CC BY
18
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 530.145
А.Л. Санин, Е.А. Семёнов
КВАНТОВЫЕ ДВУМЕРНЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ С ПОТЕНЦИАЛОМ СВЯЗИ ПАЛЛЕНА - ЭДМОНДСА
A.L. Sanin, E.A. Semyonov
St. Petersburg State Polytechnical University, 29 Politekhnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia
QUANTUM TWO-DIMENSIONAL OSCILLATORS WITH PALLEN - EDMONDS COUPLING POTENTIAL
Проведено численное интегрирование нестационарного двумерного уравнения Шрёдингера. В рамках анализа квантовых волновых пакетов, динамических средних, частотных спектров, произведений неопределенностей и автокорреляторов изучены динамические закономерности в системе двух квантовых осцилляторов с потенциалом связи Паллена — Эдмондса. В режиме слабой связи генерируются многочастотные колебания, число спектральных компонент возрастает с увеличением параметра связи.
СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ, ПОТЕНЦИАЛ ПАЛЛЕНА - ЭДМОНДСА, ЧАСТОТНЫЙ ОТКЛИК, ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА.
The numerical integration of the non-stationary two-dimensional Schrodinger equation was carried out. In the context of quantum wave-packets, dynamical means, frequency spectra, uncertainty relations, autocorrelators there were studied the dynamical properties for two quantum oscillators coupled by the Pallen — Edmonds potential. In the regime of the weak coupling the many-frequency oscillations are generated, the spectral component number is increased at amplification of coupling.
COUPLED OSCILLATORS, PALLEN — EDMONDS POTENTIAL, FREQUENCY RESPONSE, TWO-DIMENSIONAL SCHRODINGER EQUATION.
Квантовые осцилляторы с двумя степенями свободы и связью между ними являются предметом многих исследований. В настоящее время достаточно хорошо изучены квантовые гармонические осцилляторы с потенциалом связи Паллена — Эдмондса [1]. Указанный потенциал представляет собой произведение квадратов координат с постоянным множителем, который характеризует величину взаимодействия осцилляторов и называется параметром связи. В зависимости от величины коэффициента
возможны различные режимы колебаний, которые могут быть обусловлены поведением классического аналога такого осциллятора. В этом случае говорят о квантово-классическом соответствии.
Еще больший интерес для развития теории квантовых информационных процессов представляют исследования связанных ангармонических осцилляторов. Поэтому изучение динамических закономерностей в таких системах является насущной задачей. Простым примером ангармонических
осцилляторов может служить осциллятор с единственным потенциальным слагаемым, пропорциональным четвертой степени координаты. В классическом пределе ему соответствует нелинейный одноямный осциллятор. В этом случае решения для одномерного ангармонического осциллятора описываются эллиптическими функциями, а частота нелинейных колебаний является функцией от энергии системы, а именно — пропорциональна корню четвертой степени от ее величины.
Энергетический спектр квантового одномерного осциллятора с потенциалом четвертой степени обсуждается в ряде работ: например, в статье [2] он является неэквидистантным и характеризуется парами близколежащих уровней с малыми зазорами между ними. Как и для квантового гармонического осциллятора, рассматриваемая система является неограниченной по координате. В этой же статье вводится дополнительное квадратичное слагаемое и обсуждаются изменения в спектре энергий теперь уже двухъямного осциллятора.
Более ранние исследования осцилляторов с двумя степенями свободы и потенциалами четвертой степени, включая потенциал Паллена — Эдмондса, были выполнены в классическом, полуклассическом и квантовом описаниях. Отметим некоторые из работ, в частности [3, 4]. Здесь особое внимание обращается на динамику квантовых систем, классический аналог которых находится в хаотическом состоянии. В последние годы в этом направлении выполнены работы [5 — 8]. В одной из них исследуются два квантовых ангармонических осциллятора с потенциалами четвертой степени, коэффициенты при которой равны трем и единице, а параметр потенциала связи Паллена — Эдмондса варьируется в определенном диапазоне [8]. Для классического аналога данной системы изучен динамический хаос и его возможное влияние на генерацию квантового хаоса в соответствующей квантовой системе. Этой проблеме уделяется достаточно много внимания.
