ЛАГРАНЖИАН И ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ С КОНТРАКТИРОВАННОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ ГРУППОЙ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 539.12.01

Б0110.19110/1994-5655-2020-4-16-22

Н.Й. ГРОМОВ

ЛАГРАНЖИАН N ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ С КОНТРАКТИРОНАННОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ

ГРУППОЙ

Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар

Sromov@ipm.komisc.ru

Аннотация

Представлены диаграммы Фейнмана, описывающие свойства элементарных частиц и их взаимо действий на разных стадиях эволюции Вселенной, начиная с энергии Планка 1019 ГэВ. Описание базируется на гипотезе о том, что высокоэнергетический (высокотемпературный) предел стандартной модели генерируется контракцией калибровочной группы и отталкивается от явного вида контрак-тированного лагранжиана.

Ключевые слова:

стандартная модель, контракция калибровочной группы, фейнмановские диаграммы

Abstract

Feynman diagrams, describing the properties of elementary particles and their interactions at different stages of the evolution of the Universe, starting with the Planck energy lO1' GeV, are presented. The description is based on the hypothesis that the high-energy (high-temperature) limit of the standard model is generated by the contraction of the gauge group and is based on the explicit form of the contracted Lagrangian.

Keywords:

standard model, contractions of gauge group, Feynman diagrams

Введение

N.A. EROMIV

LAGRANGIAN ANI FEYNMAN DIAGRAMS OF THE STANDARD MODEL WITH A CONTRACTED GADGE GRODP

Institute of Physics and Mathematics, Federal Research Centre Komi Science Centre,

Ural Branch, RAS, Syktyvkar

Стандартная модель, состоящая из электрослабой модели, объединяющей электромагнитные и слабые взаимодействия, и квантовой хромодинами-ки (КХД), описывающей сильные взаимодействия, является современной теорией элементарных частиц. Она достаточно хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные и получила дальнейшие убедительные подтверждения своей адекватности с недавним открытием скалярного бозона Хиггса в экспериментах на большом адронном коллайдере. Если мы интересуемся свойствами частиц в ранней Вселенной и хотим оставаться на твердой научной почве, нам необходимо использовать высокотемпературный (высокоэнергетический) предел стандартной модели. Такой предел построен [1,2] на основе гипотезы о контракции калибровочной группы стандартной модели с ростом температуры Вселенной при приближении к моменту ее рождения.

Действительно, стандартная модель представляет собой калибровочную теорию, основанную на калибровочной группе Ж7(3) х 311(2) х 11(1), которая является прямым произведением простых групп. Сильные взаимодействия кварков описываются квантовой хромодинамикой с калибровочной группой Б11(3) и характерной температурой 0,2 ГэВ. В калибровочной группе 311(2) х 11(1) электрослабой модели группа 317(2) отвечает за слабые взаимодействия с характерной температурой 100 ГэВ, тогда как группа 11(1) ассоциирована с дальнодей-ствующими электромагнитными взаимодействиями. Вследствие нулевой массы фотона - переносчика этого взаимодействия - его характерная температура простирается до "бесконечной" планковской энергии 1019 ГэВ. Из сопоставления характерных тем-

ператур заключаем, что калибровочная группа теории элементарных частиц с увеличением температуры Вселенной становится проще. Мы предполагаем, что при увеличении температуры более простая калибровочная группа стандартной модели получается с помощью контракции, параметр которой обратно пропорционален температуре Вселенной.

Операция контракции (или предельного перехода) групп хорошо известна в физике [3]. Она, в частности, преобразует простую группу в неполу-простую. Понятие контракции было распространено [4] на алгебраические структуры, такие как квантовые группы, супергруппы, а также на фундаментальные представления унитарных групп, которые имеют непосредственное отношение к стандартной модели. Для симметричной физической системы контракция группы симметрии означает переход к тому или иному предельному состоянию системы. В случае сложной физической системы, каковой является стандартная модель, изучение предельных состояний при тех или иных предельных значениях физических параметров открывает возможность лучше понять поведение системы в целом.

