающего размягчение критического сечения стального элемента, достоверного в оценке несущей способности исследуемой рамы. Сечения, выбранные для анализа, соответствуют размещению активизирующихся при пожаре пластических шарниров. Методы: Мерой огнестойкости является определенная для целой рамы критическая температура, связанная с достижением тестовой конструкцией предельного состояния несущей способности. Это условие определяется реализацией потенциала возможных механизмов при его пластическом разрушении, что соответствует самой низкой возможной величине температуры активации. При данной спецификации необходимо принять утверждение, что за все время пожара, прогнозированного как достоверный для анализируемой конструкции, все элементы конструкции будут иметь эффективную концентрацию. Благодаря этому нет никакого риска, что она разрушится раньше из-за общей или локальной (формы) потери устойчивости.

Результаты: Указан способ общей формулировки проблемы и спецификации целевой функции, а также принципы создания неравенств, определяющих достоверные ограничения. Учтено при этим взаимодействие изгибающего момента и продольной силы. Результаты проиллюстрированы на численном примере, приложенном к формальной презентации модели. Результаты, полученные из предложенных в этой работе расчетов оценки критической температуры испытуемой рамы относятся к соответствующему результату альтернативного анализа, проведенного для сравнительных целей, основанного на использовании классического кинематического подхода к теории предельной нагрузки.

Выводы: Предложенный вычислительный подход по мнению авторов представляется более универсальным в отношении к возможным альтернативным процедурам, рекомендованных авторами в предыдущих работах. Он позволяет дать четкую оценку и интерпретацию огнестойкости, также в случае рам со сложной геометрией и большой нагрузкой. В свете предположений формальной модели, перечисленных и подробно обсуждаемых в тексте, оправданным может быть также утверждение о значительно большей достоверности полученных таким образом значений оценки критической температуры анализируемой рамы по сравнению с оценками, полученными обычным способом.

Ключевые слова: стальная рама, несущая конструкция, пожар, огнестойкость, критическая температура, линейное программирование Вид статьи: оригинальная научная статья

1. Wprowadzenie

Inzyniersk^ ocen§ odpornosci ogniowej zlozonego sta-lowego ramowego ustroju nosnego mozna uznac za wiary-godn^ jedynie wtedy, gdy w modelu formalnym towarzysz^-cym analizie statycznej odpowiadaj^cej wyj^tkowej sytuacji projektowej pozaru rozwini^tego zostanie rozwazona kon-strukcja potraktowana calosciowo. Tego typu badanie mozna ewentualnie zast^pic, choc nie zawsze jest to mozliwe, przez szczególow^ analiz^ zachowania si§ w pozarze funkcjonalnie jednorodnych podukladów ocenianej ramy, o jednoznacz-nie okreslonym schemacie i sposobie oddzialywania na po-zostale cz^sci konstrukcji. Jak dot^d w praktyce projektowej powszechnie stosowane jest myslowe wydzielanie z ustroju pojedynczych elementów nosnych (rygli, slupów) i przypisy-wanie do nich lepiej lub gorzej zamodelowanych warunków brzegowych opisuj^cych zmieniaj^c^ si§ wraz z rozwojem pozaru podatnosc wi^zów kr^puj^cych te elementy. Pozwala to na otrzymanie stosunkowo prostych algorytmów weryfi-kuj^cych mozliwosc bezpiecznego przenoszenia przylozo-nych do konstrukcji obci^zen zewn^trznych wraz z silami wewn^trznymi generowanymi wskutek ograniczenia mozli-wosci swobodnej realizacji odksztalcen b^d^cych skutkiem rozszerzalnosci termicznej stali. Niemniej jednak uzyskane w ten sposób wyniki z uwagi na prostot^ podejscia oblicze-niowego nie zawsze odpowiadaj^ rzeczywistemu zachowa-niu si§ badanego ustroju w warunkach ekspozycji ogniowej.

1. Introduction

An engineering evaluation of the fire resistance of a complex steel frame load bearing structure can be considered reliable only when the formal model associated with the statical analysis corresponding to the accidental design situation of a fully developed fire considers the structure as a whole. If needed, although not always possible, this type of test may be substituted with a detailed fire behaviour analysis relating to the functionally homogeneous substructures of the tested frame with an unambiguously defined pattern and the manner of exerting impact on other parts of the structure. So far, it has been common for design practice to mentally select individual load bearing members (beams, columns) from the structure and assign them to more-or-less well-modelled boundary conditions describing the susceptibility of the bonds that tie together these members as it changes with the spread of the fire. This can provide relatively simple algorithms that verify whether the external loads applied to the structure can be transferred together with the internal loads generated by the constraints in the free realisation of the strains resulting from the thermal expansion of steel. However, due to the simplicity of this computational approach, the results so obtained do not always correspond to the actual behaviour of the tested structure when exposed to fire. Indeed, it is difficult for such a simple physical model to reflect alone the redistribution of the internal forces in the members exposed directly to fire which

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

Trudno bowiem w tak prostym modelu fizycznym odwzoro-wac chociazby zachodz^c^ w elementach konstrukcji podda-nych bezposredniemu oddzialywaniu ognia redystrybucjç sil wewnçtrznych determinuj^c^ ich wynikowy stan naprçzenia czy odksztalcenia. Ponadto sposób ten nie pozwala zidenty-fikowac, a zatem i oszacowac istotnosc pewnych specyficz-nych dla ogrzewanej ramy efektów, które uwidaczniaj^ siç dopiero dziçki jej analizie globalnej. Przykladem moze byc generowanie siç w ryglach rozpatrywanej ramy na skutek ich duzego ugiçcia sily rozci^gaj^cej o znacznej wartosci, bardzo groznej ze wzglçdu na statecznosc slupów szkieletu stalowe-go. Wartosc takiej sily zalezy bowiem glównie od podatnosci slupów ograniczaj^cych te rygle, a ta z kolei miçdzy innymi od geometrii calej ramy, sposobu jej obci^zenia i jej schemata statycznego. Z tego wzglçdu d^zy siç do tego, aby miar^ odpornosci ogniowej specyfikowanej dla badanej ramy byla wielkosc jednoznacznie do niej przypisana i stanowi^ca nie-jako jej charakterystykç, niezalezn^ od dodatkowych czynni-ków czy okolicznosci. Nalezy zaznaczyc, ze jesli za tak^ miarç przyjmie siç czas, przez który w warunkach potencjalnie za-grazaj^cego jej pozaru konstrukcja zapewni bezpieczne prze-noszenie przylozonych do niej obci^zen zewnçtrznych wraz z termicznie indukowanym i zmiennym w czasie polem sil wewnçtrznych, to miara ta bçdzie zalezala od charakterystyki pozaru przyjçtego do analizy. Zmiana intensywnosci nagrze-wania lub chociazby maksymalnej temperatury gazów spali-nowych osi^ganej w strefie pozarowej, do której nalezy ana-lizowana rama, oznaczac bçdzie równoczesn^ zmianç osza-cowanej odpornosci. W opinii autorów bardziej uniwersaln^ miarç jest w tym przypadku temperatura krytyczna szacowa-na dla calego ustroju ramowego. Pod tym pojçciem rozumie siç temperaturç odniesion^ do osi^gniçcia przez badan^ ramç stanu granicznego nosnosci ogniowej, okreslon^ w ustalo-nym, miarodajnym dla tej ramy elemencie i jednoznacznie powi^zan^ z wartosciami temperatury osi^gniçtymi w tym samym czasie w pozostalych jej elementach [1]. Wyznaczenie wartosci tej temperatury nie zawsze jest mozliwe, zwlaszcza w przypadku konstrukcji zelbetowych. Trzeba jednak pod-kreslic, ze konstrukcje stalowe nalezy do obiektów, dla któ-rych tego typu podejscie obliczeniowe jest, zdaniem autorów, szczególnie przydatne. Ma to zwi^zek z dobr^ przewodnosci^ ciepln^ stali, dziçki której mozna uzasadnic zalozenie o wy-równanym rozkladzie temperatury zarówno w przekrojach poprzecznych stalowych elementów konstrukcyjnych, jak i na calej dlugosci tych elementów. Istniej^ rózne sposoby wyznaczania temperatury krytycznej ramy stalowej. Powinny one uwzglçdniac mozliwe sposoby jej zniszczenia. W takim ujçciu bylaby to zatem na przyklad mniejsza z dwóch wartosci temperatury, z których pierwsz^ zidentyfikowano dla zniszczenia przez globaln^ utratç statecznosci ramy, drug^ natomiast dla wyczerpania nosnosci plastycznej jej najslab-szego elementu. Wazne, ze ustalona w ten sposób wartosc poszukiwanej temperatury nie bçdzie zalezec od przebiegu rozwoju pozaru. Od tego przebiegu zalezy bowiem jedynie czas, po którym zostanie ona osi^gniçta w reprezentatywnym dla calej ramy elemencie konstrukcyjnym. Celem niniej-szych rozwazan jest prezentacja sposobu okreslania drugiej z przytoczonych powyzej wartosci temperatury, to znaczy tej kojarzonej ze zniszczeniem typu plastycznego. Do jej wyzna-czenia autorzy rekomenduj^ wykorzystanie uogólnionego na sytuacjç pozaru formalizmu klasycznej teorii nosnosci granicznej. W prostych przypadkach tego typu podejscie sprowadza siç do rozwazania mozliwych i kinematycznie do-puszczalnych mechanizmów plastycznego zniszczenia ramy [2-3] lub ewentualnie do przeprowadzenia metod^ czçsciowo graficzn^ redystrybucji momentów zginaj ^cych w elementach ustroju nosnego, takiej aby wyrównac te momenty w prze-krojach, w których maj^ powstac przeguby plastyczne [4-5].

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

determine their resultant stress or strain states. Furthermore, it is impossible with this method to identify, and, by extension, to estimate, the significance levels of certain effects specific to the heated frame, which require a global analysis of the frame to become evident. Take, for instance, the substantial tensile force in the beams of the frame under consideration created by their substantial deflection, which is very dangerous to the stability of steel-frame columns. The value of such a force depends mainly on the susceptibility of the columns that restrict these beams, with this susceptibility depending mainly on the geometry of the whole frame, its statical scheme, and on how it is loaded. For this reason, the aim is to measure the fire resistance specified for the tested frame based on a quantity assigned unambiguously to such a frame, and that, to some degree, determines the characteristics of the frame unaffected by any additional factors or circumstances. It should be noted that if this is to be measured as the time for which a structure potentially exposed to fire is capable of ensuring the safe transfer of loads applied to it, together with the thermally induced and temporally variable internal-force field, the measure, then, will depend on the characteristics of the fire under analysis. A change in the heating intensity, or in the maximum temperature of exhaust gases reached in the fire zone of which the analysed frame is part, will also mean a change in the estimated resistance. The authors of this article claim that the critical temperature estimated for the frame structure as a whole is a more universal measure in this case. Such a temperature is defined as the temperature relative to the fire resistance limit state reached by the tested frame, defined for a specific member that is representative of this frame, and unambiguously linked with the temperature values reached over the same time in its other members [1]. It is not always possible to determine such a temperature, especially for rein-forced-concrete frames. Notably, however, the authors of this article believe that such a computational approach is particularly useful for steel structures. This is due to the high thermal conduction of steel, which can explain the assumption involving the equal distribution of temperature in both the cross-sections and over the whole length of steel members. The critical temperature of a steel frame can be determined in a number of ways. These should consider the potential ways in which the frame might fail. Defined as such, this would be, for instance, the lesser of two temperature values, where the former is identified for frame failure as a result of the whole frame's losing stability and the latter is identified for the loss of the plastic resistance of the frame's weakest member. What is important is that the temperature so determined will not depend on how the fire develops. What will depend on how the fire develops is only the time after which such the temperature is reached in a member that is representative of the whole frame. This article aims to demonstrate a method of determining the latter of the two temperature values mentioned above, i.e. the one involving plastic failure. The authors of this article recommend that the formalism of the classical plastic limit load theory, generalised for a fire situation, be used to determine such the temperature. In simple cases, such an approach involves considering the possible and kinematically admissible mechanisms of the plastic failure of the frame [2-3] or, possibly, determining, through a semi-graphic approach, the bending moment redistribution in the load bearing structural members such that it balances these moments in the cross-sections in which plastic hinges are to form [4-5]. The computational approaches mentioned above lead only to an approximate estimation of the plastic limit load of the frame from the top in the former case, i.e. from the dangerous side (meaning "overly optimistic"), and from the bottom in the latter case, i.e. meaning from the "underestimated" side. An overestimated load limit of the load bearing structure must be

Przytoczone powyzej podejscia obliczeniowe prowadz^ do uzyskania jedynie przyblizonego oszacowania nosnosci gra-nicznej ramy, odpowiednio w pierwszym przypadku od góry, czyli od strony niebezpiecznej (w rozumieniu „nadmiernie optymistycznej"), w drugim natomiast od dolu, co ozna-cza „niedoszacowanej". Przeszacowanej nosnosci granicznej ustroju nosnego towarzyszyc musi nadmiernie restrykcyjne oszacowanie jego temperatury krytycznej, zas nosnosc nie-doszacowana oznacza zawsze wyznaczenie temperatury kry-tycznej na poziomie zbyt ryzykownym. Zawsze jednak bçd^ to oszacowania bardziej wiarygodne od tych, które uzyskuje siç metodami przyblizonymi, po analizie jedynie pojedyn-czych elementów konstrukcyjnych. W ogólnym przypadku, przy bardziej zlozonych ukladach konstrukcyjnych, wykorzy-stanie zaproponowanych algorytmów moze byc trudne lub co najmniej uci^zliwe. Z tego wzglçdu w prezentowanej pracy autorzy staraj^ siç przyblizyc czytelnikowi podejscie bardziej uniwersalne, oparte na formalizmie programowania liniowe-go. Moze ono wydawac siç zmudne i pracochlonne w odnie-sieniu do prostych przypadków obliczeniowych. Jego zalety staj^ siç jednak bardziej dostrzegalne w obliczeniach z duz^ liczb^ zmiennych, w których liczba mozliwych przypadków jest trudniejsza do identyfikacji.

