CC BY
8
УДК 517.958:533.7
КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМНОЙ
ВЯЗКОСТИ
Т.Г. Елизарова*), В.В. Серегин
(.кафедра математики) E-mail: [email protected]
Приведен вид КГД уравнений, полученных путем моментного осреднения модельного кинетического уравнения. На основе представления КГД уравнений в виде дифференциальных законов сохранения и выделения в них диссипативных слагаемых в форме Навье-Стокса получена оценочная формула для коэффициента объемной вязкости. Выведенная формула аналогична известному выражению для объемной вязкости, связанному с неравновесностью по вращательным степеням свободы.
Введение
Квазигазодинамические (КГД) уравнения первоначально были получены путем моментного осреднения модельного кинетического уравнения [1, 2]. В работе [2] КГД уравнения выписаны в виде локальной формы интегральных законов сохранения массы, импульса и полной энергии для моноатомного газа. Дополнительные по сравнению с навье-еток-совскими члены в КГД уравнениях представляют собой эффективные регуляризаторы, обеспечивающие устойчивость численного алгоритма [2, 3] и др.
В данной работе, следуя подходу описанному в [2], КГД уравнения представлены в виде локальных законов сохранения для немоноатомного газа, т.е. газа, обладающего внутренними степенями свободы. В этом случае выделение диссипативных слагаемых типа Навье-Стокса приводит к построению приближенной формулы для коэффициента объемной вязкости. Полученная таким образом формула соответствует данным, имеющимся в литературе.
1. Две формы записи КГД уравнений
Согласно работам [1, 2], квазигазодинамическую систему можно вывести из кинетического уравнения вида
^ + (v • у)/(°> = (v • • + (1)
где
/(0)=Р
1 \3/2 ( (V- и)2\ /оЧ
2ттЕТ) «Ч™Wff-b (2)
Здесь р = р(х, — плотность, и = и(х, — газодинамическая скорость, р = р(х, — давление, Т = Т(х, — температура, — локально-равновесное распределение Максвелла (2) с макропараметрами р,и,Т, определяемыми с помощью функции / = /(х, Параметр г = т(р, Т) в правой
части (2) интерпретируется как характерное время релаксации молекул к локально-равновесному распределению и совпадает по порядку величины со средним временем свободного пробега молекул в газе. Макропараметры, входящие в формулу для вычисления г, также считаются квадратурами от /.
Проинтегрировав уравнение (1) с весами 1, v, v2/2, придем к системе
др т
д(ри)
div(pu) = div г [div(pu ® u) + Vp], (3)
at
= div г
• div(pu ® u) + Vp =
div(pu <
a_
at
P Иг
и 2
1 u ® u) + (V ®pu) + Vr[div(pu)],
b div
(V®pu)']
puly
= divr< div
• V
P
u
pu
(4)
(5)
где ® — операция прямого тензорного произведения.
Следуя идеям работы [2], представим эту систему в виде законов сохранения массы, импульса и энергии, записанных в дифференциальной форме для подвижного материального объема , перемещающегося вдоль интегральных кривых векторного поля зт(г)/р:
-¿77 + сН\дт = 0, (6)
<Э(ри)
at
д_
at
at
Ь div(jr +div
u) + Vp = div П, 2
(7)
= div A—div q.
(8)
Институт математического моделирования РАН.
2. Уравнение неразрывности и вектор плотности потока массы
Сравнивая первые уравнения (3) и (6), найдем вектор плотности потока массы
}т = ри — т (Шу(ри <8> и) + \7р). (9)
3. Уравнение импульса и тензор вязких напряжений
Сопоставим уравнения импульса (4) и (7) и найдем вид тензора П. Для этого вычислим
® и) = сНу(ри ® и) — сИу(т сНу(ри ® и) ® и) — — сИу(т\7р ® и). Тогда уравнение (4) можно переписать в виде д(ри)
т
■ ® и) + Ур =
= — сИу(т Шу(ри ® и) ® и) — сИу(т\7р ® и) +
+ Шу|г^у(ри®и®и)+(\7®ри)+(\7®_ри)т | +
+ Шу{/тШу(ри)}, (10)
где использовано тождество
сИу {1т сИу(ри)} = \7{т сНу(ри)} .
