CC BY
141
Том ХЫУ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2013
№ 5
УДК 629.194.362:533.601.1
КВАЗИОДНОМЕРНАЯ ОТРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ПСЕВДОСКАЧКА В КАНАЛЕ
Е. А. МЕЩЕРЯКОВ, В. В. ЯШИНА
Применительно к изоляторам (диффузорам) высокоскоростных ПВРД построена квазиодномерная отрывная модель течения торможения типа псевдоскачка в каналах постоянного проходного сечения. На ее основе получена конечная аналитическая зависимость для длины передачи возмущений давления вверх по потоку от величины противодавления, от числа М потока на входе в канал и формы канала. С использованием единственной эмпирической постоянной, имеющей простой физический смысл, решение удовлетворительно воспроизводит широкий набор опытных данных по длинам псевдоскачка в каналах различной формы. Предложено обобщение модели на течения торможения в расширяющихся диффузорах, которые находят широкое применение в практике аэродинамических исследований. Проанализированы некоторые принципиальные особенности таких течений.
Ключевые слова: прямоточный воздушно-реактивный двигатель, изолятор, псевдоскачок, камера сгорания, дросселирование потока.
ВВЕДЕНИЕ
Согласно сложившимся представлениям изолятор, также называемый сверхзвуковым диффузором, признается неотъемлемым компонентом высокоскоростного двухрежимного прямоточного воздушно-реактивного двигателя (ПВРД). Действуя в качестве согласующего элемента между сверхзвуковым воздухозаборником (ВЗУ) и камерой сгорания с необходимым подъемом давления в последней, изолятор играет ключевую роль в восстановлении давления, в стабилизации течения в проточном тракте двигателя (рис. 1). В целях обеспечения эффективной и устойчивой работы двигателя необходимо правильно проектировать изолятор и, в частности, правильно выбирать его форму и длину.
Типичные кривые распределения давления по длине изолятора постоянной площади проходного сечения показаны на рис. 2. На этом рисунке представлены два случая — при наличии противодавления, моделирующего горение в камере сгорания, и при его отсутствии.
Развитие и обоснование требований, предъявляемых к изолятору, естественно связаны с пониманием общих рабочих характеристик двигателя. Как отмечалось еще в [1, 2], рост давления, который должен поддерживаться изолятором, зависит от теплоподвода в камере сгорания и числа Мя полета летательного аппарата (ЛА). При низких теплоподводах или при больших М^ подъем давления в изоляторе в основном вызывается косыми скачками
МЕЩЕРЯКОВ Евгений Александрович
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
ЯШИНА Виолетта Васильевна
старший инженер ЦАГИ
2 4 5
Рис. 1. Положение изолятора в ГПВРД
М„ = 2
® ©
Н =20 мм
Р Рс
Зона с Зона Паление
скачков смешения давления из-за трения
о/' 'ОООСЮйа -ох
С о/ о/
Нет про тиводавлен 1Я
О
10
15
20
25
■х/Н
Рис. 2. Типичные распределения давления в изоляторе с квадратным поперечным сечением при числе М = 2 на входе:
значки — эксперимент [19]; кривые — расчет по модели ПС
уплотнения, а выходной поток остается в среднем сверхзвуковым. При больших теплоподводах или низких Мн подъем давления может приближаться к таковому для прямого скачка, а поток на выходе переходит в дозвуковой.
Торможение сверхзвукового потока в изоляторе до дозвуковых скоростей неразрывно связано с понятием псевдоскачка (ПС). Опыты показывают, что при числах Мн ^ 7 и больших теплоподводах течение с псевдоскачком является доминирующим режимом течения в проточной части двигателя. Длина развитого псевдоскачка, по существу, определяет длину изолятора. Поэтому одной из важнейших задач исследования внутренней газодинамики двигателя остается изучение закономерностей перемещения и трансформации псевдоскачка в каналах различной формы при изменении противодавления.
Рабочие характеристики изоляторов изучались рядом авторов для цилиндрических [3, 4], кольцевых [4, 5] и прямоугольных каналов [4, 6 —11]. В этих исследованиях получены многочисленные опытные данные, предпринимались попытки построения эмпирических корреляций для подъема давления в изоляторах, которые носят частный характер и пригодность которых ограничивается рамками проведенных экспериментов. В абсолютном большинстве случаев полученные результаты относятся к каналам с постоянной площадью проходного сечения, что принципиально не позволяет распространить их на диффузоры с переменной геометрией, в том числе такие, как диффузоры аэродинамических труб, сверхзвуковых газодинамических лазеров. Общие полезные наблюдения, однако, состоят в следующем: полученные данные оправдывают использование определения входных условий в изоляторах в терминах осредненных газодинамических величин и длины канала, нормализованной с помощью гидравлического диаметра Вк.
Основной результат, следующий из анализа имеющихся исследований, состоит в установлении отрывного характера течений с псевдоскачком в изоляторах. Причем, если в «классических» псевдоскачках, имеющих место в цилиндрических каналах либо в прямоугольных каналах с соотношением сторон р = Ь/к ~ 1, течение характеризуется малыми отрывными зонами у стенки, то в каналах с пространственным отношением р > 1 области отрыва могут быть весьма обширными и протяженными. При недостаточной длине канала такие зоны часто остаются незамкнутыми на стенку до выхода из канала [10, 11]. В работе [12] в испытаниях с горением водорода удалось определить поперечные размеры отрывных зон в плоском изоляторе с р = 4.6, которые достигали 30% от площади поперечного сечения канала. При этом длины отрывных зон оказались сравнимыми с длиной канала.
Псевдоскачок в канале представляет собой сложное течение, в котором скачки уплотнения взаимодействуют с диссипативной областью и зонами отрыва. На фоне экспериментальных достижений успехи в создании расчетных методов этого явления до недавнего времени выглядели значительно скромнее. Для расчета параметров потока в «классическом» псевдоскачке было предложено несколько интегральных методов [13 —16]. Прикладная ценность этих методов крайне ограничена. Их, скорее всего, можно рассматривать как исторически пройденный этап. Вместе с тем следует отметить, что только отрывная модель течения позволила Щетинкову Е. С. в работе [17] адекватно объяснить предельные режимы горения в трубе, наблюдаемые в опытах.