Этот прием использован для того, чтобы восстановить эволюцию ранней Вселенной, опираясь на достигнутый к настоящему времени уровень знаний. Оказалось, что в результате контракции калибровочной группы лагранжиан стандартной модели распадается на ряд слагаемых, которые различаются степенями контракционного параметра е —>• 0. Поскольку средняя энергия (температура) горячей Вселенной связана с ее возрастом, то двигаясь вперед во времени, т.е. в обратном к высокотемпературной контракции направлении, заключаем, что после рождения Вселенной элементарные частицы и их взаимодействия проходят ряд стадий в эволюции от предельного состояния с бесконечной температурой до состояния, описываемого стандартной моделью. Эти стадии формирования кварк-глюонной плазмы, восстановления электрослабой и цветовой симметрий различаются по степеням контракционного параметра и, следовательно, по времени их возникновения. В данной работе мы строим диаграммы Фейнмана для лагранжиана стандартной модели на разных стадиях эволюции Вселенной.

1. Стадии эволюции элементарных частиц

При контракции калибровочной группы лагранжиан стандартной модели распадается на ряд слагаемых, пропорциональных степеням ек контракционного параметра. В соответствии с принятой гипотезой этот параметр является монотонной функцией температуры: е(Т) —>• 0 при Т —>• оо. Очень высокие температуры отвечают ранней Вселенной после инфляции на первых стадиях Большого взрыва. Контракция калибровочной группы стандартной модели позволяет упорядочить во времени стадии ее развития, но не дает возможности установить абсолютные даты. Чтобы оценить их, используется тот факт, что электрослабая эпоха начинается при температуре Т4 = 100 ГэВ (1 ГэВ = 1013ТГ), а КХД эпоха при = 0.2 ГэВ. Иначе говоря, предполагается, что

полная реконструкция электрослабой модели и восстановление КХД происходят при этих температурах.

Вводится уровень обрезания А для ек, т.е. при ек < А все слагаемые в лагранжиане пропорциональные ек являются пренебрежимо малыми. Наконец, предполагается, что контракционный параметр пропорционален обратной температуре

е(Т) = ^, А = const. (1)

Из уравнения для КХД е8(Т8) = А8Т$8 = А получается значение константы А = TgA1/8 = 0,2а1/8 ГэВ. Из подобного уравнения для электрослабой модели находится уровень обрезания А =

(TgE^1)8 = (0,2 • 10"2)8 к* 10"22. Уравнение для к-й степени ек(Тк) = АкТ^к = А приводит к формуле

fe—8 88 — 15 fe

тк = т8а~57г « 10 4fe 5 (2)

откуда легко находятся граничные значения (ГэВ):

Ti = 1018, Т2 = 107, Т3 = 103, Т4 = 102, Т5 = 4, Т6 = 1, Tg = 2 • Ю-1. (3)

Оценка "бесконечной" температуры Ti « 1018 ГэВ сравнима с энергией Планка « 1019 ГэВ, при которой становится существенным влияние гравитации. Таким образом, полученная эволюция элементарных частиц не выходит за пределы проблем, описываемых электрослабыми и сильными взаимодействиями.

2. Лагранжиан и диаграммы электрослабой модели

Полный лагранжиан модифицированной электрослабой модели с контрактированной группой SU(2;e) равен сумме бозонного, лептонного и квар-кового лагранжианов и дается формулой (5.37) [2]

LEw(e) = Too + eTi + е2Т2 + е3Т3 + е4Т4, (4) где

Too = LB,о + ¿l, о + Lqa = = — ~ иь> + vtiTpdpVе + e\,ÍTfldfler-\-

+д' sin Owelr^Z^er - д' cos é^ejr^ Afler+

+ 0 9 ^¡T^Z^e + dliT^d^dy, + v\iTfldflui+ ZJ COS t/fjj

+uliTf¿df¿ur - -g' eos +

+ sm6wdlTtlZfldr + +

н—(7: -1 sin2 ew)

cost)w \¿ á J

+ cos duiilT^A^Ur - ^g'smdwulT^Z^Ur, (5) Ti = -rnu(u\.ui + u¡ur), (6)

