Квазиклассические симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1:517.957

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ТИПА ХАРТРИ С КВАДРАТИЧНЫМ ОПЕРАТОРОМ

А.Л. Лисок, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов*

Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Исследуются свойства симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором. Проведена редукция исходной нелинейной задачи к линейной. В явном виде построены семейства операторов симметрии исходного нелинейного интегро-дифферен-циального уравнения.

Ключевые слова:

Нелинейные уравнения, операторы симметрии, квазиклассическое приближение.

Введение

Теория группового анализа дифференциальных уравнений дает эффективный универсальный инструмент построения точных аналитических решений дифференциальных уравнений, имеющих важные физические приложения [1]. Идеи и методы группового анализа можно распространить на более широкие классы многомерных уравнений математической физики, в том числе на некоторые классы интегродифференциальных уравнений. Эту задачу удается решить, в частности, с помощью формализма квазиклассических асимптотик, основанного на методе ВКБ-Маслова (см., например, [2]), теории комплексного ростка [3, 4] и их модификаций в различных задачах линейной и нелинейной математической физики [5-10]. Симметрия нелокальных уравнений исследовалась многими авторами, отметим, в частности, работы [8, 11-13]. В работе [13] на основе метода квазиклассических асимптотик построены операторы симметрии и оператор эволюции для многомерного уравнения Фоккера-План-ка-Колмогорова с квадратичным потенциалом и квадратичной нелокальной нелинейностью.

Основной целью данной работы является построение операторов симметрии для многомерного уравнения типа Хартри с оператором, квадратичным по независимым переменным и производным. Операторы симметрии, согласно определению, оставляют инвариантным множество решений уравнения и позволяют по известным решениям построить новые решения нелинейного уравнения.

Уравнение типа Хартри представляет собой нелокальное обобщение нелинейного уравнения Шредингера [14] и имеет важные приложения, например, в теории бозе-эйнштейновских конденсатов [15, 16] при учете нелокальных взаимодействий, в моделях квантовой теории многочастичных систем, в нелинейной оптике, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках и в других приложениях.

Метод построения операторов симметрии, примененный в данной работе, опирается на результаты работ [5, 6, 13]. Отметим, что хотя квазикласси-ческий подход является приближенным по своей

природе, в некоторых частных случаях он позволяет получить точные решения исходной задачи. Подобная ситуация имеет место для уравнения типа Хартри с квадратичным оператором по независимым переменным и их производным, рассмотренная в [8, 9], где на основе квазиклассического подхода построено точное решение задачи Коши.

1. Уравнение типа Хартри с квадратичным оператором

Запишем уравнение типа Хартри в виде {-1ЛЗ {+ Н Ц)У¥ (х, 0 =

= {-те {+ н (0+кУ'у,х¥ (0)}^ (х г) = о, (1)

Т(х, Г) е ),

где У(Г,Т(Г)) = ^ йу Т*(у, Г)¥(2, У, Г)Т(у,Г),

к - пареметр нелинейности.

Здесь линейные операторы Н(0=Н(£,/) и Г^й,/) являются псевдодифференциальными операторами [17] от некоммутирующих операторов

г = (р, х) = (-¡НЗ/Зх, х), у = (_ ¡ЬЗ/Зу, у) х уе Кп,

удовлетворяющих следующим коммутационным соотношениям:

[¡к,2]]_ = [Ук,у]_ = ¡Му,[э,у]_ = 0, к,] = 1,2и.

Здесь ||Л;||2„х2„ - элементы единичной симплек-тической матрицы

' 0 -I'

kj\

I 0

2пх2 п

а 1=1пхп - единичная ихи-матрица. Для функций от некоммутирующих переменных мы будем использовать упорядочение по Вейлю [17]. В этом случае, например, для оператора Л(/) с вейлевским символом Л(1,/)=Л(р,х,1) можно записать

2(/)Т( х, I, К) = - 1

(2 жП)п

J dydp exp 1^ ((x - y), p >1A (p, ,

t №(y, t, Й).

