Лагранжевая формулировка массивных фермионных антисимметричных полей в пространстве анти деситтера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539. 12; 537.8; 530. 1:51-72; 537. 8

Л. Л. Рыскина

ЛАГРАНЖЕВАЯ ФОРМУЛИРОВКА МАССИВНЫХ ФЕРМИОННЫХ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЕЙ

В ПРОСТРАНСТВЕ АНТИ-ДЕ ^ПЕРА

Применен БРСТ-подход в целях построения лагранжевого формализма для массивных фермионных полей в d-мерном пространстве анти-де Ситтера. Полученная лагранжевая теория является приводимой калибровочной моделью, содержащей помимо основного поля некоторое множество вспомогательных полей (Штюкель-берга), и ранг приводимости растет со значением ранга антисимметричного поля. Показано, что можно избавиться от всех вспомогательных полей, и итоговый лагранжиан для фермионных антисимметричных полей будет сформулирован только в терминах основного поля.

Ключевые слова: БРСТ-подход, поля высших спинов, массивные фермионные поля, пространство анти-де Ситтера, БРСТ-оператор, лагранжиан, калибровочные преобразования.

Введение

Подход, примененный в данной статье, называется БРСТ-подходом. Общая идея метода выглядит следующим образом. Связи, определяющие неприводимое представление группы Пуанкаре с заданным спином и массой, рассматриваются как операторы связей первого рода в фоковском пространстве состояний. Однако вследствие того, что в теории полей высших спинов часть этих связей не являются эрмитовыми операторами, то для построения эрмитового БРСТ-оператора необходимо ввести в рассмотрение операторы, которые являются эрмитово сопряженными к исходным операторам связей и которые не являются связями. Тогда, для того чтобы алгебра стала замкнутой, необходимо к полному набору операторов добавить еще некоторые операторы, которые также не являются связями. Из-за присутствия операторов, которые не являются связями, стандартное БРСТ-построение не может быть применено. В данной статье показывается, как проблема построения нильпотентного БРСТ-оператора решается для случая построения лагранжианов массивных фермионных антисимметричных полей высших спинов.

Статья построена следующим образом. В первом параграфе показано, что уравнения движения для антисимметричных фермионных полей оказываются противоречивыми для пространств произвольной кривизны, если предположить отсутствие членов с отрицательными степенями массы и не противоречивыми в пространствах постоянной кривизны. В оставшейся части параграфа имеем дело с фермионными полями на фоне анти де-Ситтера. Во втором параграфе записаны уравнения движения для антисимметричных фермионных полей в операторном виде и будет найдена замкнутая алгебра, генерируемая этими операторами. Затем, в третьем параграфе, согласно стандартной процедуре построения лагранжианов [1-2], получены дополнительные части; в

четвертом параграфе сначала найдены расширенные выражения для операторов, а затем на основе их алгебры построен БРСТ-оператор. Наконец, в пятом параграфе найден лагранжиан для антисимметричных фермионных полей. Шестой параграф посвящен формулировке основных результатов статьи.

1. Согласованность динамики фермионных полей в искривленном пространстве

В данном параграфе будет показано, что, в отличие от бозонного случая [3], для фермионных полностью антисимметричных полей не существует минимально взаимодействующих совместных уравнений движения в произвольном искривленном пространстве-времени.

Известно, что полностью антисимметричное спинорное поле тензорного ранга-п ^ ^ (дира-

ковский индекс опущен) описывает неприводимое массивное представление группы Пуанкаре, если будут выполнены следующие условия:

- т)..л =0, =° дут..^ =0 (1)

где [у(1,уУ} = -2g(1У . Когда мы обобщаем эти уравнения на произвольное искривленное пространство-время, мы видим, если не включать члены с отрицательными степенями массы, тогда нет никакой возможности добавить члены с кривизной, а из этого следует, что в искривленном пространстве уравнения (1) принимают форму

(iyvV - т) =0, уШ =0, У*У =0. (2)

’у )Т '■') I г Уда2..А у /

Покажем, что уравнение массовой оболочки и условие поперечности (бездивергентности) несовместны в произвольном искривленном пространстве. С этой целью возьмем дивергенцию уравнения массовой оболочкой и предположим, что уравнения (2) выполняются:

о = V* - т)*...* = 1Г [V*,]¥щ* =

= гу

Raw + R ai1 w +... +

\ Г а^2...^п ц vT цщ...^

+R а w - - RaPi Y W

fin vt рфъ...рп-\а 4 vtapi fa ...р,п

(3)

Как известно, антисимметричное фермионное поле реализует неприводимое массивное представление группы анти-де Ситтера (АдС) [4, 5], если выполняются следующие условия:

1 /

ІYvVv - т + г2

d

n---

2

Если в последнем выражении (3) принимается, что пространство произвольно искривлено, тогда л = 0. Попытаемся найти из выражения (3),

какие пространства не дают никаких дополнительных увд°вий на ^ ■'11. Представим тензор Риман- Здесь R|lvap =-г(gva -g|lagvp). Аналогично

бозонному случаю [3], во избежание явных мани-^руав Сруав + пуляций с большим количеством индексов, мы

\ , . вводим вспомогательное пространство Фока, гене-

+ d 2 '(Ра

ёув + Квё ра + ^рв ё^а + ^уаёрв /+ рируемое операторами рождения и уничтожения

(d - l)(d - 2)Rg(va g»a8ve)’

(4)

а а , а а, удовлетворяющими антикоммутационным соотношениям

{{ > аЪ }=ПаЪ ПаЪ = &аё (- +> +>.»> + ) . (8)

где С о, - тензор Вейля, и подставим это разложе- Касательные и мировые индексы преобразуют-ние в (3)

ся друг в друга с помощью тетрады еац , при этом предполагается, что она удовлетворяет соотношению V' е = 0. В дополнение к обычным гамма-матрицам (грассмановски четные)

C а w +— +

ft v ^аъ...рп

Y \ 1

+C,, а\¥п ..^а-4 Cae\YaWn ..^ i d — 2п

+ 2 d - 2 К*'УаЦ,^»~ 0’ (5) {{а ,УЬ } = ~2ПаЬ (9)

„ , вводим набор й +1 грассмановски нечетных гам-

где использовано YYЛ р = 0. Из (5) видно, что

ма-матриц уа ,у , которые удовлетворяют услови-для непротиворечивости выражения (2) необходи- ям

мо предположить С „в = 0. После сокращений

условие (5) примет вид {уа ,уЪ '} = -2цаЪ, {а ,гу} = ° у2 =-1 (10)

1 d - 2п „ и связаны с обычными гамма-матрицами соотно-

--------Ra,Y V = 0 (6)

2 d - 2 ! шением

Рассматривая произвольные величины d и п, необ- у“ =У “у = -УУа. (11)

ходимо предположиТь, что бесследовая часть тензора После этого мы определяем оператор производ-

Риччи обращается в ноль: Rpv = Rpv -1 g R = 0,

pv i&pv у

d г> -я -L^ab

ной

Dp = dp +&TM b,

p t T ab

Mab = 2 (a+Ob - a+aa)-) (Jb -УъУа ), (12)

который действует на произвольный вектор состо-

это означает, что Rv = — gv R . Затем, вследствие

d

тождества Бьянки 2VvRflv = VpR, находим, что

R = const. То есть уравнения (2) совместны только в яния в пространстве Фока пространствах постоянной кривизны. Поэтому , xv-1 +rt +ft, ( ) (—3)

остальные разделы данной статьи будут посвящены a •••a / ()

построению лагранжианов для полей в пространст-

как оператор ковариантной производной ве АдС. Отметим, что в пространствах постоянной г- г- г- г

кривизны есть возможность преобразовать уравне- = ^ a (.У»...», ^0). (14)

ния движения (2), так как появляется параметр (ра- «=о

диус кривизны) с размерностью длины. В результате уравнения (7) можно реализовать в

операторной форме

2. Алгебра операторов для фермионных полей в пространстве анти-де Ситтера размерности d

t0 \у} = 0, tj |^) = 0, /j\y) = 0, (15)

где явный вид операторов ї0, t1,11:

Ґ і Л

г2 go - т

V J

go = аиа

ч = уЦа^ 1 = -авц. (16)

Для построения лагранжиана в терминах БРСТ-подхода (см.: [1-2]) необходимо иметь набор операторов, инвариантный относительно эрмитового сопряжения и образующий алгебру. Для описания свойств эрмитового сопряжения операторов определим следующее скалярное произведение:

(ч\ф) = { а*хРІ х

10 = D2 - т2 + г

- gо + g о + Мі +

d (d +1) 4

ёо = аиа

что дополнительные части д. не могут (анти)ком-мутировать с операторами д. Это происходит потому, что дополнительные части должны содержать у , которая также представлена в Г0. Поэтому, чтобы исходные операторы (супер)коммутировали с дополнительными частями, мы делаем невырожденное линейное преобразование о1 = и' О и удаляем у из ?0. Таким образом, мы заменяем 10 и /0

(

*0 *0 + У

Л

- Г 2

10 10 +

£ + Г&02:

+ЛФЛ..Л (х)|(17)

= 'Г* Я и, 1о = Я2 + г

4

(21)

(22)

В результате оператор Ї0 будет эрмитов, а два других являются неэрмитовыми:

^+= ау, 1+=-іа»+Dp. (18)

Теперь для получения алгебры мы добавляем к набору операторов все операторы, генерируемые (анти)коммутаторами ?0, *1, 11, *+ І+ Для замыкания алгебры необходимо добавить следующие операторы:

при этом другие операторы остаются без изменений. Благодаря этому преобразованию исходных операторов можно применить метод построения дополнительных частей, описанный в [1]. Алгебра новых операторов приведена в табл. 1, где 1

(19)

(20)

d

Г-----

где D2 = g^ -Г^уDa). В результате мы име-

ем набор операторов 10,10,^,/1,11+,/1+, go, gm, который инвариантен относительно эрмитового сопряжения и образует алгебру, генерируемую этими операторами.

Метод построения лагранжианов в терминах БРСТ-подхода [1] требует введения расширенных выражений для операторов о, = (, (, (, (, г+, 1+, g0, gm}

так, чтобы расширенные эрмитовые операторы содержали линейно произвольные параметры и набор операторов образовывал алгебру. Процедура построения этих расширенных операторов 0. = д1 + д для операторов д{ значительно упрощается, если исходные операторы д1 (супер)коммутируют с их дополнительными частями д: [д., д} = 0 . В этом

случае мы можем применить метод, подробно изложенный в [1]. Если мы попытаемся построить расширенные операторы 0. = д1 + дна основе исходных операторов д{ = ,/0,Ч,А, А,/,+,go,gm), найдем,

{t0,А} = -Г ^

{*0 ,11 } = -Г^1 [^ І0 ] = Г(2£ + 1)^ [*1+, 10 ] = -< (2 £0 + 1) [l0,11 ] = -Г ( 2 £ 0 + 1) 1Р

[І0, І1+] = ГІ1+( 2 £0 + 1), \}і, 11 } _ ~-0 + г

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28) (29)

Таблица 1

Алгебра исходных операторов

и Її *1+ І0 Ії І+ ё0 ёт

Іо 2 1о 2 її -2 1 0 (23) (24) 0 0

$1 -2 1 0 2 go (25) 0 ~-0 Її 0

и* 2 1+ -2 go 0 (26) * 0 -1 0

І0 0 -(25) -(26) 0 (27) (28) 0 0

І1 (23) 0 -*0 -(27) - Уі (29) її 0

І1+ (24) *0 0 -(28) (29) -1/ *+2 /2 1 -ї+ 0

Ио 0 -*ї 0 -її ї+ 0 0

Ит 0 0 0 0 0 0 0 0

Следующим шагом для построения лагранжиана является нахождение дополнительных частей для операторов, приведенных в табл. 1.

3. Дополнительные части Метод построения лагранжианов в БРСТ-подхо-де требует введения «удлиненных» выражений для

п,к=0

операторов исходной алгебры, в терминах новых операторов рождения и уничтожения, а также констант теории. Перечислим требования, которым должны удовлетворять дополнительные части д':.

1) «удлиненные» операторы О. = о. + д\ находятся в соотношении инволюции [О, 0. ] ~ 0к;

2) каждый эрмитов оператор содержит линейно произвольный параметр, значение которого определяется позже из условия воспроизведения уравнений движения (7).

С целью нахождения явного выражения для дополнительных частей сначала следует определить их алгебру. Процедура нахождения алгебры дополнительных частей для нелинейных алгебр была разработана в [1]. Для детального ознакомления с данной процедурой рассмотрим антикоммутатор

{А, А} в качестве примера. Предполагая, что исходные операторы д (супер)коммутируют с дополнительными частями д , находим

L+} = /+} + {/ / '+} =

g2 + 2 go + 2 ti+ti j+{l {,l'+}.