Вместе с тем существует другая, не менее важная, проблема квантовых связанных осцилляторов с широкополосным спек-
тром, классические аналоги которых характеризуются регулярным поведением, то есть без динамического хаоса. Этой проблеме посвящена данная статья. В ней обсуждается влияние параметра связи в потенциале Паллена — Эдмондса на эволюцию частотных спектров, а также показано, что с увеличением параметра связи возрастает число спектральных компонент, происходит смещение спектра в сторону более высоких частот и перераспределение энергии по спектру. Настоящее исследование представляет не только общетеоретический интерес, но и может быть использовано для описания мезоскопических систем и других квантовых объектов. Данная статья продолжает серию наших предыдущих работ [9 — 14] и составляет часть в изучении более сложных и конкретных моделей.
Основные уравнения и допущения
Уравнение Шрёдингера в безразмерной форме имеет вид
. дш I
1
д2 д
-Г + -2
дх ду
2
у + (1)
оно определяет временную эволюцию волновой функции
V = ¥(х, У,
где х, у, t — координаты и время, соответственно.
Уравнение (1) является инвариантным относительно выбора единиц измерения: может быть выбрана боровская длина, но с учетом эффективной массы электрона. Проведенное исследование рассматривается как модель, позволяющая исследовать общие квантовые волновые закономерности, которые могут наблюдаться в разных квантовых системах. Полный потенциал иъ определяется как сумма
иъ= и (х, у) + ис (х, у), (2)
где для слагаемых потенциалов вводятся выражения
и (х, у) = ахх4 + йуу4, (3)
ис (х, у) = ух2 у2.
Коэффициенты ах, ау и параметр у являются варьируемыми. Ниже мы обсудим
задачу для ах = ау; потенциал Паллена — Эдмондса ис будет рассматриваться при малых значениях параметра у. Исследуемая квантовая система находится между стенками бесконечной потенциальной ямы и является пространственно-ограниченной. Координаты стенок ямы ±ха, ± уа, причем ха = уа. Потенциалы и, ис в этих точках конечны. Влияние стенок на колебания зависит от размеров системы ха, уа и энергии квантового волнового пакета в начальный момент времени. Данными параметрами в ходе вычислительных экспериментов можно управлять. В целом мы имеем модель плоской ячейки. Если ис = 0, то динамическая система может рассматриваться как состоящая из двух независимых осцилляторов. Если ис ф 0, то система становится связанной.
Граничные условия на внешних стенках квантовой системы и начальная волновая функция определяются как
У±Ха , ±Уа , t) = 0, у(х, У, t = 0) = ^о(х, У).
Начальное условие задается гауссовым волновым пакетом:
(4)
%(х, У) = С ехр [-ах(х - Хо)2 -ау(У - Уо)2],
(5)
где х0, У0 — средние значения координат пакета в начальный момент времени. Постоянная С определяется из условия нормировки.
Динамические свойства квантовых волновых пакетов изучались при помощи вычислений средних значений координат (х), ^ у), средних скоростей (К), (^У), а также нормальных отклонений (Ах),^Ду), (ДУХ), (. Все эти величины определяются по стандартным формулам квантовой механики. Произведения ех = ДхД¥х, еу = ДуД¥у удовлетворяют соотношениям неопределенностей:
(6)
1 1
е > -, е > -.
ох 2 ®у 2
Знак равенства описывает минимизированное значение произведения неопределенностей. Отклонение от этого значения соответствует росту квантовых флюктуаций.