2n

Здесь <.,.> - евклидово скалярное произведение «-мерных и 2«-мерных векторов

П

(p,х) = £ PjXj, p,xе Rn, j=i 2п

(z. W=E

j=1

Z;W; , z, w е

соответственно.

Многомерное уравнение типа Хартри (1) с переменными коэффициентами общего вида не интегрируемо известными методами, такими, например, как метод обратной задачи [14, 18] и др. Поэтому в общем случае аналитические решения этого уравнения можно построить лишь приближенно. Эффективный метод построения таких решений предоставляет аппарат квазиклассических асимптотик. Так, например, для нелинейных операторов типа самосогласованного поля теория канонического оператора с вещественной фазой для решения задачи Коши была построена в [19, 20]; для спектральных задач, включая сингулярные потенциалы, - в работах [20, 21] (см. также [22-24]). Со-литоноподобные решения для уравнения типа Хартри и некоторых видов потенциалов взаимодействия построены в [25]. Специфика уравнения типа Хартри (1), в котором нелинейность присутствует только под знаком интеграла, проявляется в том, что оно в определенном смысле близко к линейным [17]. А именно, среди решений уравнения существует подмножество, регулярно зависящее от параметра нелинейности. По аналогии с когерентными состояниями квантовой механики в [5, 6] был определен класс функций

Р =

[т, ,т„ ч +<р(,х_х(О>! (х _ X(г) Л]

= <!Т : Т (х, /) = е п ф1——, г, Й

сосредоточенных на некоторой фазовой траектории 1^(1)=(Р(1),Х(1)). Функции ф(^,1,Н) принадлежат пространству Шварца и регулярно зависят от Н, а 5(/),Р(/),Х(/) - дифференцируемые функции, определяющие класс. На классе функций Р, названных траекторно-сосредоточенными, задача построения квазиклассических асимптотик нелинейного уравнения сводится к вспомогательной задаче построения асимптотических решений линейных ассоциированных уравнений Шредингера. В результате метод комплексного ростка Маслова [3, 4] удалось обобщить на уравнение (1). В частности, были построены формальные решения задачи Коши, асимптотические по малому формальному параметру Н (Й^0) с точностью до 0(НЩ), где N -произвольное натуральное число, и главный член асимптотики спектральной задачи [7]. В работах [8, 9] для уравнения (1) с квадратичным нелокальным потенциалом удалось построить оператор эволюции. В этом случае линейные операторы Н(£,0 и ¥(£,Н>,/) квадратичны по операторам £, н:

H( z, t) = ^ < z, Hzz (t) z> + < Hz (t), z>, (2)

V (z, w, t) =

= 2<z, Wz (t)z> + <z, Wzw (t)w> + 2< w, Www (t)w>. (3)

Здесь H(t), Wa(t), WJt), WJt) - 2nx2n заданные матрицы, а Hz(t) - заданный 2«-вектор.

Уравнение типа Хартри (1)-(3) интегрируется точно [8, 9] и обладает богатым набором симметрий, изучение которых позволяет получить различную информацию о решениях уравнения и показать, как многомерное уравнение свести к одномерному, построить классы точных или приближенных его решений. Поскольку уравнение (1)-(3) содержит нелокальную нелинейность, оно представляет особый интерес для симметрийного анализа, связанный с тем, что в общем случае не существует регулярного способа определить структуру симметрий уравнения, не являющегося дифференциальным. Уравнение (1) позволяет обойти эту проблему, поскольку его симметрии тесно связаны с симметриями соответствующего ассоциированного линейного уравнения.

2. Операторы симметрии и задача Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1)

¥(х, t, h) |t=0 =7(х), уе р0, ||7(х)||2 = 1. (4)

Система Гамильтона-Эренфеста второго порядка, соответствующая задаче Коши (1), (4), имеет следующий вид [8]:

'zT = J{Hz (t) + [Hzz (t) + K( Wzz (t) + Wzw (t))]zT },

‘ ДT 2 = J[Hzz (t) + W (t)]Д^2 -

-Ду2 [Hzz (t) + W (t)]J,

~=kIIyII2.