= -o + r

(30)

+1 rT+T -1 rt'+ T -1 rt' T+. 2 2 2

{t 'о, l 'l} = r ^ g 'о + і ^ t 'l:

0 + і

{t 'о, l '+} = rt 1

[t\, l 'о ] = -r (2g 'о + 1)t 'l,

[t'+ , l 'о ]= rt'+ (і g 'о + 1),

[l', l 'l ] = r (2g 'о +1) l 'l,

[l 'о, l'+ ] = -rl'+(і g 'о + 1).

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Таблица і

Алгебра дополнительных частей

После этого выражаем все исходные операторы через расширенные и дополнительные оі = Оі — о\ и упорядочиваем операторы таким образом, чтобы расширенные операторы располагались с правой стороны:

{,L+} = -2rg'0G0 + |гТі+ Т1 -^ц'+Т -

-2лут+ + г0 + г[я'2+2g'0+2і'+і'і^+{,1'+}. (31)

Чтобы выполнялось первое требование [О ,О,] ~ Ок, берем

{I{,I'+} = - \ - г ^ '2+2£ '0 + 2г'+ г| (32)

вследствие чего получаем

{,П} = ^0 + ^I -2гЯ'0 G0 + 2ю0 +

t o t’1 t’l I’o l’1 11 g’o g’m

t’o 2 l’o 2 ’ -2 l’+ o (34) (35) o o

t’l -2 ’ o 2 g’o (36) o - o 11 o

t’l+ 2 l’+ -2 g’o o (37) t o o -t’l* o

l’o o -(36) -(37) o (38) (39) o o

I’l (34) o -t o -(38) -12 y '+ (32) l’1 o

l’l+ (35) t o o -(39) (32) - y2rt'+ -l’1* o

g’o o -t’1 t’1* o -l’i l’1* o o

g’m o o o o o o o o

Используя данную алгебру, находим явные выражения для дополнительных частей в терминах новых операторов рождения и уничтожения:

г ■+= b, І '+= mj+-—b+1 f,

4m1

g 0 = b+ b + f+f + h, gm = hm ,

t '0 = —ym0 — 2m1 f+b +—— (b+b + 2h) b+ f 2m v ’

(4о)

(41)

r(b+b + 2h)b+b-2r b+b + h +1 jf+f, (4і) t \ =Y—f + (2f+f + b+b + 2h)b, (43)

ии 4 '

(ЗЗ)

m

Таким образом, найден антикоммутатор для дополнительных частей {/{,/'+} (32) и одновременно антикоммутатор для расширенных операторов

Ц,Ц" | (33). Применяя данную процедуру для других (анти)коммутаторов, находим алгебру дополнительных (табл. 2) и алгебру расширенных операторов (табл. 3), где

-—f h + ^(b + h)f-J—b+1b\f, (44)

m1 ^ 2)4 7 4m1

где вводятся одна пара фермионных f+, f и одна пара бозонных b+, b операторов рождения и уничтожения со стандартными (анти)коммутационны-ми соотношениями

{f+, f } = 1, [b+, b ] = 1. (45)

2

— іб —

Согласно второму требованию, найденные дополнительные части для исходных эрмитовых операторов содержат линейно произвольные параметры: операторы X '0, g '0, g'т содержат параметры т0, h, hm соответственно. Оператор I '0 не может содержать независимый произвольный параметр, так как I '0 =( '0) . Параметры т0 и hm имеют размерность массы, параметр h - безразмерный. Значения этих параметров будут определены позже, из условия воспроизведения уравнений движения (7). Также выражения для дополнительных частей (40)-(44) содержат произвольный (отличный от нуля) параметр т1 с размерностью массы. Его величина остается произвольной и может быть выражена через другие параметры теории т1 = / (т, г)^ 0. Произвол данного параметра не влияет на воспроизведение уравнений движения для физических полей (7).

