CC BY
22
2015
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика
№ 6(38)
УДК 517.987
DOI 10.17223/19988621/38/6
Д.В. Сергеева
ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ и-АРНЫХ ПОДПОЛУГРУППАХ БИНАРНЫХ ГРУПП
Свертки мер и функций, преобразование Фурье мер на локально компактных абелевых и-арных группах были введены в работе [1]. Развитие гармонического анализа на и-арных алгебраических объектах, наделенных топологией, тесно связано с существованием на подобных объектах ненулевой инвариантной меры. Инвариантные меры на топологических и-арных полугруппах рассматривались в [2] и [3]. В теореме 2 данной работы установлены необходимые и достаточные условия существования левоинвариантной меры на топологических и-арных подполугруппах бинарных групп. Ее можно рассматривать, как распространение результатов работы [4] на случай топологических и-арных полугрупп. Теорема 1 устанавливает результат представляющий интерес для топологической алгебры.
Ключевые слова: левоинвариантная мера, топологическая и-арная полугруппа, идеал и-арной полугруппы.
1. Терминология и обозначения
Терминология и обозначения, относящиеся к и-арным алгебраическим системам, в основном, соответствуют монографии [5]. Последовательность aj,...,ak,Cj,...,cn элементов множества X обозначаем akc^. Отображение [ ]: Хи ^ X называют и-арной операцией на X. Данная операция ассоциативна, если для любой последовательности xt2и-1 е X2и-1 имеют место следующие равенства:
[ ^ ]] = [ xj [ +-+1 ] (j = 1,2,.,и -1).
Непустое множество X с ассоциативной и-арной операцией называют и-арной полугруппой. и-Арную полугруппу будем обозначать (X; [ ]} или одной буквой X. и-Арную полугруппу (X, [ ]) называют и-арной группой, если каждое из уравнений
[ ха1и-1J = а и [ а1и-1x ] = a
разрешимо для любой последовательности a1'! la е Xn . При и = 2 и-арную группу будем называть бинарной группой.
Непустое множество I с X называют идеалом и-арной полугруппы (X; []>, если [ x/xx^-J Je I для любых х1и-1 е Xn-, любого x е I и любого
j = 0,1,., и -1. Если же [ x^’^x ]е I для любых xf-1 е Xn- и любого x е I, то I называют левым идеалом и-арной полугруппы (X;[ ]).
Левоинвариантные меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп 51
Пусть K с X , x1n 1 е Xn 1. Множество { [xn 1k J | k е K} обозначаем
[ x!~lK J . Отображение x ^ [ xj xx”-1 ] (x e X) называют трансляцией n-арной полугруппы (X; [ ]) . При i = n -1 трансляцию будем называть левой трансляцией, а при i = 0 правой трансляцией.
n-Арная полугруппа (X;[ ]), наделенная топологией т, называется топологической полугруппой, если n-арная операция непрерывна по совокупности аргументов. Топологическую n-арную полугруппу будем обозначать парой (X, т).
Ниже, не оговаривая особо, предполагаем, что все рассматриваемые топологии хаусдорфовы. Идеал I с X называем идеалом с открытыми трансляциями на элементы X, если для любого U с I, U ет и любой трансляции X множество X ( U ) является открытым в (X, т).
Левоинвариантной мерой на топологической n-арной полугруппе (X, т ) называем счетно-аддитивную неотрицательную функцию р, определенную на наименьшем ст -кольце В (X) подмножеств X, содержащем семейство К (X) всех
компактных подмножеств X, конечную на каждом компактном множестве, такую, что р( B ) = sup{р(С) | C с B,C еК(X)} для любого B еВ(X) и
р([ <-1B ]) = p(B) для любых О! 1 е Xn 1 и B еВ (X), таких, что множество
a1n-1B ] принадлежит В(X). Элементы ст -кольца В(X) называют борелев-
скими подмножествами топологического пространства ( X, т ) .