Временною реализации (х) , (у) будут обсуждаться в рамках Фурье-преобразований. Соответствующие амплитуды Фурье были обозначены как (О), Еу (О), а величина О есть частота. В качестве дополнительного средства в изучении волновопакетной динамики использовался автокоррелятор, вычисленный по формуле
Я =
""а. -»а
| (Ы | (1уу * (х,у, t)Уо (х,у)
•(7)
Численное интегрирование уравнения Шрёдингера (1) было проведено в замкнутой области
Я = {(х, у, t) : - 7 < х < 7, -7 < у < 7, 0 < t < 1500}.
В некоторых вариантах расчета длина временного промежутка Т > 1500, и таким образом минимальная наблюдаемая частота От1п = 2п / Т становилась меньше и увеличивалось разрешение по частотам О в спектре.
Временная эволюция и частотный отклик при малой связи
В отличие от систем, изученных в статьях [3, 5], мы рассматриваем квантовую систему с одинаковыми параметрами а = а = 0,002 и малым параметром связи Iе [0; 0,05].
Начальный гауссов пакет характеризуется параметрами а х = а = 0,5, а величины отклонений х0, у0 удовлетворяют равенству х0 = у0 = 0,5. При этом значения отклонения много меньше полуширины ямы, ко-
Рис. 1. Карты линий равного потенциала Паллена — Эдмонса при разных значениях параметра связи у: 0 (а) и 0,05 (б)
2
а)
1500
Рис. 2. Временны е реализации величины (X при разных значениях параметра связи у: 0 (а) и 0,05 (б)
торая равна 7. Карты изолиний потенциала при разных значениях у даны на рис. 1. При у = 0 линии равного потенциала имеют простой рельеф. Расчеты режимов колебаний проводились при у = 0, 0,001, 0,005 и 0,05. При малом изменении величины у рельеф деформируется слабо, но уже при у = 0,05 отличия от рельефа при у = 0 становятся визуально заметными.
Соответствующие этим картам временные реализации ^х) даны на рис. 2. Аналогичные решения имеют место для зависимости (у) от времени, эволюционные картины (х) и (у) совпадают. Различие во временно й эволюции волнового пакета при у = 0 и 0,05 удобно обсуждать на основании изменений, происходящих с величинами и частотными спектрами.
а)
б)
Рис. 3. Влияние параметра связи на произведение неопределенностей g\ у = 0 (а) и 0,05 (б) х
В связи с тем, что все расчеты при заданных параметрах приводят к одинаковым результатам для обеих степеней свободы: gx = gy , Г{х)(П) = Р{у)(О), на рисунках будут представлены только параметры, характеризующие колебания вдоль оси х.
При у = 0 произведение неопределенностей gx осциллирует относительно gx « 1, при у = 0,001 — относительно gx, которое чуть выше gx « 1. Однако при значении у = 0,005 ситуация уже существенно меняется: значение, вокруг которого осциллирует gx, равно 2. Наконец, при у = 0,05 произведение осциллирует относительно значения gx « 10 (рис. 3). Если ввести фазовый объем, равный gx х gy = и характеризующий меру флуктуаций, то он будет составлять значение около 100. Такую характеристику часто
б)
Рис. 4. Частотные спектры при разных значениях параметра связи у: 0 (а) и 0,05 (б)
Характеристика наиболее интенсивных компонент в частотном спектре при разных значениях параметра связи
У О
0 0,2178 0,2898 0,2912 0,1117
0,001 0,2094 0,1968 0,2010 0,0661
0,005 0,1424 0,2053 0,1777 01555
0,05 0,2681 0,2765 0,1328 0,0350
вводят для анализа динамических процессов. Еще более драматические изменения происходят с частотными спектрами колебаний при увеличении параметра связи у. На рис. 4 представлены частотные спектры для разных значений параметра связи.