L2 = \ fe)2 + \т\ (Z,)2 - W-■+

+ ;

gmz

(Z,fx +

(^)V-

2 cos 0w v М л ' 8 cos2 -2г5 (Ж+Ж- - W-W+) ^smew +

cosew) - 1-еА,л (W+W- - W~VW+) +

"r\eAv {W+W- - W~VW+) -

-'-gcosdw [ZIÂ {W+W- - W~VW+) -

-2 {W+W++ W-W-) ApAv+

+

9

--cos

4

(W+)2 + (W~)2} (A,f)-

{[{W+f + {W-)2] {Zvf -2 (W+W+ + W-W-) ZßZu+

+

(w+)2 + (w~)2] (Z,f)

—eg cos 0w

W+W~AwZ„ + W+W-A,ÄZ,-

"ö iWïWû + W+W-) (A,ZU + AVZJ

+

+ (vl^W+ei + e^W^ z/e) + -^dliT^d^di - md(d)rdi + d\dr) - ^¿[tßAti-

cos 9 w

У2

Q - I sin2 d\TflZfldi+

faW+dx +

i ß ß

Щ

L3 = gW+W~x,

(7)

(8)

и = ш^Ж+Ж- - _ д^з _

+ (9)

Здесь Ад представляет фотон, ^ - поля заряженных и нейтрального калибровочных бозонов, х обозначает бозон Хиггса, ег(ег), г/е есть поля левого (правого) электрона и электронного нейтрино,

щ(иг) - поля левого (правого) и-кварка, ¿1(йг) - поля левого (правого) (¿-кварка. Левые поля образуют 5'С/(2)-дублеты, тогда как правые поля есть 31/(2)-синглеты.

1)

2)

В в

з) rfwwvw* 4) AA/VWWWW

Рис. 1. Пропагаторы частиц: 1) b = e,u,d,x,v ~ массивные частицы и нейтрино, 2) b = ê,û,d,x ~ безмассовые частицы. Пропагаторы калибровочных бозонов: 3) В = A, W, Z - фотон, массивные W- и Z-бозоны, 4) В = W, Z - бозоны с нулевой массой. Fig. 1. Particle propagators: 1)6 = e,u,d,x,v - massive particles and neutrinos, 2) b = ê,û,d,x ~ massless particles. 3) В = A, W,Z - photon, massive W- and Z-bosons, 4) В = W, Z - massless gauge bosons.

В интервале "бесконечных" температур T > 1018 ГэВ частицы электрослабой модели теряют массу, а динамические слагаемые в лагранжиане Lew = loo (5) описывают пропагаторы безмассовых частиц, в том числе калибровочных бозонов. Соответствующие диаграммы представлены на рис.1. Кроме того, имеются 3-х вершинные взаимодействия нейтрино, электронов и кварков с фотоном и Z-бозо-ном (диаграммы 1)-4) на рис.2).

А

, t- я / t , t \ , 9Cos26w t 1

+е iT^ó^ei - me(e\.ei + е er) + —-—е

111 1 2 cos6L 1 ' '

ь/

2) Ъ,

/ \ S \

3)

4)

5)

6)

8)

9)

10)

11)

13)

14)

Рис. 2. 3-х вершинные взаимодействия частиц в электрослабой модели. Здесь b = é,ú,d, С = Z, А, f = e,d. Диаграмма 11) представляет взаимодействие

Аналогично диаграммы 12)-14). Fig. 2. 3-vertex particle interactions in the electroweak model. Here b = é,ú,d, С = Z, A, f = e,d. Diagram 11) represents interaction W^W^Similar to diagrams 12)-14).

При остывании Вселенной ниже 1018 ГэВ до температуры 107 ГэВ лагранжиан равен сумме Lew = loo + е^ь т.е. добавляются массовые слагаемые и-кварка (6), поэтому появляется пропагатор массивного и-кварка (диаграмма 1) на рис.1.

