CC BY
0
Абдураимов Д. Э.
Гулистон давлат университети, «Амалий мтематика ва ахборот
технологиялари» кафедраси катта уцитувчиси
Рахмонов С.К.
Гулистон давлат университеты, «Математика»
йуналиши 1-босцич талабаси.
Ибрагимов Ж.А.
Гулистон давлат университети, «Математика» йуналиши 2-боскичталабаси
ЛАГРАНЖ ТЕОРЕМАСИ ЁРДАМИДА ТЕНГСИЗЛИКЛАРНИ
ИСБОТЛАШ УСУЛЛАРИ
Аннотация. Математика фанида Лагранж теоремаси етакчи уринлардан бирини эгаллайди. Бу теорема функциялар узгаришининг чегараларини аницлаш, экстремал цийматларни аницлаш ва турли тенгсизликларни исботлашда мууим ауамият касб этади. Лагранж теоремасидан фойдаланган цолда Байес теоремасини, Чебишёв, Марков, Хинчин, Коши-Буняковский, Юнг ва Минковский каби математик статистика ва математик анализдаги мууим тенгсизликларни исботлаш мумкин.Байес теоремаси эутимоллик назариясида мууим урин тутади ва Лагранж теоремаси ёрдамида унинг исботи келтирилади. Шунингдек, математик статистикадаги бир цатор тенгсизликларнинг исботи уам Лагранж теоремасига таянади. Бундан ташцари, математик анализда энг мууим уисобланган баъзи тенгсизликларни уам Лагранж теоремаси ёрдамида исботлаш мумкин.
Калит сузлар: Лагранж теоремаси, Тенгсизлик, исботлаш, Экстремал цийматлар, Функция,, Байес теоремаси, статистика, Чебишёв тенгсизлиги, Марков тенгсизлиги, Хинчин тенгсизлиги.
Abduraimov D. senior lecturer
Department of Applied Mathematics and Information Technologies
Gulistan State University Rahmonov S.
1st year student majoring in Mathematics Gulistan State University Ibragimov J.
2nd year student majoring in Mathematics Gulistan State University
METHODS OF PROVING INEQUALITIES USING LAGRANGE'S
THEOREM
Abstract. Lagrange's theorem occupies one of the leading places in mathematics. This theorem is important in determining the limits of transformations of functions, determining extreme values and proving various inequalities. Using Lagrange's theorem, you can prove Bayes' theorem, important inequalities in mathematical statistics and mathematical analysis such as Chebyshev, Markov, Khinchin, Cauchy-Bunyakovsky, Young and Minkowski. Also, the proof of a number of inequalities in mathematical statistics is based on Lagrange's theorem. Additionally, some of the most important inequalities in calculus can be proven using Lagrange's theorem.
Key words: Lagrange's theorem, Inequality, proof, Extreme values, Function, Bayes'theorem, statistics, Chebyshev's inequality, Markov's inequality, Khinchin's inequality.
Математика фани доирасида Лагранж теоремаси алохида урин тутади. Бу теорема функциялар узгаришининг чегараларини аниклашда, шунингдек, турли тенгсизликларни исботлашда мухим ахамият касб этади.Лагранж теоремаси функцияларнинг дифференциал хисоблашига асосланади ва бу фаннинг энг мухим назариялари каторига киради.Лагранж теоремасидан фойдаланган холда куплаб тенгсизликлар исботланиши мумкин.Жумладан, Байес теоремаси, Чебишёв, Марков, Х,инчин, Коши-Буняковский, Юнг ва Минковский каби мухдм математик статистика ва математик анализдаги тенгсизликлар ушбу теорема ёрдамида исботланади.Мазкур мавзу талабалар учун жуда мухим ахамият касб этади, чунки Лагранж теоремаси математиканинг турли сохаларида, жумладан, эхтимоллик назарияси, математик статистика ва математик анализда кенг Кулланилади.Шу сабабли, талабаларнинг математик тахлил килиш куникмаларини ривожлантиришда Лагранж теоремаси мухим воситадир.
Дастлаб Лагранж теоремасини келтириб утайлик:
Теорема. f (x) функция [a ; b] сегментда аникланган ва узлуксиз булсин. Агар бу функция (a ; b) интервалда чекли f (x) хосилага эга булса, у холда шундай c (a < c < b) нукта топиладики, бу нуктада
Исбот.Шартга кура f (x) функция [a ; b] сегментда узлуксиз булиб,
унинг ички нукталарида чекли f (x) хосилага эга. Бу функция ёрдамида куйидаги
f (c)
f (b) - f (a)
(1)
b - a
булади.