С увеличением значения параметра у, даже при его малом изменении, например при у = 0,005, происходят заметные изменения в частотных спектрах. Прежде всего уменьшается амплитуда наиболее интенсивной Фурье-компоненты, и постепенно появляются новые компоненты. С последующим увеличением у число новых компонент быстро возрастает и происходит перераспределение энергии по спектру. В отдельных случаях мы увеличивали время расчетов, с тем, чтобы уменьшить значение и учесть соседние дискретные компоненты ^^ (О) с АО > От1п. Подсчет спектральных компонент при одном и том же временном промежутке Т, но при разных значениях у был выполнен с АО > От;п. Число спектральных компонент, выбранных так, чтобы их амплитуда была выше некоторой пороговой величины, возрастает с увеличением значения у. Представление об изменениях в полученных спектрах можно получить на примере двух наиболее интенсивных компонент (см. таблицу).
Существенным является возрастание числа спектральных компонент на более высоких частотах (при О > 1).
б)
0 500 1000 Г
Рис. 5. Временные зависимости автокоррелятора при разных значениях параметра связи у: 0 (а) и 0,05 (б)
Расчеты автокорреляторов при разных у, которые представлены на рис. 5, также характеризуют многочастотные процессы, соответствующие дискретному спектру.
Для подтверждения синхронности колебаний по обеим координатам была рассчитана зависимость (у) = /((х)),, которая, как оказалось, во всех случаях представляла собой отрезок прямой, лежащей на биссектрисе прямого угла; это свидетельствовало о том, что колебания являются совпадающими.
Итак, в отличие от работ, цитируемых нами выше, где основное внимание уделялось энергетическим спектрам стационарных задач, статистике межуровневых расстояний и их влиянию на возникновение хаоса, мы делаем акцент на изучение частотных спектров динамических задач, которые обусловлены переходами между соседними уровнями. При малом параметре, характеризующем слабую связь, и отсутствии хаоса в классических двойниках, в квантовых системах реализуется многочастотные широкополосные режимы колебаний.
Эти режимы требуют дальнейших исчерпывающих исследований. Настоящую статью следует рассматривать как дополнение к существующим исследованиям, основанную на других подходах и методиках.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Елютин, П.В. Проблемы квантового хаоса [Текст] / П.В. Елютин //Успехи физических наук. - 1988. - Т. 155. - № 3. - C. 398 -437.
2. Novaes, M. Generalized coherent states for the double-well potential [Text] / M. Novaes, M. de Angular, J. Harrison //J. Phys. A. Math. Gen.
- 2003. - Vol. 36. - P. 5773 (14 p).
3. Atkins, K.M. Quantum-classical correspondence and the transition to chaos in coupled quartic oscillators [Text]/ K.M. Atkins, G.S. Ezra // Phys. Rev. E. - 1995. - Vol. 51. -№ 3. - P. 1822 (16 p).
4. Pathak, A. Classical and quantum oscillators of quartic anharmonic second-order solution [Text]/ A. Pathak, S. Mandal // Phys. Lett. A. -2001.
- Vol. 286. - P. 261 (16 p).
5. Chung, N.N. Energy eigenvalues and squeezing properties of general systems of coupled quantum anharmonic oscillators [Text]/ N.N. Chung, L.Y. Chew //Phys. Rev. A. - 2007. - Vol. 76.
- P. 032113 (9 p).
6. Chung, N.N. Two-step approach to the dynamics of coupled anharmonic oscillators [Text]/ N.N. Chung, L.Y. Chew // Phys. Rev. A. -2009.
- Vol. 80. - P. 02103 (10 p).
7. Joshi, C. Quantum entanglement of anharmonic oscillators [Электронный ресурс] / C. Joshi, M. Jonson, E. Anderson, P. Oberg // arXiv:1105.2256v2 [quantum-ph] 13 Mar 2012.
8. Chew, L.Y. Quantum-classical correspondence through entanglement dynamics [Text] / L.Y. Chew, N.N. Chung//Chaotic Modeling and Simulations. -2012. -Vol. 3. - P. 451 (9 p).
