CC BY
23
УДК 532.5 + 517
Е.И. Отставнов
ФГБОУВПО «МГСУ»
ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ПЛОСКОГО
Приведен вывод уравнений плоского пограничного слоя с использованием подхода Лагранжа. Граничные условия рассмотрены с позиций теоретической механики в качестве связей, наложенных на систему. Уравнение движения вдоль границы отделяется, что дает еще одну форму скалярного описания плоского по-гранслоя.
Ключевые слова: подход Лагранжа, пограничный слой, односторонние связи, уравнения движения, вязкая несжимаемая жидкость, преобразование Крокко.
Рассмотрим плоскую задачу о движении вязкой несжимаемой жидкости вдоль стенки, представленной гладкой кривой не слишком большой кривизны. Прандтль [1] предложил классическое приближение для описания потока вблизи границы, где вязкие эффекты оказывают определяющее влияние на динамику. Традиционно используется эйлеров подход для решения этих задач [2, 3]. Однако в последнее время лагранжево описание вопросов механики сплошных сред, в частности жидкостей и газов, стало активно распостраняться как в традиционном [4], так и адаптированном (переход к дискретной системе частиц разного рода) [5] виде. Представляет интерес последовательное применение подхода Лагранжа к задаче о пограничном слое.
Введем декартову систему координат наблюдателя ОХУ. Не ограничивая существенно общности, допустим, что вдоль оси абсцисс проходит стенка, тормозящая поток вязкой жидкости в верхней полуплоскости. Как показал Прандтль, в окрестности границы У = 0 уравнения Навье — Стокса в нашем случае
ди / / р'х
--+ ихи + ЫуУ = —— + vAu;
р
ду / / р'¥ д
— + ухи + УуУ = + (1)
р
и X + Уу = 0
с дополнительным условием прилипания на стенке и заданным начальным распределением скоростей, можно заменить более простой системой для пограничного слоя
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
бы / /
--+ ыхы + ы.у = —
д х у
(2)
ых + V у = 0
ВЕСТНИК
МГСУ-
5/2013
в новой, вообще говоря, системе координат Oxy. Выше обозначены u, v — компоненты скорости в проекции на OX(Ox) и OY(Oy) соответственно, р — плотность жидкости, p — давление, v — кинематическая вязкозть. В силу несжимаемости р = const.
Технически переход от (1) к (2) осуществляется путем формального разложения зависимых переменных u, v и p в ряды по (малому) параметру обратному корню квадратному из числа Рейнольдса с последующим сохранением только главных по s членов в получившихся уравнениях [2]. Типичные граничные условия для (2) имеют вид и = V = 0 при у =0; м —> С/ при у —» +00,
где U = U (x, t) — заданная скорость внешнего потока. Задача (2), (3) была исследована О.А. Олейник [8].
Проведем аналогичную процедуру упрощения уравнений движения, используя лагранжевы переменные. Частицы жидкости будем различать с помощью лагранжевой параметризации их собственными координатами в начальный момент времени t = 0 X (t = 0) = X¥,Y (t = 0) = ©. Таким образом, закон движения определяется парой функций времени и лагранжевых координат X (¥, ©, t),Y (¥, ©, t). В системе
OXY уравнения (1) могут быть преобразованы
[4] к виду
(3)
2 X
dt2
dt2
p ( " dX" Y,
-, Y + V x, X ,"7" +
_P _ V _ dt _ _
" x,p" + V f X, X • £ 1 + Y,
_ P_ V _ dt _
dX
dY
(4)
Г dX 1 Г „ dY 1
—,Y _ dt + X,— dt _
= 0
с использованием понятия полной производной, определения скорости и простого правила замены
§=[ f y ].§=[ x ,§
(5)
где слева стоят производные в эйлеровых переменных, а справа — их лагран-
Гг 1 д(/, g) д/ дg д/ дg
жевы аналоги. По определению /, g =-=-----— якоби-
д(¥, 0) д^д© д©д^
ан (он же скобка Пуассона гладких функций). Впервые такое преобразование в научной литературе привел Ламб [6] (хотя корнями оно восходит к работам Ла-гранжа). Уравнение неразрывности, с учетом постановки задачи и выбранного определения лагранжевых переменных, приводится к обычному для теории упругости виду [ X ,У ] = 1.