В уравнении (1) сделаем замену: от функции T(x,t) перейдем к функции Ф(х,0 следующим образом:

i{S(t)+(P(f),x-X(t) >}

T (х, t) = eп Ф( х - X (t), t), (5)

где S(t),P(t),X(t) - некоторые дифференцируемые функции, подлежащие определению.

Для Ф(х,0 получим следующее уравнение:

{-ihdt + S(t) + < P(t), х - X (t)> -< P(t), X (t)> +

+2 <z Ф, Hzz (t) z ф> + < Hz (t), z ф> +

+ к|кп фф* (|<zФ, Wzz (t)zф > + <zФ, Wzw(t^ф> +

+ 2 < Wф,Www (t ) Wф > )Ф}Ф = 0,

где Zqr(-ihd/dx+P(t),x), \v9=(-ihd/dy+P(t),y). Сделаем замену переменных x=u+X(t) и обозначим Ф(и+Х($,1)=Ф(и,$. Получим следующее уравнение:

{-ihdt + ih(^ X (t), -dUj+S (t)+< P (t), И> --< p (t), X: (t)>+2 < z Ф«, hzz (t) z ФИ > +

+<Hz (t), zФи > + к j dy Ф*(y, t) x

x[2 < z Фи, Wzz (t) гфи > + < Zфu, Wzw (t )\^Фи > + + 2 < Wфu , Www (t^Фи >]Ф(y, t)}Ф(U, t) = 0,

(6)

где обозначено .Фи=.и+Д0, Нфи=1у +Щ, 1и=(-1Щди,и), ¿У=(-/ЙЭ/оу,у).

Функции Ф(и,0 по построению являются центрированными, т. е. удовлетворяют условию

| Ф*(и,г)гиФ(и, г) ёи = 0.

к"

Начальное условие (4) для уравнения (6) имеет вид

_ -- {5(0)+<Р(0), и>}

ф(а0 \(=0 = е й 7(и+ х(0)).

Пусть вектор .^(¡)=(Р(1),Х(1)) удовлетворяет уравнению

2 (г) = 3{Пг (г) + [ пгг (г) + К^гг (г) + Wzw (г ш (г)} (7)

с начальным условием Z(0)=(y(x)\Z\у(х)), а функция 3(0 определяется соотношением

г

Б (г) = | {< Р (г), X (г)>- Н (г)}ёг,

где

Н (г) = 2 < 2 (г), [Нгг (г) +1? (Ггг (г)+2Гги, (г)+

+^ (г)]2 (г)>+<пг (г), г (г)> + ^(^ (г)Д 2).

Здесь 2нх2н - матрица Д2 удовлетворяет уравнению Д 2 = J [Нгг (г) + К ггг (г )]Д2 - Д2 [ Н (г) + #гг (г)]./ (8) и начальному условию

Д2(0) = ■1||7(х) \ {Д2}Д+Д¿кД2;-} \ 7(х)||.

Тогда функция Ф(и,/) является решением линейного ассоциированного уравнения

-лз1 + 2/г и, (Н (г) + кшгг) г Л 1ф (и, г) = 0 (9)

с начальным условием

_ - -{Б (0)+< Р(0), и+Х(0) >}

Ф(иг) \г=0 =ф(и) = е й 7(и).

Пусть Л(и,/)=Л(. и,0 - некоторый оператор с вейлевским символом Л(.,0, удовлетворяющий соотношению

и начальному условию

Л(и, г) \г=0 = а (и),

где ¿(и):3^3 -произвольный оператор. Тогда в силу (10) оператор Л(и,{) является оператором симметрии уравнения (9) и переводит Ф(и,7) - решение уравнения (9) в некоторое другое его решение. Соответственно функция, определяемая соотношением

Ф А (и, г) = — 2(и, г )Ф (и, г),

«А

где аЛ=\\а Ф(и,0)\\ - также решение уравнения (9). При = получим

Ф а (и, 0) = — а (и)ф(и) =Фа (и).