2. Основные результаты
Далее всюду (О,•) - бинарная группа, n е N и n > 2, X - система образующих для О, такая, что a1 • a2 •... • an е X для любой последовательности a1n е Xn . Формула [a1n J = a1 • a2 •. • an (an е Xn) определяет n-арную операцию [ ] на X и алгебра (X; [ ]) является n-арной полугруппой. Ее будем называть n-арной подполугруппой группы (О,•}.
Пример 1. Группа О - множество целых чисел относительно операции сложения, X - множество всех нечетных положительных чисел, n = 3 . Тогда X -система образующих для О , для любых x1 , x2 , x3 из X их сумма принадлежит
X. Следовательно, X с тернарной операцией сложения трех чисел является тернарной подполугруппой О .
Теорема 1. Пусть (X;[ ]) - n-арная подполугруппа бинарной группы О, тО - топология на О, такая, что ( О, тО ) является топологической группой, т - топология на X, причем (X, т) является топологической n-арной полугруппой. Пусть каждое U етО, U с X является открытым подмножеством (X, т) и существует непустое множество V с X, удовлетворяющее следующему условию:
(i) V етО пт и сужение топологий тО и т на V совпадают.
52
Д.В. Сергеева
Тогда существует наибольшее (по включению) множество I среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). I будет идеалом (X;[ ]), обладающим
открытыми трансляциями на элементы X.
Доказательство. Пусть {V} - семейство всех подмножеств X, удовлетворяющих условию (i). Покажем, что множество I = U{ V | V е{ V}} также удовлетворяет условию (i). Имеем I с X и I етG пт . Пусть U с I и U етG. Тогда по предположению теоремы U ет . Если же U ет ,то U = U{ V п U | V е{ V}}. Имеем V п U ет. Отсюда следует, что U е tg . Таким образом, множество I удовлетворяет условию (i), т.е. I е{ V} и, по построению, является наибольшим подмножеством (по включению) семейства V .
Покажем, что I является идеалом X. Пусть хЩ 1 е Xn 1. Имеем:
[ xjIхп+JJ = х1 •...• Xj • I• x• j+1 • xn1 с X и является открытым подмножеством
(G, TG ). Следовательно, [ x[IхЩ+J J етG пт. Пусть U с [х/I хЩ+J J и U ет . Тогда множество W = х— •...• х-1 • U• х-— •.• xjj1 = X-1 (U)ет, так как трансляция X (х) = [ x{xxn~1 J (х е X) является непрерывным отображением топологического пространства (X, т) в себя и W с I. Следовательно, W етG в силу выполнения для I условия (i). Имеем х1 •... • х j • W • х • ;+1 •. • хп—1 = U £iG . Отсюда вытекает, что для множества х^х^1 J условие (i) выполняется и поэтому
[ х-Хх^1 J с I. Таким образом, I - идеал (X, [ ]).
Покажем, что если V с I, V е т, то для любой трансляции X полугруппы X множество X(V)ет. В самом деле X dX(V) = [ x|Vxn+\ J = = х1 •. • х j •V• х;+1 •. • хп_1 е тG, так как V £iG, в силу условия (i) для I. Следовательно, X (V) е т. Теорема доказана.
Следующий пример иллюстрирует теорему 1.
Пример 2. Пусть группа G - множество действительных чисел с операцией сложения, тG - естественная топология на множестве действительных чисел, п = 3 и X = { 1,3,5} и ( 6; + да), топология т является сужением топологии тG на X. Тогда (X, т) - топологическая n-арная полугруппа. Очевидно, что если U етG и U с X , то U с( 6, + да) и, следовательно, U ет . В качестве множества V возьмем непустое открытое в тG подмножество (6, + да). Тогда условие (i) теоремы 1 будет выполнено. Очевидно, что множество I = ( 6, + да) будет открытым идеалом ( X, т ) , обладающим открытыми трансляциями на элементы X , и будет являться наибольшим по включению среди подмножеств X, удовлетворяющих условию (i).