Расчетные исследования детальной структуры псевдоскачков в настоящее время проводятся на основе решения трехмерных уравнений Рейнольдса (УР) (см., например [18, 19]). Результаты работы [19], в частности, подтверждают наличие обширных отрывных зон в прямоугольных изоляторах. Расчеты по УР весьма сложны и затратны, а при некорректной постановке краевой задачи они часто приводят к получению необъяснимых вычислительных эффектов.
Традиционно для принятия обоснованных проектных решений разработчик вынужден полагаться на сочетание эмпирической информации и упрощенного анализа различных составных частей комплексной проблемы в целом. В этой связи и поныне остается потребность в создании простых, физически оправданных моделей течения типа псевдоскачка в каналах переменной геометрии, и в особенности, в расширяющихся каналах, в которых псевдоскачок до сих пор детально не исследовался.
Такие модели необходимы для обобщения экспериментальных данных, для построения зависимостей длины передачи давления вверх по потоку от основных определяющих параметров — числа М на входе, пространственного соотношения р, степени расширения канала и т. д. Настоящая работа посвящена построению и обоснованию простой квазиодномерной отрывной модели псевдоскачка в канале, отвечающей указанным целям.
1. ОТРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ПСЕВДОСКАЧКА
По существу задача состоит в том, чтобы столь сложное течение, каковым является псевдоскачок, схематизировать максимально просто, не утратив при этом правильной качественной и количественной зависимости его интегральных характеристик (длины псевдоскачка, восстановления давления в нем) от определяющих параметров. Из опытных данных по псевдоскачкам следует ряд предпосылок, способствующих такой схематизации.
Во-первых, замечено, что неравномерность потока перед изолятором оказывает опосредованное влияние на интегральные характеристики псевдоскачка, последние определяются, главным образом, средним числом М непосредственно перед псевдоскачком [4]. Восстановление давления в псевдоскачке близко к восстановлению давления в прямом скачке, рассчитанном по этому среднему числу М.
Во-вторых, несмотря на то, что возникновение и существование псевдоскачка обуславливается наличием погранслоя, его влияние на длину псевдоскачка в рассматриваемых приложениях оказывается незначительным [8, 20]. Такая автомодельность псевдоскачка по отношению к начальному погранслою, по-видимому, возможна при достаточно толстых погранслоях, что в действительности и имеет место в каналах воздухозаборников ГПВРД [21]. Начальный погранслой в этих условиях является дополнительной неравномерностью, которая отражается лишь на средних параметрах потока.
Главной же предпосылкой к построению упрощенной модели псевдоскачка является экспериментально установленное наличие отрывных зон в псевдоскачках. Помимо признания самого факта существования этих зон имеющиеся исследования изменяют и представление о механизме их формирования. Обнаружен, в частности, нестационарный, перемежающийся характер формирования застойных зон за счет крупных вихревых структур, возникающих в сдвиговом слое на границе области отрыва [22, 23]. Наличие таких вихрей указывает на вытеснительный, а не рециркуляционный механизм формирования этих зон, как представлялось ранее. В стесненных условиях канала взаимодействие скачков уплотнения с пристенным диссипативным слоем многократно усиливает вытеснительные эффекты [24].
В целом, анализ имеющихся данных позволяет следующим образом схематизировать реальную картину течения в псевдоскачке. В принятой схеме реальное течение фактически заменяется двухслойным — одномерным потоком в ядре псевдоскачка, в котором поддерживается продольный градиент давления, и отрывной (или застойной) зоной с нулевыми скоростями у стенки, которая уравновешивает градиент давления за счет сдвигового напряжения трения на разделительной линии тока (рис. 3). Кроме того, предполагается постоянство статического давления в поперечных сечениях канала (что не совсем справедливо для начальных сечений псевдоскачка), адиабатичность течения — постоянство полной энтальпии или полной температуры Tt во всем
поле течения (необязательное допущение). Принимается, что трение на стенке в области псевдоскачка пренебрежимо мало [8, 20, 27].
Итак, рассмотрим двухслойное или кусочно-одномерное течение торможения в плоском канале с постоянной площадью поперечного сечения Fw = const, представленное на рис. 3 (показана верхняя половина канала) и состоящее из одномерного ядра потока с приведенной скоростью X и застойной зоны. Площади ядра потока Fd и застойной зоны (Fw — Fd ) в плоском случае
эквивалентны соответствующим толщинам yd и (yw — yd ), где yw — полувысота канала. Уравнение сохранения полного импульса для такого течения имеет вид:
(pU2 + p) yd + p{ yw — yd ) = (poUo2 + Po ) yw- (1)
Здесь индексом «0» обозначены параметры потока в начале зоны торможения; p, U — плотность и скорость одномерного потока в ядре; p — давление в текущем сечении. Газовая постоянная R и отношение удельных теплоемкостей к = cpjcv пока полагаются неизменными, в общем случае
они рассчитываются в соответствии с составом и температурой рабочего газа.
С учетом уравнения сохранения расхода для ядра потока G = pUyd = p0U0yw уравнение (1) преобразуется к виду:
z(X) = zM — ^^w-KLlM, (2)
Po yw Xo
где X — приведенная скорость; z (X) = X +1/ X, т (X) — известные газодинамические функции [25]. Используя еще раз уравнение расхода совместно с уравнением состояния p = pRT = pRTtt(X), выразим отношение давлений в текущем и начальном сечениях:
Ао т(А)
Po yd А т(Ао)'
После подстановки этого соотношения в (2) получим следующее выражение для границы ядра потока:
2k
z (А)-^- А
yd _ у } k +1
Y — у d _
yw
2k
(4)
^)-k2+i
А
где к — показатель адиабаты. В свою очередь из (3) получается линейная связь между отношением давлений р и X:
P = 1 -
2k Ао
k +1 т(А0)
(Ао -А).
(5)
Выражение (4) обладает некоторым свойством симметрии относительно X, а именно: для начальной скорости X = Хо и для X = 1/Х0 формула дает одно и то же значение У = 1. Иначе говоря, если поток тормозится до скоростей, эквивалентных скоростям за прямым скачком, застойная зона, возникнув у стенки вначале, вновь замыкается на стенку в конце псевдоскачка. При этом соотношение (5) вырождается в соотношение давлений на прямом скачке. Таким образом, только за счет допущения о наличии застойной зоны у стенки выстраивается непротиворечивая модель протяженного псевдоскачка.
