L-оптимальные планы в тригонометрической регрессионной модели на полном интервале планирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

П. В. Шпилев

L-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ

В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ НА ПОЛНОМ ИНТЕРВАЛЕ ПЛАНИРОВАНИЯ

1. Введение

Регрессионные модели Фурье широко используются для описания периодических явлений в различных областях. Традиционными сферами применения являются машиностроение, медицина, сельское хозяйство и биология.

Хорошо известно, что использование подходящего плана позволяет существенно повысить точность оценок параметров регрессионной модели. Для оценки параметров тригонометрической регрессии обычно используется метод наименьших квадратов (см. [1-3]). В большинстве случаев исследователи оценивают сразу все параметры модели, используя при этом Киферовский критерий фр-оптимальности для нахождения невырожденного оптимального плана (см., например, [4]). Однако во многих биологических задачах большое значение играют отдельные параметры, которые необходимо оценить с наибольшей точностью. Недавно была решена задача нахождения оптимальных планов для оценки индивидуальных коэффициентов на полном интервале планирования (см. [5] и [6]). Кроме того, в работе [6] была решена задача нахождения фр-оптимального плана для набора параметров ({въ в^, {в3, вА}, ■ ■ ■, {Р2i—1, вг®}), i G {1, ■ ■ ■, m}. Однако в некоторых случаях важно оценить пары коэффициентов {вг®, вгj}, i, j G {0, ■ ■ ■, m} или {р2г—1, p2j—i}, i,j G {1, ■ ■ ■, m}; это связано с их конкретной биологической интерпретацией.

Данная статья посвящена вопросу нахождения L-оптимальных планов, минимизирующих сумму дисперсий пар оценок коэффициентов {вг®, вгj} и {вг®_1, вгj—1}. Во вто-

ром разделе мы сформулируем несколько основных понятий теории оптимального планирования, в частности, теорему эквивалентности для вырожденных L-оптимальных планов. Данная теорема является важным инструментом для нахождения вырожденных оптимальных планов. Основные результаты получены в третьем разделе. Мы рассмотрим случаи, когда оптимальный план удается найти в явном виде. В общем случае нахождение плана связано с решением нелинейных систем больших размерностей. В заключение мы приведем несколько примеров.

2. Постановка задачи

Рассмотрим тригонометрическую регрессионную модель

m m

У = во + 53Pj—i sm(jt)+£вгj cos(jt) + e, t G [-п,'к]■ (21)

j=i j=i

Определим в = (во, Pi, ■■■вгт^ и

f (t) = (1, sint, cost, ■ ■ ■, sin(mt), cos(mt))T = (f0(t), ■ ■ ■, /2m(t))T © П. В. Шпилев, 2007

как вектор регрессионных функций. Под планом эксперимента мы будем понимать вероятностную меру £ с конечным носителем на интервале планирования [—п, п]. Мера £ определяется таблицей

£ = (^ , ¿і Є [—п, п], і =1, 2, . .., п.

Носитель плана £ состоит из точек, в которых проводятся наблюдения, а веса Wi удовлетворяют условиям Wj > 0, 5^Г=1 w* = 1. Как известно (см., например, [7]), информационная матрица Фишера для этого плана имеет вид

M(£) = (У f (t)fT(t)d£(t)^ е ß2m+1x2m+1. (2.2)

Отметим, что для симметричного плана £ после соответствующей перестановки регрессионных функций, информационная матрица (2.2) будет блочно-диагональной

M(£)= PM(£)P = (Mc0(£) M0(£^ , P е R2m+1x2m+1 (2.3)

с диагональными блоками

/ /* п \ m /г. п

Mc(£) = (/ cos(it) cos(jt)d£(t) j и Ms(£) = (/ sin(it) sin(jt)d£(t)