Дальнейшая эволюция от 107 ГэВ до температуры 103 ГэВ приводит к расширению лагранжиана на слагаемые (7) до Lew = Too + eTi + e2L2. В этом интервале температур происходит существенное восстановление свойств электрослабой модели: появляются пропагаторы массивного электрона (диаграмма 1) на рис.1 и массивного Z-бозона (диаграмма 3) на рис.1, возникает безмассовый бозон Хиггса, пропагатор которого представлен диаграммой типа 2) на рис.1, а также калибровочный W-бозон с нулевой массой и пропагатором типа 4) на рис.1.

Взаимодействия представлены как 3-х вершинными, так и 4-х вершинными процессами. Взаимодействие безмассового бозона Хиггса с массивным калибровочным Z-бозоном представлено диаграммой 5) на рис.2, а взаимодействия электрона и кварков с фотоном и Z-бозоном — диаграммами 1), 2) на рис.2. Кроме того, диаграмма 7) изображает взаимодействие электрона и нейтрино, а диаграмма 8) — взаимодействие и- и d- кварков посредством безмассового W-бозона. 4-х вершинные диаграммы типов 1)-3) на рис.3 описывают взаимодействие калибровочных бозонов А и Z с безмассовым W-бозоном.

1)

2)

3)

5)

4)

6)

Рис. 3. 4-х вершинные взаимодействия частиц в электрослабой модели.

Fig. 3. 4-vertex particle interactions in the electroweak model.

Охлаждение Вселенной от 103 ГэВ до температуры 102 ГэВ добавляет к лагранжиана электрослабой модели слагаемое L3 (8), т.е. Lew = Дзо + eLi + e2L2 + eaLs. Появляется взаимодействие заряженных VF-бозонов с полем бозона Хиггса (диаграмма 9) на рис.2). В данном интервале температур все эти поля по-прежнему остаются безмассовыми.

Наконец, при падении температуры ниже 102 ГэВ электрослабая модель восстанавливается в полном объеме до лагранжиана (4). На этой стадии W-бозоны и бозон Хиггса приобретают массу и их пропагаторы изображаются диаграммами типа 1), 3) на рис.1. Появляются 3-х и 4-х вершинные самодействия поля бозона Хиггса, представленные диаграммой 10) на рисунках 2 и 3, 4-х вершинные взаимодействия ТУ-бозонов с полем бозона Хиггса (диаграмма 5) на рис.3), а также 4-х вершинные взаимодействия VF-бозонов между собой (диаграмма 6) на рис.3).

3. Лагранжиан и диаграммы КХД

В лагранжиане КХД (5.41) [2]

£qCD = £q + £gl = 1 8

= (10)

q a=l

опущены массовые слагаемые —mq(fqi. При переходе к контрактированной группе SU(3; е) эти слагаемые вида

-mqql(e)qi(e) = -mq (\qi\2 + е2 \q2\2 + е4 \qä\2

(11)

добавляются к кварковой части лагранжиана (5.52) в монографии [2], которая принимает вид

£q(e) = L-+e242)+e4L(4),

(12)

где

L7 = +

я I

1

42) = Е^йУЧ® - mq Ы2 + ((2 (44 - AfX) - A%Al + 44) :

я I 33

/ n / 1 \ X ~~ ^4) +

+<M27M (4 + iAl) + (4 " iAl)) }' L^ =

<14) 1 Г 2 2

я

2 V Уз ' м

+91937м (4 + *4) + (4 - ¿4) +

+9s^A^A1 Aj^Af, 44 + 4^) х

х (d^Al - д.А]) + (15)

Здесь q(x) - кварковые поля, q = u,d, s, с, b, t, -V3 (A® A® - A® A®) ] («9^4 - <9^4) +

компоненты qit г = 1,2,3 обозначают цветовые сте- '

пени свободы, а А", а = 1, 2,..., 8 представляют , ( Ai лб а6 л1 л2 л7 л7 л2 л3 л4 л4 л3

поля глюонов. v ^ ^ ^ ^ ^ ^

1) •-►-• 2) -V3 -4^)) +

А"

3)

Рис. 4. Пропагаторы: 1) массивных кварков, 2) безмассовых кварков и 3) глюонов.