Из (10) и (7) следует, что тензор вязких напряжений П имеет вид
П = ^т сНу(ри ® и) ® и — т(\7р ® и) +
+ т Шу(ри ® и ® и) + (V ® ри) + (V ® ри)т
+ /тсНу(ри).
Представим этот тензор в виде суммы тензора вязких напряжений Навье-Стокса
Пхк = ц[(V ® и) + (V ® и)т - (2/3)/<Пу и] + (I<Пу и
(Н)
и некоторой добавки. Здесь р — коэффициент динамической вязкости, С — коэффициент второй, или объемной, вязкости.
Воспользуемся тождествами
(V ® ри) = р{4 ® и) + (и ® \7р),
(V ® ри)т = р(У ® и)т + (\7р ® и), сИу(ри) = (и • \7)р + р сНу и, сИу(ри ® и ® и) = сИу(ри ® и) ® и + ри ® [(и • \7)и] . Тогда П примет вид
II тр [(V ® и) + (V ® и)т] + + ти ® [р{и • \7)и + \7р] + г/ [(и • Х?)р + р(Ну и] .
Преобразуем полученное выражение, прибавляя и вычитая величины т/^рсЦуи и (2/3)тр/сНуи:
II тр [(V ® и) + (V ® и)т - (2/3)/ Шу и] +
+ ти ® [р{и ■ \7)и + \7р] + г/ [(и • \7)р + "ур(Ну и] +
+ т1р сНу и — т1-ур (¿¡у и + (2/3)тр1 (¿¡у и, или, сгруппировав слагаемые,
П = тр [(V ® и) + (V ® и)т - (2/3)/ Шу и] +
+ тр/(5/3^7) Шу и + ти ® [р(и • \7)и + Ур] + (12)
+ г/ [(и • \7)р + тр сИу и].
Сравнивая выражение (12) с видом тензора Навье-Стокса (11), увидим что
р = тр, С = (13)
Из первого соотношения сразу следует, что г имеет смысл максвелловского времени релаксации [6]. Из полученной формулы для коэффициента объемной (второй) вязкости следует, что этот коэффициент неотрицателен и связан с наличием внутренних степеней свободы молекулы, что соответствует теоретическим представлениям, изложенным в частности, в работах [4, 5].
Таким образом, тензор вязких напряжений в КГД системе уравнений может быть записан в виде
(14)
П = Пхк + ти ® [р{и • \7)и + Ур] + + г/ [(и • \7)р + 7р сНу и], где П^д имеет вид (11).
4. Уравнение полной энергии и вектор теплового потока
Рассмотрим третью пару уравнений (5), (8) из которых с помощью достаточно громоздких тензорных преобразований определим вид векторов Аия. Для этого запишем (5) в виде
д_ т
р
и
У
= — сИУ
сИУ
р
£ + -
снут<! сну
и
'1-2"
2—
Р
и ® и
V
р
а (8) перепишем в виде
д_ т
и
'1-2"
(¿¡У
Зтп I 0
■£+ -
р
= сИУ ( )т - ) (НУ +А — divq. ' Р,
Сравнивая последние два выражения, найдем Р (^^ Р
тсНУ
_ , и р
• Т V "7Г + е + -2 р
„р
£ + 2-1 и«и
р
2
• т
Приводя подобные члены и используя тождества тензорного анализа, полученное выражение можно переписать в виде
А — q =
= + тр [(V ® и) + ('V ® и) - (2/3)/ (Ну и] и+
+ ги (и • [р(и-\7)и + \7р]) + ти [(и-\7)р + 7/нНу и] + + три (5/3 — 7) (Ну и + трУ + три (и• \7)е +р(и• V) |
р ,
- + е
.9
КР).
1
трир^г
Р"
Р / +т-и(и • V)
Из полученного выражения можно выделить тензор П в виде (12):
Р
А — q = Пи — }т - + трУ
Р
р IР
три
(и-\7)е+р(и-V)
В теории Навье-Стокса [4]
Ахк = 11 хк и — ри
представляет собой работу поверхностных сил давления и внутреннего вязкого трения в единицу времени. По аналогии положим
А = Пи -рзт/р.