2. Ograniczenia w stosowaniu metody

Jak zaznaczono powyzej oszacowania temperatury krytycznej ramy stalowej uzyskane dziçki zastosowaniu forma-lizmu programowania liniowego bçd^ miarodajne jedynie przy realizacji plastycznego mechanizmu zniszczenia ustroju nosnego. Mechanizm taki jest reprezentatywny dla ram wy-konanych z ksztaltowników stosunkowo krçpych, niepodat-nych na globaln^ ani tez na lokaln^ utratç statecznosci. Scislej mówi^c, przyjçte przekroje rygli i slupów oraz ich smuklosci powinny umozliwic bezpieczne przenoszenie obci^zen w warunkach ekspozycji ogniowej az do uplastycznienia najslab-szego z punktu widzenia pracy statycznej elementu nosnego. Mechanizm plastycznego zniszczenia ramy zostanie uzyska-ny wtedy, gdy bçdzie ona efektywnie stçzona przez caly czas oddzialywania pozaru. W ogólnym przypadku wyliczona w ten sposób krytyczna temperatura ramy moze stanowic jedynie jedno z oszacowan, które wspólnie z oszacowaniami ko-jarzonymi z innymi mozliwymi mechanizmami zniszczenia w pozarze (na przyklad zniszczeniem typu czysto sprçzyste-go), pozwoli na wiarygodn^ ocenç odpornosci ogniowej roz-patrywanego ustroju.

W rozwazaniach przytoczonych ponizej zaklada siç, ze temperatura poszczególnych elementów stalowych narasta wraz z rozwojem pozaru proporcjonalnie do jednego usta-lonego parametru, wspólnego dla wszystkich czçsci badanej ramy. Dzieje siç tak faktycznie jedynie w przypadku, gdy slupy i rygle tej ramy wykonano z tej samej stali oraz z ele-mentów o takim samym przekroju poprzecznym (zarówno w odniesieniu do jego ksztaltu, jak i rozmiaru). Na ogól jednak przekroje i smuklosc slupów rózni^ siç od tych odnie-sionych do rygli rozpatrywanej ramy. Rózne mog^ byc rów-niez sposoby ich ekspozycji ogniowej (dla slupów zwykle miarodajne jest nagrzewanie na calym obwodzie przekroju poprzecznego, podczas gdy pasy górne rygli bywaj^ osloniçte przed ogniem przez opieraj^c^ siç na nich masywn^ zelbe-tow^ plytç stropow^). Z powyzszego wynika, ze temperatura w tych elementach narasta wraz z rozwojem pozaru z reguly w odmienny sposób. Jezeli jednak przyj^c, ze miarodajnym scenariuszem pozaru w strefie pozarowej, do której nalezy rozpatrywana rama nosna, jest pozar w pelni rozwiniçty, to temperatura gazów spalinowych bçdzie narastac, ale w danej chwili pozaru bçdzie wyrównana w calej strefie. Przy szaco-waniu temperatury krytycznej ramy przyjmuje siç, ze jej ele-

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

accompanied by an overly restrictive estimation of its critical temperature, whereas an underestimated load bearing capacity always means that the critical temperature is determined on an excessively high-risk level. However, these estimations will always be more reliable than those made using approximate approaches following an analysis of members on an individual basis only. In a general case involving more complex structures, the use of the proposed algorithms can be difficult or at least burdensome. Accordingly, the authors of this article attempt to describe a more universal approach based on the formalism of linear programming. As arduous and laborious an approach this might seem compared to simple design situations, its advantages become more clear in computations involving a large number of variables, where the number of possible cases is more difficult to identify.

2. Restrictions in the application

As noted above, the critical temperatures values of a steel frame estimated using the formalism of linear programming will be more reliable only if the plastic mechanism of load bearing structure failure takes place. Such a mechanism is representative of frames made of relatively stocky sections that are not susceptible to global and local loss of stability. More specifically, the assumed cross-sections of beams and columns, and their slenderness ratios, should allow the safe transmission of loads when exposed to fire until the load bearing members that are the weakest in terms of static performance are plasticised. The mechanism of the plastic failure of the frame can be achieved when the frame is effectively braced throughout the fire exposure time. In the general case, the critical temperature of the frame so calculated might only be one of a number of estimations that, together with estimations associated with other possible mechanisms of fire-related failure (for instance, a purely elastic failure), could facilitate a reliable assessment of the fire resistance of the structure under consideration.

The discussion below assumes that the temperature of individual steel members increases with the development of a fire proportionately to a single specific parameter that is common to all parts of the tested frame. This is actually the case only when the beams and columns of this frame are made of the same steel and of members with the same cross-section (in relation to both the shape and the size). Generally, however, the cross-sections and slenderness ratios of columns differ from those relating to the beams of the frame under consideration. The ways in which they are exposed to fire can differ as well (for columns, the exposure of the whole cross-sectional perimeter is usually representative, whereas the top flanges of beams sometimes have a fire barrier in the form of a massive reinforced-concrete floor slab). This means that the temperature in these members usually increases with the development of a fire in a different manner. If, however, a fully developed fire is assumed to be a representative fire scenario for the fire zone of which the load bearing frame under consideration is part, then the temperature of exhaust gases will increase, but at any given moment of the fire it will be equal for the whole zone. To estimate the critical temperature of the frame, it is assumed that its members are in no way isolated from direct fire exposure. In such conditions the differences in the beams' and columns' temperature values determined through detailed computations will thus be negligible, which renders the previously made assumption about the proportionate increase in the temperature of frame members fully admissible.

The classical algorithm for the assessment of the plastic limit load of the frame is based on the identification of all possible and kinematically admissible movement mechanisms for the frame, followed by the determination, for each

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

menty nie s^ w zaden sposób izolowane przed bezposredni^ ekspozyj ogniow^. Róznice w wyznaczonych ze szczególo-wych obliczen wartosciach temperatury rygli i slupów b^d^ zatem w takich warunkach zaniedbywalne, co czyni przyj^te wczesniej zalozenie o proporcjonalnym wzroscie temperatu-ry elementów ramy w pelni akceptowalnym.

Klasyczny algorytm oceny nosnosci granicznej ramy opiera si§ na identyfikacji dla tej ramy wszystkich mozliwych i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów ruchu, a na-st^pnie na wyznaczeniu dla kazdego z tych mechanizmów granicznego obci^zenia, którego przylozenie do badanej konstrukcji skutkuje jego uaktywnieniem. Najmniejsze z tak wyznaczonych obci^zen interpretuje si§ jako obci^zenie de-terminuj^ce nosnosc ustroju, a skojarzony z nim mechanizm ruchu jako mechanizm krytyczny. Podstaw^ do szczególo-wych obliczen jest w tym przypadku wielokrotne stosowanie zasady prac wirtualnych. Nalezy jednak zwrócic uwag§, ze w równaniach konstytuuj^cych t§ zasad^ jedynym parame-trem zaleznym od zaprojektowanych wczesniej przekrojów poprzecznych slupów i rygli badanej ramy jest plastyczna nosnosc tych przekrojów na czyste zginanie, czyli M St^d wniosek, ze nosnosc graniczna analizowanej ramy nie zale-zy od pola sil wewn^trznych indukowanych w konstrukcji w warunkach pozaru na skutek skr^powania swobodnej reali-zacji generowanych termicznie odksztalcen. Nie zalezy zatem takze od historii, czyli zrealizowanego programu obci^zenia ramy. Uogólnienie powyzszego podejscia na przypadek bez-posredniej ekspozycji ogniowej ustroju nosnego sprowadza si§ do zalozenia ustalonego poziomu obci^zen zewn^trznych, skutkuj^cego okreslonym stanem deformacji ramy, a nast^p-nie do poddania go monotonicznemu ogrzewaniu az do wy-czerpania nosnosci. W takim uj^ciu oszacowana odpornosc ogniowa rozpatrywanej ramy specyfikowana poprzez ziden-tyfikowan^ dla tej ramy temperature krytyczny nie b^dzie zalezala od sposobu jej ogrzewania. B^dzie taka sama, jesli wyznaczy si§ j^ w odniesieniu do sytuacji, gdy pozar pocz^t-kowo rozwijal si§ powoli, po czym jego rozwój ulegl znacz-nemu przyspieszeniu oraz w relacji do alternatywnego sce-nariusza, gdy pozar na pocz^tku rozwijal si§ bardzo szybko, aby w koncu tempo jego wzrostu uleglo spowolnieniu, jezeli tylko na skutek zadzialania obydwu porównywanych ze sob^ scenariuszy gazy spalinowe w strefie pozarowej osi^gn^ly w miarodajnej do oceny chwili t§ sam^ wartosc temperatury.

3. Podstawowe zalozenia metody

Zgodnie z zasadami programowania liniowego zarów-no sama funkcja celu, jak i wszystkie zdefiniowane dla niej ograniczenia, musz^ zostac wyrazone przez odpowiednie równania i nierównosci o postaci liniowej [6]. Z tego wzgl^du w dalszej analizie dla przypadku pozaru przyj^to uogólnie-nie klasycznego algorytmu obliczeniowego opartego na roz-wazaniu kolejnych potencjalnie mozliwych i kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów ruchu ustroju nosnego. Mog^ to byc zarówno mechanizmy typu globalnego, jak i lokalnego. Mechanizmy te uaktywniaj^ si§ w badanej ramie po powsta-niu w skladaj^cych si§ na ni^ elementach odpowiedniej liczby odpowiednio zlokalizowanych przegubów plastycznych, jesli tylko zaistniej^ warunki do uruchomienia sekwencji nieskr^-powanych obrotów w tych przegubach, takich ze kierunki poszczególnych obrotów b^d^ ze sob^ odpowiednio skorelo-wane i nie b^d^ si§ wzajemnie wygaszac. Realizacja w warunkach pozaru któregokolwiek z takich mechanizmów oznaczac b^dzie osi^gni^cie przez ustrój stanu granicznego nosnosci ogniowej skojarzonego z poszukiwan^ dla calej konstrukcji temperatura krytyczny. Podstawowa idea zadania rozwi^zy-wanego w niniejszej pracy stanowi sekwenj nast^puj^cych stwierdzen [7]:

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

of these mechanisms, of the plastic limit load which, if applied to the tested structure, triggers the mechanism. The smallest of loads so determined is interpreted as the load that determines the structural load bearing capacity, with the related movement mechanism being interpreted as the critical mechanism. The basis for detailed computations in this case is the multiple application of the virtual performances principle. It should be noted, however, that the only parameter that depends on the pre-designed cross-sections of columns and beams in the constitutive equations of this principle is the plastic resistance of these cross-sections to pure bending, i.e. M pl . By extension, the plastic limit load of the analysed frame does not depend on the field of internal forces induced in the structure when exposed to fire as a result of restricting the free realisation of thermally generated deformations. Hence, it also does not depend on the history, i.e. the realised frame load prog amme. The generalisation of this approach for the purposes of the load bearing-structure direct fire exposure event involves assuming a specific level of external loads resulting in an sjaecific state 01s fracns defonmation, follvwed vy subjecting the sSrustureto mrnpfoniaheatlnf uvtllit Soees ite load-bearing capsclhy. EttimeOed as etch, the fist retisfanse oh the frame undertons iderction, speellfedeppough ehs eritiepl temperature Idcnlittedfop thin Crame,will nrldependop how the frame is heated. The fire resistance will be the same if it is determined relative to the situation where the fire is developing slowly at: tils stert and much foster leteal and relative to the alternativenrennriOiWpere1hefire k Oevelopinpoavidlyotthe start to ultimatofydow down.jlrovidfd onfy t. bosh comparable scencriot ^va rauscd ahc eahauai m eOt fae zone to rernvh tier same sempereeure at a tiisnr.

3. The basic assumptions of the meshhd

According to lin ar-programming p incipl s, both the objective function and all the constraints defined for it must be expressed by corresponding linear equations and inequalities [6]. Coneeouentiai furtiser cnofysk makes a genosalka-tion, for the pnrposes ne a fire avcnh oe a dascira1 a^orithm based on Ac epnsldenotipv of the consecutive possible and kinematic lly admissible movement mechanisms of a load bearing structure. These mechamtmscan be ofboth theglob-al and the local typec. Thesc mechenisms oca t^ri^g;ei^cd ln et^ie analysed fteme rfter anuffitient numher of avpropriataeOy located plastic hinge form in its constituent co ponents, provided that there areconditions to trigger asequence of free rotations in these hinges, such that the directions of individual rotations are properly correlated and do not neutralise each other. The occurrence of any such mechanisms in a fire situation will lead the structure to reach its fire resistance limit state associated with the critical temperature sought for the whole strurturit The nn^clymg Met e° tise problem halved in this artiekka seguenc eof thefonowieg ^o0 orMoo s[7]:

• for the enafyned ^scMe pnh ^lhemol^iraliv adnrlnsitsle movemrnsmedwen1sm, die netnbee iai ond kiertionof each op c:n —„.K plcseic Itm.et of this mechanism is known,

• the consideradmovemantmcchaoism nsot oc=ur only when a plastic -mea wiH Voomin cathcdre preiousty identified eross-se ctiuelni.e.wheh:

vo = 1,..., K }Moie\ = MpW (1)

(the lower mdexna tame mednsivteп•e1ation wrihdif steel temperecore)i

DOI:l0.12845/bitp.44.4.2016.8

dla wyhranego do analizypotencjalnie do re-

alizacji il^i^en^a^zirL^i2jlof)us^i^z;^iceg^^ mecluniimn ru-chu inonajistliczba iHilokallpacja kazdego z k = 1,..., K przegubów plautycznych fcrmutsicyeh dnc miph^r^lzen, rozwazanymeehanizm ruchu rnsInnie zrrnlizowany tylt^o wtedy, gdyw Tozdcm c miv^^óOp^o^^e^wjz^^f^j^ljj pree-krojów powutrnin puzegubplastycnnn, czylizZy:

vz = 1,..., K Mz,e\ = Mpi,&

w

(dolny in deUi (Tc^^nj^p^coturak^-^omoPOemoh-^l^d^rT^WJi»

• zgodnig z kiI-yrpnym uoУelSdem statyciuum teorii uo-snosci granicencj r^os^n^osrroj^y^^'^i^yn^i^i^el ramy nie e^oih^-nie osi^gniitSL tnk dlugo doyoki mozea wymyshn eaki sta-tycznie dopurzczainy i uklaT ^^^lozi it generuj^cpoУhowieTnirozklcZ mnmeatów rzLhhgnlnydi sumowai^n^eh c mrmontpm( :^oie^^lccpmÍT^(^I^oZn:^(^)'eoI od pozostalych obci^zen, który po uwzgl^dnieniu redys-trybucji wszystkich momentów zginaj^cych zapewni bez-pieczn^ prac§ calej konstrukcji,

• mozna zatem poszukiwac maksymalnej wartosci tempe-ratury 0, rozumianej w tym zadaniu jako funkcja celu, która przy okreslonych ograniczeniach wynikaj^cych zarówno z warunków równowagi, jak i z warunków pla-stycznosci pozwoll na niespeInienie warunku (1),

• zadanie sformulowane powyzej jest typowym zadaniem rozwi^zyvanym metodami programowania liniowego.