От координат ОХУ перейдем к координатам Оху и заменим лагранжеву параметризацию по формулам
£ = Ч, еп = 0;
х(£, п, г) = X(Ч, 0,г), еу(£, п, г) = 7(Ч, 0,г). (6)
При в —^ 0 + происходит растяжение приграничного слоя {Х,У | X е ^ ,0 < 7 < 1} из ОХУ во всю верхнюю полуплоскость у > 0 в Оху.
Также подберем единицы измерения, чтобы v = 1/ Re = в2. Введем новую скобку {/, = , g} = в-1 [ /, g ]. Уравнения (4) перейдут в
п)
*2 Х = А]р0, У Н х,+ О (8);
dt2 У Р
d2y + Jх,Р }-< х,< x,
J
х ^ + O
(в2); (7)
dt{ °
Выше использовано разложение р = Ро +вр1 + ... Опять можно получить {х, у} = в 1[ х, у ] = в 1[ X, вУ ] = [ X, У ] = 1, как и прямым интегрированием последнего уравнения в (7) с учетом начальных условий.
В последней системе уравнение изменения проекции импульса на ось у имеет специальный вид. Существенные для описания динамики величины — «уравнение движения вдоль оси Оу» — оказались умноженными на малый параметр. Такая ситуация возникает, например, в гамильтоновых системах с собственным вырождением, ярким примером которых являются ограниченные задачи небесной механики. В них приближенно описываются ситуации, когда собственные размеры системы малы по сравнению с размером орбиты ее центра масс. Аналогично и здесь реальный интересующий нас масштаб вдоль ОУ много меньше характерного масштаба вдоль ОХ.
Равенство {р0, х}= 0 превращается в условие совместности (плотность остается постоянной, поэтому мы ее исключили). Используя правило умножения якобианов, преобразуем к переменным Эйлера:
0 = {х р } = д(х Р0) = д(х Р0) д(^ у) = б(Лр0) {х у} = дхр001 = дР0 1 , Р0) п) д(х, у) п) д(х, у) 1 , у д(х, у) ду '
др
значитР0 = Р0(х, /)и {Р0,у} =-= -pg(х). Следуя Прандтлю, будем счи-
дх
тать g (х) известной функцией, задаваемой распределением давления на границе с внешним потоком.
Оставляя старшие члены разложений и опуская уравнение для давления в (7) приходим к
с12 х . Г Г dx ]] = ё (х, 0 + \ X, \х —
dt2 14 'dtJJ' (8)
{x, j} = 1.
Заметим, что их можно получить напрямую из (2), используя (5) и (6), но выводом мы убеждаемся в согласованности разложений по малому параметру, осуществляемых в эйлеровых и лагранжевых переменных. Граничные условия (3) перепишутся как сЬсйу
— = — = 0 при у =0;
ш Ш (9)
йх >
--> и (х, г) при у ^ +да.
й
Система (8) также обладает важным свойством — уравнение для х отделилось.
Полная постановка задачи для (4) содержит начальные положения частиц, их скорости в допустимой для движения области У > 0, а также условие прилипания. Если перегруппировать последние ограничения следующим образом:
У > 0 и — = 0 при У = 0; &
= 0 при У = 0,
&
то их можно проинтерпретировать в терминах классической механики. Первое — обычное описание неудерживающей голономной связи с абсолютно неупругим ударом при натяжении, а второе задает условную неголономную связь [7]. Существенным моментом является то, что их воздействие проявляется только при выходе частицы на ось У = 0. В общем случае последнее требует отслеживать для каждой частицы момент натяжения связи У = 0 , чтобы учесть возможный скачок скорости и ввести в уравнения (сингулярные) силы реакции. Возможный сход частицы со связей будет происходить при выполнении условия
ё2У Л
—— > 0 в силу уравнений (4).