«А

~ Здесь \\фЛ(и)\\=1, откуда автоматически следует \|ФЛ(и,/)\\=1. Однако в общем случае функция ФЛ(и,0 может и не соответствовать никакому решению исходного нелинейного уравнения, поскольку не для всех Л(и,7) она является центрированной:

[ ФА (и,0)гиФА (и,0) ёи = 0.

к"

Поэтому, чтобы построить решения исходного нелинейного уравнения, которые бы соответствовали Ф(и,/), обозначим

Я = (и,0)гиФА(и,0) ёи = | фА(и)гифА(и)ёи

Я(г) = [ Ф А (и, г) гиФ А (и, г) ёи.

к"

Непосредственной проверкой можно убедиться, что если Я(/) - решение следующей задачи Коши:

Я($) =

яц)=j (Hzz (t)+W (t ))Я(t),

1Я (t) 1

Яи (t).

, Я(0) = Я0 =

и

то функция, построенная по формуле

- {Бя(1 )+<Л,(0 ,и+А„( г) >}

ГЯ 1

P0

Яи

V и0 J

Ф a (u, t) = e й

Ф A (U+4(t), t),

где

-ibdt + ^2^zu, (Hzz(t) + Wzz)zи ^, ^4(u, t)

:0 (10)

SA (t) = j {<Яр (t ),JLu (t )> - H (t)}dt (11)

H (t) = Я^), [Hzz (t) + K(Wzz (t) + 2Wzw(t) +

+ Www (t))Я)) + 2К' Sp(Www(t)Ä2)

является решением уравнения (9) и удовлетворяет условию

j ФА (u,t)zuФA (u,t)du = 0.

П

и

~ Сопоставив функциям Фл(и,0=Ф(х+ХХ0,0 и Ф^^Ф^+Х^У) по формуле (5) функции TA(x,t) и T(x,t) соответственно, получим

--{SA (t)+< PA( t), х-X a( t) >}

T a (х, t) =

1 )+<Яр (t) ,х-Xa( t) +Я( t) >}

=-----e й

—{S (t )+<P( 0,х-X (t) >}

xA(х - Xa (t) + Яи (t), t)e h

xT (х + X (t) - Xa (t) + Яи (t), t),

откуда

T a (х, t) = e h

-{SA (t)+<PA (t) ,х-Xa( t) >}

1 -{SA(t)+<Ap(t) ,х-Xa( 0+Я( t) >}

—{S (t)+< P(t) ,х-X (t) >}

xA(х - XA (t) + Яи (t), t)e h x

(12)

xT (х + X (t) - Xa (t) + Яи (t), t).

Оператор

T A (х, t) = Am T (х, t),

определяемый соотношением (12), является оператором симметрии исходного нелинейного уравнения.

3. Операторы симметрии нелинейного и вспомогательного линейного уравнения

Пусть <5:Pfi0—>Pß0 - некоторый оператор. Поставим для уравнения (1) следующие задачи Коши:

T(х, t, h) |t=0 = а(х), Y(х) е P0, ||7(х)||2 = 1 и

Tа (х, t, h) |t=0 = ay(х) =Ya (х),

Ya (х) е p“> ¡Ya (х)||2 =1

В уравнении (1) сделаем замену: от функций TA(x,t) и T(x,t) перейдем к функциям <3>(u,t) и Ф^^Опо формулам (5), (7), (8), тогда функция Ф(и,0 удовлетворяют уравнению

-ihÖt + 1 <zu, (Hzz (t) + Wzz )zu>U = 0

и начальному условию

_ --4s(0)+<P(0),u+X(0))}

Ф(U,t) |t=0 = e h Y(u+ x(0))