4. Liniowe warunki równowagi

Do specyfikacji liniowych warunków równowagi w ni-niejszej pracy wykorzystano równania kanoniczne metody sil. Rozwazmy dla przykladu statycznie niewyznaczaln^ ram§ pokazan^ na ryc. 1. W ustroju tym kolejne niewiadome hi-perstatyczne oznaczono symbolami X j przy czym j = 1,..., m (w przykladzie m = 12). Ponadto poszczególnym obci^zeniom przylozonym do ramy przypisano symbole P. , gdzie i = 1,...11. Nalezy zauwazyc, ze obci^zenia P to nie tylko zewn^trzne ob-ci^zenia mechaniczne, skupione lub rozlozone na okreslonej dlugosci elementów ramy, ale równiez obci^zenia wewn^trz-ne generowane na skutek skr^powania swobody odksztalcen termicznych. W analizowanym przykladzie zalozono, ze pozar rozgorzal jedynie na dolnej kondygnacji badanej ramy i nie przedostal si§ przez strop i sciany na jej górne piltro. Temperatura gazów spalinowych narasta zatem monotonicznie tylko na tym poziomie budynku. Poniewaz rozwazany pozar wsku-tek rozgorzenia osi^gn^l faz§ pozaru rozwini^tego, temperatura ta jest w kazdej chwili pozaru wyrównana na calej kon-dygnacji opanowanej przez ogien, rozumianej w takim uj^ciu jako jedna strefa pozarowa. Narastanie temperatury gazów spalinowych w tej strefie skutkuje równoczesnym narastaniem temperatury dolnych slupów i rygli ramy, co na ryc. 1 przy tych elementach zaznaczono symbolem &. Temperatura stali w kazdym z nagrzewanych elemzntósvkonstrsmcbjjnycb ^e^st w danej chwili pozaru taka sama ze wzgl^du na wczesniejsze zalozenie o zastosowaniu do nichksztaltoeanikówstalohwh

0 jednakowych przekrojach poprzecznych. Mozna zatem temperature & potraktowacjako kolejneobci°zeme,

ze dla i = 11 zachodzi P. = &. Mamy zatem docesnienia z sytu-acj^, gdy w czasie ekspozycji ognáowej wartas ci (^t^c^^^^or^ W dla

1 = 1,...10 pozostaj^ na stalym poziomie i nie zalez^ od tempng ratury &. Wzrasta jedynie wartosc obci^zenia P = P1t &.

Z formalizmumetody iil^nika, ze: m

E ökjxj,& + ^Aki,0 = 0 j=1 i

• accordingto ^l^et^l^g^s^ical etatic approach of the plastic limitloadtheory, ahe loaa baarmg capacity of the considered frame will not be reached as long as it is possible to con cefve oma^^h a atdtically add^ssible and self-equilibra-atdsyst(^agiofaea(^t^aga^s -genebaling an appropriate distri-batio n ofoasid aol momonSecammed up with the bending m oments induced by other loads - that will ensure the safe performance of the whole structure after the redistribution of all bending moments has been factored in.

• the aim, therefore, might be to look for the maximum temperatura oalue &, defined here as the goal function teat, eodra epecific censtrasnta attributable to both the eynttiOsium and yield conaitional will facilitate the con-dafy's i a l noi la cing aaticfiocl.

a ihe proLCem defined nbeve as a typical problem solvable wilh iiysrCipbogeammidgmethdC s.

4. Linear equilibrium conditions

In this article the canonical equations of the force method are used to specify the linear equilibrium conditions. Consider as an example a statically indeterminate frame as shown in Figure 1. In this structure, individual hyperstatic unknows are marked with the X j symbols, with j = 1,..., m (the example shows m = 12 ). Also, individual loads applied to the frame are assigned the P symbols, where i = l,...ll. It should be noted that the P. loads are not only externalloads, concentrated or distributed along a specific length of the frame members, but also internal loads induced by constraints on free thermal deformations. The analysed example assumes that the fire involved only the lower floor of the analysed frame without penetrating to its upper floor through the floor slab and walls. The exhaust gas temperature, then, increases monotonically only at this level of the building. Since the considered fire flashed over to become a fully developed fire, this temperature is equal for the whole floor which is on fire, defined here as the only fire zone, at any given moment of the fire. The rising exhaust gas temperature in this zone causes a simultaneous increase in the temperature of the lower frame columns and beams, as marked for these members in Figure 1 with the & symbol. The steel temperature in each of the heated members is the same at any given moment of the fire because of the assumption that these members are made of steel sections with the same cross-section. The © temperature, then, can be consilsred as another ltad, asruming thai for i = 11 there is P. = &. Therefore,thir or a rituetfon whfee the load values of P. for i = 1,...10 remain at aconstant level and are independent of the temperature when exposed to fire. The only value that increases is the load P = P , &.

It follownfromthe formaaasm of site fooces eiraSTod that:

EC*;

j =1

kzxe&

EC At ,@=0

()

where ftpchsfiftemsnfs os a stetioeUy sleterminate terksystem, as d-ecifinti in Toint k, induced py hyparetatin foaces tra 1 , and Akj e are corresponding

d^f^pla^c^moiets i^t -^e ssma d^ssc ^s^sh'Sis^ indt^s^eS Ts tht Soaii a^^ios P^ifii. Tl^e equation (2) is often used to prove that the principle of the senetposition ol the eatSlng momen- ts true Consequen^^dOlso r^osu^ nt i:he ^nchng momanc in ptoihi f of Theaeofysetf inonmí; i-Ti^Sf^ne^r^e^-^Cp l^i^^ elation:

Mk, 0 = E mkjmj,mCEmMPi k=i i

()

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

J'aJ^W -m-

опуЛПТ

t

I IXJ

*e Ps

x9

8=P,i

@=P„

*3 x3

P9 *11| PlO

. xoe ! *i

FPn-1

I lx„

Xl2 «ЙР^

e=p„

®=Pii

Ryc. 1. Przykladowa rama z zaznaczonymi silami hiperstatycznymi i obci^zeniami zewnetrznymi. Ftg. 1. ii^^prle frame with markedhyperstaticforcesandexternalloads Zrôdlo: Rysunekna podstawie pracy [8] uzupelniono o obciqzenietermicznewynikaj^ce z nagrzania wyroznionych elementow konstrukcji. Source: Figurebasedon[8]supplemented by thethermalloadduetotheheating ofselectedstructural members.

gdzie б kj s^ okreslonymi w punkcie k przemieszczeniami statycznie wyznaczalnego ukladu podstawowego wywolany-mi silami hiperstatycznymi o wartosciach x. = 1, natomiast Ag ©analogicznymi przemieszczeniami tego samegо uMadu podetawoccego jjodoodzycymi od oboOgcenoa Pi (Ont) Se,0). Zaleznosc (2) czfsto is^kyoroysfuje sio do udoecucSncenio praw-dziwoéci zas ady superpozycjimomentowzginaj^cych. Wkon-sekwencji wartosc momentu zginaji|ceao w punkcio p badanej sam^ e/\r,)z^:iCLeic:zi^ siç z rownaem: m

Mkk == Z тП*и,® UdLemfOPi (3)

J=1 a

w ktorym m y jea( аютеп1:ет eednzji^jjm alzrissloniam w punkcie k statyuznie keznaczslnezn ukdad^u podrtowowego teg raec^)^^e^ochod;c;Ecymodsil)Dhij3erstat)irc:z^Bxj:=U^Ik^1^c'a[^i^azr

nifa - anologicsnym momndeem san(inajuc)lani aoeeniez sleo^-s-rzonym ze staSuconée oeaenudzaleym uaeedempodstawowym rozpatrywanej ramy ole fioclie^dzDcym od obcifzenia .P. = 1. gczawiicia, jimdnpi'ni a oCcizdeP m jert oc tym j(e:rsyiiied^^ оЬ-ci^zenie P11 s, jadyo^e zmienmj.ce seç ocrzz z Сот^е:1^ 0. Nie daje onojednak momentu zgmoycegc w otatyconie wyi zntcnalrtym iildodeee m0(dstawkwpm cacny n zotem mpi = 0. аооь^сошо, eilit ^dtany w punlntia Z rame mozna сипт11;ткг czyS t nZeyitznit:

-'m",® = T nUjxj,& "o TnjdpC j=l i

natomiast sllo pon^ecz^ г г^ош^а:

(4)

where mkj is the bending moment defined in point k of the statically determinate basit sfstem of this feame and induced

by the hypersiatic force x.= g axd =1= k thecorresponding b ending m Fanent thst is qlit mtarrelatedwiththe statically determinate b atk tyetem of lhe co nsidered frame, except that it is infuced by the load jP.= 1. h is seh-exjTanetory then, that one of theloadsh. ie in flii- rose shednad P ,whlrh ss tde only loaC ttLoat alony niih the edenginy temperatuet ie.

This equation, howevem, doet nsl productif the bending moment in a -iafieatly dotenminate batie tyitem op She feame, so

mno = n • ity anf-m boo longitaibnoi force in giving fcof ^lig frnntie ttacn be de-eamined by th<3 equatioe.

m

Nk,& ^^ nkj xn,&+men/y • i

and the transs^erer: lorae can tie d^(^Peim^i^(^dbhi^l^(3heUtirh^-

sloip:

oLvppX j,0+TvPtaPi

J=C i

( 5)

Vd,& m T Vd gil)

ml y

^a:ztt ergm ^z11 ^ 0 1 vta a 00 • Zn nс^c^azi^t^ p aretzme^c zzciic tщ s P

i tzy aer^:^ zctaawkyare ri/^' 1 vp ynalngtccna liez ¡ta,., i nnyan, smij onze odni(зсion^kt)ir••n^ do aiiyzoPlianei ^ r^â^eLd paptceczaaj ^.e za^ dit momenta ziptni^j^tLjigo .^riT^

'vuliiii'is 0 and = 0. The n:ie^^^nol^p£^r;ime-

^<3rs ^jn-und v^j an<i 'r- p ancp ^^s^aicti^efy, c oirrn^fionde to mkj

;ind m^,exce^>t ^l^E^t ^tiey r-tatoto soaijfit:s^d^n^l foicis p,le and the transwrse force V^respectively, as op^s° to the bmpidg; iteomontMkg.

5.Thelinearisation (if ^^to ^Sifild naiOe^ae^i-tiri

Itfollows fre^m ^eie iitati i ^isjjroaelk of tleia plestic hinit sa ad theorythatifit ia hntesblr tioid^ntif-1 ter^tie ranb.ideoec^ slrvt-turesuchastaticnll)' i^ilio^as-ib-e diiti"^l)dtion nf renidutl beo,i (i^adgmomerili -- isidai^e d ase' vr ^slf-i2i^uililt(i;sa^(^ nyalem te10 f^ai(i tions-thatwil0 ^.rss^ee v sai;- tri^nifei" ohiaisats snr^£;n rbmbineg tfki^le t:h^ 0i^rr-1lcut:ioi- eii,leenc,-^!ts mdmrnfr sjrecil-Lril fc^or the pu-tely ^Hdiii ¡ter^oicitnnn^i^ o^ s]tiii rcntem, i^e^ is ^i, :ke^ck-^rlily -0 assert tioct eei!i ii;^r'1is:ulti( diclriCenlinn w-^i ej^es-^s ljn flese iond processto resis:- C-i^ lr1lngTr-siO; oi ;lnes ali^t:iililli ¡-dntli-ilisi; movementmeclrom-m in yir^ ;^ntr^ys^ct r-t-1:ene( tn oi-s^i ided(sk-each statically indeierminrte idruc-u^^ УУ-ot ls m^de nl sltrs

5. Linearyzacja warunku plastycznosci

Z podejacio odatycznego teorii nosnosci graiécznej RiRni-ka, ze jezeli tylko dla rozpatrywanej konstrukcji da siç ziden-tyfikowac taki otatycznie dopuszczainy remOaâ zginaj^cyc5 momentow rezydualnych, generowany przez samozrowno-wazony uklad reatajk 4tocy ртокмепш z rozklapommo-mentow zginaj^cych specyfikowanym dla czysto sprçzystej pracy ustroju zapewni bezpieczneprzenosnenieobci^zen, to mozna twierdzic, ze wlasnie taki rozklad zostanie wygenero-wany w procesie o bci^eniai jeeczciwstaw^10 uzzchon^4 cwju w analizowacym oeplcdzi c jakicRoOoiwiok pinemotycznic dopuszczalniRO z^edh^iemn гиткиоктугш slowm.knzda konstrukcja otaieoenie nieoncaaiozalüh vtkonaaa ti climom tow stalowncho prnekrziach Icio^c" l> czyZ tzkich, Ное n0 uplastycznieniu zachowuj^ zdolnosc do obrotu, posiada swo-ist^ rezerwç nosnosci warunkowan^ mozliwosciami redys-trybucji momentow zginaj^cych. Twierdzenie to pozwala na konstataj °e stan

z realizaj kinzmztyconic doppozozahiego mechanizmu cu-chu nie zosterne w rarmeopi^gmky tak op<5ki moZ(

na wykaza0, Ze cutnieie molliwosc jeuo ozklukowonic. zocez odpowiedni sozZlad momektöwrezuduc-nych. Oznaoio to, ze temperaincz tasOycznc ©d ^j^i^cs^^t^w^i^^ dlc r^^i^^t^0 naco chanizmu ruchu bçdzie najwiçksz^ sposrod wszystkich moz-liwych do uzyskania z obliczen. Warunek plastycznosci (1), jesli lokalizzwo^z рт saronIebc4dI4ez45l wceunloo ^azko-nego, powiijen 40t:em uznto1 zapsany w formk р1огжоосор

vo g 1,..., K Mk&\< M pi ,&,d

(6)

W kolejnRmkookuzalszh окееШс leke^pom^dzy pla-styczn^ nosnosei;j p rzekc cju ciodozecozezo I tompeoaduri otcaji, czyli funkcjç Mpled = Mpld(0). Jezeli stopien redukcji granicy plastycznosci stali w temperaturze pozarowej opisuje wspol-czynnik к &=f Jf, о wartosciaTh sicuftuwknuo1ewk osmk PN-EN l9 9iof52fon lo c>rzyzaizzceIuoowzomiocueuo rozc kladu temperatury & zarowno w przekroju poprzecznym, jak i na dlugosci ogrzewanego elementu wartosc obliczeniow^ poszukiwanej nosnosci mozna wyznaczyc z zaleznosci:

MPl,0,d =Wpi

Ъ^ = k m

y,0lvl pi,d -

Ум, fi

(7)

tm , f y m

w ktorej: f jest wartosci^ nominaln^ granicy plastycznosci stali, wuproszczonychobliczenn ch normowych zyrfMe utoz-samian^z jej wartosci^charskterystyczne, W^ - wtksznikiem oporu plastycznego, zaleznym jedynie od wielkosci geome-trycznych, a h^é^igc riezaile:zn)^jtn od temperatury, natomiast YM i YMft - czçsciowymi wspolczynnikami bezpieczenctwa specyfikowanymi dla nosnosci i odniesionymi odpowiednio do podstawoazcj satac^céi prolcltfowej i wyjtkowej ae'tua^cji pozaru. WjtatlaS^czir),c,:i oblictesiach1 zgoslnie z zale^ceni;imi normy PN-EN 11:^1-2 llOgprzyjmuie lit, ia 1mu = Cm = t^. Oznacza tOa Se oblizzenitwr norr^occ plasltlozna aazela^tisu elementu clalowcao ^mitniasiç wraz z temperature rronci,, cjonalnie do zmian charakyrystycknej granicy plastycznosci stali.Jzc1 to zalamo1' erlirie nlerlna^aza. bl ^ohn ^lalb^-rymenta^n^cac eizlzii^tl eie niezalemir oy c1z^lгi 2,pnii;nrioici statystycznel ouoaW-wanych wzlnci^^^, iiPnl•llnc oszaico^anocon poszukiwairpj nalezutscijerc relabia:

. _ 1,0087 . n-482 , ,

gdzie cz,n n je N,01,(609 Z' = „„ (8

i R

И+v

339,19

Aby zaleiin^s«^ (8) mogla o^o^tac; ipryl^oritobsteina do ¡3i"o-ponowanego vt n:^n^(3o)s:zi;j jorat)^ iiOtioorytmis poodramowania liniowego, ngiiiti twoiOd«- z;ll)iea.ryoi-ir-an^. Wpoowdzte w no-o-iie PN-EN 1993rg-g [ei zgseiien^a sit; j;; no gdtinkawo ^tni_OTr)r;j

members wi^tli class 1 cross-section s - i.e. members that retain their abilityto rotatoaftaryield- has aoinhernnt reservnof load bear^ngc^fis^c^^'hrnc^ilhr^ht c^n nl^acaji^irt^orehit^i^^ bute bendinr r^c^r^^s^ii. Thv a^l^^vts the tonsSutifn tSce fire resistance limit itvteatnf t^lo^^rl- ct^^t^hi thon cr^rana^ t^n^f^h^o t^ln(^m^1^lerlt^ ^c^mitr^l^ln myvoment meehrnis^m 'ntll yc^i: br reached in the frame as long as it is possible to demonstrate that it can be blocked by an appropriate distribution of residual moments. This means that the critical temperature ©cr spe-sifief -or a yiven rscolot;mnnt mnchanitm will ee Üie highesi nf all computebla ^^sn^iieratae^ loontse^ t^ltmes^as

side ofthe ocu^ary ac^i^c^il№n, ohr yiold cnhCTimn ^lior^icC Oso expressed inrhaSoem of the inequality:

vo g 1,...,K

^o^Mpi,0,d

6)

Another step is to define the relationship betweenthe plasticbending rriisranct of tbe ci-tts^-t^ctloit ¡^nct llat sleel ^.e. tr^^ rw^t^^nn thtel ev p Msltt&t. If the extent to whicO The gitld poitts ol] s1:tel it reduceg in s]^(3 eno^tiera-ture is described by the factor k pe^i eWt fied in the PN-EN 1993-1-2 standard [9], then, assuming the equal distrapta^(^ieof tdee t^c^]a]^rasbee &, aht valuit

cf dor eoad lteprtnin najterleo aoublts ran ba .et^i^twi^^. bo^it tross-wise coil l£^nasSeeltW^ie ai]i r^iet:itb toThr d member ^^ardoo the followinb ^c;lotlor^sla^t^:

ky,0fy

Mpl,0,d = Wpi ■

■ = k,, fi>M

Ум, fi

y,0M pi,d -

yM, fi УМ

()

wher e fy is th e nomtnac zzlne z f the^yreld pomi o :f s teel, usually ietentifiec1 vchh i-a yittl•a(^ier^s^iic nrue; m t^mi^iifLer^ ^ter^t^^srCiritd cnms^t^titioca, SaT - lt Sliiî liio r^lc ^^^tian a^odu-lus that deoonda onii' oi^ te^a a^eometric valras urd e^a tuclii is i-dopenden- ez ^l^is semJзerl^l:uce, lichlly eM anel y^ - eu jsar-tiel i^^rcet 1vceorr 01X10111 ^sl dsr Cieosina oas^achy i^s^c1 rckl iinb ^o the bziics W^slg^ srtu^t^^n rn0 Üse l^cci(e^neai lpr^ sii:ut ation, respcctiuenz In prootical rssmz^iarSynsl a! rccummen-^ed Ctcii llie PN^N ^r^l^^^^i^ i^it^i^iSard [t0•l il is apcumllir C^cC I^jZcCî ^ C m C.S-. '^thss ^ea^s That Üie d^rign Jlitstlc lien(0ingi tarirtance el1 S: fiSeyl memiier,s czosrueectieg cilong;es 'e/v^i^l;!^ Sil^ ^(^nzzbea^r^re proportiune•i:elh Uo eite ^Isanges in The dmescate-cis1ic t•:^(ild flo^^li uf ¡acoiie^. ^^o es> î,1 laighly re-a1::lont

r^^SS- Eptlellitb:enS- -llzw ijerr^rlril;cr csS clsa pigp srarisric'^i variability l'ltHoo ee^ul'.s, the foUowmg l•platlzn lt a good ectii m^e-o^ oi1 Thi^ ee1ntioeehin coujtiiat:

-oaei"o ky0 =

1,0087

y

o z 0 - 882 j n

in ordeo llotr io^ia ool^^-on.i^)]p (0) jo liii u^^tl l°oa The Oineao -pro^i-gn^m1!!; i^^ljioi-ir:1]-]:! tz^ojjos^d hwyo, (i: ntu^t l)e 0]no:^))^ iad] =o0iiüi; ^n tltLi; (rOO-EgJO sOarritaii^ -9^ tt: io soOsti-u-

ted- eai^tn as ei-i2o^'^)se ^^n^^^ :fu:nct:(i:)^, tti^ nurnSlell o1) siraiahr togm^nlis io ta larga ÜeoO rnal-iio o(3iti]entot:-on ilracaicl:i(lt^пt-ртвпПЯе. it: cscn t>e a^su^ed, gowovor] Sno^t rhe -ei^ukan0 c^:L'ti-со- temgoroSuoo ^3 -^e inamo oc l:^^aSi:ae-s) i,;,!1!]!0- os^;^mot:oO tn 0o anose tlen^ 705liC. Sucli ^ 11по11 ^tiow^ site оосерОашеа oji t-s^ sionei-^1---1 ^eiaa)o^trlli8 ptuuosga l^^ thu ¡tur^Oiort nf log This oektiionship ^t a^ foUown

- goo: 8C]hU < 6° m 800°U: Cy>6) = Â^o = k0 =81,(8 (-8

. for: 400oC<0<785oC: ky0=2,O4-2,6-10 0 (10)

The approximation level of straight lines resulting from tJris relationships (9) and (lO)to the piecewise linear function ae prtpoied in tire tNnEN h9e3et-2 standard [9] is shown in Pteteat t. (t it eiisy to notiite; iii£)h 9"or le^mperature values high-

MCGJIEflOBAH MhR M PATBMTML!

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

laman^, jednak liozlraockinkowprostych jest na tyle duza, ze c1 prelaipzce uniemozliwia to poawa.eeme oRlicLRp^. Maz. na jedmak j3rz^Lf(ii nia aoyoiizowatemperaHura Oiytycpea iic.nep' rtorun.owo izadko szacowanatest ne rHzromk wy^zym mat RRpa(Ct. Tnkie ograniczank poawalo np Hkaa^aeS zakzno.o-^^popsiceLei^j :t;ijtK(Pnon(twRipej przen aulorow wnracT [il]. Me ona pos-eé:

He 2ioC<M<4iioC:

ki,m a ki,20 a ki,4aa a r,a (9)

erthan 755°C negative values of the factor k are obtaine d, for whkh i.eve ia na formal .xp^^tic^ As iuch, tliis is, to nome eotent, a iim-C temperaUlra a88vt whkh tlie resistance of the analysesl ci^oP!>-i(tci:^oni bdng miauhcaart anyway, in ignnr t.d. The esse oR the eilhtton-aiijps lC) iteid (l0) make- ih possibU i. s> axprese 1i^e yiek c-i:L't-tcl hti -n ti Hneaz lioiim. cndeed, taking She iRtmurn (tlR asttce staetingpo1n1,the following can be ct)sicriii^(c:

foit: 20 oC < 0< 400°C : Mi

pi, @,d

--M

pl,d

(11)

Hiai 400oC <M< 085oC : kym a 21,04 - 2,6 T0-3m ( 10)

for: 400°O ii 0< 785°C: M

pi,e,d

= ltr

pl,d

(2,04-2,6- 10-3 0

')titi

°gopkrï prostych wynikaj^cych z zaleznosci

(9) i (10) do bmnnej prop onowzaej wnocmie PN-TR 1T9 3s 12 [°A o>ok55°no naryc. 2. Latnto znuwaagl, te dla temptaafury wyzsze, niz y'8.i<i:^ ote^uj e ulnmfe wartosc9 wtpokcyc-nikafc^co nk mruzisadnkmaformo-nego. ai1ttkimiljcaec ja-t to zatam nkjako temper-tara ^amourn- poseyzej toorop zi^nlr;<l^^i,itt ti-- i tcR ju(i m-odoUr- aoteo^ c>a^:^n^s)o pezekro-juT Wykorzystank ackzao.d -9t i tlct dap moO<Swe1c zepE sania warunku jTastyczrcsd .it poirici Umoweji Wycdrdzta z fouIiiLti)lu i-), momc bowkm sepwazge zt zarhodzi:

dlr:20°C< (ti<400oC: M

pj. rg.d

--M

etd

dSi: 400° O < b < 78i° C : M

p-a, d

t we

eI,P

t-

,04 —22,6-10-3 0

(cel

1fiW)

Ntiapy zyenzceyC1 :0c me ista fosmclntlc]ts pozeookoU tlo rozwazenia :]se;u¡cet i nSeeownomternego utii)zeii8a proo-rojs popraecHcega Mczna ns pczyataduwagiitdnk nkwiele niz-cze Sijiciil^i•ai:tirt: goonago para pwuxewecs] sta(zwegz ay-0 ramy wrglçdtm pozelLtiirгrh ci^ci pzzekpoLu. hakC1 as, pcaUtyoc ttossznkowo meekd-a1 i^ci^ieic^ temperately odpowictlerio ii>' w dolnym posk1 w ^:ic:ol^:iCil^ roof niganetgo pnaekroju )trolZ( scxec csi w jepo gOTrym pesir -osî sXutlaism fezet-sednkgo -(-siedntwa gornego pasa stalowego eyciaramyz mesywi):ztlbs( tow^ plytj etropow^ o dttassitp^^ritiatti c^r^si0^eZ Oe^:^íszoaze w ten sposob aEí^Projc^iai --e^JC)(a^lr:l i(p act^di> ^erenscî^r a c]^^no-wi^cy niejako f^mx:at;-toirii a t^r^iesieniit it [i., ie^ki (^e:

it ii^ impcHtani ittc ^szta; S]C]cr zUs^o^ arc no fermai oSacta:^l(2si to conridpring r -lCuaL:ion wr]lzi]e iht iiroatttrci^)osj it tiot: lseased unif:oljmly: îto,isiostancel ílt)tgL1iri)l ioasver iemeesatuca c^ec ^s; con^^doiled ol^ the Ebeam to0 (Ei[i^ite ci .te siisd 0^i)tn^ lii)Pin in sc-ation t:^ otli^r pacer oh hoe eroillienticn. ](uciij oni zat:u-nUy :]^a^^^ifiaajQl, iame[[ioai:Lire dtltcl•encji ts ©'in the Uottzm ii^njïLt a^t jn Hoo c^s^iiitk rf le(e[:t^adl^e^e0 erass-section, and <r (h in Heo fl^nli];i respesliosl0- ^o s^tteibutable to the dieent: c^ n1jl^z) i)nlheL^-^fj )toItgi; el it^e ^);a:li frame l(aem with a mat sive reinforced-œnerete lfeost of higLneaL t^t^jcts its. The ci*o s s-sectioz sn l^o^a0.^)0 rs titan ^stitirie cs tf..t tlar;lmsioi. to. which is, lo aoret octent1 C<].^ tnuliii^liae of fhc rrí'potncz poml jLiaaiLU^^©' l^j, cuch tasal]

&l — ni

( 3)

Thlitis means th at the re is ©" = () - a^) C51 e 3)- h sh ould bie;noted, however, that the value of the factor a changes with ths change m tampers(urn © d))otn(( tli^ usn. ()nol 1(^is ^^ bt' no meant a proportionate chgnge. The nentrahaxis (n^)^o^tion cSianiJt^s as weSl, 'c^Zbicoli fisirtnlieir (samjjUcat^e aomjii:ie^itoeit. The; nteltl crr^tee-iirn, t^en, tmus^ be (n ^aic1) )lno^;ir^t(2(^ agtin tfeer ^aah (^)Ten "o^lue of ths tteel ^(^mjritr-^ltirii^.

