CC BY
13ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
КВАЗИЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ В КООРДИНАТАХ РИМАНА УРАВНЕНИЯ AW-RASCLE ДЛЯ ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ
Мингбаева А.А.
Мингбаева Азиза Абдухакимовна - преподаватель, кафедра математического моделирования и криптоанализа, Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, г. Ташкент, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой работе рассматривается вопрос приведения к общей квазилинейной форме системы уравнений Aw-Rascle для дорожного движения, нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы F(Y), вопросы вывода квазилинейной модели в координатах Римана из общей физической модели путем диагонализации матрицы F(Y).
Ключевые слова: система уравнений Aw-Rascle, собственные значения, собственные вектора, гиперболическая система.
УДК 519.633
В жидкостной парадигме моделирования дорожного движения трафик описывается в терминах двух основных макроскопических переменных состояния: плотности (p(t, x) и скорости V(t, X) транспортных средств в позиции x вдоль дороги в момент времени t. Aw и Rascle предложили следующую динамическую модель дорожного движения:
ja p+a х (pV) = о
1(5 (+ va х) V+(а (+ va х) P(p)+a(v - v (p)) = о (1)
В этой модели первое уравнение представляет собой уравнение непрерывности, представляющее сохранение числа транспортных средств на дороге. Второе уравнение представляет собой феноменологическую модель, описывающую изменения скорости, вызванные поведением водителей. Функция V0 (p)
представляет собой монотонно убывающую зависимость между средней скоростью транспортных средств и плотностью: чем больше плотность, тем меньше средняя скорость. Параметр с является константой релаксации[1]. Функция P(p) представляет собой монотонно возрастающую функцию плотности (P' (p) > 0), называемую давлением движения, которое выбирается так, чтобы слагаемое (5 + Vpx )V + (5 + Vdx )P(p) представляет динамику изменения скорости вокруг
среднего V0 (p) при изменении плотности. Использование лагранжевой производной 5 + V5 позволяет учесть изменения плотности, которые «реально» воспринимаются водителями перед ними. Теперь, умножив первое уравнение (1) на V + P(p) и второе уравнение на p, и добавив два, получим систему двух нелинейных законов сохранения вида
ap+a x (pv ) = о
a, (pV + pP(p)) + a x (pV2 + p VP (p))+ap(V - Vo(p)) = о
Приведем к общей квазилинейной форме систему (2)
др + Vдхр + рдх V = 0 < рд V + Vд р + рдР(р) + Р(р)д р +
+2Vр д V+V 2д #+¥Р(р)д ХР+Vр д хРф)+рР(р)д у+арр — V (р)) = о Из первого уравнения др + ¥дхр + рдхV = 0 выразим др и подставим во второе уравнение - др = —Vдр — рдх V
рд V+V • (—Vд р—р д XV)+р др(р)+Р(р) • (—Vд р—р д XV)+
+2Гр д^ + V 2др + ¥Р(р)др + др(р) + рР(р)дхV + ар(V — V (р)) = о Раскроем скобки В итоге
рдV + рд,Р(р) + VрдxV + VрдxP(р) + арV — р)) = 0
Данное выше выражение разделим на р, получим
др + дрР • др + Vд XV + VдрРд р + а(у — V (р)) = 0
Подставим — Vдхр — рдXV вместо др и раскроем скобки
д V V — VдрPд р — рдрРд V + Vд XV + VдрPд р + ^ — V (р)) = 0
Получим д( V — рдррдх V + Удx V + а(V — V (р)) = 0
или д , V + (V — рР \р))д х¥ + — Ко (р)) = 0 В общем виде система уравнений (2) придет к виду
[др + Уд хр + рд XV = 0
1д ^ V + (V — рР' (р))д XV + ^ — Уo (р)) = 0
Модель также может быть записана в общей квазилинейной форме
У, + F (У)Ух + О (У) = 0
У =
А(р~) А(V р Л
VV У
Р (У)=
д( 0
О(У) =1 ( ) {а(V — Vo(р))
0 V — рР\р) у
Таким образом, для положительной плотности р >0, система является гиперболической с характеристикой скорости, которые являются собственные значения F(Y) [2].
Л (У) = V >Ъ(У) = V—рР(р)
Ба (^ (У ) -ЯЕ) = 0
(V
&
0 V -&Р(&) (V-Я &
(Я 0Л 0Я
л
= 0
у 0 V -&Р(&) -Я, (V -ЯXV -&Р(&) -Я) = 0 Я = V
Я2 = V -&Р(&)
Найдём собственные вектора матрицы Р(V) :
(V
&
0 V-&Р(&)) V0 я
(V & Л (V 0Л 0 V -&Р ' (&),
(^11 ^12) (^11 ^12)
(^11 ^12) Л , П./, Ч
^ 0 -&Р' (&)
-&Р' (&^12 = 0 ^11 = Р(&) ^12 = 1 (V &
(Я 0
= 0
0 V
= 0
&
= 0
(
н.
22
(Яг 0
0 V-&Р '(&), [ 0 Яг
= 0
(Н11 Н12 ) (Н11 Н12 )
(V
&
0 V -&Р '(&), (&Р '(&)
(V -&Р '(&)
0
V -&Р '(&)
= 0
0
0
=0
&Р' (&)нп + 0 • Н12 = 0
&н11 + 0 • н12 = 0
н12 = (любые числа, например 1)
= 0
о =
V ^21
11 12 w
о =
( р ' (&) 1Л
22 У
0
1
Инварианты Римана находятся при помощи данного преобразования Оу + ЛОУх + ОБУ = 0
здесь, Л - это диагональная матрица составленная из собственных чисел матрицы А, О - матрица собственных векторов[2] ( в данном случае левых)
1)1 V
fF(p) 1)(р)+( F(p) 1)(V
P
0
0 1J1 0 V-pP'(p) AV
P'(P) 1
0
0 1)\a(V - V0(p)) .
= 0
или
(P(p)+vЛ (V 0 +
V )t {0 V -PP'(P)
Yp(p)+VЛ (P(P) 1Л( +
V
0
v(V - V0(P))
= 0
координаты Римана может быть определены как ^ = Р(р) + V, ^ = V с обратным преобразованием координат: V = ^, р = Р— (Яг — ^)
Список литературы
1. Bastin Georges and Coron Jean-Michel. Stability and boundary stabilization of 1-D Hyperbolic Systems. Springer International Publishing Switzerland, 2016. Р. 37.
2. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 67 с.
+
0
x
x