Соотношение (4) для У уже на этом этапе позволяет составить представление о поперечных размерах застойной зоны. Ее продольные размеры будут получены ниже из решения уравнений динамики развития зоны. Поперечные размеры легко определяются с помощью построения зави-
Рис. 4. Конфигурация отрывной зоны в псевдоскачке в плоском канале (yw = const) при различных числах M0 на входе
симости (4) при варьировании X от А,0 до 1/А,0. На рис. 4 для различных чисел М0 на входе при к = 1.4 представлены соответствующие результаты.
Первое, на что приходится обратить внимание, это на получающиеся весьма большие относительные толщины отрывной зоны 5з/у№ = 1 — У. Так, для Мо = 2 (Х0 = 1.63) максимальная толщина зоны составляет 25% от полувысоты канала, с ростом Мо зона еще более утолщается. На первый взгляд такие толщины отрывной зоны представляются нереальными (хотя они и сопоставимы с характерными толщинами пограничного слоя в каналах действующих ВЗУ, 5/ к = 0.3—0.7 [21], к — высота горла ВЗУ). Абсолютные размеры зоны при этом оказываются совсем небольшими. Для ВЗУ с к = 30 мм и, например, числом М в горле Мг = 2, соответствующим полетным числам М^ = 4—5, максимальная толщина зоны отрыва получается 5з < 3.8 мм.
Можно показать, что для цилиндрического канала соотношение (4) трансформируется в следующее:
Уш
(X) —— X
() к+1 (6)
г(х°)—к2^х
Согласно последнему соотношению для канала с диаметром О = 30 мм и числом М0 = 2 на входе в зону торможения максимальная толщина отрывной зоны оказывается еще меньше, 5з < 2 мм. Видимо, именно поэтому в большинстве опытов по исследованию псевдоскачков в цилиндрических каналах не удавалось обнаружить отрывные зоны.
Вследствие интенсивного турбулентного обмена между зоной отрыва и основным потоком трудно представить, что поля скорости, импульса и энергии у стенки имеют ступеньку высотой 2—3 мм и соответствующую зону обратных токов; в действительности все поля изменяются плавно. Величину 5з в кусочно-одномерной отрывной модели следует рассматривать как некую расчетную «толщину вытеснения» (одинаковую для массы, импульса и энергии), которая позволяет количественно согласовать экспериментальные данные с квазиодномерным расчетом. Именно в этом обобщенном смысле следует воспринимать и термины «застойная» или «отрывная» зона. Использование «техники вытеснения», таким образом, дает возможность установить своего рода компромисс между классическим псевдоскачком и отрывным (по терминологии [4]).
2. ВЫВОД ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ
Основой для разработки приближенных методов расчета струйных течений служат законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные в интегральной форме [16]. Для плоских и осесимметричных течений газа интегральные уравнения имеют вид (обозначения общепринятые):
2
У
^ Г риуЫу — Р2^2У2 ^ + РАУ/ ^ + Р2^2У2 — у/ = 0, (7)
ах * ах ах
У1
а У2 а
Г (ри2 + р ) у ау—Р2 у2 От+Р1 У( ■
! ах ах
У1
— Р2и2 У2 ^Г + РА2у/ ^ + Р2и2^2У2 — РА^1 у/ = у212 — у/^. ах ах
(8)
В приведенной системе учтены лишь уравнения сохранения массы и продольного импульса. Уравнения энергии и поперечного импульса выпали: первое — вследствие того, что полная
г
энтальпия полагается постоянной во всем поле течения, а второе — в связи с предположением о постоянстве давления в поперечных сечениях канала. Индексы «1» и «2» относятся к нижней и верхней границам интегрирования соответственно, j = 0, 1 — для плоского и осесимметричного
течений; т — турбулентные напряжения трения.
Уравнения (7), (8) получены интегрированием параболизованных дифференциальных уравнений Рейнольдса по поперечной координате и последующей заменой порядка интегрирования и дифференцирования. В том случае, когда границами области интегрирования являются линии тока, для которых справедливо равенство
^ = V, i = 1,2, (9)
dx Ui
подчеркнутые члены в уравнениях (7), (8) тождественно обращаются в ноль. Для решения этой системы уравнений необходимо из каких-либо соображений задать профили искомых параметров с тем, чтобы можно было вычислить значения интегралов. Точность расчета зависит от того, насколько удачно подобраны профили параметров.
В нашем случае, предполагая справедливость соотношения (9) для разделительной линии тока yd между застойной зоной и ядром потока, равенство нулю турбулентных напряжений трения на оси и стенке канала и, наконец, полагая постоянными по сечению ядра потока плотность и продольную составляющую скорости, из системы (7), (8) получаем для плоского течения следующие одномерные уравнения:
РиУы =PoUo yw0 = (10)
d тт2 dp .11Ч —Pu2 yd =-yd"T -Td, (11)
dx dx
{yw - yd ) ^ = Td, (12)
dx
где Td — абсолютные значения касательного напряжения трения на разделительной линии yd;
yw (x) — контур канала. Уравнения (10), (11) представляют собой обычные уравнения течения
в одномерной трубке тока. Новым в этой системе является уравнение импульсов для застойной зоны (12). Оно выражает баланс сил давления и касательного напряжения на разделительной линии.
Легко показать, что из системы (10) — (12) для канала постоянного сечения (yw = const) следует интегральная форма (1) уравнения сохранения полного импульса.
В уравнениях (11), (12) остается неопределенным член с Td. Согласно теории размерностей естественно представить его в следующем виде:
т , (yw -yd)PU2
Td = kd-. (13)
yw
Физически такая форма представления Td выражает долю теряемого импульса ядра потока в текущем сечении псевдоскачка, вызванную наличием застойной зоны. Кроме того, в такой форме представление для Td отвечает необходимому условию исчезновения напряжений трения в точках отрыва потока от стенки и его присоединения (при yd = yw). И, наконец, выражение (13) формально следует из приближенного представления формулы Прандля для Td:
Td =Ц/* kd (yw - yd )p(umax - umin )(umax - umin )/АУ при umax = U, umin = 0 Ay = у*.