\J—п ) i,j=0 \J— п J i,j=1

Далее под информационной матрицей плана £ будем подразумевать матрицу M(£). Как обычно, вырожденным планом будем называть план, информационная матрица которого вырожденная. Будем говорить, что план £ принадлежит классу Sa, если для неотрицательно определенной матрицы A = 2=0 aiaT, ai е Д2т+1, оцениваемы все

параметрические функции aTв, * = 0,..., 2m. Такие планы будем называть допустимыми. Допустимый план £* будем называть L-оптимальным, если

2m

£* = arg min trLM—(£), L = 'S''' lilT, li е Д2т+1.

i=0

Теперь для L-оптимальных планов сформулируем теорему, которая является модификацией известного результата для невырожденных планов (см. [2], с. 108).

Теорема 2.1. Пусть множество информационных матриц компактно и существует L-оптимальный план, не являющийся крайней точкой множества допустимых планов. Матрица L имеет вид L = 2=0 lilT, li е Д2т+1. Тогда

1) план £ допустим, если и только если для всех векторов li выполнено

lT M—(£)M (£) = lT (£), * = 0,..., 2m;

2) допустимый план £* L-оптимальный, если и только если выполнено

max y>(t,£*) = trLM +(£*), где y>(t, £) = fT(t)M+(£)LM+(£)f (t).

iGX

При этом в точках ti е supp(£*) имеет место равенство

^(ti,£*)= trLM + (£*).

Доказательство этой теоремы для невырожденного случая может быть найдено в [2] (с. 108). В общем случае доказательство проводится аналогично. Данная теорема является важным инструментом для проверки планов на L-оптимальность. Нахождение L-оптимальных планов сложная с вычислительной точки зрения задача. Однако в определенных случаях оптимальные планы могут быть найдены в явном виде. В следующем разделе мы сформулируем несколько теорем, которые предоставляют в явном виде L-оптимальные планы для тригонометрических моделей произвольного порядка.

3. L-оптимальные планы в тригонометрической модели произвольного порядка. Примеры

В данном разделе мы построим L-оптимальные планы, минимизирующие сумму дисперсий оценок различных пар коэффициентов отдельно при синусах и косинусах. Для проверки оптимальности мы будем пользоваться теоремой, сформулированной в предыдущем разделе.

Теорема 3.1. Рассмотрим тригонометрическую модель (2.1), m > 3.

1. План

tn tn— 1 . . .

I tn tn-1 ... tl tl ... tn \

(2|_fJ-i, 4fJ-i) ^ ujn Ujn_1 ... Wl UJ1 ... ujn J

где

n_2 m , ti _ 2 i п

— — —

L 2 J 2 n

i-1) 1 2arctg(v/5)

>X, UJi = —, X = -------------------,

2n n

является Ь-оптимальным планом, минимизирующим сумму дисперсий оценок параметров /32[^]-1 и /?4|_^_|-1-Причем

■ч/б 3

]_11 4^_1}) = — + - « 2.618034 ....

2. Для любого а € [0, ш„] план

tn-1 ... t1 0 t1 ... tn-1 п

> V шn ~ a шn—1 ■ ■ ■ ш1 ш0 u1 ■ ■ ■ un—1 a

где

n_2

TO (i — 1)7Г Г- a/5 — 1

— , ti =------------------, LO0 = V5wi, w 1 = —----------------, = * = 2, ...,n,

L 2 J n 4n

является Ь-оптимальным планом, минимизирующим сумму дисперсий оценок параметров /32[т] и /34^т]. Кроме того, план £*о минимизирующий сумму дисперсий оценок параметров /?о и совпадает с планом 4^т^-

Причем

л/5 3

“М41?.И..[?])» = “м+(«<-0. П? Л>-Т + 2- М""‘~ •

Доказательство .

Докажем первый пункт теоремы. Второй доказывается аналогично. Для удобства обозначений будем считать, что то — четное. В этом случае [у] = Щ- и первый пункт теоремы можно переписать так:

__ I ^т ^т—1 • • • ^1 ^1 • • • ^т

т) - I _1_ _±_ _±_ _±_ _±_

\ 2т 2т ' ' ' 2т 2т ' ' ' 2т

?7Г - 9

-----b ( — х=—arctg(%/5).

