CC BY
39
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Радиофизика и радиотехника
№ 112
УДК 629.7
КВАЗИСЛОЖНЫЕ СИГНАЛЫ СИНТЕЗИРОВАННЫЕ МЕТОДАМИ ОДНОПОЛОСНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Логвиным А.И.
В статье получили развитие методы однополосной амплитудно-фазовой модуляции (ОБП), на основании которых определены характеристики квазисложных радиоимпульсов с однополосным спектром и сложными формами огибающих.
В соответствии с требованиями, предъявляемыми к допплеровским радио и гидролокационным системам, в статье [1] показаны параметры квазисложного радиоимпульса с биасим-метричным спектром, полученым методом квадратурной амплитудно-фазовой модуляции, определяющие повышенную разрешающую способность по частоте (ю) таких сигналов по сравнению с простыми моночастотными, при равных с ними длительностях (т) и одинаковых формах огибающих (прямоугольных).
В статье [2] показано, что максимум отношения сигнал/реверберационная помеха на выходе фильтра приемного тракта при малых допплеровских смещениях частоты эхосигнала Дюд < 2п/т пропорционален крутизне ската частотной характеристики фильтра, квадрату допплеровского смещения частоты и длительности зондирующей посылки.
В связи с этим необходимо методами однополосной амплитудно-фазовой модуляции синтезировать набор приемлемых для аппаратурной реализации квазисложных радиоимпульсов.
В работе [3, 4] отмечено, что длительность однополосных сигналов должна стремиться к бесконечности. В связи с этим необходимо оценить искажения спектральных характеристик таких квазисложных с асимметричными спектрами [1] сигналов при ограничении длительности их огибающих в конечных пределах.
Рассмотрим видеосигнал, имеющий спектральную плотность Б(]ю):
Как известно [3], функцию, которая имела бы спектральную плотность Б(]ю) на частоте юо + ю, можно представить как:
О.В. КОНДРАШОВА, Я.В. КОНДРАШОВ
Введение
Методики синтеза структур однополосных радиоимпульсов
/ (I) = -Ье
(1)
где ОД - пр еобразование Г ильберта функции ОД,
или
Е(|) = >/[/(|)]2 + [/(|)]2 совОо1 + агЩ (/(|) / /(|))]2,
(2)
где функция А(1) = у[/(I)]2 + [f (I)]2 - огибающая радиосигнала,
(3)
(4)
, л /(ґ) ЛО (ґ) 1
а функции О (ґ) = ^^~, ^ (О =----— =-----------^—
/ ( О Л [/ (ґ)]2 + [/(ґ)]2 Лґ —'л
соответственно описывают изменения фазы и частоты несущего колебания.
а) радиоимпульсы однополосные и с асимметричными спектрами
Для примера [1, 4] найдем функцию §1(1), описывающую частотно-модулированный радиосигнал со спектром, соответствующим одной боковой полосе спектра моночастотного радиоимпульса с прямоугольной огибающей 1^(1:) и симметричным относительно несущей частоты Юо спектром:
>1(0 =
|"теєґ(ґ/т) їде -ті 2 <ґ<т/2
[0 їде адоаео ґ
Известно [5], что 1^(1:) = (1/л)іп|(1: - т/2)/(1 + т/2)|. Тогда в соответствии с (2), (3), (4)
Д( ґ):
gl( ґ):
(теє ґ — )2 + т
"І
(теєґ —) + т
1 1 т т (ґ - 2)/(ґ+2) _
1 1 т т (ґ-т)/(ґ+т
О1 ( ґ) = aтєґg
-іп
р
тт
(ґ+т
со8{о0ґ + aтєґg
Г1, тт
- іп (ґ -~)/(ґ + ~)
р 22
/ теє ґ — т
І Ґ-.
/ теєґ—} . т
На рис. 1 представлены функции, описывающие огибающую А1(1), однополосного ЧМ радиосигнала §1(1), закон изменения фазы несущего колебания Ф1(1), а также показан спектр Б1(ю -Ю0) при ограничении длительности такого радиосигнала на интервале Т = ю(а), 5т(б), 2т(в), т(г).