Коэффициент ка в формуле (13) — это, вообще говоря, эмпирический коэффициент, его значение устанавливается с помощью сопоставления результатов расчета по модели псевдоскачка с соответствующими экспериментальными данными.
После подстановки (13) в уравнение (12) получаем следующее выражение для градиента давления:
—=к ах
рА2
(14)
Это выражение подводит нас к понятию и принятию известной концепции гидравлического диаметра [25], с помощью которого унифицировались законы сопротивления при течении несжимаемой жидкости в каналах различной формы поперечного сечения (под гидравлическим диаметром понимается отношение учетверенной площади проходного сечения канала к периметру, Ок = 4^/ П). Возможности применения концепции гидравлического диаметра к анализу процессов торможения сверхзвуковых течений газа в каналах различной формы подробно обсуждаются в [4]. Утверждается, что указанная концепция может быть использована и в этих условиях.
В соответствии с концепцией гидравлического диаметра выражение (14) естественно обобщить следующим образом:
—=к ах
А
А,
(15)
Принципиальное отличие этого выражения от чисто гидравлического приближения заключается в том, что в правой части (15) стоят не средние по сечению параметры потока, а параметры в ядре потока.
В результате подстановки (15) в систему (11) — (12), после перехода в уравнениях к приведенной скорости X и обезразмеривания продольной координаты по гидравлическому диаметру
на входе в канал , уравнение для X предельно упрощается
ах X
ах~~ аУ'
(16)
а выражение (15) для градиента давления может быть записано в виде:
ах
Л т^я)
У X
= к
2 к X к+1 УУ„
(17)
здесь х=хМ0, У=уы!у»0, = у^/у^.
Легко убедиться, что система уравнений (16), (17) для плоского канала с постоянной площадью проходного сечения (Ум> = 1) допускает аналитическое решение в виде уже известной связи (4) для У (X). С учетом этой связи задача замыкается и сводится к интегрированию уравнения
а X
X2
= — к.
^) — й X
ах а т^)
Уравнение (18) разрешается в квадратурах, его решение имеет вид:
(18)
Ах к +1
Ок 2кн2ка
(
11
\
,Х А,0 у
■ (1 — ШП2 )
1п
п — X
к — Xn
1п ^
X
(19)
где А,0 — приведенная скорость течения перед зоной взаимодействия, т = (к — 1)Дк +1), п = (к +1)г(Хо )/2к, расстояние Лх = х — Хо отсчитывается от головы псевдоскачка. Напомним, что относительное давление р в этом случае связано с Х соотношением (5).
Для осесимметричного течения система определяющих уравнений несколько видоизменяется. Не повторяя вывода этих уравнений, запишем их в окончательном виде:
^ = — к ^ (20)
сХ - к' у 2 ' (20)
dx
( t(X)) , 2к X v Y 2 X
= kd--=-. (21)
dk +1 Y Y2
Для канала с F = const система (20) — (21) также допускает наличие связи Y (X) вида (6),
при этом основное уравнение (20) становится тождественным по форме уравнению (18). Следовательно, функционально должны совпадать и их решения, разница может быть только в величине коэффициента kd .
Рассмотренные предельные случаи течений — в плоском и осесимметричном каналах с F = const — описываются в рамках представленной модели псевдоскачка единообразно. Влияние формы канала на закономерности торможения проявляется при этом через диаметр Dh, а влияние сжимаемости — посредством числа М. Таким образом, концепция гидравлического диаметра формально позволяет обобщить решение на широкий спектр всевозможных форм каналов. Но согласно определению гидравлического диаметра для прямоугольного канала с высотой h и шириной Ь, величина Dh = 2bhj(b + h). При изменении b/h от 1 до бесконечности прямоугольный канал превращается из квадратного с Dh = h в бесконечную щель с Dh = 2h. Трудно представить себе, что закономерности торможения в каналах при таком предельном переходе не изменятся. Реальные возможности обобщенного решения для каналов с F = const можно определить лишь путем проверки его на экспериментальном материале, что и будет осуществлено ниже. Для каналов с переменной по длине площадью проходного сечения уравнения (16), (17) или (20), (21) не интегрируются, их можно решить только численно.
В работающем в широком диапазоне скоростей полета прямоточном двигателе проточная часть должна быть расширяющейся, что диктуется необходимостью подвода достаточного количества тепла для создания потребной тяги. В этой связи наибольший в прикладном отношении интерес представляет исследование псевдоскачков (или в более широком смысле — процессов дросселирования) в расширяющихся каналах. До сих пор такого рода течения досконально не исследовались, осознанный интерес к ним инициировался работой [4].
Рассмотрим прямоугольный канал постоянной ширины Ь с расширением проходного сечения, например, по верхней стенке. По аналогии с (10) — (12) выпишем уравнения баланса расхода и импульса для течения типа отрывного псевдоскачка в таком канале:
р UFd = const, (22)
^ = - F/JL -TjUd, (23)
dx ax
0 = - (F - Fd )JL + TdUd. (24)
Здесь F — площадь проходного сечения канала; Fd и Па — площадь и периметр ядра потока; Tj — напряжения трения на разделительной поверхности.
Из системы (22) — (24) с использованием соотношения (15) легко выводится следующее уравнение для скорости в ядре потока:
ыи . г и
-= — ка--. (25)
Ых га Ок
Обезразмеривая скорость по и0, продольную координату — по площади Е и Га — по Го и учитывая определение Ок для прямоугольного канала, уравнение (25) сведем к окончательному виду:
d^ = _k UYW +Ро dx d Y 1+p0 '
= " , (26)
здесь У = Гы/Г0; У№ = Г/Г0 = к/к,; р0 = Ь/к>; к(х) — высота канала; индекс «0» относится к начальному сечению канала. Уравнение (15) целесообразно записать в форме
1 Ыр = м У^ (27)
рЫх а У№ 1+Р0
где р = р/р0; М — число Маха потока в ядре. Система (26) — (27) замыкается уравнениями состояния и сохранения расхода газа (22).
