Кватернионные параметры Родрига–Гамильтона в модели космической тросовой связки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.783

В. В. Коровин, А. В. Попов, В. И. У с ю к и н

КВАТЕРНИОННЫЕ ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА В МОДЕЛИ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СВЯЗКИ

Рассмотрена задача пространственного движения космической тросовой связки. Связка моделируется цепочкой материальных точек (трос) и твердых тел (концевые объекты). Математическая модель включает в себя уравнения движения материальных точек и центров масс тел в геоцентрической инерциальной системе координат и уравнения вращения твердых тел относительно центра масс. Для описания ориентации твердого тела в пространстве использованы кватернионные параметры Родрига-Гамильтона, исключающие случаи вырождения системы кинематических уравнений.

E-mail: korovinvv@mail.ru; bbee-popov@yandex.ru

Ключевые слова: космическая тросовая связка, динамика неуправляемого развертывания, кватернионы, динамика концевых тел связки.

Рассмотрим задачу движения космической тросовой связки с концевыми твердыми телами, имеющими инерционные характеристики. Постановка подобных задач приведена в работах [1-3].

Трос моделируется цепочкой дискретных точечных масс, соединенных вязко-упругими связями, работающими только при положительной (растягивающей) деформации [1] (рис. 1). На концах троса находятся твердые тела. Точка соединения троса с твердым телом в общем случае не совпадает с центром масс тела. Обозначим связанную систему координат j -го тела OjXjYj Zj. Здесь Oj — центр масс, оси системы координат являются главными центральными осями инерции тела. Положение точки подвеса твердого тела в его связанной системе координат будем считать неизменным, а концевое тело — абсолютно твердым.

Кроме того, введем неподвижную геоцентрическую (инерциальную) систему координат Oxyz и подвижную (неинерциаль-ную) систему координат OXYZ [4].

Рис. 1. Модель космической тросовой связки

Уравнения движения дискретных масс троса, а также концевых тел как материальных точек относительно геоцентрической инерциальной системы координат примем в следующем виде:

д2хг Мф • йшг { ^еЛ хг+1 - хг

=--ТТ"хг + г + ЕЕ~Т-—

п

- l£i-1 + аEFX Xt-i

dt J li— i

d2Vi Me • Gm,i { d£i\ yi+i - yi =--^-Vi + ( £i + ) EF-

dt2 r3 dt l

i , d£i~A v T?Vi - Vi-i - £i—i + а—— EF-

dt li i

d2Zi Мф • Gmi ( d£i\ zm - Zi

mi W =--TT~Zi + [£i + alt ) EF—

d£i i Zi - Zi i

- £i—i + а^-■ EF

& ) 1г-1 '

где тг — масса %-й точки; хг, уг, гг — ее геоцентрические координаты; тг = \/х2 + у2 + гг2 — геоцентрический радиус; Мф и С — масса Земли и гравитационная постоянная; ег — деформация %-го участка троса; EF — жесткость троса на растяжение; а — коэффициент

Л, д>ег

вязкого демпфирования в тросе; —— — скорость деформирования,

_а£_

1г = (хг+1 - Хг)2 + (уг+1 - Уг)2 + (гг+1 - гг)2 — длина %-го участка троса.

Для описания углового движения твердых тел используются уравнения вращения в форме Эйлера [5]:

du ~dt

LX = + (C - B) UjuZj;

du

Ьуз = в^ + (А - С) шх,; (1)

Ьгз = °3 ^ШТ + (В - А) шх, ,

где А],С] — главные центральные моменты инерции ]-го тела; Ьх,, Ьу3, — проекции главного момента внешних сил на оси связанной системы координат; шх,, шуз, ш^ — проекции вектора угловой скорости вращения ]-го твердого тела на оси связанной системы координат (см. рис. 1).

Кинематические уравнения, связывающие угловые скорости вращения твердого тела и углы Эйлера, определяющие его положение, имеют вид [5]

= ф sin в sin ф + в cos ф;

uY = ф sin в cos ф — О sin ф; шz = ф cos в cos ф + ф,

uY cos ф + шх sin ф

откуда получим

ф =

sin в

О = шх cos ф — uY sin ф; cos в

ф = ^z

sin в

(uY cos ф + шх sin ф).

Очевидно, что при в ^ 0 получим гр ^ то, ф ^ то. Происходит вырождение системы уравнений, что делает затруднительным использование таких выражений для численного интегрирования [6]. То же касается и углов Крылова. В последние годы для описания ориентации в трехмерном пространстве нашли применение кватернионные параметры Родрига-Гамильтона (кватернионы).

Кватернион — гиперкомплексное число вида Л = Л0 + 1Л1 + }Л2 + + кЛ3, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве [7]. Здесь Л0 ,Л1 ,Л2 ,Л3 — кватернионные параметры.

Поясним суть кватернионных параметров. По теореме Эйлера-Даламбера перевод твердого тела с одной закрепленной точкой из одного положения в другое может быть совершен за один поворот вокруг неподвижной мгновенной оси, проходящей через точку вращения (рис. 2)

Используя теорему о конечном перемещении твердого тела [8], запишем вектор конечного поворота: X

в = 2tg(2 e

где e = i cos a' +

+ j cos в + k cos y'.

Кватернионы — это гиперкомплексные числа, при описании которых используют форму записи с проекциями вектора конечного поворота на оси связанной системы координат и углом поворота [8]:

Рис. 2. К определению кватерниона

\ X

До = COS 2';

\ / ■ X

Д1 = cos а sin —;

i 2

X

Д2 = cos ß' sin —' 2

X

Д3 = cos y sin —.