))or multi-sthtah fr^aneii, :st eissi^Ss): papists tmpoaaaxt S"or tlte (^lee(stss0n e1^ the sitimated crtt(a;ir ^tkinfieriit^fsisre ol1 ©^ itr ):elrt in^a actocmt i:li(^ effaet re l^the M-N i^is^tte^sittt^ojt. The t'iia(d crife-rion (6)is then exfrreesdby atie f^lf.ai(^nsati^:

&l — zsi

(t3l

\/Ât=ss,a., K \Mke\< M pi

1 -z

\N.

k ,0\

N

pl,0,d

( 14)

ll 1,0 0,80,60, 4

0

according to PN-EN 1993-1-2 wedtug (9) i (1^ -ci^^^^^^^o (9) and (10)

0

I I 1 I I I I I I I I I

1(^0 8^00) ^100 -00 600 00- 800 900 1000 1100

®a [°C1

Ryc. 2. Aproksymacja zal^;^no^c(ao) (L^ii^^Ot i]zatna l:taerilza(zsej•a(^dra^^e PN-EN 0103-1-2 lap jl^z](ss(^i^](zenia relacji (8) Fig. 2. An approximati^naltl^e eicazwise liacn ac(^ctian]tro]st^s^^din i^l^e PUN-EN 1903-Eh [9]sieadtid so eaiimata 0-ii; relktw(8)

-s jazfzj^teu^ae ^nd-stL Zrôdlo: Opracowanie v^it^sL^z at -jo^stov^ic [3]. Source: Own i^laborah^c^n-jt^i^ct on^i^].

a

Oznacza to, ze zachodzi ©u = (1 - a)©' (rye. 3).Nalezy jednak zauwazyc, ze wartosc wspolczynnika y zmienia siç w czasie pozaru wraz zezmian^ wartosci temperatury ©. Nie ^i^st to przy tym zmiana wzaden sposob proporcjonalna. Zmienia siç reniez polozenie osi obojçtnej, co dodaÉowo komplikuje obliczenia. Linearyzacjç warunku pla)tycan osci trzeba z atem w takim przypadku przeprowadzac od nowa dla kazdej zadanejwartosci tempeeaturystali.

W pruypadku ranc wieloaonyygnacnnyeh islotnym eir precyzji uzyskanegp oyzacowan ir tamperatury krytycznej ©y moze okazat nia uwzylaOyienie wpieises inlerokey0 Zi-ie. Ww runek plastyaznoSci rt) zapisuie zie wtrdy zaleano iti;y

Vk = \,...,K M^Mm 14

s-

tONai

N„

" pli, et J

Ppuiewais jednok, analoclcenia do (U), zachodzi:

YMf

(14)

N

KM M

= AWziy. = k c,yN

M,fi

y M1 v pl,d ■

ÏM

ciy

gdzie . jesy powierzclsmw enahaowanego psoetkrojc jro-yrzecznzgc, wtounez Ck0i sprywwdoa aa do p oitace:

war

vae....,.)- Mez|p ^-lC"li|-i^ik,,re| dMyo a d do

D M:10M2d 4 5/-tp.44.4.2016.8 Since, however, by analo gy to ( 7), t here is:

ON

plMW

= A^M-O- = y° acty4

rMji

y M0 plcd ]

ÏM, fi ÏM

(15)

where AC eye cross (eetiona1 are t^u an alysed member, Ohe eriSerizn (le) le chzwo as:

¡se c

Vp = lW. a A .y.M(d (Z6i

oZ dtt equiualent sepuenœ oZ dokir inCependent constra-cnts, Zhati êisz

when ¡Wce x 0 0 i N¡¡¡00 0 0 : HT (

yyzi<...,K Mk& + —-N¡,0 <Wpio0,y whkn: do. y. < 0 i Na y < o :

uazd,...,K - Mk @—j-Nky< Wp10yi

whkn: Ma<y 0 0 i N a 0 < 0 :

— ;

(/C: z i,. ..M Mh>--uSZcftl<M

O 0

whkn: Wa 0 a 0 i S-c y > O

a,<9-M pi, 0,d

ua = i,..„K -m^ y^k-ki© In-Mk11

( s 7) (1 8) C 19)1 (20,

rownawwznej sekwescj0 czlercdr niezaleznych ograni-taez0, yc ezneetczy<

gdz: /yy >0 i M<o 00.

— ,

M , d<-.sau Mhz t—C-Na<o <Mer

gefy: Mk,y<0 i NK0<0::

ua z d<...<k - wkd -

gky: Myy>S i Na,0< 0:

ua zi.....k wk >-

o

>dy: Wa,y < 0 K Nw<y > + : —1

pl

Nk,o <Mp(,y,C

—

pl

va = d...<K -Mki9 +

pi

N k,y cMei,y,d

NaopPMpoy

(ics //-na (red

C2(C)

4

ICdc. Î5. (^Oliczenioavy tc^okCasl tamdecatvlro w j)rzekroju -oprzeczn"^m nieizotowane^ostalowego rygla ramy nosnej uwzglçdniaj^cy wplyw

s^iaduj^cej ztyn eyglem zelbetowejplytystropowej pi gl — 'Due com0wt;ior¡ol oliste—ct iow el^ th e tempe rature i n tha cross-section of an uninsulated steel beam in a bearing frame, taking into acco unt the mfluence of a reinforced-concrete floor slab in direct contact with the beam Zrôdlo: Opracowaniewlasne. Source: Own elaboration.

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

6. Sformulowanie zadania programowama liniowego

Liniowe warunki rownowagi, odpowiednio (3), (4) i (5) oraz zlinearyzowany warunek plastycznosci (16) pozwalaj^ na sformulowanie ograniczen sianowiycychbazc dlazadania programowania liniowego. Wczesniej jednak nalezyprzyj^c ustalon^ wartosc temperatury & = &0, ktora w dalszych roz-wazaniach traktowana bi°dzie jako ten^eraftioa odnkrknm. Wtedy bowiem tempeealurc kcytycpne ©cl wpznaczy mnoz-nik Z = Z , taki ze:

6. The formulation of the linogr-programming pro bkm

The linear equilibrium conditions (3)> (4) and (5), respec tively, and thelinearised yield criirrioett6) facilitate the foimclation oe nice constrainto to lrc ucnd re the bacis of jlic H-near-programming ртоШепе S:r:ior to thin, howeven a apeajfic temperature valos ef© er Pe must be defined ae ihe reference -empcra-ure poe oa-i-e-ec ennsiaeeetiopr. Thef the reifical

lemperatuer of azce wili be cSelerminad Пу -he onultip-ier 0= П„> such that:

gcr - £cr gc

(21)

W zadaniu chodzi zo.nm о makiymalizacj § wyr-orti mnoznika Z, kojarzon^t^ow torn prnyprddazfunnyj^celn, przy spelnieniu liniowych wzgpdem temperatury & ograniczen zapisanych przez nast^puj^cy zbior osmiu nierownosci, wyspecyfikowany osobno dia kazdego .ninltfu p o 1,...Д od-powiadajccego lokalioacjipoaeoyb -a plnrtynze ago w wybra-ym do analizy mechanizmie ruchu:

roe cr - ^cr gffc

(21)

The problem involven, -h re, tlie meximisatien oli the mnl-tiplier value ^, associated in thiscana wiiii the objexiiee funn-laon, wtth ihe ieftor^ct:ion eit conetoainSilinearlc the temperature of 0, wfrre ihe coxslramis are xxneesseO by ahe folio wiog sei of eighi tnexuaiitie- ^siteii-iea -epnrat:gln ioi eanh poiae k = 1,...,iC corresp ondingloolestic-htnae location in the analysed movement me chanism:

W,

Z mko'Xj0pZmppi Z nkjXj0pZnppi

j=\

(

A

- W,

pi

V j=1 fy

(22)

YM ,=

m A Wpi - m p

Z mk,xj0pZmkipi Z nkjxj0 pZnkipi

j=1 i A V j=1 i

< W,

fy

(2 2)

pi

2M,fi

- Z ™°Xj0 ~Z mp Pi p-0=1 C

A

- Z nkxXj0~0nppi j=S i

i p 2AW

Zy

(23)

P-

W,

2m, ft

Zmxjx j0~Zmbpij ~~ Z n= cy jZZkZ

Z=1

Z=i

_P2 )

WW,

fy

pl

W,

2M0

Z.mpxj0 pZmPiPi p~pp_= - Zn0Xj0-ZnкiP-

==1

2=k

<W,

-y

j)

pi

P Wpi

Z m=Xj—pZm=Zi W-

2m,m

0=1

A

Z 00X ^jZnm-Zm

A1 i

P Wm -W-— P) - 2,6 • 1Уpj)m0yУ

0 2M,fi 2 0 WW

(p6)

P W„i p

vyA| mkjXj2 -Zmp— p)— Znxxj2-Z:k4^pi

0=1

0=1

ii w

fy

(23)

2-

2m,fi

P WVpii p

22J mkoXj0-pkmPiPi p—p p

j

A

.o=m

WW,

fy

122)

pl

m Wp2 p

Z mMXj0 pZ2kiPi p-—_--Z nkjxj0 -Znkipi

2m j

j=1

A

0=1

<W,

fy

W—)

pl

W Wa k

Z p-Z0p— p-p- z nkjxj2 2Zm—i

2M,m

o=1

A

o=1

- W-1 -P—p-(x,oj-x,6.1CT300o^

^PM,-) 2 0Z

W—

W.

г pl P

— m2Xj0-kLinu^ Z-—2— Z —XjP-ZClmPi j—1 i z V P=3 i .

^ Wp1 -— - x,6 • i (Z-3 )

2M, f j

—l

W,

-Lmkjxj0-Zp1-- p-ZA Z° 2lgXj0pZC- -

j=1

J=1

:< WaaA—- -,0Jl - -,6 -1 О1 ijj—o^

p2Ao, k'

C—O )

= - Wpi l = P - W mt2xj0 _Z-2-i o~2--Z nmXP0-ZCmPi

J'—1 i A V j=1 i

me -P- j0-— - 2,6 • lOJ300o)

-3 2M,fi ' '

P A Wp- l = - Л

Hei - Zm— -i —n^jj j- Z Cki -i

o=1

1.o=1

- W— -0Z— W0J -) 2,(5 • 10"^3)|2(20)

W 2MJi 0 2'

(P8)

D01:10.12845/bitP.44.4.2016.J

D 6 ipl 3 D 6

Z DkjxD@ + ZDD66 + —:--Z nk/xj0-Z«¿i'6

J=1 ' p I J=1 ' - (29)

< WntD=-JL- (2,04 - 2,6 • 1 4-364) p(—yf 4/

Ograniczenia (22) doVyXyg^pecyfikowsnedla C-te( lo-lcaliis^cjJ pszeaubu uiaseycsncgo, ocygodnda zrpisaew poataci m acierzowej:

gdzie:

P8x'Xjxi + B8xi < C<

8x1

(30)

D 6 3 D 6

Z D-xj6+E D66i +—;--Z 2ijxj6 -Z «¿i'6'

i p 2 4=1 ' - (29)

< W„, -Dfc— (:2,04 - 2,6 • 1 0-364)

C —M,fi 7

p isconsznient tc eoj](]esc lite consZrainSs (2dd2) io (29), cp8tifieD Soz thu d-sUCno]ei]d1tJilc^(^^^iic^^ellt]9e p^^stic hinge, in the form of the matrix:

ere:

P8xXjxi + B8xl < C

8x1

(30)

A8xj —

W,

m\ + -

pl

ni

W

-mi

pl

W,

-mi +-

pl

ni

ni

W1

vpl

mi--— ni

W1

m— + -

p-l

n1

A Wpi -mi —-J-ni

Wpi

-mi -—— ni

W

m1

pl

ni

Wpl mj +~nj

Wpi -mj - — nj

Wpl -mj +—nj

Wpi mj ~~nj

Wpl mj +~nj

Wpl -mj -—nj

jp--mj +—nj

Wpl mj -^nj

(31)

Aovi —

w,

m1-

pl

n i

w

-mi

pl

W

m1-

pl

n1

ni

W„

vpl

mi--— ni

W

m— + -

p—l

n1

A wpi

-mi —

jp-

-mi -—— ni

w,

m1

pl

n 1

Wpi mj +~nj

W-l

-mi - — nj

Wp--mj +—nj

Wpl mj -~nj

Wp-

mj+—W

Wpl -mj -—nj

Wp--mj+—nj

Wpl

mj -^nj

-31)

xjxl—[xl ■■ ■ xj \

(32)

X jxi — [xl - xj\

(32)

B

8xi

Zmf P +WPpP ZnA Pi i A i

- Z mfPj - W~P Z nAPi i A i

- Z mP + W-- ZnpPi i A i

ZmPPj - --p— -nAPi i A i

Zmp Pi + WWp—- ZnpPi i A i

- Z nAPi i A i

- Z m-—- + mWp- - nA— i A i

ZmpP -WppZ-nA —i A i

(33)

B

8xi

- m-—- +mPpi- ZnAp i A i

- zm-—- -mmp— z nAPi i A i

- z mpz-nAp - A -

Z-mP P-■-Wpp- Z-nA Pt i A i

Zm-—- + --mpL ZnA— i A i

- ZmpP- - ^pp-ZnpPi i A i

- ZmpP- + Wpi- ZnpP-i A i

Zmp P--WPpL i-np Pi A ■

(33)

MCCHEflOBAHMfl M PA3BMTME

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

C8 x1 -

W,

fy

pl

W,

pl

W,

pl

W,

pl

W

fy

pl

yM , fi

yM, fi fy

yM, fi fy

yM, fi fy

yM, fi

04 - 2,6 -10

"3C@0 )

W

pl

(2,04 - 2,6 -10-3 C&0 )

yM, fi fy

W

yM, fi

fy

pl

Wpl-^— (2,04 - 2,6 -10 3C@0) (2,04 - 2,6 - 10-3C@o )

yM, fi

(34)

Zbiör oeraniczeft stancwi zatem complzi 8 • ÄT niezalep-nych merdwnotti, gdzae S- jest llctbz itkalizaati przeguböw plastyczrygh cZ^kcacTOkych z wybranym do maOzy meekanl-zmem ruohu. Naleky zazmocyc, fe sc sheamulowaniu zadazsa pominigOt tOzrurkkwo mabo m ecz^cj wylyes ic^te raksjo Zk- am Rozwi^zaniem zadania programowania liniowego dla wybra-nego mechanizmu jest wiçc maksymalna wartosc mnoznika Z, pr^ toörep s^Moiiz . ttezcoe bdofasioware po^fej ograniczeria. Orz.wtécte1 h ceta kszatowasna tem.eratay krytyczre. mZtrydajnztdiocttet stmyneMy oajparw wy-znaczyc temhazriurydrctrkzns ohpowiahswzt yrzdomusphi sröd mechawioczSw kmamrtrгtzniodowuszgozlnbcd,allrzez to moznwych do realizacji, g nasSçpnie pozöwkzc zowiätz^stici^

C8 x1 -

W

fy

pl

W

pl

W

pl

W

pl

yM, fi fy

yM, fi fy

yM, fi fy

W

fy

pl

yM, fi

yM, fi

(2,04 - 2,6 -10

W

pl

C&0 )

(2,04 - 2,6 -10-3 C&0 )

yM, fi fy

W

yM, fi fy

pl

Wpl-^— (2,04 - 2,6 -10 3Ç00 )