то то

ti =

Идея доказательства состоит в следующем. Мы покажем, что

г^т] = О, І = 1, 2, .. ., то, I TOs[f if] = sin (f ж)

ms[j,m] = 0, j = 1, 2, ...,m - 1 |ms[m,m] = sin (гаг)

где —элемент матрицы Мя Є Дтхт, стоящий на пересечении *-ой строки и ^’-го

столбца. В результате мы получим функцию ) в явном виде:

ф, е) = ітт+(оьм+(оі(і) =

вт (-ух) эт (тх)

После этого, решая уравнение дір^ ^ \і=х = 0, найдем нужное значение ж, а затем

^ U. . =Х

выведем, что

tr ьм+(П = <p(u, П = ^ +1-

sin (yx) sm (тх)

Итак, нужно лишь доказать, что

ms[j,m] = 0, j = 1, 2, . .., m - 1 ’ |ms[m,m] = sin2(mx)

С учетом вышесказанного получаем

m 1 m

TOs^m] = 2^sin(jtfc)sin (yífc) SÍI1 (ytfc) •

fc=1 fc=1

Отметим, что sin(?rífc) = ( — 1)L 2 J sin(yx). Следовательно, получаем

mm

sin(yx)

sin(^fc)-

m

k=1

Докажем, что Y^k=i(~ 1)^ 2 ^ sinÜ¿fc) = 0 ПРИ j Ф у- В этом случае

V(-1)L—J sin(jtfc) = sin(jx) + sin (—- ) cos(jx) — eos (—- ) sin(jx) +

\m ) \m )

+ ( — 1) ( sin ( —- ) cos(jx) + cos ( —- ) sin(jx) ) + . . . ml у my

+ (sin ((y - :) cos(jx) +cos ((y - l) sin(jx)^ +

sin(jx) = sin(jx) I 2 ( — l)fc cos ^+ ( —1 y+^ — 1 J .

Как несложно видеть, при j ф Щ- справедливо равенство

т _1

\к f2nk^ 1 ^ , ___/^3jn

2 S ("1)kc“ (^)=di> (cos (™)+“* (i)+■ -+

+(-!)*-■ («. (4!^:) +«. = i + i-iF+f-v

Следовательно, искомая сумма имеет вид

m

^(-1)L~J sin(jife) = 2sin(jx) (l + (-1)^_1+J + (-1)J+^ - l) = 0. k=1

Аналогичным образом посчитаем, чему равен элемент ms[j m] при j _ m:

mm

1 х—^ • / • \ • / \ sin(mx) х—■''/ \k • / • \

ms[jM = — } sm{jtk)sm{mtk) =-/.I“1) smU^) =

mm

k=1 k=1

= sin(jx) ^2 cos ^+ ( — 1)"' — 1 | = sin(jx) (l — ( — I)-' + (—1У — l) = 0. Из вышесказанного следует, что

[?,?] = sin2(f ж)+- =sin2(fx)

[m,m] = sin2(mx)+-E“=1(-l)2fc = sin2(mx)

Теорема доказана.

□

Замечание 3.1. Отметим, что теорема 3.1 верна для тригонометрических моделей порядка т > 3. При т = 2 оптимальный план £*! ^ имеет вид

Со.3,= (“Ж,+ І Т ї ’Г7І'),х = аГс.8(^), 1.гіАС'(П = ^ +§.

V 4 4 4 4 / //

Для любого а Є

П 5-^5 и’ 8

оптимальный план £*0 2) равен

Г -( -f 0 I М + 5

40,2) - I 5-V5 _а л/5-1 5-^5 л/5-1 ^ ) > trbMc (С ) - ^ ^

\ 8 8 8 8 /

m

£(0,2) =

—П + X —х

г г

X

г

п — х

г

а £

О,--г

где г « 0.151950668 ..., х « 0.9329288036 ..., 1гЬМ-1(£*) « 2.770045647 ... . Численные значения г и х найдены путем непосредственного решения, соответствующих систем уравнений.