2

Условие нормировки [9]

АО + \\ + А2 + А3 = 1. (2)

Особенностью используемого алгоритма является определение вектора силы натяжения троса Т] в связанной системе координат ]-го тела О-X- У] Zj, путем перевода координат дискретной точки троса, следующей за точкой подвеса, из геоцентрической неподвижной системы координат в связанную.

Составляющие момента Lхj, ^у,-, Lz,- вычисляются через известное значение силы натяжения троса и ее проекций (Tj ) в связанной системе координат твердого тела и координаты (радиус-вектор) точки подвеса Xj, Yj, Zj (Т]): Lj = Т] х Т- или

/ LXj \ Ly

( Tj Yj - Ty. Zj \

Тх3 Z3 - TZj Xj

V LzJ \ Туз Х-; - Тх, у] у

Уравнения динамики Эйлера дополняются кинематическими уравнениями, связывающими угловую скорость вращения твердого тела с кватернионными параметрами [8]:

шх = 2 ^Ао-А 1 + А3А2 - А2-А3 - А1А^ ;

шу = 2 А3А 1 + АоА2 + А1,А3 - А2Ао^ ; (3)

шz = 2 (А2А1 - А1АА 2 + А0А3 - Аз А о^ .

Из системы уравнений (3) и условия нормировки (2) находим значения первых производных кватернионных параметров через значения угловых скоростей в связанной системе координат:

А о Á i А 2

А 3

их Ai + иу А2 + uz A3 2 ;

их Ао — Uy A3 + Uz A2 2 ;

иу Ао + их A3 — UZ Ai 2 ;

иу Ai — их A2 + UZ Ао 2 '

Таким образом, система уравнений (1) и система (4) позволяют решить задачу движения тросовой связки с твердыми телами, используя кватернионные параметры для описания кинематики движения. Здесь потребуется матрица поворота для перехода из геоцентрической инер-циальной системы координат в связанную систему координат твердого тела, записанная через кватернионы [9]:

( 0 \

х

У \ z ( 1

0

о a2 + Ai— А2— А3

0 2А1А2 + 2А0А3

0

2А1А2 — 2А0А3

А0 — А2 + А2 — А3

0

2А1А3 + 2А0А2 2А2А3 — 2А0А1

X

у 0 2А1А3 — 2А0А2 2А2А3 + 2А0А1 А0 — А2 — А2 + A3 у

( 0 \

х

Yj

V Z У

Связь между кватернионными параметрами и углами Эйлера имеет следующий вид [8]:

в ф + у

Ао = cos _ cos-;

0 2 2 '

. в ф - У

А\ = sin - cos-;

1 2 2 '

л • в ■ ф - У А2 =sin 2sin 2 ;

в . Ф + у

А3 = cos _ sin-,

3 2 2

A3 А2

ф = arctg -—h arctg —;

A0 A1

откуда следует:

в = 2 агееоэ у Л3 + Л2;

Л3 Лз

ф = arctg ---arеtg —.

Л0 Л1

Для удобства ввода и чтения данных о положении твердого тела будем использовать полярную систему координат, начало которой находится в центре масс тела, а оси совпадают с осями подвижной неинерциальной системы координат OXYZ принятой ранее. Полярная система координат получается из углов Эйлера принятием угла

Рис.3. Изменение угла ф верхнего (а) и нижнего (б) концевых тел. Черной кривой показано изменение положения линии визирования концевых тел в плоскости орбиты

Рис. 4. Изменение момента сил на верхнем концевом теле

Рис. 5. Момент сил на нижнем концевом теле

в = 90о. Тогда угол поворота в плоскости ОХУ (совпадает с плоскостью орбиты) равен углу прецессии ф, а угол отклонения из плоскости орбиты в плоскости ОХZ совпадает с углом собственного вращения

Ч>.

Разработанная математическая модель использована для исследования развертывания космической тросовой связки. На рис. 3-5 приведены некоторые результаты расчетов для связки длиной 5 км с концевыми телами массой 6000 и 25 кг на круговой околоземной орбите высотой 400 км. Начальный угол развертывания ф = 0о, начальная скорость 6 м/с. На рис. 3 изображены графики изменения угла отклонения твердых тел ф в плоскости орбиты. Главные моменты сил, действующие на концевые твердые тела, показаны на рис.4 и 5. Полученные

данные позволяют сделать вывод о характере движения концевых тел при развертывании связки и свидетельствуют об отсутствии закручивания концевых тел относительно центра масс. Созданный численный алгоритм позволяет выполнять параметрический анализ и оптимизацию характеристик тросовой связки и начальных условий развертывания с целью выполнения ограничений на угловое движение концевых тел.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белецкий В. В., Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. -М.: Наука, 1990.-336 с.

2. У с ю к и н В. И. Строительная механика конструкций космической техники: Учебник для студентов втузов. - М.: Машиностроение, 1988. - 392 с.

3. Суслов Г. К. Теоретическая механика: Учебник для университетов. - М.: ОГИЗ гос. изд-во техн.-теор. литературы, 1946. - 667 с.

4. С о л о д о в А. В. Инженерный справочник по космической технике. - М.: Воениздат, 1969. - С. 87-92.

5. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др.; Под общ. ред. К.С. Колесникова. 3-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 736 с.

6. Р а у ш е н б а х Б. В., Т о к а р ь Е. Н. Управление ориентацией космических аппаратов. - М.: Наука, 1974. - С. 137-141.

7. Математическая энциклопедия. Т. 1-5. - М.: Сов. энциклопедия, 19771985.

8. Борисов А. В., М а м а е в И. С. Динамика твердого тела. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - С. 42-44.

9. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. -М.: Наука, 2006. - 512 с.

Статья поступила в редакцию 15.05.2012