(2,04 - 2,6 - 10-3C@0 )

yM pfi

(34)

A set ofconstraintsis,then,a setof 8 • ^f independent in-equalities,where K isthe numberofplastic-hinge locations associatedwiththeanalysedmovementmechanism.Itisim-portanttonotethattheproblemhasbeen formulated without taking intoaccounttherelativelynegligibleeffect ofthe M-V interaction. Hence, the solution of the linear-programming problem for the selected mechanism is the maximum value of multiplier ^whichalsosatisfiestheabove-definedconstraints. In order to estimate a critical temperature that is representative of thewholeframe, the first: thing to do is to determine the critical temperature values that correspond to each of the kinematicallyadmissible, and thereby realisable,mecha-nisms, and then to compare all the resultant values, andselect

,20 kN

55 kN

\<pi ^

M

Pf=55

4 A

Pi=55

Ryc. 4. Geometria, schematstatycznyi obci^zeniezewn^trzne rozpatrywanejramy (ugory zlewej)orazpotencjalniemozliwe mechanizmy jej plastycznego zniszczenia, w szczegolnosci: mechanizm kombinowany generowany przez uklad obu sil skupionych (u gory z prawej), mechanizm belkowy generowany jedynie przez sil§ pionow^ (na dole z lewej) i mechanizm przechylowy generowany jedynie przez sil§

poziom^ (na dole z prawej)

Fig. 4. Geometry, static scheme,externalloadsappliedtotheconsideredframe(topleft)andpotentially possible plastic failure mechanisms, in particular the combined mechanism generatedby boththeconcentrated forces(topright), beam mechanism generated by the vertical force only(bottomleft)and tiltingmechanism generated by the horizontal forceonly (bottom right)

Zrodlo: Opracowanie wlasne. Source: Ownelaboration.

otrzymane wartosci i wybrac najmniejsz^. Bçdzie to równo-czesnie wskazanie mechanizmu miarodajnego do osi^gniçcia stanu granicznego nosnosci ogniowej przy zalozeniu sztyw-no-plastycznego modelu zniszczenia ramy [11]. Trzeba przy tym przypomniec, ze proponowany algorytm obliczeniowy daje wiarygodne wyniki jedynie wtedy, gdy wynikowa temperatura krytyczna dla kazdego rozpatrywanego mechanizmu ruchu jest nizsza od wartosci granicznej równej 785°C, co wynika bezposrednio z formuly (10) i ryciny 2.

7. Przyklad obliczeniowy

W celu ilustracji zasad stosowania proponowanego po-dejscia obliczeniowego rozwaza siç prost^ ramç stalow^ o geometrii i schemacie statycznym pokazanych na ryc. 4. Zaklada siç, ze H = 6i0m iL = 10,0. Na przytoczonej ryci-nie zaznaczono równiez przytozon)B c^oanalizowanej ramy

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

the lowest one. This will, at the same time, indicate the mechanism that is representative of the fire resistance limit state being reached assuming the rigid-plastic model of the frame failure [11]. It is important here to recall that the proposed computational algorithm gives representative results only when the resultant critical temperature for each considered movement mechanism is lower than the limit value of 785°C, as directly inferable from the formula (10) and Figure 2.

7. Sample computation

To illustrate how the proposed computational approach is applied, a simple steel frame is considered with a geometry and static scheme as shown in Figure 4. It is assumed that H = 6,0 m and L = 10,0. The Figure also shows the arrangement of external loads applied to the analysed frame, with the loads' being specified by two concentrated forces - the

Ryc. 5. Przyjçty doanalizyzastçpczy statyczniewyznaczalny schematstatycznyorazwykresymomentow zginaj^cych (z lewej) i sil podluznych(zprawej),pochodz^cych kolejno: odsilhiperstatycznychowartoscijednostkoweji odobci^zeniazewnçtrznego Fig. 5. The substitute staticallydeterminatestaticschemeassumedfor theanalysis anddiagrams ofbendingmoments (on the left) and longitudinal forces (ontheright),duetounithyperstaticforcesandexternal loads,respectively

Zrôdlo: Opracowaniewlasne. Source: Own elaboration.

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

uklad obci^zen zewn^trznych specyfikowany poprzez dwie skupione sily, odpowiednio poziom^ o wartosci P1 = 55,0 kN i pionow^ o wartosci P2 = 20,0 kN. Pokazano takze poten-cjalne przekroje krytyczne z lokalizaj oznaczon^ kolejnymi cyframi arabskimi (od 1 do 5). W przekrojach tych (i tylko w tych) w czasie pozaru moge aktywowac si§ przeguby pla-styczne. Zarowno slupy, jak i rygle ramy wykonano z dwuteow-nika IPE 300, dla ktorego plastyczna nosnosc przekroju okre-slona dla warunkow podstawowej sytuacji projektowej wynosi M t = 146,50 kNm (przy czym: W^ = 628 mm3, A = 53,80 mm2 (Wp /A = 0,012). Latwo wykazac, ze rama bezpiecznie prze-nosi przylozone obci^zenia w podstawowej sytuacji projektowej (bez uwzgl^dniania wplywu pozaru).

Celem niniejszego przykladu jest wyznaczenie mecha-nizmu krytycznego ze wzgl^du na oddzialywanie pozarowe oraz towarzysz^cej temu mechanizmowi temperatury kry-tycznej badanej ramy. Zaklada si§, ze pozar w strefie poza-rowej mieszcz^cej analizowan^ ram§ ulegl wczesniejszemu rozgorzeniu, a wi^c osi^gn^l status pozaru rozwini^tego, co skutkuje wyrownan^ i monotonicznie rosn^c^ temperature gazow spalinowych. Zadanie zostanie rozwi^zane przy po-mocy dwoch jakosciowo roznych podejsc obliczeniowych, co umozliwi weryfikaj uzyskanych wynikow.

Pierwszym z rozpatrywanych algorytmow jest ten, opisa-ny w szczegolach w niniejszej pracy, w ktorym zastosowano klasyczne reguly programowania liniowego. Na ryc. 5 zapre-zentowano zastosowany w obliczeniach zast^pczy schemat statyczny oraz; sposob wyznaczania wartosci sil hiperstatycz-nych. Przykladowo, dla mechanizmu belkowego (przeguby plastyczne indukowane w punktach 2, 3 i 4) otrzymano na-st^puj^ce ograniczenia:

• specyfikowane dla punktu 2:

5 • x + 0 + 0 - 0.012 • X + x3 + 0 - 5 • x - 0 - 0 + 0.012 • X - X - 0 -5• x + 0-0-0.012• x2 -x3 +0

A 2 =

5 • X - 0 + 0 + 0.012 • X + X - 0 5 • x + 0 + 0 - 0.012 • X + X3 + 0

— 5 • X - 0 - 0 + 0.012 • X - X3 - 0

- 5 • X + 0 - 0 - 0.012 • x — X +0 5f -0-1-0-1-0.012• X + X3 -0

5 • X - 0.012 • X + X3

- 5 • X + 0.012 • x2 - X3

- 5 • X - 0.012 • x - X3 5 • X + 0.012 • X + X3 5 • X[ - 0.0012? • X2 + xn

- 5 • -X0 +0.012-X2 -x

- 5 • X- — 0.012 • X2 — X3 5-Xj +0.012 • X2 + X

"-80" 80 80 -80 -80 80 80 -80

Bo

horizontal force of P1 = 55,0 kN and the vertical force of P2 = 20,0 kN, respectively. It also shows critical cross-sections, with their locations marked with Arabic numerals (1 to 5). Plastic hinges can form in these (and only these) cross-sections during the fire. Both the beams and columns of this frame are made of the IPE 300 I-beam, for which the cross-sectional plastic bending resistance, as defined for the persistent design situation conditions, is M pl = 146,50 kNm (with: Wpl = 628 mm3, A = 53,80 mm2, (Wpl /A = 0,012). It is easy to demonstrate that the frame safely transfers the applied loads in the persistent design situation (without taking the fire into account).

This example is performed to define the mechanism that is critical due to the effect of fire and to evaluate the critical temperature of the analysed frame that accompanies this mechanism. It is assumed that the fire in the fire zone of which the analysed frame is part flashed over earlier, so it reached the status of a fully developed fire, thus resulting in an equal and monotonically rising exhaust-gas temperature. The problem will be solved using two qualitatively different computational approaches so that the results can be verified.

The first considered algorithm, described in detail by this article, is the one which uses the classical principles of linear programming. Figure 5 illustrates the substitute static diagram usr<° ia ;he computations and also shows how the hy-perstatic forces re defined. For instance, the following constraints have been obtained for the beam mechanism (plastic hinges induced in points 2, 3 and 4):

• specified for point 2:

5 • x + 0 + 0 - 0.012 • X + X + 0 '

- 5 • X - 0 - 0 + 0.012 • X - X - 0

- 5 • X + 0 - 0 - 0.012 • x - X + 0 5 • X - 0 + 0 + 0.012 • x + X - 0

A2 =

5 • X + 0 + 0-0.012 • X +:СзН-0 -5• X -0-0 + 0.012• X -X -0 -5-в +0-0-0.012• x -X + 0 5f -0 + 0 + 0.012• x + X -0

5 • x - 0.012 • X + X3

- 5 • Xj +0.012 • x - X3

- 5 • X - 0.012 • X - X3 5 • X + 0.012 • x + X3 5 • X — 0.012 • X2 + xx

- 5 • XCJ +0.012-X2 — X

- 5 • X - 0.012 • X - X3 5 • X + 0.012 • x + X3

-80 80 80 -80 -80 80 80 -80

B1

DOI : 10.14840/Pitp.44,4 O 016.8

C 9 =

1.28-10—6 235 -001

128 -00—1 235-003

128 -00—1 235 -JO33

128-10—1 235-003

128 05" "6- 235 -101 (.2.04 — .2.1 10s "A

128 00" "6- 235-PO3 J-.2-- 2.1 00s J1)T

128 30" 4(1 - 235 -PO3 12■24 — 2.1 00s J1)9

128 00" "6 - 235 -101 (2.04 — 2.6 10s -PA

A3 =

047.58

047700^

^47.58 188-8.08! 350.56:5 — 0.3840 301.563- 0.384.9 305.563 — 5.38413 301.013 — 5.384(9

specyfikowane dla punktu 3:

' e T1T5 —5.502-x2 ox3 TO " -- — 0.0 -05.0) H^-x. —4e —0

— 4° T5 —5 —5 :0)1:^-x0 — xo T0) —1 -0 2- 05 T5. = 12 -x2 -0 Ce-5 x- TOTO — O.O 42 • x2 T —3 T 5

— — — 0.0 -oJ8.Je 12-x2 —x3 — 0

— X1 -35 — 5 — 5 : 012-4) — 41 TO - — 0T0T0.002-x2 0-4 — 0

xl —12002 0 x2 -0 X3 —o 4j T0.00 2-x2 —33

— xl — 0.0 0 2 • c2 — x3 xl o-1.00-^-x2 0-X3 ev. — 0.0 02 - e.3 0- x3

— X. T0.082-X2 — XJ

— x. — 0.0 —2 - x2— XJ x. o-0.002-x2 -0

0 -

5 5 0 0 5 5 0

1=

C 9 -

628-10—6 235 -101

128 -00—6 235 -101

628-00—6 235-001

628-10—6 235 -101

128! 00s "6 - 235 - lO3 (2.04 s4 2.6 10s "PA

1281 00s "1. 235 - P01 p004 - 2.6 00s J1A

128! 50s 11 - 235 - P01 --.2-- - 2.6 00s

128! 00s "6 - 235 -l01 (2.04 - 2.6 00s "p)9

A3 =

—47.58

087.08 U7 .P.— 300.01-0 — 0.384A 301.068 — 0.3849 301.063 — 301.013 — 0.384(9

specified for point 3:

' x- 0-I-00-0.002-x- -ox,T0 -

— — — 0 — 0 -TO.O — - x0 —x3 — J)

— x. 0)0-0-0. 0.2• x0 —x3 oJ) -1 -0T0T0.-12•X- -T x3 -0 x- TOTO — 0.0 e2•x- -ox3 -o0

— — ^0-0 -0J8.O 12-x2 —x- — 0

— x. -30-0-0 .012-4 —x- T0 - —0T0-00.JJ02-x2 Tx3 — 0

xl — 0.002 J x2 ox3

— x TO.O^ 2•x1 —!3

— xl — 0.0 02 8 x2 ^33 xl т6.012-X2 -ox!

xii - 0.0 02 - x3 04 x.