где вектор Z(t) является решением уравнения (7) с начальным условием Z(0)=(y(x)|z Iy(x)). Аналогично ФA(u,t) является решением уравнения

-ihÖt +1 <zu, (Hzz(t) + Wzz)zu>lc&А(U, t) = 0 (13)

с начальным условием

Вектор ZA(t) удовлетворяет уравнению (7) с начальным условием Za(0)=\ya(x)\z Iya(x)), а

t

Sa (t) = j {<Pa (t), Xa (t) - Ha (t)>}dt,

где

Ha (t) = 2< Za (t),[ Hzz (t) + k (Wzz (t) + +2Wzw (t) + Www (t))]Za (t)} + + (Hz (t), Za (t)) + ^Sp(Www (t )Д 2 а ).

Матрица Ä2A(t) является решением уравнения (8) с начальным условием

Ä2а (0) = 2|| Ya (х, t) | {Д z jÄ zk + Д zkÄ z j }| yа (Y t)||.

Соотношение YA(x)=i*Y(x) определяет оператор -(u), такой что ФA(u,t)=-(u)Ф(u,t).

Для оператора ^4(u,t)=A(zu,t) рассмотрим следующую задачу Коши:

[-ihÖt + 2(zu,{Hzz(t) + Wzz(t)}zu), A(Ut)] = 0 (14)

с начальным условием

A(u, t) |t=0 = a(u).

Тогда в силу (14) оператор A(u,t) является оператором симметрии уравнения (13) и переводит ФХ^О - решение уравнения (13) - в его решение ФА(^0.

~ Сопоставив функциям Ф^^Ф^+ХО^) и Ф(u,t)=Ф(x+X(t),t) по формуле (5) функции TA(x,t) и T(x,t) соответственно, получим

—{SA(t )+< Pa( t), х-X а( t) >}

T а (х, t) =

—{S(t)+< P(t) ,х-X (t) >}

= A(х - XA (t), t)e h x

xT( х + X (t) - X A (t), t)

или

-{SA(t )+< PA(t),X-X a( t) >}

ФА (U, t) |t=0 = e Й

-{Sa(0)+< Pa(0),u+X a(0) >}

Ya (u+ Xa (0)).

Т а (х, г) = е

Т-{Б(0+< Р(г) ,х-X (г) >} хА(х - хА(г),г)еЙ х

хТ (х+X (г) - хА (г), г). (15)

Оператор

т а (х, г) = АпТ (х, г),

определяемый соотношением (15), также является оператором симметрии исходного нелинейного уравнения.

4. Заключение

При построении операторов симметрии мы воспользовались тем фактом, что исходному нели-

А

X

X

А

нейному уравнению можно сопоставить ассоциированное линейное уравнение, а для квадратичных операторов вида (2), (3) эти ассоциированные уравнения совпадают. В общем случае это не так, поэтому аналитические решения уравнения типа Хартри удается построить лишь приближенно. Многие приближенные подходы основаны на выборе подходящего анзаца, представляющего общий элемент класса функций, в котором строится приближенное решение. К таким методам можно отнести, например, метод коллективных переменных [26-30], лагранжев метод [31-33] и адиабатическое приближение [34]. Наиболее эффективным в различных многомерных задачах математической физики оказывается метод квазиклассических асимптотик, который используется в данной работе. Особенностью данного метода, отличающей его от обычного метода возмущений (разложения в степенной ряд по малому параметру), является то, что асимптотический малый параметр входит в решение как регулярно, так и сингулярно, что позволяет, в частности, строить локализованные решения, имеющие важный физический смысл. Эта возможность существенно в нелинейных задачах, где устойчивые локализованные возмущения, такие

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 399 с.

2. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976. - 296 с.

3. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. - М.: Наука, 1977. - 384 с.

4. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Т. 92. - № 2. -С. 215-254.

5. Belov V.V., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation // Int. J. Math. and Math. Sci. - 2002. - V. 32. - № 6. -P. 325-370.

6. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теоретическая и математическая физика. - 2002.

- Т 130. - № 3. - С. 460-492.

7. Белов В.В., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю. Квазиклассиче-ские спектральные серии для оператора типа Хартри, соответствующие точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 150. - № 1.

- С. 20-32.

8. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Exact solutions and symmetry operators for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with quadratic potentional // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2005. - V. 1. - P. 1-14.

9. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation with a quadratic potential // J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. - V. 37. - P. 4535-4556.

10. Bellucci S., Trifonov A.Yu. Semiclassically-concentrated solutions for the one-dimensional Fokker-Planck equation with a nonlocal nonlinearity // J. Phys. A: Math. Gen. - 2005. - V. 38. -P. 535-456.

как, например, солитоны, являются объектом исследования. Достоинством метода квазикласиче-ских асимптотик является то, что он позволяет дать оценку точности построенного решения с заданной степенью асимптотического параметра.

Другие возможности построения аналитических решений дает симметрийный анализ [1, 35-37], который, исходя из свойств инвариантности уравнения, приводит к классам частных решений, которые могут служить прототипами анза-цев классов частных решений. Однако переменные коэффициенты, как правило, сужают симметрию уравнения или исключают ее, что ограничивает возможности симметрийного анализа в таких случаях. Кроме того, непосредственное вычисление операторов симметрии для нелинейных уравнений связано с интегрированием производящего уравнения, что представляет отдельную трудоемкую задачу [11, 12]. Сравнение двух указанных подходов приводит к задаче построения приближенных симметрий уравнения типа Хартри в формализме ква-зиклассических асимптотик [38].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Президента РФ НШ-871.2008.2; АВЦП Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436.

11. Пухначев В.В. Преобразование эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Доклады АН СССР. Сер. Математика. - 1987. - Т. 294. - С. 535-538.

12. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. - Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994. - 311 p.

13. Shapovalov A.V., Rezaev R.O., Trifonov A.Yu. Symmetry operators for the Fokker-Plank-Kolmogorov equation with nonlocal quadratic nonlinearity // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2007. - V. 3. - P. 1-16.

14. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики.

- 1971. - Т. 61. - С. 118-134.

15. Cornell E.A., Wieman C.E. Nobel lecture: Bose-Einstein condensation in a dilute gas, the first 70 years some recent experiments // Rev. Mod. Phys. - 2002. - V. 74. - P. 875-893.

16. Ketterle W. Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensation and the atom laser // Rev. Mod. Phys. - 2002. -V. 74. - P. 1131-1151.

17. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. - М.: Наука. 1991. - 368 с.

18. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980. - 319 с.

19. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Современные проблемы математики. - 1978. - Т. 11. - М.: ВИНИТИ, 1978. - С. 153-234.

20. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими коммутационными соотношениями и их приложения // Современные проблемы математики. - 1979. - Т. 13. - М.: ВИНИТИ, 1979. -С. 145-267.

21. Карасев М.В., Перескоков А.В. Правило квантования для уравнений самосогласованного поля с локальной быстро убывающей нелинейностью // Теоретическая и математическая физика. - 1989. - Т. 79. - № 2. - С. 198-208.

22. Бабич В.М., Булдырев В.С., Молотков И.А. Пространственновременной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 272 с.

23. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. - 240 с.

24. Вакуленко С.А., Маслов В.П., Молотков И.А., Шафаре-вич А.И. Асимптотические решения уравнения Хартри, сосредоточенные при в малой окрестности кривой // Доклады РАН.

- 1995. - Т. 345. - № 6. - С. 743-745.

25. Во Хань Фук, Четвериков В.М. Обобщенные солитоны уравнения Шредингера с унитарной нелинейностью // Теоретическая и математическая физика. - 1978. - Т. 36. - № 3. - С. 345-351.

26. Sanchez A., Bishop A.R. Collective coordinates and length-scale competition in spatially inhomogenious soliton-bearing equations // SIAM Rev. - 1998. - V. 40. - № 3. - P. 579-615.