При сквозном расчете процессов торможения в каналах наряду с уравнениями псевдоскачка использовались также уравнения одномерного адиабатического течения, с помощью которых рассчитывались участки естественного (за счет трения) торможения. Методически расчет строился следующим образом. При заданных сверхзвуковых условиях на входе в канал и геометрии канала уравнения одномерного течения интегрировались до начала псевдоскачка Хпс, положение которого также задавалось. Псевдоскачок «проходился» интегрированием приведенных выше уравнений до сечения присоединения отрыва к стенке (У = Ую ), после чего в дозвуковом потоке опять использовались уравнения одномерного течения. Трение на стенке в уравнении импульсов одномерного потока учитывалось традиционным способом (т^ = с^ ри2/2), а коэффициент трения с^ определялся по одной из известных эмпирических зависимостей [25].
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Ключевой момент построения отрывной модели псевдоскачка — определение эмпирической постоянной kd. В связи с отсутствием какой-либо информации об этой константе предварительные оценки ее величины осуществлялись по экспериментальным данным для максимальных значений касательного напряжения трения в струйных, следовых и отрывных течениях [16, 26]. Эти оценки дали следующий ориентировочный диапазон величин kd = 0.08—0.096.
Уточнение величины kd производилось с помощью сопоставления рассчитанных и измеренных в опытах продольных распределений статического давления в псевдоскачках в каналах различной формы с F = const. При этом во всех случаях начало псевдоскачка в расчетах совмещалось с началом подъема давления в опытах. Участки естественного торможения, также как и течения без дросселирования, рассчитывались по одномерной методике. На рис. 5 представлен пример такого сопоставления с данными работы [27] для цилиндрической трубы с диаметром 25.4 мм и длиной 53 калибра при числе Мо = 4.2. Полученного соответствия расчета и эксперимента удалось достичь с kd = 0.084. Проведенный с тем же значением kd расчет вынужденного торможения в квадратном канале для числа Мо = 2 показан на рис. 2 (опытные данные заимствованы из работы [19]).
Другой способ верификации модели псевдоскачка основан на сопоставлении экспериментальных и расчетных длин псевдоскачка l в каналах с F = const. Расчетная длина развитого псевдоскачка непосредственно следует из формулы (19), если в ней положить X = 1/Х0:
l
к +1
Dh 2кп kd
(
1
\
X0--
V X0 у
+(l - mn2 ) ln
п-(V Xo) п -Xn
+2lnX
(28)
Рис.
5. Распределения давления в цилиндрическом канале при числе М = 4.2 на входе:
I — торможение в псевдоскачке, II — сверхзвуковое торможение; значки — эксперимент [27], кривые — расчет по модели ПС
В опытах длину псевдоскачка принято определять как длину от начала подъема давления до его максимального значения в эпюре р (х).
Из-за пологости изменения давления в области максимума такой способ зачастую вносит значительные погрешности в определение I. Тем не менее оказалось (рис. 6), что зависимость (28) с ка = 0.084 удовлетворительно обобщает набор имеющихся в литературе экспериментальных данных по длинам псевдоскачка в каналах различной формы (круглых и прямоугольных с соотношением сторон р = 1—5) в диапазоне чисел Мо = 1.6 4.2 на входе.
Таким образом, проведенные тестовые расчеты с достаточной достоверностью позволяют рекомендовать значение константы ка = 0.084. Все последующие расчеты проводились с этим значением kd.
С установленной величиной константы kd теперь можно более определенно ответить на вопрос о пределах применимости отрывной модели псевдоскачка в отношении к начальному погранслою. В [28] экспериментально показано, что продольный градиент давления на стенке канала в «голове» псевдоскачка всегда остается существенно меньше градиента давления в точке
4Dh
10
" - En
- ж^ ч/о / □ 2° / □ W
/ / / ч 1 KI / П1 1 Канал зуглый (О)— [3, 4 ¡адратный (□) — [ эямоугольный (■) , 14,24,27] 4, 6, 15, 34] — [4, б, 7—9, 29]
и I 2 3 М0
Рис. 6. Зависимость длины псевдоскачка от числа М0 в каналах различной формы:
значки — опытные данные различных работ; кривая — расчет по модели ПС
p
отрыва турбулентного погранслоя. Эта разница выражается соотношением: 0.5 >—^ —1/6, где
ро тр
индексами «пс» и «отр» обозначены градиенты давления р' = dpdx в начальном сечении псевдоскачка и в отрыве соответственно. Подставляя в него выражения (15) для рЛ с и, согласно критерию Бам-Зеликовича [25], р'отр = 0.014р0м2/ 5*, получаем следующую оценку значений толщины вытеснения начального погранслоя 5*, обозначающую область пригодности предлагаемой модели псевдоскачка:
£ *
— — 0.027. (29)
В каналах действующих воздухозаборников ГПВРД погранслой, как правило, толстый [21]. Величина блокирования проточной части в горле 5*/Dh изменяется весьма широко в зависимости от проектных и рабочих условий, типичное значение 5*/h = 0.1 (5*¡Dh = 0.07 для ВЗУ с b/h = 3). Поэтому условие (29) выглядит отнюдь не критическим для отрывной модели псевдоскачка.
В качестве дополнительного аргумента в пользу отрывной модели псевдоскачка на рис. 7 проиллюстрированы связи (5) между относительным давлением и приведенной скоростью в ядре псевдоскачка в цилиндрическом канале для M0 = 1.8 и 2.2 (сплошные прямые, к = 1.4). Опытные данные (значки) взяты из [29].
Длина передачи давления вверх по потоку при дросселировании сверхзвукового течения в каналах является величиной, в значительной мере определяющей оптимальную геометрию проточной части прямоточного двигателя, а установление этой величины представляется сложной и неоднозначной задачей. Практически во всех опубликованных работах длина передачи давления приводится либо в абсолютном виде, либо отнесенной к высоте канала независимо от формы канала, что затрудняет использование ее в иных случаях.
Зависимость (19) вместе со связью (5) по существу представляет собой аналитическое выражение для длины волны давления Ax/Dh в изоляторах c F = const,, вызванной противодавлением ръ = ръ/Р0 в каком-либо сечении канала, совпадающим либо с сечением дросселирования потока, либо с местом подачи топлива и его горением.