(теєґґ)2 + т
1 т т
_1п|(ґ-_)/(ґ+-)| Р 2 2
со§{(о-о0)ґ+arєґg<
1 т т
-1п|(ґ--)/(ґ+-)| Р 2 2
/ теєґ— I). ті
Аналогично, используя (1), (2), можно найти функцию §2(1), описывающую ЧМ радиосигнал со спектром, соответствующим одной боковой полосе спектра моночастотного радиоимпульса с колокольной огибающей:
Г2(1) = А-ехр(-Р21:2) и т.к. [5] /2(^) = (2^Л/4р)0(1,3/2; -^2^2),
где О (1, 3/ 2; — 02^)- вырожденная гипергеометрическая функция.
Тогда
g2( ґ) = ^/[ехр(-р2 ґ2)]2 + (4р ґ2А2 /р) -[О (1, 3/2;- рґ2)]2 X х соз{о0ґ + aтєґg [(2рА / 4Р) - О (1/2, 3/2; р2ґ2)]), где, в соответствии с теоремой Куммера [6], О (1, 3/2; - р2ґ2) = ехр(-Р2 1:2)О (1/ 2, 3/2; рґ2) . А2(ґ) ^[ехр(-р2ґ2)]2+ [(4Ь2ґ2Л2)/р] [О(1, 3/2; -р2ґ2)]2 ,
О2(ґ) = атєґg[(2рґЛ /р - О (1/2, 3/2, р2ґ2)].
2
2
2
т
Рис. 1. Сигналы §1(1) с однополосными спектрами
На рис. 2 представлены функции, описывающие огибающую А2(1;) однополосного ЧМ радиосигнала, закон изменения фазы несущего колебания Ф2(1;), а также показан спектр 82(ю - Юо) при ограничении длительности такого радиосигнала на интервале Т = да(а), 12/р(б), 8/р(в), 4/р(г).
Из рис. 1 и 2 видно, что из-за наличия квадратурных составляющих ^ (^) и /2 (I) в выражениях (3) и (4) огибающая однополосного радиосигнала имеет бесконечную длительность, что согласуется с[7].
82(ю)
-6 -4
-2
Ю - Юо р
в2(ю) д ^2(®)макс Б
- 10 б -20 б) -30 Л(Л
Г Пгк
Ю-Юо р
Б2(ю)
-20 в) -30
-40
-6 -4
-2
Ю-Юо
р
Э2(ю)
г)
-30
-4
-6 -4
-2
2 ю - Ю0
Р
А2(і)
0,75 0,50 0,25 0
дБ
-4 -2 -1 0 1
1 1 . Р
|Ф Ы1) | /
р \ У /
4 \
\ 1
3 -2 -1 0 1 1 ' 1" _ Р.
Рис. 2. Сигналы §2(1;) с однополосными спектрами
Это не дает возможности реализовать такие радиосигналы практически. Однако, можно произвести усечение радиоимпульса на каком-либо интервале длительности и получить при этом ограниченный во времени радиосигнал, имеющий спектр, близкий к однополосному.
Исходя из форм спектров, рассмотренных ЧМ радиосигналов, для удобства терминологии радиосигналы бесконечной длительности (рис. 1а и 2а) будем называть однополосными (ОП), а ограниченные во времени ЧМ радиосигналами, (рис.1б, в, г и 2б в, г) - с асимметричным спектром (АС).
б) радиоимпульсы с заданными степенями асимметрии спектров
На практике разделение двух радиосигналов АС, разнесенных по частоте, в приемном тракте производится фильтрами, крутизна амплитудно-частотных характеристик которых не может быть бесконечно велика.
0
2
6
4
2
0
2
0
2
В связи с этим, можно предложить способ формирования радиоимпульса АС, имеющего заданные форму спектра и степень его асимметрии.
Две функции 1ОД и 12(1), описывающие огибающие радиоимпульсов с различными по ширине (или по форме) симметричными относительно несущей частоты Юо спектрами, можно представить, согласно (1), функциями ИОД и И2(1), описывающими радиосигналы с соответствующими однополосными спектрами.