Fig. 4. Propagators: 1) massive quarks, 2) massless quarks and 3) gluons.

Глюонная часть лагранжиана имеет вид

£9i(e) =

= + + e+ + e8L®, (16) - (44 " AlAl) (AlAl ~ AlAl) ~

_ — (44 — 44) +

+ ^44 AfiAt AjiAi^A^Aij (p/¿4 ¿^4) + + (AfiAt~AfiAl>+AfiAi~4^) (^/¿4 — ¿^4) +

+Уз(44-44) {d,Ai-duA^+

+5s ( (а)ла1 — 44) + (4^ ~~ 4^) ~~

Jgi

1

"4

42) = +1 (44 - + ^ (44 - 4^)) x

-l^d.Ai - %a\ + 5s (44 - 4^))2 + x {AlAi - KAl - А1Л + A>1)~

+ - ^4 + I ((44 - W) + - ^ + ^ w - A№) x

+Уз (44 - 44)))2 + x{KAt- KAl + 44 - 4^)+

+ - 9,4 - 5s (44 - 44))2 + +2 ~ А'Л + ~ A>1+

+ (dfiAl — д^А7^ — (A3 A® — 44+ — 4^ — — A^A^)^ +

+Уз (44 - 44)))2 + - - 4^ + AlAl+

20

+A%Ai - A*Al - УЗ (A'Al - }, (19)

Г (6)

Lgi

I /)4 д7 _ д7 д4 _ /)5 дв , дв д5 ) ,

16 I \ 11 + J +

Л4 Л6 _ Д6 Д4 I Л5 Л7 _ А7 Л5 } I

+ a^AI А^А^ + A^AI^J +

+ _ А^А^ — A^A^j +

— А2А1 + A6^Al — A^Af^j х

(20)

(21)

Кварковая часть лагранжиана содержит квадратичные по полям слагаемые щх^д^ —

пт-я^к| , к = 1,2,3, которым отвечают фейнма-новские диаграммы пропагаторов кварков, изображенные на рис.4, 1). Слагаемые, содержащие произведение двух полей кварков и поля глюонов описывают 3-х вершинные взаимодействия кварка с глюоном, которое изображается диаграммой 1) на рис.5.

Слагаемые вида — ^ — д„А^)2 в глю-

онной части лагранжиана соответствуют пропагато-рам глюонов, которые представляются диаграммой 3) на рис.4. Трехвершинные самодействия глюонов, отвечающие слагаемым вида^ д3А<^А^д11А1, представлены диаграммой 3) на рис.5. Наконец, четырех-глюонные взаимодействия типа ~ д^А^А^А^А^, описываются фейнмановской диаграммой 4), изображенной на рис.5.

Следует отметить, что высокотемпературный предел КХД, вызванный контракцией калибровочной группы 311 (3), не меняет характер взаимодействия кварков и глюонов между собой [5]. Типы взаимодействия лишь распределяются по температурным интервалам в соответствии со стадиями развития Вселенной после ее появления в результате большого взрыва.

Если дополнительно учесть преобразование масс кварков (5.29) тд —>• етд, вызванное спонтанным нарушением симметрии, то слагаемое — в (13) будет пропорционально е, сла-

|2

гаемое — mq

|<йГ в П4) пропорционально е°, а слагаемое — !©|2 в (15) пропорционально е5,

т.е. они вносят существенный вклад в лагранжиан на других стадиях эволюции по сравнению с динамической частью. Поэтому кварки с первой цветовой компонентой являются безмассовыми (диаграмма 2) на рис.4) при температуре выше 1018 ГэВ и приобретают массу лишь при остывании Вселенной ниже

этой температуры (диаграмма 1) на рис.4). Аналогично при температуре выше 103 ГэВ появляются кварки второго цвета с нулевой массой, которые становятся массивными при более низких температурах. Для кварков с третьей цветовой компонентой граничная температур составляет 4 ГэВ.

Ас.