М„= 2.2
М0= 1.8
Рис. 7. Связь приведенной скорости X в ядре потока с относительным давлением р = р/р0: линии — зависимость (5) при к = 1.4; значки — экспериментальные данные работы [29]
Aï/A
10
^ *7 /
/<М / ¡> / / 2 1 ✓ /1 2 / 3 / 5 7 / / / Р J / Рь
М0 = 1.5 / Ръ
0 v
АхЮн
0
10
Рь/Ро
• — о — А- □- Д- X + — [32] [4, 28] [6] [12] [3] [7] [33]
о /
/
А с д 1
• •
• у А /\ о I» !
/ X
/ 1 / о
о** ••
1
Рь
Рис. 9. Сопоставление зависимости для длины передачи возмущений давления в каналах с известными опытными данными:
I — расчет по модели ПС для М0 = 2.5, к = 1.4
Рис. 8. Зависимость длины передачи возмущения давления в канале вверх по потоку от противодавления рь и М0 (/(М0) — длина развитого псевдоскачка)
На рис. 8 для к = 1.4 и различных чисел Мо на входе показаны зависимости Ах (рь).
Сверху эти кривые ограничены пунктирной кривой, представляющей длины псевдоскачка. Характерно и физически оправдано то, что с уменьшением Мо длина передачи давления резко возрастает.
На рис. 9 для Мо = 2.5 и к = 1.4 предпринята попытка сопоставления результатов
расчета Ах (ръ ) с имеющимися в литературе опытными данными по этой характеристике. Опытные данные получены как в холодных исследованиях псевдоскачков, так и в испытаниях модельных камер сгорания различной конфигурации. В связи с большим разбросом опытных точек и с существенными отличиями в условиях проведения опытов можно говорить лишь о качественном соответствии расчета и экспериментов. Опыты охватывают диапазон температур торможения Т = 300 + 1600 К и чисел Мо = 2.3—2.6 на входе. Вместе с тем нельзя не отметить и неплохое количественное согласие расчета с опытными данными работы [12], отличающейся высоким качеством эксперимента (светлые квадратики). В этой работе при Т{ = 800 К и Мф = 2.5 исследовалось горение водорода в плоской расширяющейся камере сгорания, снабженной изолятором с относительной шириной р = 4.6.
При малых противодавлениях (рь < 2.5—3), т. е. на стадии формирования псевдоскачка, предложенная модель несколько завышает длины передачи давления. В опытах наблюдается некоторая задержка передачи давления — зависимость Ах (рь ) начинается (с Ах = 0) при значениях противодавления, примерно соответствующих критическому отношению давлений в отрыве турбулентного погранслоя рь = 1 + 0.5М0 = 2.25 [16]. Причина такого расхождения кроется в локальном характере взаимодействия градиента давления в головной части псевдоскачка на стенке с начальным погранслоем, тогда как предлагаемая модель оперирует со средним по сечению канала давлением с самого начала псевдоскачка.
Несмотря на указанное расхождение, представленные на рис. 9 данные в целом все-таки свидетельствуют: а) о пригодности концепции гидравлического диаметра для оценки длин передачи давления в прямых каналах; б) об определенной идентичности различных способов дросселирования (механическом, струйном, тепловом) сверхзвуковых течений в каналах; в) о слабом влиянии температуры и состава поступающего в канал газа на процесс распространения возмущений давления вверх по потоку.
4. ПСЕВДОСКАЧОК В РАСШИРЯЮЩИХСЯ КАНАЛАХ
Как уже упоминалось, наибольший интерес в прикладном отношении представляет исследование псевдоскачков в расширяющихся каналах — в проточной части ПВРД, в диффузорах аэродинамических труб и газодинамических лазеров. Если в сверхзвуковых диффузорах аэродинамических труб основным режимом работы является расчетный режим, обеспечивающий максимальное восстановление давления, то в проточной части нерегулируемого двухрежимного ГПВРД, предназначенного для работы в широком диапазоне полетных чисел М, нерасчетный режим работы диффузора может быть одним из основных. В этом случае отрывная зона перехода от сверхзвукового течения к дозвуковому может размещаться далеко вниз по потоку от входного сечения канала. Положение этой зоны определяется не только уровнем противодавления, но и числом М на входе, площадью и формой поперечного сечения канала. При одинаковом противодавлении положение отрывной зоны, ее протяженность могут существенно отличаться в зависимости от упомянутых факторов. Все это затрудняет определение длины и самого псевдоскачка, и необходимой длины канала в целом, также как и оптимальной степени расширения канала.
Задача по-прежнему ставилась следующим образом. Заданы средние параметры потока во входном сечении расширяющегося канала выбранной конфигурации. Требуется определить влияние числа М на входе и формы канала на восстановление давления, на длину передачи давления вверх по потоку. Противодавление в расчетах моделировалось заданием положения начала псевдоскачка Хпс. Принималось, что рассматриваемые каналы имеют малые углы расширения,
а продольные размеры каналов можно, полагаясь на результаты анализа прямых каналов, нормализовать с помощью входных гидравлических диаметров.
Методика расчета псевдоскачков в каналах переменной геометрии предварительно тестировалась с помощью экспериментальных данных [20] и результатов трехмерных расчетов по УР [19].
Объектом исследования работы [20] был псевдоскачок в прямоугольном (р0 = 1.5, = 24 мм) слаборасширяющемся (с наклоном 9 = 0.005 по верхней и нижней стенкам) канале при числе Мо = 2 на входе (рис. 10). В [19] рассматривался псевдоскачок в комбинированном канале, состоящем из переднего плоского отсека постоянного сечения (р0 = 2.5, = 29 мм, М0 = 1.85), за которым следовали расширяющийся участок (с углом наклона верхней стенки 9 = 8.5°) и широкий задний отсек с относительной площадью / = ^ш/= 4.3 (рис. 11).
На рис. 10 и 11 представлены результаты обработки данных указанных работ (распределения давления) по предложенной методике. Можно констатировать их удовлетворительное соот-
Рис. 10. Распределения давления по длине канала: значки — эксперимент [20]; кривые — расчет по модели ПС
Рис. 11. Торможение сверхзвукового потока в расширяющемся канале: кривые — расчет по модели ПС; значки — расчет по УР [19]
ветствие. Важно подчеркнуть, что эти результаты получены с той же константой kd = 0.084, которая использовалась и при анализе торможения в прямых каналах.