F (x) = f (x) - f (a)
f (b) - f (a)
(x - a)
b - a
Функцияни тузайлик. Равшанки, бу Г(х) функция [а ; Ь] сегментда аникланган ва узлуксиз булиб, (а ; Ь) интервалда эса
Г (х) = / (х)--;- хосилага эга F(х) функциянинг х = а ва
Ь - а
х = Ь нукталаридаги кийматларини хисоблаймиз: Г(а) = Г(Ь) = 0 . Демак, Г (х) функция Ролл теоремасининг барча шартларини каноатлантиради. У
холда а ва Ь орасида шундай с (а < с < Ь) нукта топиладики, Г (х) = 0 булади. Шундай килиб,
о=г (с)=/ (с) - ш/.
Ь - а
ва бундан (1) формула келиб чикади.
Асосий кисм:^уйидаги тенгсизликни исботланг:
х
-< 1п(х +1) < х (х > 0)
х +1
Исбот: / (х) = 1п( х +1) функцияни олайлик.Бу функциянинг хосиласини топсак
/(х) = —л
х +1
Юкорида келтириб утган Лагранж теоремаси (1) га курашундай с сон (с е (0 ; х)) топиладики:
/ (х) - / (0)
/ (с)
х-0
Бундан эса /(х) = тенгликка эришамиз. Бошка тарафдан
п 11т
0 < с < х ^-<-< 1
1 + х 1 + с
х мусбат сон эканлигидан, куштенгсизликни х га купайтирамиз:
х х
<-< х ^
1 + х 1 + с
х
1 + х
х
< / (х) < х ^
< 1п( х +1) < х
1 + х
тэнгсизлик исботланди.
Лагранж теоремаси математикада мухим урин тутадиган натижалардан бири булиб, куплаб математик тенгсизликларни исботлашда самарали усул хисобланади. Бу теорема функциялар назарияси, оптимизация, тадкикотлар ва бошка йуналишларда кулланилади. Лагранж теорема ёрдамида тенгсизликларни исботлаш усуллари математик
фикрлашни ривожлантиришга хизмат килади. Талабалар ушбу усулларни урганиш оркали турли хил математик тенгсизликларни мустакил равишда ечиш куникмаларига эга буладилар. Бундан ташкари, Лагранж теорема асосида тенгсизликларни исботлаш методлари талабаларда математик мантикка асосланган тафаккурни ривожлантиради ва урганилаётган мавзулар буйича чукур билим ва тушунчаларга эга булишларига ёрдам беради. Натижада, талабаларнинг математика фанидан олган билимлари ошиб, уларнинг интеллектуал салохияти ривожланади.
Фойдаланилган адабиётлар:
1. Т.Азларов, Х,.Мансуров "Математик анализ" 1-кисм, укув кулланма. Тошкент, «Укитувчи», 1994.
2. А.Саъдуллаев, Х,.Мансуров, Г.Худойберганов, А.Ворисов, Р.Гуломов "Математик анализ курсидан мисол ва масалалар туплами" 1-кисм, укув кулланма. Тошкент,«Узбекистон»,1993.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.-М.: Наука. 1977.
4. Ибрагимов, Ж. (2024). Тригонометрик формулаларнинг лабачевски геометриясидаги урни: Тригонометрик формулаларнинг лабачевски геометриясидаги урни. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). Retrieved from http s://ojs.qarshidu.uz/index .php/mp/article/view/617
5. Рахмонов, С. (2024). Физик масала ва унинг геометрик холатдаги ечими: Физик масала ва унинг геометрик холатдаги ечими. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). Retrieved from http s://ojs.qarshidu.uz/index .php/mp/article/view/616
6. АБДУРАИМОВ, Д. (2023). ТЕРМОЭЛАСТИК ДИНАМИК БОГЛЩ МАСАЛАНИНГ СТЕРЖЕНЬ УЧУН МАТЕМАТИК МОДЕЛИ ВА СОНЛИ ЕЧИМИ. Journal of Experimental Studies, 1(1), 3-7.
7. Нафасов ГА, Абдураимов ДЭ, and Н. М. Усмонов. "ТРАНСВЕРСАЛ ИЗОТРОП ЖИСМ УЧУН ИККИ УЛЧОВЛИ ТЕРМОЭЛАСТИК БОГЛЩ МАСАЛАНИ СОНЛИ МОДЕЛЛАШТИРИШ ВА УНИНГ ДАСТУРИЙ ТАЪМИНОТИ." КарДУ ХАБ: 13.
8. Абдураимов, Д. Э. (2023). ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОЕДИНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ПАРАЛИПИПЕДА И ЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ. Экономика и социум, (6-1 (109)), 567-573.
9. Seytov, A., Abdurakhmanov, O., Kakhkhorov, A., Karimov, D., & Abduraimov, D. (2024). Modeling of two-dimensional unsteady water of movement in open channels. In E3S Web of Conferences (Vol. 486, p. 01023). EDP Sciences.
10. Mamatov, A., Bakhramov, S., Abdurakhmonov, O., & Abduraimov, D. (2023, October). Mathematical model for calculating the temperature of cotton in a
direct-flow drying drum. In AIP Conference Proceedings (Vol. 2746, No. 1). AIP Publishing.