Необходимо отметить, что дополнительные части не подчиняются обычным свойствам

(* \ )+* X(I '0)+* I(X \ )+* X'+ , (I \ )+* I'+, (46)

если используются стандартные правила эрмито-вого сопряжения для новых операторов рождения и уничтожения

(Ь )+= Ь+, (/ )+= /+ . (47)

Чтобы восстановить соответствующие свойства эрмитового сопряжения для дополнительных частей, необходимо изменить скалярное произведение в пространстве Фока, генерируемое новыми операторами рождения и уничтожения следующим образом:

(48)

для любых векторов | ^), | ^2) с некоторым неизвестным оператором К. Этот оператор определяется из условия, что у всех операторов алгебры должны быть соответствующие эрмитовые свойства относительно нового скалярного произведения:

(49)

= (Т ^К|Т 2

(Т і ІКХ 'о Т 2) = (Т 2 Кх о іт^ *,

(Т і ІКІ 'і! Т 2) = (Т 2 1 КІ'+ ІТі) *,

(Т і ікі 'о Т 2) Ч'Т 2 КІ о ІТ^*,

(Т і ІКх 'і! Т 2) = (* 2І КХ'+ ІТі) *,

(Т і І К? 'о ІТ 2! ) = (^ 2 ІК?1 оІТ^ *

(Т і ІК?'т ІТ 2 >=(^ 2 ік? тІТ^ *

тате оператор К действует как единичный оператор во всем пространстве Фока, кроме (Ь+, /+), где имеет вид

С (к)

к!

1

0 к)^7Г (°, к1 +

2к + к

, , 2шл2 - гк (2к + к +1) ,

+1 к 0 .„.2—1 о. к1+

4кт12

утй

2hm1

2hm,

(52)

где

С (к) = 2к(2к +1)- . . .

. . .-{2Н + к — 2 )(2А + к — 1)2к + к),

|о, к) = (г)| 0), |1, к) = г(ь+)к |о).

(53)

(54)

Таким образом, в этом параграфе построены дополнительные части (40)-(44) для операторов, отвечающих всем требованиям. В следующем параграфе будет определена алгебра расширенных операторов и построен БРСТ-оператор, соответствующий этой алгебре.

4. Деформированная алгебра и БРСТ-оператор

Таблица 3

Алгебра расширенных операторов

То Ті Ті+ Ь0 Ьі Ьі+ О0

То 2^> 2L1 0 (55) (56) 0

Т, 0 200 (57) 0 -Т0 Ті

Т+ 2L1+ -20о 0 (58) То 0 -Ті+

Ьо 0 -(57) -(58) 0 (59) (60) 0

Ь, (55) 0 -Т0 -(59) (62) (6і) Ьі

(56) То 0 -(60) (61) (63) -Ьі+

О0 0 -Ті Ті+ 0 -Ьі Ьі+ 0

(50)

(51)

Проблемы эрмитового сопряжения операторов имеют место только в (Ь+, f + ) секторе пространства Фока, поэтому изменение скалярного произведения затрагивает только данный сектор. В резуль-

Следуя методу, изложенному в [1], можно найти алгебру расширенных операторов (табл. 3), где

{70,А} = -2год -2гТхО0 + г?'о Ті + гх\О0, (55)

{то, ь+} = - 2 гт;Оо - 2 гОоТ+ + гх 1 Оо + г?; ті+ ,(56) [Ті,Ьо] = гОоТ + гТіОо -2г?'оТі -2гх\Оо, (57)

[Ті+,Ьо] = -гТ1+ Оо - гОоТі+ + 2г?'о Т1+ + 2гХ'+ О0, (58)

[Ьо,Ь ] = -гОоЬ - гЬіОо + 2г? 'о Ьі + 2г1 \ О,, (59)

[L0,Ц+] = гЦG0 + Ц -2г1'+ G0 -2гЯ'0 Ц, (бо)

Ц) = -L0 + ЮО -2гЯ-0 G0 + -4гТ+ +

+-гТТ+- - П'+ Т1 - - П \ Т, 4 2 1 1 2

(6і)

{ ^ 1 т2 -П' Т (62) ^\Х = Q'ІЛ последовательность соотношений:

1 Я\х) = 0, (<7 + Ь)\х) = 0, gh^\x)) = 0, (67)

{,!;!= -т1-«■* т*. (63) ' '

2 ; ; ;' %) = б|А), (<7 + А)|Л) = 0, gh(|л)) = -1, (68)