ИОД = 1ОДсовю01 + ^(фтю^ , И2(1) = 12(1)собю01 - 12(1)8тю01 . (5), (6)
В соответствии с теоремой о сложении спектров [4], радиосигнал, определяемый суммой двух временных функций, соответствующих своим однополосным спектрам, будет иметь вид: И(1) = ИОД + и2(1) = [11(1) + 1ОД]со8Юо1 + [11(1) - 1г(1)]8тюо1.
Огибающая этого радиосигнала и функция фазовой модуляции
Л(0 = 7[М)+/г(1 )]2 + [~М)-М)]2 , 0(1) = а^{ [/¡(0-/г(0]2/[./¡(О+/г(0Г} (7),(8)
Для примера найдем функции, описывающие огибающую А(1) и закон внутриимпульсной фазовой модуляции Ф(1), для радиоимпульса, имеющего асимметричный спектр Б^(ю), рис. 3.
Спектр Б^(ю) синтезирован из однополосных спектров Б1(ю) и Б2(ю) двух радиоимпульсов с огибающими 11(1) = А1ехр(-р1212) и 12(1) = А2ехр(-р2212), где: р1 = 2р2.
При этом спектр Б1(ю) имеет крутизну в два раза большую, чем крутизна Б2(ю). Чтобы уравнять значения спектральной плотности Б1(ю) и Б2(ю) на частоте Ю0, надо согласовать амплитуды радиоимпульсов, т. е. если Л14ж /Р = А24р /р2, то А2/А1 = р2/р1, откуда при р2 = 2р1, А2 = 2А1. Тогда, т.к. р1=1, р2=2, А1=1, А2=2.
Б1(ю) = 4Р ехр(-ю2/4), Б2(ю) = -\/Рехр(-ю2/16).
Функция, описывающая огибающую синтезированного радиосигнала в соответствии с (7)
Л(0= ,/[ехр(-р¥) + 2ехр(-р2г)]2 + [4г/р]0О(1, 3/2; -Д¥)-200(1, 3/2;-р2г)]2
Функция, описывающая закон фазовой модуляции в соответствии с (8)
О( 0 = агсtg(2 1/4я)-[р10(1, 3/2; -Д¥)- 1р20(1, 3/2;- Р2У)]/[ехр(-рУ) + 2ехр(-02¥)]2.
Из условия энергетической эквивалентности асимметричного спектра
8^(ю)=81(ю)+82(ю) радиоимпульса И(1) и симметричного спектра Б(ю) радиоимпульса 1(1).
¥ ¥ ¥
21¿1(а>)ёю = | ¿1 (а)йа+ | ¿2 (а)йа.
—¥ —¥ —¥
Полученную огибающую А(1) можно сравнить с огибающей колокольного радиоимпульса 1(1), имеющего Р = (р1+ р2)/2 = 1,5 (рис.3а, пунктирные линии).
Из рис.3а видно, что А(1) по форме незначительно отличается от 1(1), т.е. подавление уровней спектральной плотности одной боковой полосы спектра радиоимпульса АС происходит, в основном, за счет внутриимпульсной частотной (фазовой) модуляции.
Если не уравнивать значения спектральной плотности однополосных спектров Б1(ю) и Б2(ю), то временные и спектральные характеристики синтезированного радиоимпульса принимают вид, рис.3б, откуда видно, что огибающая радиоимпульса расширяется, что обусловлено резким перепадом уровней спектральной плотности Б^(ю) на частоте Ю0.
Рис. 3. Сигналы §3(1) с заданными степенями асимметрии спектров
в) Радиоимпульсы с заданными спектральными характеристиками
Используя метод синтеза ЧМ радиоимпульсов АС, описанный в подразделе “б” настоящей статьи, можно синтезировать радиоимпульсы не только с различной степенью асимметрии, но и с различной структурой спектра, чем можно добиваться приемлемой формы огибающей зондирующего ЧМ радиоимпульса при неизменном качестве частотного разделения эхосигнала и ре-верберационной помехи в приемном тракте. Заданную форму спектра можно получить суммированием двух однополосных спектров различной формы и расположенных с различных сторон от несущей частоты ю0, например, можно задаться спектром Б^(ю - Ю0), характеристики которого со стороны нижних частот от Юо определяются боковой полосой спектра прямоугольного моночастотного радиоимпульса, со стороны верхних частот - боковой полосой спектра колокольного моночастотного радиоимпульса, рис.4.