Левоинвариантные меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп 53
Теорема 2. Пусть на (X;[ ]) задана хаусдорфова топология т, такая, что (X, т) является топологической n-арной полугруппой. Тогда следующие условия равносильны:
(а) на (X, т) существует ненулевая левоинвариантная мера ц, такая, что для любой последовательности xf-1 е Xn-1 существует компактное множество K, такое, что ц( [ Kxf-1 J ) > 0 ;
(б) (X, т) обладает открытым локально компактным идеалом I с открытыми трансляциями;
(в) на (G, •) существует локально компактная топология те, такая, что ( G, тG ) является топологической группой, сужение топологии те на X слабее топологии т , ( X, т ) обладает открытым идеалом I , причем, сужение топологий т и тс на I совпадают.
Доказательство. Пусть выполнено условие (а) теоремы и ц - ненулевая левоинвариантная на (X, т) мера. Пусть cf~2 е Xn-2 и a = a1 • a2 •... • an 2 е G . На группе (G; •) зададим бинарную операцию * следующим образом:
x * y = xa1n-2y (x, у е G). Легко проверяется, что (G; *) является бинарной группой, а (X; *} - устойчивым подмножеством (G; *), a-1 является нейтральным элементом (G; *) и a-1 • x_1 • a_1 является элементом, обратным для x. Очевидно, что x * у = |^ xa1n-2у ] для любых x, у из X и что бинарная операция * в {X; *) непрерывна по совокупности аргументов. Мера ц является левоинвариантной мерой на (X; *). Пусть x е X . В силу условия (а) найдется компактное множество К в топологическом пространстве (X, т ) такое, что ц(К * x ) = ц([ Ka1n -2 x ]) > 0.
Из теоремы 4.8 работы [4] следует, что на (G; *) существует локально компактная топология те , такая, что (G; *) становится топологической группой, существует непустое множество V с X, такое, что V ете пт и сужение топологий тс и т на V совпадают.
Покажем, что (G; •) с топологией те является топологической группой. В топологическом пространстве ( G, те ) операция x ^ a-1 • x-1 • a-1 (x е G) непрерывна, а операция (x, у) ^ x • a • у (x,у е G) непрерывна по совокупности аргументов. Полагая в последней операции у = a-1 • b, получаем непрерывность операции x ^ x • a • a-1 • b = x • b , для любого b е G . Аналогично устанавливаем непрерывность сдвига x ^ b • x (x е G). Так как x • у = x • a •( a-1 • у), то бинарная операция (x, у) ^ x • у непрерывна по совокупности аргументов. Наконец, из равенства x-1 = a •( a-1 • x-1 • a-1 )• a следует, что операция x ^ x-1 (x е G) непрерывна в (G, те ).
54
Д.В. Сергеева
Из теоремы 1 сразу вытекает справедливость условия (в) теоремы.
Если выполнено условие (в), то из теоремы 1 вытекает справедливость условия
Пусть выполнено условие (б) и пусть a е I,
x = (xan-1 )(a-1) и x— = an— -(x• an-1) . Так как x• an-1
x е X . Тогда
е I,
то отсюда вытекает, что открытый идеал I является системой образующих для G . Заметим, что сужение топологии т на I является локально компактной топологией, (I; [ ]) является топологической n-арной полугруппой. Из теоремы и следствия 2 к ней работы [6] вытекает, что на G существует локально компактная топология tg , такая, что ( G, tg ) является топологической полугруппой, I е tg и сужение топологии tg на I совпадает с сужением т на I. Пусть a е I. Так как для каждого компактного множества K с X имеем K с an-1K с I и ajn-1K
является компактным подмножеством в топологии т, то an-1K является компактным подмножеством топологического пространства ( G, tg ). Отсюда следует, что K также, является компактным подмножеством ( G, tg ). Из этого вытекает, что каждое борелевское подмножество ( X, т ) является борелевским подмножеством (G, tg ). Пусть X - левая мера Хаара группы ( G, tg ). Отметим, что если K - компактное подмножество G положительной меры, x е G, то X (Kx) > 0 . Сужение ц меры X на борелевские подмножества (X, т) будет удовлетворять всем требованиям условия (а). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мухин В.В., Сергеева Д.В. Теорема двойственности для локально компактных абелевых n-групп // Сибирский математический журнал. 2008. № 6. С. 1361-1368.