БРСТ-оператор, построенный на основе алге-

бры (табл. 3), имеет вид

5|Л) = фа)), (<г + *і)|л(І)) = 0, gh(|л(1))) = -2, (69)

0' = q0T0 +П+Т +п?;+пЛ + 8\л^) = е| Л®), (сг + h )|л«) = 0,

+ql+ L1 + &£++^6<> + (ql+ ql -%2)Р0 + gh(л(0^) = -( +1). (7о)

+2г'^1 рі + 2іЗДірі -2^1 ^і^е + і('Пі ql -ql Лі)ро + Затем аналогичным образом избавляемся от го-

стов по, ро, ?о, ро. Разлагая вектор состояния и калибровочные параметры в ряд по гостам по, ро, #о, ро, имеем

+20 (р-Пір1+ + ^і+Рі -^іРі+)-г4і+ 31 (Со -2#'0) Пі+По -1 ql+ ][( -2Я'0)) + ( -2ґ\)Рв]-

/*

-Г

-г

V 2

А 1

ПоП- 2 ql

V

|х) = Е (( + По 1x0)

[(^о - 2Я 'о ))++(+-2t '+) ]- *=; (71)

4

2

Г

(72)

[,, (-2, ■,)+^,+ (7!- 2, ■;)](,, О,* ^)- ^=£ ^ л ^

, к=0

- -4 По (^,171+ - ^ )(+ + ql+ ^. (64) gh (|л(от) ) = -( + т + к +1).

Здесь qo, ql, ql и П0, П1, П1 , по с°ответственно После процедуры, описанной в [6], можем изба-

бозонные и фермионные гостовские «координаты», ^ , . , .

а р0, р1, р+ , Р0, Р1, Р1+, Ра соответствующие им ка- виться от всех полей кроме двух \х^), \ Хо / , и из

нонически сопряженные «импульсы». Они годга- крайнего левого уравнения (67) получим уравне-

няются (анти)коммутационным соотношениям ния движения, соответствующие физическому тен-

{о, Ро } = {Па, Ра } = {, Р+ } = {+, Р} = 1, зорному полю ранга-и:

[ Ро ] = [^ р+ ] = [^1+ > Р1 ] =1 де| х0) п + | ql+ } Х<^) п = 0, (73)

и обладают стандартными гостовскими числами ~\ о\ ЛП\ А _ 0 (74)

gh(C) = -gh(Pi) = 1, что обеспечивает gh(Q') = 1. 01Хо/п + ХЧп _ , ( )

Обратимся теперь к построению лагранжиана на | 0\ 1Л

гпгт ее-Л\ где \уп) , \уп) удовлетворяют соотношениям

основе БРСТ-оператора ц (64). м \Л0и’ IЛ01„у ^

5. Построение лагранжианов

Для начала избавляемся в БРСТ-операторе (64) а|

от зависимости от гостов пО, Ро и предполагаем,

что векторы и калибровочные параметры не зави- Уравнения (73), (74) являются лагранжевыми и

сят от п : могут быть выведены из следующего лагранжиа-

‘О 1

на1:

1*> = К*о Т (ч++Т (р+ Т (По Г4 (п++Т (Р+) X . 0| ^ ^ 1 . и

ъ ^ = „(*0| ^.зТо| х0)й + ^ я{х1\Кп {T0, ^1+ ^1}х0^> „ +

х(ь+)к1 (Г)к а+« ...а+^(х^0). (66) + XКйАб|х0)+ (Х0\Х0°) ■ (76)

и\1 \ ! п п \ \ \ ! п

В сумме (66) к0, к1, к2, к3, к7 пробегает значе- Уравнения движения (73), (74) и действие (76)

ния от 0 до да , а к4, к5, к6, к8 от 0 до 1. После этого являются инвариантными относительно калибро-

мы получаем из уравнения на физический вектор вочных преобразований

ц'|х) = 0 и из калибровочных преобразований ^Хо°) =Дб|ЛП +1 {70,д+?1}Л^ , (77)

I / п I / п У I / п

1 Лагранжиан определяется с точностью до произвольного общего множителя .

\х)Ап-Уі)Іх°)п’ а\х)Ап-Уі(75)

*14. = Л), +А^1 Л0, • (78)

которые являются приводимыми, с калибровочными параметрами л(0П , 7 = 0,1 подчиняются тем

I / п

же условиям, как и \хо/ в (75):

I / п

«к™),=Ае| л<'*‘>:>,+2 {■

|л <“■:),=|л^,,

5|Л«0)п = Г0| Л<;+1)0)п +А^ Л<;+1>0)п,

|Л <™о)' = Ю п.