Рис. 5. Сильные взаимодействия: 1) массивных кварков с глюонами; 2) безмассовых и массивных кварков с глюонами; 3), 4) 3-х и 4-х вершинные взаимодействия глюонов.

Fig. 5. Strong interactions: 1) massive quarks with gluons; 2) massless and massive quarks with gluons; 3), 4) 3- and 4-vertex interactions of gluons.

4. Лагранжиан и диаграммы стандартной модели

Модифицированный лагранжиан стандартной модели получается объединением лагранжиана (4) электрослабой модели с кварковым (12) и глюонным (16) лагранжианами квантовой хромодинамики. Его можно представить в виде разложения по степеням контракционного параметра

£sm(C) =

= £00 + е£1+е2£2 + е3£3 + е4А + е6£б + е8£8, (22)

где выживающие при бесконечной температуре члены

Сс

Ьг

(23)

представляют собой суммы слагаемых из уравнений (5), (13) и (17), С\ = Ь\ из (6). Слагаемые второго порядка

С2 = Ь2 + Ь1 + Ь2д1 (24)

находятся суммированием формул (7), (14) и (18). Пропорциональные третьей степени е слагаемые совпадают с (8), т.е. £з = Ьз. Члены четвертого порядка

и = Ь4 + + Ь% (25)

равны сумме слагаемых в формулах (9), (15) и (19). Наконец, слагаемые шестого и восьмого порядков порождаются только глюонной частью КХД: Се, = Ь6д1 (20) и £§ = Ь%д1 (21).

При учете преобразования масс кварков, вызванного спонтанным нарушением симметрии, в разложении (22) появляются члены пятого порядка £5 = — тч Ы2, которые переходят из £4. Слагаемые первого и третьего порядков модифицируются С1 =

L1 - Y,qmq\<li|2. А = L3 - Y,qmq\<l2\2 за счет добавления членов из Соо и £2, соответственно.

Что касается взаимодействия кварков и глю-онов между собой, то в высокотемпературном пределе КХД, вызванном контракцией калибровочной группы SU(3), его характер не меняется. Происходит лишь распределение типов взаимодействия по температурным интервалам в соответствии со стадиями развития Вселенной после ее появления в результате большого взрыва.

Аналогичные процессы имеют место и в электрослабой модели. Калибровочные бозоны и частицы эффективно теряют массу при возрастании температуры Вселенной, стандартные взаимодействия частиц, не изменяя своего вида, распределяются по этапам ее развития. Однако появляются новые виды взаимодействия с участием безмассовых частиц.

Автор выражает свою признательность В. В. Куратову за полезные обсуждения и помощь в оформлении работы.

Литература

1. Gromov N.A. Elementary particles in the early Universe // J. Cosmol. Astroparticle Phys. 2016. Vol. 03. P. 053.

2. Gromov NA. Particles in the Early Universe: High-Energy Limit of the Standard Model from

the Contraction of Its Gauge Group. Singapore: World Scientific, 2020. 159 p.

3. Inonii E., Wigner E.P. On the contraction of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. P. 510-524.

4. Громов НА. Контракции классических и квантовых групп. М.: Физматлит, 2012. 318 с.

5. Емельянов В.М. Стандартная модель и ее расширения. М.: Физматлит, 2007. 584 с.

References

1. Gromov NA. Elementary particles in the early Universe // J. Cosmol. Astroparticle Phys. 2016. Vol. 03. P. 053.

2. Gromov NA. Particles in the Early Universe: High-Energy Limit of the Standard Model from the Contraction of Its Gauge Group. Singapore: World Scientific, 2020. 159 p.

3. Inonii E., Wigner E.P. On the contraction of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. P. 510-524.

4. Gromov NA. Kontraktsii klassicheskikh i kvan-tovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups]. Moscow: Fizmatlit, 2012. 318 p.

5. Emel'yanov V.M. Standartnaya model i eye rasshireniya [Standard model and its extensions], Moscow: Fizmatlit, 2007. 584 p.

Статья поступила в редакцию 15.09.2020.