По аналитической записи симметричных относительно ю0 спектров Б1(ю - Ю0), Б2(ю - Ю0)
различной формы и соответствующим им функциям, описывающим огибающие 11(1), 12(1) моно-частотных радиоимпульсов, с помощью представления таких радиоимпульсов в виде однополосных и1(1) и и2(1) (см. подразделы “а”, “б” настоящей статьи) можно найти функции, описывающие законы амплитудной А(1) и фазовой Ф(1) модуляции радиоимпульса, имеющего заданный спектр Б^(ю - Ю0).
Так, если функции 11(1) и 12(1) описывают различные по форме огибающие двух радиоимпульсов, имеющих симметричные относительно ю0 спектры Б1(ю - ю0) и Б2(ю - ю0), в соответствии с (7), (8) найдем аналитические выражения огибающей А(1) и закона внутриимпульсной фазовой модуляции Ф(1) для радиоимпульса спектр которого Б^(ю) рис.4, составлен из боковых полос Б1(ю), Б2(ю) соответственно колокольного и прямоугольного радиоимпульсов и расположенных с различных сторон от несущей частоты. Отметим, что таким способом можно получать и различную асимметрию спектра 8^(ю), изменяя ширину одного из исходных однополосных спектров, например, Б1(ю).
В дальнейшем принимаем для упрощения ю0 = 0.
Спектры ¿1 (а) = (Л1л/Р/Р)вт 14р , ¿2 (а) = Л2т$лп(ап/2)/(ат/2),
(9), (10)
соответствуют радиоимпульсы с огибающими
ГЛ2гесШ/т) где -т/2< t <т/2
№ = Л>ехр(-р¥), /2 (t) = \п 2 . (11),
[0 г де адоаео t
(12)
Для согласования значений спектральной плотности Б1(ю) и Б2(ю) на частоте ю0 при различных значениях в = 0 ^ 5 из (9) и (10)
Л14ж / Р = Л2т, тогда А1 = р/ 4ж, А2 = 1/т.
Известно [5], что ) = (2рtЛ1^^/P) О (1, 3/2; - р2t2), }2(1,) = (Л2/р)\п\^ -т/2)/^ + т/2)\,
(13), (14) „
где: О (1, 3/2; - р2t2) = ехр(-р2t2)0 (1/2, 3/2; р2t2) - преобразования в соответствии с теоремой Куммера вырожденная гипергеометрическая функция.
Тогда в соответствии с (7), (8), (11)^(14)
Л(г) = л/[(р / УР) ехр(-р2) + (1/ р)ге^^ / р)] 2+__________________| (15)
+[(2р2t/p)eXP(—р¥^т/2)/(Г+Т/2)^
0(t) = (2р2t/р)ехр(р2)О(1/2, 3/2;р2)-(1/р)\п | (/-т/2)/^ + т/2)\ . (16)
(р / 4р ) ехр(-р2t2) + (1/ т)ге^^ / р)
Для вычислений на ЭВМ преобразуем выражение (15), (16). Представим вырожденную ги-пергеометрическую функцию Куммера в виде ряда [6], обозначив р212=х
^ ч 1 . а а а+1 х2 а а+1 а+2 х3
Ф(а, у, х) = 1+—х+--------------------------+-+....
у у у+1 2! у у+1 у+ 2 3!
С учетом значений а=1/2, у=3/2
^1 х х2 х3 хп хп
Ф(1/2, 3/2; х) = 1+- +-+--+... +-------= 1 + -
3 5-2! 7-3! (2п +1)-п! (2п +1)-п!