Вертикальными рисками на кривых p (x) отмечены длины псевдоскачков, определяемых по условию замыкания отрывных зон на стенку, Y = Yw. Из рис. 10 следует, что даже слабое расширение канала (9S = 0.58°) вызывает заметное увеличение длины псевдоскачка в сравнении
с каналом с F = const (l = 11 против 9.5 для Mo = 2). Этот эффект особенно сильно выражен при торможении потока в комбинированном канале (см. рис. 11). Здесь при определенной — предельной степени дросселирования потока, при которой развитый псевдоскачок полностью располагается вблизи входного сечения канала, его длина получается близкой к «номинальной», l = 9 для канала с F = const и Mo = 1.85. По мере снижения противодавления псевдоскачок целиком смещается вниз по потоку, его длина вследствие уменьшения числа М перед ним даже несколько сокращается. Но как только замыкающая «хвостовая» часть псевдоскачка попадает в расширяющийся отсек, его длина резко (с l « 7 до 32—33) возрастает (режимы с Хпс = 14 и 16). Отмеченный эффект наблюдался и в [19].
Восстановление давления в комбинированном канале также характеризируется рядом важных особенностей. Если псевдоскачок размещается в переднем узком отсеке, то максимальное восстановление давления в нем близко к повышению давления в прямом скачке уплотнения для локального числа М. Дополнительное повышение давления происходит уже при торможении дозвукового потока в расширяющемся отсеке так, что окончательный уровень давления может существенно (на 20%) превосходить уровень давления за прямым скачком для начального числа Mo (пунктир на рис. 11). При смещении псевдоскачка в расширяющийся отсек общий уровень восстановления давления снижается, поскольку торможение потока в этих случаях происходит в среднем при больших числах М, чем в канале с F = const.
Таким образом, решающим фактором в реализации максимального восстановления давления при торможении сверхзвукового течения в канале с расширением является наличие начального участка с F = const, достаточного для размещения псевдоскачка. Этому условию отвечает расчетный режим работы сверхзвуковых диффузоров аэродинамических труб [30], а применительно к ПВРД — предельный режим теплоподвода в камере сгорания и, соответственно, режим максимальной тяги двигателя.
Р„ = Л/А,
ра от угла расширения 0, числа М0 и относительной Рис. 12. Влияние угла расширения прямоугольного 0
канала на конфигурацию застойной зоны ширины канала на входе р0
м,
о"2- Ро = 3> V
30 мм
Л авление за прямым скачком для М0
—t-
,,—1-
М,
0 10 20 30 40 50 +
- I/-2
x!Dl
Рис. 14. Дросселирование сверхзвукового течения в комбинированном канале с изолятором F = const
Рис. 15. Дросселирование сверхзвукового течения в комбинированном канале со слаборасширяющимся изолятором
Влияние угла расширения 9 прямоугольного изолятора (с Р0 = 3, M0 = 2) на конфигурацию
отрывной зоны проиллюстрировано на рис. 12. Как видно, увеличение 9 вызывает значительный рост поперечных и особенно продольных размеров отрывной зоны. Так, например, при 9 = 2° ее длина возрастает в 1.6 раза в сравнении с прямым каналом (9 = 0). И, напротив, сужение канала
(9 = —1°) сопровождается сокращением длины зоны торможения.
Сужение изолятора ГПВРД, вообще говоря, исключается, поскольку предполагается, что максимально возможное сужение проточной части двигателя с нерегулируемой геометрией осуществляется непосредственно в ВЗУ заданием величины его горла. Однако в системах восстановления давления газодинамических лазеров использование сужающихся каналов в ряде случаев вполне допустимо [31].
Обобщение результатов параметрических расчетов по выяснению влияния числа Mo, относительной ширины Po и угла расширения канала 9 на минимально необходимую длину изолятора l показывает (рис. 13), что все эти параметры при их возрастании влияют однонаправленно — в сторону увеличения длины изолятора. Кажущаяся слабой зависимость l от Po (показанная на рис. 13 лишь для M0 = 2) на самом деле таковой не является, поскольку длина l относилась
к соответствующему гидравлическому диаметру Dкоторый сам по себе увеличивается с ростом Po.
Развитый псевдоскачок в канале постоянного сечения неустойчив, и его положение легко меняется при небольшом изменении противодавления на выходе. Более устойчиво псевдоскачок ведет себя в расширяющихся каналах. В заключение рассмотрим этот вопрос на примере течения торможения в комбинированных каналах. Для сравнительного анализа выбирались некоторые характерные для ГПВРД конфигурации комбинированных каналов газовоздушного тракта (рис. 14, 15). Они отличаются в основном формой изолятора: F = const — в первом варианте и слаборасширяющийся (9 = 1°) — во втором; условия на входе — Po = 3 и Mo = 2, степень расширения каналов f = 2.
На рис. 14 и 15 представлены распределения давления по длине каналов в зависимости от положения начала псевдоскачка Хпс или, если обратить задачу, от противодавления ръ на выходе из каналов. Вертикальными рисками на кривых р (x) помечены концы отрывных зон, пунктирной линией - уровень давления за прямым скачком для Mo = 2. По представленным данным можно заключить, что в качественном отношении эти распределения имеют типичный для про-
цессов дросселирования вид, а все обсуждаемые выше особенности течений торможения в комбинированных каналах наблюдаются и в данных случаях.
Вместе с тем, обработка полученных результатов путем вычисления коэффициентов влияния кь = ЛХпс /Кръ, характеризующих изменение положения псевдоскачка в изоляторе при изменении противодавления на выходе из канала, показала, что даже слабое расширение изолятора обеспечивает примерно в три раза большую устойчивость псевдоскачка, чем изолятор с F = const (kb = —11 и -33 для 9 = 1° и 0 соответственно). Но поскольку расширение изолятора вызывает увеличение его необходимой длины (на 30% в данном случае) и ведет к снижению восстановления давления в канале, то углы расширения изолятора, по-видимому, не должны превышать 2°.