27. Mertens F.G., Schnitzer H.J., Bishop A.R. Hierarchy of equations of motion for nonlinear coherent excitations applied to magnetic vortices // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56. - № 5. - P. 2510-2520.

28. Rice M.J. Physical dynamics of solitons // Phys. Rev. B. - 1983. -V. 28. - № 6. - P. 3587-3589.

29. Rice M.J., Mele E.J. Phenomenological theory of soliton formation in lightly-doped polyacetylene // Solid State Commun. - 1980. -V. 35. - № 6. - P. 487-491.

30. McLaughling D.W., Scott A.C. Perturbation analysis of fluxon dynamics // Phys. Rev. A. - 1978. - V. 18. - № 4. - P. 1652-1680.

31. Malomed B.A. Perturbative analysis ofthe interaction of a phi4 kink with inhomogeneities // J. Phys. A: Math. Gen. - 1992. - V. 25. -№ 4. - P. 755-764.

32. Kivshar Y.S., Fei Z., Vazquez L. Resonant soliton-impurity interactions // Phys. Rev. Lett. - 1991. - V. 67. - № 10. - P. 1177-1180.

33. Fei Z., Kivshar Y.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interactions in the sine-Gordon model // Phys. Rev. A. - 1992. - V. 45. -№ 8. - P. 6019-6030.

34. Белов В.В., Доброхотов С.Ю., Тудоровский Т.Я. Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках: I. Редукция к пространственно одномерным уравнениям // Теоретическая и математическая физика. - 2004. - Т. 141. - № 2. - С. 267-303.

35. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. - M.: Наука, 1989. - 639 с.

36. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I. Symmetry analysis and exact solutions of equations of nonlinear mathematical physics. -Dordrecht: Kluwer, 1993. - 435 p.

37. Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of equations of quantum mechanics. - N.Y.: Allerton Press Inc., 1994. - 480 p.

38. Shvedov O.Yu. Semiclasical symmetries // Ann. Phys. - 2002. -V. 296. - P. 51-89.

Поступила 11.02.2009 г.

УДК 537.874.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТОНКИХ ПРОВОДНИКОВ НА БИСТАТИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭЛЛИПСОИДА

Ю.А. Келлер

Томский государственный университет E-mail: [email protected]

На основе метода вспомогательных источников получено решение задачи рассеяния электромагнитных волн на трехмерном магнитодиэлектрическом теле при наличии вблизи него тонких проводников, расположенных произвольным образом в пространстве относительно тела. Построенный алгоритм реализован в виде компьютерной программы для расчета характеристик рассеяния ряда структур, отличающихся взаимным расположением тел, входящих в них. Исследовано влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния диэлектрического эллипсоида.

Ключевые слова:

Метод вспомогательных источников, диэлектрическое тело, тонкие проводники, математическое моделирование электромагнитного рассеяния.

Задачи рассеяния электромагнитного поля на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников, возникают в различных областях науки и техники, например, в антенной технике и радиолокации. Тонкие проводники часто используют в качестве передающих и приёмных антенн. При расположении таких антенн вблизи диэлектрических тел возникает проблема оценки влияния диэлектрических тел на параметры антенны, решение которой требует решения поставленной задачи рассеяния. В радиолокации при оценке радиолокационной заметности сложного объекта часто возникает ситуация, когда часть объекта - это

диэлектрическое тело с расположенными вблизи него тонкими проводниками. Расчет бистатическо-го сечения рассеяния (БСР) такой части объекта также требует решения поставленной задачи. Если расстояние между диэлектрическим телом и проводниками меньше или сравнимо с длиной волны, то корректная постановка исследований подобного рода приводит к необходимости решения граничных задач теории рассеяния с учетом электромагнитного взаимодействия между рассеивателями. Существующие численные методы [1] позволяют решать подобные задачи. Применительно к задачам, рассматриваемым в данной статье, из наиболее