Замечание 3.2. Отметим, что в условиях теоремы 3.1 сумма дисперсий оценок соответствующих коэффициентов равна -^+§- При _0-оптимальном планировании сумма дисперсий — равна 4. Таким образом, сумма дисперсий при Ь-оптимальном планировании в данном случае будет меньше суммы дисперсий, полученной при ^-оптимальном планировании примерно в 1.5 раза.

Пример 3.1. Ь-оптимальный план, минимизирующий сумму дисперсий оценок параметров вз и вг (т. е. коэффициентов при вш(2£) и вш(4£)) в тригонометрической регрессионной модели четвертого порядка (т = 4).

В этом случае, согласно теореме 3.1, оптимальный план имеет вид

7) =

— 7Г — X —ту — X —ту ~\~ X —X

77 + X 7Г — X

х = — arctg ~ 0.49068 ....

Информационная матрица М8 и дисперсионная матрица Мя 1 этого плана имеют вид

Мв(&г)

0.5

0

0.190983

0

0

0.690983

0

0

0.190983

0

0.5

0

0

0

0

0.854102

М-ЧЯ г) =

2.34164 0

0 1.447214

—0.894427 0

00

В данном случае, как не сложно видеть,

—0.894427 0

00 2.34164 0

0 1.17082

Легко убедиться, что матрица М +(£*)ЬМ +(£*) имеет вид

М+«*>ЬМ+«*> = (2 М,-(Г)Ь°,М-1(Г)}’

где —соответсвующий блок матрицы Ь.

Теперь можно найти экстремальный полином у>(£, £*) = /т(¿)М + (£*)ЬМ+(£*)/(£):

(1 + л/б')2 .

¥>(^; С*) = -------------8Ш2(2£) +

0

— П

Рис. 1.

На рис. 1 изображены точки носителя оптимального плана, минимизирующего сумму дисперсий оценок параметров вз и вг (т. е. коэффициентов при вт(2£) и вт(4£)) в тригонометрической регрессионной модели четвертого порядка (т = 4).

Сформулируем еще две теоремы о Ь-оптимальных планах. Доказательства этих теорем аналогичны доказательству теоремы 3.1.

Теорема 3.2. Рассмотрим тригонометрическую регрессионную модель (2.1). Пусть т _ 3к, к _ 1, 2, 3, . .. (т —порядок регрессионной модели). Тогда план вида

| 1т ^т-1 . . . ^1 ^1 ... 1т

у ^т ^т-1 . . . ^1 ^1 . . . ^т

где

П X П П X П .

~Ьл = —~ ¿9 = —ї“і = —Г ~\~ Ті = Я ~\~ Ті £ = 4, 5 . . . , 771.

2 к к 2к 2к к к' ’ ’ ’

г 1 — 4г г

^1 = 7, <^2 = ——, ^з = т, Ші = Ші-з, г = 4, 5...,т,

к 2к к

является Ь-оптимальным для параметров {в2й-1, Аій-1}> {в2й-1, вбй-1}>

|в4й—1, вбй—1}. План вида

П ^т-1 . . . ^1 0 ^1 ... ^т-1 П А Гп 1

£ Л , а є [0, от],

\ ^т — а ^т-1 ... ^1 ^0 ^1 ... Шт-1 а )

где

X П — X П

І0 = 0, ¿1 = ¿2 = —;—, и = и~з + 7, * = 3, 4 . . ., то - 1,

к к к

1 — 4г г г -ох

С^п = -----, а^і = —, а^2 = —, сл = сЛ-з, * = 3, 4 . . ., то,

и 2к к к ’ ’ ’ ’

является Ь-оптимальным для параметров {во,в2й}, {во, Дій}, {во,вбй}, {в2й,в4А:}, {в2^,в6^}; {в4^,в6^}.