Тогда выражения (15), (16) принимают вид
Л($) = ^ [(р / л/р ) exp(-р2t2) + (1/ р)те^ ^ / р)]2 +
+{(2р2t /р) exp(-р2t2) [1 + (хп) /(2п +1) - п!] - (1/рг)\п|(Г - т/ 2) /^ + т/ 2)' 2
(17)
0(t) = (2р/р)ехр(-р <2)[1 + (хп)/(2п +1)-п!]-(1/р)\п \ -т/2)/^ + т/2)\ (18)
(р / Ур ) exp(-р2t2) + (1/ р)ге^^ / р)
Для вычисления на ЭВМ принимаем т=1, п=10, р=0^5 с шагом 0,25, 1^=11+12+13+14,
11=(0^0,48)т с шагом 0,02т, 12=(0,48^0,495)т с шагом 0,005т, 13=(0,505^0,52)т с шагом 0,005т,
14=(0,52^2)т с шагом 0,25т.
Результаты вычислений выражений (17), (18) представлены на рис. 4., где видно, что при изменении законов амплитудно-фазовой модуляции можно получить радиоимпульсы с заданными спектральными характеристиками, в том числе, как частный случай, радиоимпульс с однополосным спектром (при в=0).
^ -2,Ох -1,5т -т -0,5т 0 0,5т т 1,5т 1
Рис. 4. Сигналы §4(1) с заданными спектральными характеристиками
Выводы
В статье получили развитие методы однополосной амплитудно-фазовой модуляции (ОБП) применительно к импульсным радиосигналам, на основании которых:
- определены характеристики квазисложных ЧМ радиоимпульсов с однополосными спектрами и сложными формами огибающих, также показано, что длительность таких радиоимпульсов стремится к бесконечности, а при ограничении длительности - однополосность спектра преобразуется в его асимметрию;
- предложен комбинированный способ синтезирования квазисложных радиоимпульсов с заданными спектральными характеристиками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кондратов В.И., Кондратов Я.В. Использование квазисложных сигналов в локационных многопозиционных системах управления полетом летательных аппаратов. // Сб. Совершенствование радиоэлектронных систем гражданской авиации и процессов их технической эксплуатации. МГТУ ГА, М., 1995, С.64-74.
2. Кондратов В.И. Оценка одной из возможностей повышения точности радиолокационных систем при измерениях дальности.// Научно-технический журнал «Известия ВУЗ-ов», сер. Радиотехника, т. 27, №4, Киев, 1984, С.71-79.
3. Лев Л.Ю,, Якинсон Б.И. О смещении спектров сигналов.// -М.: Энергосвязь, №4, 68, 1976.
4. А. А. Харкевич. Спектры и анализ. -М.: Физматгиз, 1962.
5. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Таблицы преобразований Гильберта. // Научно-технический журнал «Радиотехника», 25, №3, 1970.
6. Градштейн Н. С., Рыжик Н. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений. -М.: Физматгиз, 1963.
7. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. -М.: Наука, 1964.
Kondrashova O.V., Kondrashov Ja.V.
In article were developed the methods of single wave band amplitude-phase modulation (SWBAPM), based on which: are defined characteristics of quasi-complicated radio-impulses with single wave band to spectrums and with complicated shapes rounding; shown, that a duration of such radio-impulses aspires to infinity, and with limitation of a duration - spectrum wave band singularity transforms in his asymmetry; is offered a combined synthesis method of quasicomplicated radio-impulses with given spectral descriptions.
Сведения об авторах
Кондрашова Ольга Викторовна, 1977 г.р., окончила в 1998 г. Национальный экономический университет (НЭУ) в г. Киеве (Украина), в 1999 г. - магистратуру НЭУ, 2000г. - Объединенный институт послеВУЗ-овской специализации Венского университета (г. Вена, Австрия), докторант Гарвардского университета (г. Бостон, США), область научных интересов - эффективность систем.
Кондратов Ярослав Викторович, 1970 г.р., окончил в 1993 г. факультет радиоэлектроники летательных аппаратов Московского авиационного института (МАИ), в 1996 г. - аспирантуру МАИ по специальности "Радиолокационные и радионавигационные системы", кандидат технических наук, член-корреспондент Аэрокосмической Академии Украины, главный специалист Центра информационных технологий "Инфотех", г. Москва, автор более 55 научных работ, область научных интересов - радио и гидролокация, радионавигация, управление воздушным движением, сигналообразующие технологии, помехоустойчивость и точночть радиосистем.