— jj. T0.002-x2 — xj

— jj. — 0.002 - x3 — xj x. 0-JJ.002-jj2 -0 X(

00 0 0 0 0 0 0

1=

RESEARCH AND DEVELOPMENT MCCTEflOBA MSI A PA.3I0PITME

6E8-10a6 E35-103

6E8-1A"6 E35-1P3

6E8-1A"6 E35-103

6E8-10a6 E35-103

6E8 10" _6-E35 - 1P3 is. ii4e- E . 6 10" l30

6E8 1L" "6 -E35-103 12.04 e-E.6 10" "30

6E8 1A" "6 -E35 • 103 12.04 e-E.6 10" "30

6E8 10" _6-E35 - 1P3 (E.04 e- E . 6 10 1^0

147.58 347.58 147.58 147.58 3P1.P63 A 0.3840 3P1.P63 A 0.3840 301. P63 A 0.3840 3P1.P63 a P.3840

MlTase cite ps: BiTPVol. 44 Issue 4, 2016, pp. 99APA3 D OIAO . 12L 051 bite,A4.4 A 01P1

6E8-10a6 E35-1P3

6E8-1A"6 E35-103

6E8-NA"6 E35-103

6E8-10a6 E35-1P3

6E8 10" "6 - E35 -103 (e.04 A E.6 10" "30

6E8 1L" "6 -E35•103 (2.04 A e.6 10" 30

6E8 11" "6 -E35 • 103 (2.04 A E.6 10" "30

6E8 10" "6 - E35 5 -103 (2.04 a E.6 10" 3 PP

147.58 147.58 147.58 147.58 301.063 A 0.3840 301.063 A 0.3840 301.063 a 0.3840 301.063, p.3840

specyfikowane dla punktu 4:

specified for point 4:

A 4 =

0 + 0 + 0 - 0.012-x2 +x3 + 0

0 - 0 - 0 + 0.012 • x - X - 0 0 + 0 - 0 - 0.012 • x - X + 0 0 - 0 + 0 + 0.012 • x + X - 0 0 + 0 + 0-0.012-x2 +x3 -10 0-0-0 + 0.012-x2 -0 0 + 0 - 0 - 0.0 12 • x - X + 0 0 - 0 + 0 + 0.012 • x + X - 0

B3

- 0.012 • x + X3 0.012 • X - X

- 0.012 • X - X3 0.012 • X + X3

-0.012 -X2 + x3 0.012 • x2 - x3

- 0.012 • x - x3 0.012 • x + x3

A 4 =

B 3

+ x + 0 - 0 . 012 • x + x3

- X3 - 0 0.012 • x - x

- x + 0 - 0.012 • x - x3

+ x - 0 0.012 • x + x3

+ X3 +0 - 0 .012 • 2X2 + x3

-x3- -0 0.012 • x2 - x3

- x + 0 - 0.012 • x - x3

+ x - -0 0.012 • x + x3

"0"

0

0

0

+

0

-

C 4 =

628? • 10-6 235•162 628? • 10-6 235•103

628-10-6 235•162 628•10o6 235^

6)2X8 • 10_6 +35•102 (528 • 10-6 +35•103

6C22 8 2350 • 16 2 62 8 •00o6 235•103

628 10" "6 ^ 2^"" 5 • 1022 E.04 - 2.6 10- "20) C 4 = 628 0106030- "6 ^2 X5a03 (2.04- 2.6 10

62- 10" 22 • 2!35aO2 -2.0 --- 2.6 10- -30) 62- 001603- ~6 • 23+-103 (2.00- 2.6 10

(528 10" 22 • 235-162 +2.0 +- 2.6 10" (>28 101 "6 • 23+403 (2.00- 2.6 10

66228 10- "6 ^2^35 JLO22 (2.041- 23- 10- "30) 628 0106030- "6 ^2X5 • 103 (2.04- 2.6 10

r3t

r3t r3i

147.58! 147.58 147.58 147.58 3 Z1.Z 63 a 0.304$ 3 Z1.Z6 3-Z. 304$

2 Z1.Z6 3 — 0.384$

3 01.Z6 3 — 0.304$

DOAI0.12800/bitp■4 0.4.0016. 2

147.588 147.58 147.58 147.58 3 01.Z63-Z. 384$ 3 Z1.Z6 3-Z. 384$ 3 Z1.Z6 3 — 0.384$ 3 0)1.063 -0 0.384$

Analizamechanizmu przechylowego(przegubywpunk-tach 1, 2, 4 i 5) daje odpowiednio:

• ograniczenia specyfikowane dla punktu 1

5 • Xj 2 0.012 • x6 2-6-0:2 2) 02- x3 20 0 -5-Xj -J0.010 -x: - 6-x2 - 0-x3 — 0 -5 • Xj + 0.010 • x. - 6 -02 2- 0 — —- + 0 5 • x6 - 08.010• Xj 2 6. x2 -0 + x3 -0 5 • xj + 08.010 • xj 2 6 • x2 2 0 + 43 2 06 -5•XJ — 0.010 •X. — 66• Z3 - 0-x) - 0 -5 • Xj 2 0.010• x. -(>• x2 33 0 —X3, 2- 0 5-x, — 0.010^+ 6^ — 0 + x. — 0

A- =

C =

5.010 • x. + 6 - x2-3 o3 5.010 •x, - 66 •X0 — x3 4.0888 • Xj - 66 • ,—:2 — x3 4.988•x1 +6•611 -JX6 5.010 • Xj +6• x2 -2 x3

— 5.010 • x, — 66 • a. — X,

— 4.088 • Xj — ^j;—2 - x3 4.988•x1 + 6•x1 +X6

Bi

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628 10" "6-235-103 (2.04 - 2.6 10" "30

628 10" "6-235-103 (2.04 - 2.6 10" "30

628 10" "6-235-103 (2.04 - 2.6 10" "30

628 10" "6-235-103 (2.04 - 2.6 10" "30

Ananalysisof the tilting mechanism(hinges in points 1, 2,4 and 5)yields(respectively):

• constraints specified for point 1:

5,Xj + 0.012 •X1 -8 6 • Z- + X + x3 +0

— 5 - Xj -J 0.010 • x:— 6 x X6 — 0 — x0 — 0

— 5 - X6 -A 0.010 • X- — 6 :D2 + 0 — x3 + 0

5jx6 — 0.010 • XJ + 66xx2 — 0 + 43 — 0 5,Xj + 0.010 •X1 +6 •x. + 0 + 43 + 0 x 5 ^ X6 — 0.010 • x. — 6) • Z3 — 0 — x- — 0

— 5^X + 0.010•x1 ^6•X2 330^X3 + 0 5^ — 0.010^ 2- 6•x. — 0 + x3 - 0

A- =

5.010 •x. + 6 - x 2+ x3

— 5.010- x, — 66 •x. — x3

— 4.X8X • x• — ^•;O2 — x3 4.988 •Xj +6•Xo +X6 5.0-0 • x. + 6 • x2+ x3

— 5.x10• x, — 66 •x. — x3 ). 4.X8X • x• — ^•x2— x 3

4.988 •x. + 6•Xo +X6

— 80 — 0.010 • 00" -— 80.04" -— 80 — 0.010 • 00" -— 80.04

80 + 0.010 • 00 80.04 80 + 0.010 • 00 80.04

80 — 0.010 • 00 79.76 80 — 0.010 • 00 79.76

— 80 + 0.010 •00 — 79.76 B1 = — 80 + 0.010 • 00 — 79.76

— 80 — 0.010 • 00 — 80.04 — 80 — 0.010 • 00 — 80.04

80 + 0.010 • 00 80.04 80 + 0.010 • 00 80.04

8 0 — 0.010 • 00 79.76 80 —0.010 •00 7 9.76

— 80 + 0.010 • 00 — 79.76 — 80 + 0.010 • 00 — 79.76

C =

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628-10"6 235-103

628 10" "6-235-103 (2.04 " 2.6 10" "30

628 10" "6-235-103 (2.04 " 2.6 10"

384 10" "6-235-103 (2.04 " 2.6 10"

384 10" "6-235-103 (2.04 " 2.6 10" "30

MCCTEflOBAHMfl M PA3BMTME

D0I:10.12845/bitp.44.4.2016:8

147.58 147.58 147.58 147.58 301.063-0.384(9 30 1.063 - 0.3840 30 1.063 -0.384(9 30 1.063 — 0.3840

147.58 147.58 147.58 147.58 30 1.063.0.3840 30 1.063.0.3840 30 1.063.0.3840 30 1.063.0.3840

ograniczenia specyfikowane dla punktow 2 i 4 s^ analo-giczne jakprzymechanizmie belkowym, ograniczenia specyfikowane dla punktu 5:

constrains specified for points 2 and 4 correspond to the

beam-mechanismconstraints;

constraints specified for point 5:

A, =

-5• xj -0.012-xj + 6-X2+ 0 + X3 + 0 55 • aq - 0.01:2 • Xl - 6 • x-- - 0 - .3 - 0 5-X1 --0.0122 -x"! — 6 ■ X2 -2 0 — X3 + 0 -5-x1 + 0.012•x1 + 6-X2 .0 + X3 —0 — 5 • x-1 - 0.0^22-x-^ + 6:X5+0 + Xз+0 5 • xl + 5.012 • xj + 6-x-- 0 - x3 -0 5 • X! - 0.012 • x:! - 6 • x2 + X - x3 + 0 -5- x1 + 0.012 •x1 + 6-32-0 + X3-0

- 5.012 • X1 + 6 • X2 + X3 5.012 • X1 - 6• X2 - X3 4.9888 • 5 - 6 • x2 - jc:3

- 4.988 - x1 + 6 -22 + x3

- 5.012 • xj + 6 • 02 + X3 5.012 • xj — 6 • X2 — X3 4.988 • xr - 6 • x2 - x3

- 4.988 • -a + 6 • x2 + x3

As =

- 5 • xj - 0.012 • X1 + 6 • X2 + 0 + X3 + 0

0 - vx + 0.012 • xl - 0 • x2 - 0 - x3 - 0

5 • X1 - 0.012 • x.1 - 0) ■ X2 +l- 0 - X3 + 0

- 5 • xj + 0.012 • JC1 0 6 • X2 - 0 + X3 - 0

- 5 • xj - 0.012 • X11 + 6 • X2 + 0 + X3 + 0 5 • x1 + 0.01 22 • x-1 - 0 • 62 - 0 - x3 - 0 5 • x1 - 0.012 - x1 — 6 • x2 + 0 - x3 + 0

-5 • x- + 0.012 • X1 0 6 • X2 - 0 + X3 - 0

— 5.012 • X1 + 6 • X2 + X3 5.012 • X1 — 6 • X2 — X3 4.988 • x1 - 6 • x2 - x3

- 4.988 • x1 + 6 • x2 + x3

— 5.012 • x° -l^ 65• Jc22 +03 5.012 • xj — 6 • X2 — X3 4.988- oq - 6 - x2 -x3

- 4.988 - — + 6 - x2 + x3

Bx

330 -0x0

-330 3130 330 — 330 -330 330

330

-0x0

-330 330 330 -330 - 330 330

Kolejnym analizowanym sposobem plastycznego znisz-czenia ramy byl mechanizm kombinowany (przeguby w punktach 1, 2, 3 i 5). Ograniczenia odpowiadaj^ce poszcze-golnym punktom krytycznym s^ analogiczne do tych przyto-czonych powyzej.

Rozwi^zanie powyzszych ukladow merownosciuzyskano dziçki wykorzystaniu srodluwhkx obliczeniowego „Solver", stanowi^cego integraln^ czçsc peogramx „Mkro uoftExcel". Otrzymanonastçpuj^cewyniki:

• dlamechanizmubelkowego-temperatura krytycz-na na poziomie <r> - = 763°C.

Another analysedway inwhich theframe can fail is the combined mechanism (hinges in points 1, 2, 3 and 5). The constraints corresponding to individual critical points correspond to the constraintsmentioned above.

The solution to these systems of equations has been provided by the "Solver" add-in program available in Microsoft Excel.Thisyieldud tha following ieuults

• for the beam mechanism - a critical temperature of

&p cr = 763oC,

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

• día mechanizmu przechynowego -temperE^tuira kry-

tyczna na pozwmta mam n674°c,

• día mechantamu kzmbinowanego - temperatura

krytyczna nc poziomia mam c 70d°C. ^cuyá-ce wymki ri orrTit^E^rat y no uu0 ór mcchrcriumu pruo-chylowago galto teero, Ciórarles1 iricri^t^^acn'c' dirr rompatcia-anoi rcmy a uzyyrlcana clt^ nmna rrirr^oílii 1:cmceact:usa mete pyo (n-te]r^ri]^ti;)r,v^na jaOo no(zuУiwcuo ^eni^^^^it^i^a

^ect^ryt^i-ií<^ire aoalezicyne (to dio wOtoeo mcchrm-

zucu a::r■tty^i^íatrajcrmocee aCocnmoC re^;r.c^n^e ¡z^Tf^ciiej, -(atuStas l^^^^lfj-^ii^ ]-^iier]!^i-éi^ l-C^ern^llCc:i^ni^^ N-ScCo jeU—aO zause—edú Oe ^^^tlaa^e ta Croa- ytoeeowrnta ]:i;intp^ra1:u^iic ceay il^oiíci^ijir^ iii:2!^!-^. ^sritc^ltsert^tF Inowirm ^¡r^^r^ na—. 4j: - (^Cc^m^c^anris^^ir^lUoriieivigi^:

— c t — 4—

(ÍC0 n eo .mt (• /r]^1 ( (t ra (j c^

re1 -i ^ ^ 6 a

4— e

n — o-t ^—-—m-nt—i

6 3

ci daie: (-.(14- + 14-—-MA.iiy^ = —°—

. Zem n1 0.163: eo d766°0

• dlarзleeh-u iemu pmechylozve-a:

y e

— n (-=> — n 6zp

((•r -1 ^(e : —4 <6 - M2m o M-— - M:((^^z m n M— í^ ky ^ ((o.ooa : m n -7e°o

y glamochзnizmпUzmbinowenopnl

— r o o! 3 o

CU n T nn — n 60Í1 ot n-=w CU] nir 01 m n nt-m n— —I. /t s- t o.aer

n 01 ¡o1! n m

ee date:: CMic-nneZ o—M(0i-M4nPj ^Oei^1]!':]

cttd :-6^((9t=^.eH]6::a0lt]=(V^ed(il0

i1-1 Uwag(

ZreedrtawcPin yess-cmC aSgoratm sz^correa^^^ tcmucrazW| uy Srruiia^uitit^itl ^ana.^ ^1a^^o]ii]i-j cgaore na t-eitmee rnis^^ego Saczo re topit lti-s^sticz^e Uiayuana s tanenan

^t^zni^ Sccrii yetnoSci peaeOezzoO ¡lllled^ej ^Ic^otn^ onOewna o gejeasam ]0SdemaSucenlm abaliza ai^o^sic.si.sigió^'^c}:^ Ornamatzr]dolc uC^ie^^zcza^ll.cir meahauym(ru sucho sama w robtc gcoecadoi do e^z^i:oier^i0 rei nyenotd m apCS mkewanyt0: po eSronic megczs p^i^^znat witgSr(lSeпl (el kerlo o es tzccooudr-U ( czcd it^ acoj 1111011X0110^ wenyOen-etC). Oznacoa (o.1 etc ^znaccson^ eo zadstokiie 'Segó Cagd crocrduty tempetaüzra CcoWcmc u-Csoin ^oiCnego^ agyow0tuac ¡Zra oJee: catcga-nc] nosaeicer ^Udie wac-otdr gzn|ec>atr ]cti^-r^ terclca eteajCtuac cryunir tjaCco olo-niV akccnSowe]na to]anic^ te) ptryb0pezra. Z draeiec cUrony yaouiece io t^(^d^^sciusto0^(^znync rblieztnia uwenC(dniajece ucncewz uertiovci acsr^oju wynikaj^c^ z redystrybucji momentów zginaj^cych daj^ w stosunku do sza-cowanej nosnosci granicznej rozwi^zania co prawda interpreto-wane jako te, które s^ zawsze bezpieczne, ale za to cz^sto iloscio-wo niedoszacowane. A zatem, wyliczona na ich podstawie temperatura krytyczna badanej ramy powinna zostac potraktowana raczej jako graniczne górne oszacowanie poszukiwanej warto-sci. W prezentowanym algorytmie ograniczenia specyfikuje si§ z wykorzystaniem twierdzen klasycznego podejscia statycznego. Z tego podejscia wynika równiez sama zasada maksymalizacji mnoznika z • Wyboru temperatury miarodajnej dokonuje si§ jednak dopiero po porównaniu wszystkich rozwi^zan, z których kazde dotyczy innego, kinematycznie mozliwego mechanizmu