В каждом случае соответствующие х и г могут быть найдены из систем

{ дітЬМ-\С) _ 0 (дііЬМ-\і*) = о

Эх и ) дх _

диьм-1^*) _п )диьм^(е)

дг

I ~с ч" у = 0 -----------„я = О

V дг V

Численные значения х и г приведены в таблице 1.1 и 1.2. 86

Теорема 3.3. Рассмотрим тригонометрическую регрессионную модель (2.1). Пусть т = 4к, к = 1, 2, 3, . .. (т-порядок регрессионной модели). Тогда план вида

где

Ші

С* _

1т ^т-1 Шт Шт—і

-1і 1і

Ші Ші

Жі Ж2

*1 = ~Г, І2 = ІЗ

к к

П - Ж2

П — Ж і

21 /г :

1 -4гі

1 -4гі

Ш2

Шз

Ш4

£1 /г ’

Їі—4 Н , г = 5, 6 . .., то,

к

4, і = 5, 6 . .., т,

является Ь-оптимальным для параметров {в2й-і, Аій-і}> Ів2й—і, вбй—і},

{в2й-і, ввй-і}, {вій-і, ввй-і}, {в4й-і, ввй-і}, {ввй-і, ввй-і}- План вида

с* _

—П —їп-і

— а Шп—1

—їі 0 їі

Ші Шо Ші

^п-1 П

Шп — і а

а Є [0, Шп],

гдеп=Ц±,

Ж і Ж2

І0 = 0, ¿1 = —, ¿2 = -р, ІЗ кк

П — Ж2

, Ї4

П — Жі

1 — 4^і — 4^2 г і

^0 = ¥к , Ш1=Ш4 = Т,

Ш2 = Шз

£-2 к ’

и~5 + у, і = 5, 6 . . . ,п - 1, к

Ші = Ші_5, і = 5, 6 . .., п

является Ь-оптимальным для параметров {во,в4й}, {во,вбй}, {во,в8й}, {в2й,в4А:}, |в2й,ввй}, |в2й,в8й}, |в4й,ввй}, |в4й,в8й}, |ввй,в8й}. В каждом случае соответствующие XI, Х2, £1 и ^2 могут быть найдены из систем:

дігЬМ-

дх\

дінЬМ-1 (П

дх2

дігЬМ-1 (Г)

дх\

дінЬМ-1 (Г)

дг2

¿Нг ьм-'іС) = о

дх\

дыьм-\Є) = о

дх2

діг ьмг\Є) = о

дг\

Численные значения Х1, Х2, £1 и £2 приведены в таблицах 2.1 и 2.2.

Замечание 3.3. Отметим, что для любого I, такого что т/2 <1 < т, и любого в £ [0, щ\, план

* , -7Г -7Г+Т ... -7ГН----р- 7Г 7Г

4о,2г - І і _ а і 1_ о

ч 2; ^ 2; • • • 2; ^

является Ь-оптимальным. То есть минимизирует сумму дисперсий оценок параметров {во, в2г}. Более того, в этом случае 1гЬМ—1(£д 2;) = 2. Доказательство этого утверждения может быть найдено в [5].

В заключение приведем еще один пример.

Пример 3.2. Ь-оптимальный план, минимизирующий сумму дисперсий оценок параметров в4 и вб (т.е. коэффициентов при еов(2£) и еов(3£)) в тригонометрической регрессионной модели четвертого порядка (т=4).