=0 (n - k)!

(-l) ' /%- mo

=0 (n - k -1)!

ф1 . +ф

k V ф

Ді та

,1 r ,2. .. ,n-,2 .. .,n-k\7 ,\f

k V,19,

(81)

где m0 = m + rm(d/2-n) и m есть масса поля. Кроме того,

"k+1...

_ 1

_ k!У

"k

,у"ф

"l ..

(79) ф ' і

'k+l...

1_ k!

= ~ф . . ,nY

■Y

,k

(80)

Итак, лагранжева формулировка для массивных фермионных антисимметричных тензорных теорий поля в пространстве АдС произвольной размерности построена. Соответствующий лагранжиан и (Штюкельберговые) калибровочные преобразования даны формулами (76) и (77)-(80), порядок приводимости растет со значением ранга антисимметричного поля.

Наконец отметим, что лагранжиан (76) может быть упрощен. В частности, мы можем избавиться от всех вспомогательных полей и записать лагранжиан для антисимметричного фермионного поля в терминах только основного поля 1

Если положить массу т = 0 в (81), тогда следует ожидать, что лагранжиан (81) становится калибровочно-инвариантным лагранжианом ранга-я безмас-сового антисимметричного фермионного поля.

Заключение

В статье построена лагранжевая формулировка для массивных фермионных антисимметричных полей в пространстве АдС размерности-^ и найдены различные эквивалентные формы лагранжиана. В общем случае, лагранжиан содержит основное поле с большим количеством вспомогательных полей (Штюкельберга) и обладает приводимой калибровочной симметрией. Такая ситуация является стандартной для массивных теорий полей высших спинов в БРСТ-подходе. Однако специфические особенности фермионных антисимметричных полей позволяют полностью устранить все вспомогательные и Штюкельберговые поля из действия и получить лагранжиан только в терминах основного поля. Насколько нам известно, такой лагранжиан ранее не был описан в литературе.

1

Список литературы

1. Buchbinder I . L . et al . Gauge invariant Lagrangian formulation of higher spin massive bosonic field theory in AdS space // Nucl . Phys . B 762, (2007) . P. 344-376 .

2 . Buchbinder I . L . , Krykhtin V. A. Progress in Gauge Invariant Lagrangian Construction for Massive Higher Spin Fields, arXiv:0710.5715 [hep-th].

3 . Buchbinder I . L . et al . BRST approach to Lagrangian formulation of bosonic totally antisymmetric tensor fields in curved space, arXiv:0810.3467

[hep-th]

4 . Metsaev R. R . Fermionic fields in the d-dimensional anti-de Sitter spacetime // Phys. Lett. B 419, (1998) . P. 49 .

5 . Noguchi A. , Sugamoto A . Dynamical origin of duality between gauge theory and gravity // TSPU Vestnik . 2004. Issue 7 (44) . P. 59-61.

6 . Buchbinder I . L . et al . BRST approach to Lagrangian construction for fermionic massless higher spin fields // Nucl . Phys . B 711, (2005) . P. 367 .

Рыскина Л. Л., кандидат физико-математических наук, ассистент.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.

E-mail: ryskina@tspu.edu.ru

Материал поступил в редакцию 25.05.2010.

L. L. Ryskina

LAGRANGIAN FoRMuLATioN of MAssivE FERMIoNIC ANTIsYMMETRIC FIELD IN ANTI DE sITTER spACE

In this article we apply BRST approach to Lagrangian construction for massive fermionic fields in d-dimensional anti de Sitter space. The obtained Lagrangian theory is a reducible gauge model containing, besides the basic field, a number of auxiliary (Stuckelberg) fields and the order of reducibility grows with the value of the rank of the antisymmetric field. We show that one can get rid of all the auxiliary fields and the final Lagrangian for fermionic antisymmetric field is formulated only in terms of basic field.

Key words: BRST-approach, higher spin field, massive fermionic fields, anti de Sitter space, BRST-operator, Lagrangian, gauge transformation.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. ffiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.

E-mail: ryskina@tspu.edu.ru