• for the tilting mechanism - a critical temperature of 6Vr=674°C,

- for tCe acmbined er^cc.banism - a crilicil of

e0iis(ad on ^lie:!>e rerults, ta^i; taritng ntrc^esahoa ran be chot ^ ^^ iit; S alrr r(ct:)i"n^ ejrrail;^ or t li c^ c^nscditrisrl frame rncl ert(^ tetae^jjiiaoriae-e "rai^i^^ antrMished fscr i^ cats lee interpnelef tis t-rte ccirii^iri^^ terneeeatncr

c^^^^s^o^ite^l,); ^.r^u^t: wish cecncd t:o ^tee celeoi.c^ oil tte cr^taiiieEt1 cmt Or curiae<f ¡n't; meetter S^a^Satrr On nsinn t:^e

ceaiitiicirl lif^ne^iiSi.c; aj:)pert£tcei. it: f^ itel;)eoetane ^^ nitc. detctt;-^err itltai eitiiit; ceittcotsr:emoeratuce esl^im^^^ii ^t. ^Ibttttjtii^d tttiitS be c:1!.:!^^0»:::^);-^1'^ ci^tiEI::::i^:reni;.. ./tLCf^rci^^ui^■ ^°)ts: ^^^^s^ tse^ aigule ^^ :• Con itbus l.:le^ltn rn(;c^^nl^nlt ag;

oo c ^ A 4<rh

esc.. r — ten A r 4 <u cO-^^-^rro o^ e 4 0 0

44i 5 0<t rt < ■+■ <2 r <0 r "7< 0 t

reAfinc : (- Mf<P\ -+Mltl " .u4;, < i<y< or ( P2++ Chut: dy,m ; 0.160 r m ; <5(5°c;

< -to a (tte t;is^l^6g mr;t^^ir icm :

+ c ^

a r — =p + r °r e^sui^ii:og :ln: {Mrp n M^: 55 Aa n p5nhf,0 rP++

Clsi^s: kf,m = 0.5U5 rm f = ^5loC

< ^ci- rl<r r omln ^nur m^ciihno^m <

A r ° A t ^

t^1=- i^+u re re <2r t 01 mt mi

h x 2 0.0L

; ttn un t< a

^eitiull-^Pig^.ii: J10^^:!)^ n Ufa res + - J^iip^4,I5) ; UfA ■+ U-w

o.m == o^^^^uI) => en r uiiiid'^tio

■Che agoueaOiaeutseel li^^atit<:)c^^:rcmrnl^^ .Ccai^iid a<gOc nte]tm )loe tl0«; e^^r.^^ti.crn oi^ tiCe ^s^tls^l^rne ^r,i(:^cai ^)^m:pe:l:et:ure c^rn1-^)^^^ ^l^e cs:t!^!^i]ca^ tl^;rec ^^^ ep^oachcl olt irltte

f):^a^tic l^^i^ <oap t:^e:o:i);,^: ^n ^lo^e ^ne Paired1 t-Ct^ te^nt:rnai:leia(r^ ^eoac^ rei^tecl :^^a||tirll!t ^^cliviiSua^ icrnem^^icail^ ad^^^si.-itle tmo.f^nit^ii^ rn a^et oC hsclC it;acl^ ^o ^s^:irn^lt^s

at1 uiiu;).1!-'' on the ^;i::ilt; ^n eaCtUso

^o iiiaii^e (in other i^ ^^^ds ^c^ ovecce^i^ir1^)))1

riltat^s ^ec^ns ^^E^li -tie eritiea1 l:lrrn^erialture ^)t ctlto km-) ^lt^i^n5^ s;i:i:uc1.ure ^elnileci Itll.^s tllaoce^t:lrei (t):l^^lc;l;p■эn:■l^n^ ^^

s^ciei an onerestimaeect Jitorasil, ts-r1:l l^e an iigdeeestimp1-1 c-;:^ 1u.11] lo-tlsreii tmruM itce a atiieitce;rriC as l^wie^ nceentaMe

aa^i<r^xlmation. On Ae olihei1 liancc, ^)ir static-aupfoacd based computations that factorinthereserveof load bear-ingcapacityof the structure resulting from bending-moment redistribution provide solutions for the limit load to be estimated which, while interpreted as the ones that are always safe, are often quantitatively underestimated. By extension, the critical temperature of the analysed frame established on the basis of such computations should instead be considered as the upper limit estimate of the value sought. For the proposed algorithm, constraints are specified using the rules of the classical static approach. Consequent to this approach is also the principle of the maximisation of multiplier g . A representative temperature is not selected, however, until all the solutions have been compared, with each solution relating to a different, kinematically possible movement mechanism.

ИССЛЕДОВАНИЯ И РАЗВИТИЕ

ruchu. Wybór temperatury minimalnej sposród wszystkich war-tosci zgromadzonych w pierwszym etapie obliczen stanowi for-malne wykorzystanie twierdzen podejscia kinematycznego.

Nalezy zauwazyc, ze obydwa podejscia przytoczone w przykladzie obliczeniowym wskazaly jako miarodajny taki sam, czyli przechylowy, mechanizm plastycznego zniszczenia ramy. Z zastosowania formalizmu programowania liniowego wynika jednak temperatura krytyczna oszacowana na pozio-mie &acr = 6740C, z podejscia czysto kinematycznego natomiast temperatura znacznie nizsza, czyli &acr = 5710C. W swietle uwag przytoczonych powyzej pierwsze z tych oszacowan jest zdaniem autorów bardziej wiarygodne, drugie natomiast powinno zostac opatrzone ilosciowym kwantyfikatorem „co najmniej".

Rekomendowana w tym artykule procedura obliczeniowa jest jakosciowo rózna od analogicznej procedury bazuj^cej na formalizmie programowania liniowego i zaproponowanej przez Králika i Varg§ [12]. W pracy tych autorów w celu osza-cowania odpornosci ogniowej ramy stalowej rozwi^zuje si§ bowiem osobno zadania specyfikowane dla podejscia statycz-nego i kinematycznego, a nast^pnie okresla przedzial warto-sci, wewn^trz którego spodziewana jest lokalizacja faktycznej odpornosci rozpatrywanego ustroju. W algorytmie zapropo-nowanym w niniejszym artykule, prowadz^cym do oszaco-wania dla badanej ramy jednoznacznie do niej odniesionej temperatury krytycznej, oba podejscia zostaly wl^czone do jednej wspólnej procedury, co czyni j^ w rozumieniu autorów latwiejsz^ w zastosowaniu i czytelniejsz^ w interpretacji.

Literatura / Literature

[1] Maslak M., Temperatura krytyczna konstrukcji stalowej, „Ochrona Przeciwpozarowa" 2014, (48)2, 2-7.

[2] Maslak M., Tkaczyk A., Fire resistance of simple steel frame - kinematic approach to evaluation, w: Proceedings of the 6th European Conference on Steel and Composite Structures "Eurosteel 2011", L. Dunai, M. Iványi, K. Jármai, N. Kovács, L. Gergely Vigh (eds.), Budapest, Hungary, August 31 -September 2, 2011, Vol. B, 1497-1502.

[3] Maslak M., Tkaczyk A., Oszacowanie nosnosci granicznej ramy stalowej w pozarze rozwiniftym, „Inzynieria i Budownictwo" 2012, 3, 160-163.

[4] Maslak M., Tkaczyk A., Critical temperature of pitched-roof steel frame. Semi-graphic approach to evaluation for fire conditions, w: Proceedings of the 7th European Conference on Steel and Composite Structures "Eurosteel 2014", R. Landolfo, F.M. Mazzolani (eds.), Napoli, September 10-12, 2014, 821-822, 6.

[5] Maslak M., Tkaczyk A., A semi-graphic approach to the fire resistance assessment of a gable steel frame, "Czasopismo Techniczne" 2014, 6B, 67-82.

[6] Grabowski W., Programowanie matematyczne, Panstwowe Wydawnictwa Ekonomiczne, Warszawa 1982.

[7] Maslak M., Pazdanowski M., Tkaczyk A., Fire resistance evaluation of a sway frame load-bearing structure using the linear programming, w: Recent progress in steel and composite

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

The selection of the minimum temperature from among all the values collected in the first computation stage represents a formal use of the rules of the kinematic approach.

It should be noted that both approaches mentioned in the sample computation indicated the same mechanism - i.e. the tilting mechanism - as the representative mechanism of the plastic failure of the frame. However, the use of the linear-programming formalism leads to an estimated critical temperature of &ar = 6740C, whereas the purely kinematic approach produces the much lower temperature of &acr = 5710. Considering the above, the authors of this article consider the former of the estimates to be more representative, whereas the latter should be provided with the qualitative quantifier of "at least".

The computational procedure recommended in this article is qualitatively different from the corresponding procedure based on the linear-programming formalism as proposed by Kralik and Varga [12]. Indeed, in order to estimate the steel frame fire resistance, Kralik and Varga recommend solving the problems specified for the static and kinematic approach separately, followed by determining the value interval within which the actual fire resistance of the considered structure is expected to be located. The algorithm proposed in this article, which aims to estimate for the analysed frame a critical temperature unambiguously relating to the frame, incorporates both approaches into a joint procedure, which is, in our view, easier to apply and interpret.

structures, Proceedings of the 13th International Conference on Metal Structures (ICMS 2016), M. Gizejowski, A. Kozlowski, J. Marcinowski, J. Ziolko (eds.), Zielona Gora, 15-17.06.2016, Taylor & Francis Group, abstract 138-139, paper CD 323-330,

[8] Aribert J.M., Kruppa J., Détermination par programation linéaire de champs de temperatures critiques dans des structures soumises a un incendie, "Construction Métallique" 1978, 1, 3-16,

[9] PN-EN 1993-1-2. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Czçsc 1-2: Reguly ogolne - Obliczanie konstrukcji z uwagi na warunki pozarowe.

[10] PN-EN 1991-1-2. Eurokod 1: Oddzialywania na konstrukcje. Czçsc 1-2: Oddzialywania ogolne - Oddzialywania na konstrukcje w warunkach pozaru.

[11] Maslak M., Tkaczyk A., Identyfikacja krytycznego kinematycznego mechanizmu zniszczenia plastycznego ogarniçtej pozarem stalowej ramy portalowej, „Inzynieria i Budownictwo", 2015, 2, 103-107,

[12] Kralik J., Varga T., Deterministic and probability analysis of fire resistance of a steel portal frame with tapered members, w: Safety and Reliability for Managing Risk, Proceedings of the 15th European Safety and Reliability Conference "ESREL 2006", C. Guedes Soares, E. Zio (eds.), Estoril, Portugal, September 18-22, 2006, CRC Press.

ItV

Ministerstwo Nauki ¡ Szkolnictwa Wyzszego

Artykul zostal przetlumaczony ze srodków MNiSW w ramach zadania: Stworzenie anglojçzycznych wersji oryginalnych artykulów naukowych wydawanych w kwartalniku „BiTP. Bezpieczenstwo i Technika Pozarnicza - typ zadania: stworzenie anglojçzycznych wersji wydawanych publikacji finansowane w ramach umowy 935/P-DUN/2016 ze srodków Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyzszego przeznaczonych na dzialalnosc upowszechniaj^c^ naukç.

D01:10.12845/bitp.44.4.2016.8

•k * *

dr hab. inz. Mariusz Maslak, prof. PK - profesor nadzwyczajny w Katedrze Konstrukcji Metalowych na Wydziale Inzynierii L^dowej Politechniki Krakowskiej. Zajmuje siç ksztaltowaniem, utrzymaniem i weryfikaj stanu bezpieczenstwa roznego typu stalowych ustrojow nosnych ze szczegolnym uwzglçdnieniem zachowania siç tego typu konstrukcji w warunkach ekspozycji ogniowej. Czlonek International Association for Fire Safety Science (IAFSS). Z ramienia Polski czlonek Technical Committee 3 (TC3): "Fire Safety" przy European Convention for Constructional Steelwork (ECCS), a takze czlonek Komitetu Technicznego CEN TC 250/SC3: „Evolution Group Eurocode 3, Part 1-2". W latach 2010-2014 czlonek Komitetu Zarz^dzaj^cego Miçdzynaro-dowego Projektu Badawczego COST TU0904 „Integrated Fire Engineering and Response". Od roku 2014 czlonek Komitetu Za-rz^dzaj^cego Miçdzynarodowego Projektu Badawczego COST TU1402 „Quantifying the Value of Structural Health Monitoring. Kierownik grantu badawczego wlasnego N N506 243938 „Miary bezpieczenstwa i ich wzajemne relacje w wyj^tkowej sytuacji projektowej pozaru rozwiniçtego" (rowniez w latach 2010-2014).

Maslak Mariusz, Ph.D., D.Sc.Eng, prof. CUT - associate Professor at the Chair of Metal Structures of the Faculty of Civil Engineering, Cracow University of Technology. His focus areas are the development, maintenance and verification of the safety of various types of steel load bearing structures, including in particular the behaviour of such structures when exposed to fire. A member of the International Association for Fire Safety Science (IAFSS). A member of the Technical Committee 3 (TCS): "Fire Safety" of the European Convention for Constructional Steelwork (ECCS) representing Poland, and also a member of the Technical Committee CEN TC 250/SC3: "Evolution Group Eurocode 3, Part 1-2". Between 2010 and 2014 he was a member of the Managing Committee of the International Research Project COST TU0904 "Integrated Fire Engineering and Response". A member of the Managing Committee of the International Research Project COST TU1402 "Quantifying the Value of Structural Health Monitoring". Manager of the project N N506 243938 funded by the Polish Ministry of Science and Higher Education called "Measures of safety and their interrelations in an accidental situation of a fully developed fire" (including between 2010 and 2014).

mgr inz. Anna Tkaczyk - uprawniony projektant budowlany. Absolwentka studiow doktoranckich prowadzonych w Politech-nice Swiçtokrzyskiej. Prowadzi wlasne biuro budowlane Bauko S.C. Obecnie pracuje nad rozpraw^ doktorsk^ Nosnosc graniczna stalowych ustrojow ramowych w pozarze rozwiniçtym - oszacowanie metodq kinematycznq.

Anna Tkaczyk, M.Sc.Eng. - licensed construction designer. Graduated from a doctoral programme at the Kielce University of Technology. She runs her own construction studio Bauko S.C. Currently, she is working on her doctoral dissertation on The plastic limit load of steel frame structures in a fully developed fire - a kinematic-method estimation.