Л
Для системы (8) условие прилипания при у = 0 сохраняется, значит и в рамках этой модели возвращение частицы со стенки в поток возможно, если
для нее будет выполняться —у — 0 . Эту ситуацию удобно исследовать в эйле-
йХ
ровом описании. Согласно второму уравнению (2) V = —ы'х, откуда с учетом у(у = 0) = 0 получаем
У
Ч X, у, X) = -\ и'х( х, Ь, X) db. (10)
0
Следовательно, нормальная составляющая ускорения частицы жидкости
на пластине —у(х,0, X) = 0 (аналогично для производных более выского по-—X
рядка, если они существуют). Получается, что частицы, уже находящиеся на поверхности пластины, на ней вечно и остаются.
Как следует из [8], при достаточно общих предположениях в задаче о по-гранслое поле скоростей непрерывно, в частности, удара (скачка скорости при
выходе частицы на границу) не происходит. Допустим, что некоторая частица с лагранжевыми параметрами ^0, П0 из потока попала на стенку в момент времени ¿0. Незадолго до этого рассмотрим в Оху множество жидких частиц полной меры, находящихся достаточно близко к данной частице и ниже ее. В силу непрерывности поля скорости при достаточно малых интервале времени до выхода и радиусе выбора частиц, все частицы выбранного множества попадут на границу. Но его мера не равна нулю, что приводит к противоречию с условием несжимаемости.
Можно сделать вывод, что на стенке остаются только те частицы, которые находились там в начальный момент времени.
Асимптотическое условие в (9) естественным образом возникает из обычных граничных условий для задачи (4) в результате преобразования (6). В ла-гранжевом описании происходит переход от еще одной условной неголоном-ной связи к требованию на предельное значение функции. Если допустить, что внешнее распределение скоростей и (х, /) достаточно гладкое, то в силу результатов [8] поле скорости в погранслое непрерывно и имеет ограниченные производные. Значит, за конечное время частица не может попасть «на бесконечность», и при рассмотрении локальной динамики в окрестности выделенной частицы не нужно вводить силы реакции новой асимптотической связи. Может показаться, что это исключает предельное условие для и, так как при любой конечной ординате предельное требование не оказывает явного влияния на данную частицу. Однако в [8] показано, что упомянутые и естественные с точки зрения физики свойства непрерывности и ограниченности производных влекут экспоненциально малую по у оценку модуля относительной разности и и и(х, /)при бесконечном удалении вдоль Оу. Да и сами уравнения содержат частные производные по пространственным координатам, так что явно или нет, но предельное условие придется учитывать при описании потока в целом.
Тем не менее, частица из потока, не находящаяся на границах, не выйдет на них за конечное время, что позволяет рассматривать только первое уравнение из (8) и вычислять после его решения, используя второе.
Уравнения (8) дают еще один способ сведения задачи о погранслое к единственному скалярному уравнению помимо известных методов, использующих функцию тока или преобразование Крокко. В отличие от последних, запись не содержит явно независимых пространственных переменных. Скобка Пуассона является якобианом, т.е. инвариантом дифференциала соответствующего отображения области лагранжевых переменных. Таким образом (8) дает инвариантную форму записи единственного существенного уравнения динамики в задаче.
Рассмотрим некоторые свойства получившихся уравнений.
Уравнение для у интегрируется обычным образом, если известно решение для х. Возможны два представления в зависимости от того, какая из производных зависимой переменной х по лагранжевым координатам не равна нулю (заметим, что они не могут равняться нулю одновременно в силу условия несжимаемости):
^ da
yß, n, t) = - f--+ Y (-xß, n, t), t);
0xb(a, b, t)
n db
yß,n, t) = j--+ Y2 (xß,n, t), t),
0 Xa (a,b, t)
(11)
где после вычисления интегралов параметры, не участвующие в интегрировании нужно заменить на х(^,п, г), а функции У1 и У2 выбираются таким образом, чтобы удовлетворить граничным и начальным условиям.
Можно рассмотреть величину ю = {х, х}. Для удобства полную производную по времени будем обозначать точкой. Тогда
ю = {х, х} + {х, х} = {х, g (х, г) + {х, {х, х}}} = {х, {х, ю}}
в силу кососимметричности якобиана как билинейного функционала. В эйлеровых переменных ю = и у. Учитывая, что УХ = УХ при переходе к приближенной модели погранслоя станет[У ,У ] = в{ у, у}, т.е. не будет учитываться в рассматриваемом приближении по е, то уравнение
ю = {х, {х, ю}} (12)
будет приближением уравнения для вихря (формально говоря, удвоенного и с обратным знаком).