т

Ш

т

и

О 1.02 I 2.13 7г

2

вид

£4,6-1 0 175 - а 0.09 0.145 0.09 0.175 0.09 0.145 0.09 а

Покажем информационную матрицу Мс и дисперсионную матрицу М-1 этого плана:

—п 0.175 а

-2.13 -§ -1.02

0.1425

Мс(£4,б) =

Мс-1(£4,б) =

Отсюда получаем,

М + =

1 0 —0.1041 0 0.4027

0 0.4479 0 0.1493 0

—0.1041 0 .70137 0 0.16132 ,

0 0.1493 0 0.71338 0

0.4027 0 0.16132 0 0.76404

1.3622 0 0.38615 0 —0.7996

0 2.3999 0 —0.5023 0

0.38615 0 1.608 0 —0.54306

0 —0.5023 0 1.507 0

0.7996 0 0.54306 0 1.845

М-1

0

0

М+

) , ^ЬМ +(£4,6) « 3.114911064 ....

Экстремальный полином у>(£, £*) = /т(¿)М +(£*)ЬМ+(£*)/(¿) примет вид

^(¿,£*) = 2.851 — 0.262 сов(2£) + 0.116 сов(4£) + 0.262 сов(6£) + 0.147 сов(8£).

Рис. 2.

На рис. 2 изображены точки носителя оптимального плана, минимизирующего сумму дисперсий оценок параметров в4 и вб (т. е. коэффициентов при сов(2£) и сов(3£)) в тригонометрической регрессионной модели четвертого порядка (то = 4).

4. Приложение

Таблица 1.1

т = Зк {2к- 1,6 к - 1} {4 к - 1,6 к - 1}

X 0.6476 Зтг/10

г 0.14 (3 - л/Ё>)/4

ЪгЬМ~ 2.7044 (л/б + 3)/2

Таблица 1.2

т = Зк X г

{0,2 к} 0.9329 0.1519 2.77

{0,4к} 7г/2 1/4 2

{0,6 к} 7г/3 1/6 2

{2к, 4к} 1.1177 0.1258 3.4826

{2к, 6к} 0.9232 0.14 2.7044

{4к, 6к} 1.1668 0.1478 (л/б + 3)/2

т = 4к Xl X2 Zl trLM

{2k- 1,6 k- 1} 0.648 7r/2 0.14 2.704

{2k -1,8k- 1} 0.485 1.191 0.091 2.731

{4k — 1,6 k- 1} 0.734 1.388 0.168 2.96

{4k -1,8k- 1} 0.491 2.651 1/8 2.618

{6k — 1, 8fc — 1} 0.452 1.257 0.1417 2.618

Таблица 2.2

m = 4k XI X2 Z1 Z2 trLM

{0,4k} ж/4 7r/2 0.086 0.077 2.618

{0,6k} ж/3 7r/3 1/6 1/6 2

{0,8k} tt/4 ж/2 1/8 1/8 2

{2k,4k} tt/4 ж/2 0.065 0.092 3.664

{2k,6k} 0.923 0.923 0.07 0.07 2.704

{2k,8k} 0.713 ж/2 0.033 0.14 2.731

{4k,6k} 1.016 ж/2 0.07 0.093 3.115

{4k,8k} 7r/4 ж 12 0.086 0.077 2.618

{6k,8k} 0.8814 ж/2 0.048 0.13 2.618

Summary

P. V. Shpilev. L-optimal designs in trigonometric regression model on the full circle.

Singular optimal designs minimizing a sum of estimations variances of different couples of trigonometric regression models coefficients on the full circle for L-optimality criterion are found.

Литература

1. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М., 1976.

2. Ермаков С. М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. М., 1987.

3. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М., 1971.

4. Pukelsheim F. Optimal Design of Experiments. New York: Wiley, 1993.

5. Dette H., Melas V. B. Optimal designs for estimating individual coefficients in Fourier regression models. The Annals of Statistics. Vol. 31, 2003. P. 1669-1692.

6. Dette H., Melas V. B., Shpilev P. V. Optimal designs for estimating the coefficients of the lower frequencies in trigonometric regression models. Bochum: Ruhr-Univ, 2005.

7. Kiefer J. C. General equivalence theory for optimum designs (approximate theory) // The Annals of Statistics. Vol. 2, 1974. P. 849-879.

8. Ра,о С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М., 1968.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.