2. Мухин В.В. Инвариантные меры на топологических n-полугруппах // Весщ НАН Беларуси. Сер. ф1з. мат. навук. 2000. № 4. С. 16-21.
3. Сергеева Д.В. О существовании инвариантных мер на топологических абелевых n-арных полугруппах с сокращениями // Вестник ИжГТУ. Математика. 2013. № 2. С. 140-141.
4. Mukhin V.V. Invauiant measures on topologicals semigroups which have on ideal with open translation mappings // Semigroup Forum. 2001. V. 62. P. 159-172.
5. Русаков С.А. Алгебраические n-арные системы: Силовская теория n-арных групп. Мн.: Навука i тэхшка, 1992. 264 с.
6. Мухин В.В., Филипова Е.Е. О продолжении топологии с системы образующих группы до топологии на группе // Известия вузов. Математика. 2009. № 6. С. 37-41.
Статья поступила 31.03.2015 г.
Sergeeva D.V. LEFT-INVARIANT MEASURES ON TOPOLOGICAL N-ARY SUBSEMIGROUP OF BINARY GROUPS
DOI 10.17223/19988621/38/6
Convolutions of measures and functions, as well as the Fourier transform of measures on locally compact Abelian n-ary groups were introduced in [1]. Development of harmonic analysis on n-ary algebraic objects endowed with a topology is closely related to the existence of a non-zero invariant measure on such objects. Invariant measures on topological n-ary semigroups were considered in [2] and [3].
Левоинвариантные меры на топологических n-арных подполугруппах бинарных групп 55
In Theorem 2 of this paper, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of a left-invariant measure on topological n-ary subsemigroups of binary groups. It can be treated as an extension of the results of [4] to the case of n-ary topological semigroups. The result established in Theorem 1 establishes is interesting for topological algebra.
Keywords: left-invariant measure, topological n-ary semigroup, ideal of an n-ary semigroup.
SERGEEVA Dina Vladimirovna (Vologda Institute of Law and Economics, Vologda, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Mukhin V.V., Sergeeva D.V. Teorema dvoystvennosti dlya lokal'no kompaktnykh abelevykh n-grupp. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 2008, no. 6, pp. 1361-1368. (in Russian)
2. Mukhin V.V. Invariantnye mery na topologicheskikh n-polugruppakh. Vestsi NAN Belarusi. Ser. fiz. mat. navuk, 2000, no. 4, pp. 16-21. (in Russian)
3. Sergeeva D.V. O sushchestvovanii invariantnykh mer na topologicheskikh abelevykh n-arnykh polugruppakh s sokrashcheniyami. Vestnik IzhGTU. Matematika, 2013, no. 2, pp. 140-141. (in Russian)
4. Mukhin V.V. Invauiant measurcs on topologicals semigroups which have on ideal with open translation mappings. Semigroup Forum, 2001, vol. 62, pp. 159-172.
5. Rusakov S.A. Algebraicheskie n-arnye sistemy: Silovskaya teoriya n-arnykh grupp. Minsk, Navuka i tekhnika Publ., 1992. 264 p. (in Russian)
6. Mukhin V.V., Filipova E.E. O prodolzhenii topologii s sistemy obrazuyushchikh gruppy do topologii na gruppe. Izvestiya vuzov. Matematika, 2009, no. 6, pp. 37-41. (in Russian)