Проведенные расчеты в целом показали, что предложенная модель псевдоскачка вместе с установленной эмпирической константой (kd = 0.084) представляется вполне пригодной для анализа процессов торможения сверхзвуковых потоков в каналах, в том числе и в расширяющихся каналах с весьма большими углами расширения (вплоть до 8—9°). Можно, таким образом, говорить о достаточно широких пределах применимости модели и об определенной универсальности используемой эмпирической постоянной.
ЛИТЕРАТУРА
1. Billig F. S., Dugger G. L., Waltrup P. J. Inlet-combustor interface problem in scramjet engines // Proceedings of the 1-st International Symposium on Airbreathing Engines. — Marseilles, France, 1972.
2. Billig F. S. Combustion processes in supersonic flow // J. of Prop. and Pow. 1988. V. 4, N 3, p. 209—216.
3. W a l t r u p P. J., B i l l i g F. S. Structure of shock waves in cylindrical ducts // AIAA J. 1973. V. 11, N 10, p. 1404—1408.
4. Пензин В. И. Экспериментальное исследование отрывных течений в каналах. — М.: Изд. ЦАГИ, 2009, 280 с.
5. Stockbridge R. D. Experimental investigations of shock wave/boundary-layer interactions in an annular duct // J. of Prop. and Pow. 1989. V. 5, N 3, p. 346—352.
6. B e m e n t D. A., S t e v e n s J. R., T h o m p s o n M. W. Measured operating characteristics of a rectangular combustor/inlet isolator // AIAA-90-2221, 1990.
7. S ul l in s G. A., Mc L af fe rty G. H. Experimental results of shock trains in rectangular duct // AIAA-92-5103, 1992.
8. Carrol B. F., Dutton C. J. Characteristics of multiple shock wave/turbulent boundary layer interactions in rectangular duct // AIAA-85-3805, 1985.
9. Rice T. High aspect ratio isolator performance for access-to-space vehicles // AIAA-03-7041, 2003.
10. M e r k l i P. E. Pressure recovery in rectangular constant area supersonic diffusers // AIAA J. 1976. V. 14, N 2, p. 168—172.
11. Кузьмин В. А. Торможение сверхзвукового потока в прямоугольных каналах / В сб.: Газодинамика двигателей летательных аппаратов. — Казань: Изд. КАИ. 1978. № 1, с. 28 - 36.
12. Kobay ashi K., To mi oka S., Kato K., Murakami A., Kudo K., Mitan i T. Performance of a dual-mode combustor with multi-staged fuel injection // AIAA-04-3482, 2004.
13. Основы газовой динамики / Под ред. Г. Эммонс. — М.: ИЛ, 1963, 702 с.
14. Зимонт В. Л., Острась В. Н. Расчет псевдоскачка в цилиндрическом канале // Ученые записки ЦАГИ. 1974. Т. V, № 3, с. 40 —48.
15. Ikui T., Matsuo K., Nagai M. The mechanism of pseudo-shock waves // Bulletin of JSME. 1974. V. 17, N 108, p. 731 — 739.
16. Гогиш Л. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения. — М.: Наука, 1 979, 368 с.
17. Щетинков Е. С. О кусочно-одномерных моделях сверхзвукового горения и псевдоскачка в канале // Физика горения и взрыва. 1973. № 4, с. 473 —484.
18. Rodriguez C. G., White J. A., Rig gins D. W. Three-dimensional effects in modeling of dual-mode scramjets // AIAA-00-3704, 2000.
19. Nedungadi A., Van Wie D. M. Understanding isolator performance operating in the separation-shock mode // AIAA-04-3832, 2004.
20. Tamaki T., T omit a Y., Yamane R. A study of pseudo-shock // Bulletin of JSME. 1971. V. 14, N 74, p. 807—817.
21. S m a r t M. K. Experimental testing of a hypersonic inlet with rectangular-to-elliptical shape transition // J. of Prop. and Pow. 2001. V. 17, N 2, p. 415 —429.
22. H s i e h T., C o ak l e y T. Numerical simulation of self-exited oscillations in a ramjet inlet-diffuser flow // ISABE 85-7013. 1985, p. 149—156.
23. Agarwal N., Simpson R. Backflow structure of steady and unsteady separating turbulent boundary layers // AIAA J. 1990. V. 28, N 10, p 1764—1771.
24. O m D., C h i l d s M. E. Multiple transonic shock wave / turbulent boundary-layer interaction in circular duct // AIAA J. 1985. V. 23, N 10, p. 1506 —1511.
25. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1976, 888 с.
26. Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания. — М.: Мир, 1984, 248 с.
27. Neumann E. P., Lustwerk F. Supersonic diffusers for wind tunnels // J. of Appl. Mech. 1949. V. 16, N 2, p. 195 —202.
28. Гуськов О. В., Копченов В. И., Липатов И. И., Острась В. Н., Старухин В. П. Процессы торможения сверхзвуковых течений в каналах. — М.: Физматлит, 2008, 167 с.
29. Lin K. C., Tam C. J., Jackson K. R., Eklund D. R., Jackson T. A. Characterization of shock train structure inside constant-area isolator of model scramjet combustor // AIAA-06-816, 2006.
30. Конотоп В. А., Тихомиров Ю. А. О влиянии положения замыкающей системы скачков уплотнения на коэффициент восстановления давления в гиперзвуковой аэродинамической трубе // Ученые записки ЦАГИ. 1976. T. VII, № 2, с. 58—66.
31. Васильев И. Ю., Захаров Н. Н., Кутузова А. Н. Диффузоры газодинамических лазеров: пути совершенствования // Ученые записки ЦАГИ. 2010. T. XLI, № 4, с. 42—54.
32. Chinzei N., Komuro T., Kudou K., Murakami A., Tani K., Ma-suya G., Wakamatsu V. Effects of injector geometry on scramjet combustor performance // ISABE 91-7132, 1991.
33. Рожицкий С. И., Строкин В. Н. О торможении сверхзвукового потока в канале при горении / В сб.: Пионеры освоения космоса и современность. — М.: Наука, 1988, с. 57—61.
34. Gustafson M. R., Gruber M. R. Pressure rise correlation compared with new experimental data // ISABE 99-7135, 1999.
Рукопись поступила 4/IX 2012 г.