Библиографический список
1. Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М. : ОНТИ, 1935. Т. 2. 312 с.
2. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М. : Изд-во физико-математической литературы, 1962.
3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М. : Наука, 1974.
4. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006.
5. Liu G.R., Liu M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics a meshfree particle method. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2003.
6. Ламб Г. Гидродинамика. М. : ОГИЗ, 1947.
7. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИМП им. М.В. Келдыша РАН, М., 2002.
8. Олейник О.А. Математические задачи теории пограничного слоя // Успехи математических наук. 1968. Т. 23. Вып. 3(141). С. 3—65.
Поступила в редакцию в марте 2013 г.
Об авторе: Отставнов Евгений Игоревич — кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), (499) 183-24-01, eotstavnov@ya.ru.
Для цитирования: Отставнов Е.И. Лагранжев подход к описанию плоского пограничного слоя // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 49—55.
E.I. Otstavnov
LAGRANGIAN APPROACH TO DESCRIPTION OF TWO-DIMENSIONAL BOUNDARY LAYER
In the article, the two-dimensional boundary layer is considered on the basis of the Lagrangian approach to the continuous medium description using coordinates of particles. Classical L. Prandtl's method of Navier-Stokes equation simplification through expansion of dependent variables in a series is applied to develop the model. Direct transformation of widely used Euler equations derived by L. Prandtl generates the same result. Boundary conditions are regarded as one-sided or non-holonomic restrictions from the viewpoint of analytical mechanics.
The mass conservation equation can be detached from the main equation of motion. At the same time, one can conclude that a particle starting its motion from an internal part of the layer will remain there without reaching any boundary in a finite time. The perpendicular coordinate evolution can be calculated when one has a law of motion along the boundary employed using the standard approach to the certain PDE solution. The model presentation is based on the Hamiltonian apparatus of classical mechanics. Derivatives of spatial variables take the form of the Poisson brackets. Hence, the full equation for the Newton's second law has acceleration and doubled application of Poisson brackets. The pressure gradient is a function of a single coordinate; therefore, it can be eliminated by another Poisson bracket application due to the symmetric property of the skew.
Key words: Lagrangian approach, boundary layer, one-sided restrictions, motion equations, viscous incompressible fluid, Crocco transformation.
References
1. Tit'ens O. Gidro- i aeromekhanika [Fluid and Aeromechanics]. Moscow, ONTI Publ., 1935, vol. 2, 312 p.
2. Loytsyanskiy L.G. Laminarnyy pogranichnyy sloy [Laminar Boundary Layer]. Moscow, Izd-vo fiziko-matematicheskoy literatury publ., 1962.
3. Shlikhting G. Teoriya pogranichnogo sloya [Boundary Layer Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1974.
4. Abrashkin A.A., Yakubovich E.I. Vikhrevaya dinamika v lagranzhevom opisanii [Lagrangian Description of Vortex Dynamics]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2006.
5. Liu G.R., Liu M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics: a Mesh-free Particle Method. World Scientific Publishing Co., 2003.
6. Lamb G. Gidrodinamika [Fluid Dynamics]. Moscow, OGIZ Publ., 1947.
7. Berezinskaya S.N., Kugushev E.I. Ob uravneniyakh dvizheniya mekhanicheskikh sistem s uslovnymi odnostoronnimi svyazyami [On Motion Equations for Mechanical Systems Featuring Conventional One-way Connections]. Preprint of the Keldysh Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences. Moscow, 2002.
8. Oleynik O.A. Matematicheskie zadachi teorii pogranichnogo sloya [Mathematical Problems of the Boundary Layer Theory]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Advancements of Mathematical Sciences]. 1968, vol. 23, no. 3(141), pp. 3—65.
About the author: Otstavnov Evgeniy Igorevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; eotstavnov@ya.ru; +7 (499) 183-24-01.
For citation: Otstavnov E.I. Lagranzhev podkhod k opisaniyu ploskogo pogranichno-go sloya [Lagrangian Approach to Description of Two-dimensional Boundary Layer]. Vest-nik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 49—55.