Остальные слагаемые обозначим через
ч =
Р ,
- + е — три
.9
(и- \7)е+р(и- V)
Выделим в тепловом потоке q часть, связанную с потоком Навье-Стокса:
= -хУТ.
Примем в качестве уравнения состояния — уравнение состояния идеального газа
КГ
р = рШГ, £ =
7-1'
тогда
7 Я ^
q = ^тр-- у / — три
7-1
(и- \7)е+р(и- V) ( -
Сопоставляя формулы для q и qxs. получим, что коэффициент теплопроводности в КГД модели определяется как
7Д
х = тр--,
7-1
и выражение для теплового потока в КГД уравнениях примет вид
q q^•s - три
(и- \7)е + р(и- V)
(15)
Таким образом, полученная на основе кинетического уравнения КГД система вида (3)-(5) представлена в виде законов сохранения (6)-(8), где векторы плотности потока массы, теплового потока и тензор вязких напряжений представляются в виде слагаемых вида Навье-Стокса, и добавки с коэффициентом г и имеют вид (9), (14) и (15). В работе [2] было показано, что добавки к слагаемым Навье-Стокса в тензоре вязких напряжений П, векторе плотности потока массы и тепловом потоке q в стационарном случае малы и имеют порядок о(т2).
5. Формулы для диссипативных коэффициентов и их обобщения
На основании кинетического вывода КГД уравнений диееипативные коэффициенты получаются в упрощенной форме
р = тр, ( = р
7 , ж = тр
7 Д
Заметим, что именно в таком виде коэффициенты вязкости р и теплопроводности ае получаются при выводе системы уравнений Навье-Стокса методами Чепмена-Энскога из уравнения Бхатнагара, Гросса, Крука (БГК).
Введем число Прандтля Рг ф 1 и запишем коэффициент теплопроводности в виде
1
7—1 г г
В работе [2] релаксационный параметр КГД модели предложено вычислять как
г =
р тЭс'
где Эс — число Шмидта, величина которого для газов близка к единице [6].
Формула для коэффициента объемной вязкости (13) отражает основные свойства величины С, а именно, так как в газах 7^5/3, то С равна нулю для газов без внутренних степеней свободы (одноатомных газов) и положительна для газов, имеющих внутренние степени свободы [4-6]. При этом величина коэффициента второй вязкости не связывается с конкретными видами внутренних степеней свободы и определялся только величиной -у.
Коэффициенты В (пунктир) и ZIot (сплошная линия)
Выражение для коэффициента второй вязкости, зависящей от вращательных степеней свободы, предложено в работе [5] в виде
/" PR f1R\
С = -Trot ''"rot! (16)
су
где су — удельная теплоемкость при постоянном объеме, 7rot — доли внутренней энергии, содержащейся во вращательных степенях свободы, rrot — время релаксации вращательных степеней свободы.
Можно показать, что выражение (16) может быть представлено в виде
где
Здесь Zrot — коэффициент обмена энергий между вращательными и поступательными степенями свободы. Выражения
для Zrot приведены, например, в книгах [5, 6]. Для азота
^rot = Z°°/[1+(тт3^2/2)(Т*/Т)1^2 + (ТТ+ТТ2/4)(Т* /Т)],
где Z°° = 23, Т* = 91.5 К. Коэффициент А вычисляется из соотношения между средней длиной свободного пробега и вязкостью газа согласно формулам Чепмена или Берда [6] в виде
А = Ацу/КТ/р,
где
А- I* или Л .W-M&-M
а — 4 / — или а — -==-
V 2 15л/2тг
— формулы Чепмена и Берда соответственно. Здесь ш — показатель степени в законе вязкости ¿¿ ~ Тш. На рисунке приведены зависимости В (пунктир) и Zrot (сплошная линия) в зависимости от температуры для азота. Видно, что коэффициент В изменяется от 1 до 4.
Литература
1. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М„ 1986. С. 261-278.
2. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, 2000.
3. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е. Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2004. №1. С. 10 (Moscow University Phys. Bull. 2004. N 1. P. 12).
4. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., 1986.
5. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М., 1989.
6. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford, 1994.
Поступила в редакцию 29.12.04