9. Санин, А.Л. Динамика квантовых волновых пакетов в системе с потенциальными ямами
и барьером [Текст]/ А.Л. Санин, А.Т. Багманов, А.А. Смирновский // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. — 2006. — № 6(1).
- С. 124-139.
10. Санин, А.Л. Свободные и связанные колебания электрона в двумерной квантовой системе с распределенным потенциалом и лазерным импульсом [Текст] / А.Л. Санин, Е.А. Семенов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2010. - № 3(104). - С. 156-163.
11. Санин, А.Л. Свободные и связанные квантовые осцилляторы Дуффинга, влияние шума [Текст] / А.Л. Санин, Е.А. Семенов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2012.
- № 3 (153). - С. 171-181.
12. Sanin, A.L. Quantum Duffing oscillators [Text]/ A.L. Sanin, E.A. Semyonov // Nonlinear phenomena in complex systems. -2012. - Vol. 15.
- P. 274 (9 p).
13. Санин, А.Л. Квантовые связанные осцилляторы в двумерной системе с полиномиальным потенциалом [Текст] / А.Л. Санин, Е.А. Семёнов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2012. -Т. 17. - C. 8-13.
14. Sanin, A.L. Quantum coupled oscillators in two-dimensional systems [Text]/ A.L. Sanin, E.A. Semyonov // Optical memory and neural networks.
- 2013. - Vol. 22. - Iss. 1. - P. 28 (9 p.).
REFERENCES
1. Eliutin P.V. Problemy kvantovogo khaosa. Physics-Uspekhi, 1988, Vol. 155, № 3, pp. 398-437. (rus)
2. Novaes M., de Angular M., Harrison J. Generalized coherent states for the double-well potential. J. Phys. A. Math. Gen, 2003, Vol. 36, p. 5773 (14 p).
3. Atkins K.M., Ezra G.S. Quantum-classical correspondence and the transition to chaos in coupled quartic oscillators. Phys. Rev. E, 1995, Vol. 51, № 3, p. 1822 (16 p).
4. Pathak A., Mandal S. Classical and quantum oscillators of quartic anharmonic second-order solution. Phys. Lett. A, 2001, Vol. 286, p. 261 (16 p).
5. Chung N.N., Chew L.Y. Energy eigenvalues and squeezing properties of general systems of coupled quantum anharmonic oscillators. Phys. Rev. A, 2007, Vol. 76, p. 032113 (9 p).
6. Chung N.N., Chew L.Y. Two-step approach
to the dynamics of coupled anharmonic oscillators. Phys. Rev. A, 2009, Vol. 80, p. 02103 (10 p).
7. Joshi C., Jonson M., Anderson E., Oberg P. Quantum entanglement of anharmonic oscillators. Available at: arXiv:1105.2256v2 [quantum-ph].
8. Chew L.Y., Chung N.N. Quantum-classical correspondence through entanglement dynamics. Chaotic Modeling and Simulations, 2012, Vol. 3, p. 451 (9 p).
9. Sanin A.L., Bagmanov A.T., Smirnovskii A.A. Dinamika kvantovykh volnovykh paketov v sisteme s potentsial'nymi iamami i bar'erom. St. Petersburg State Polytechnical University Journal, 2006, No. 6(1), pp. 124-139. (rus)
10. Sanin A.L., Semenov E.A. Free and coupled oscillations of electron in 2D quantum system in distributed potential and laser impulse. St. Petersburg State Polytechnical University Journal: Physics and mathematics, 2010, № 3(104), pp. 156-163. (rus)
11. Santa A.L., Semenov E.A. Quantum Duffing oscillators: free and coupled, noise action. St. Petersburg State Polytechnical University Journal: Physics and mathematics, 2012, № 3(153), pp. 171-181. (rus)
12. Sanin A.L., Semenov E.A. Quantum Duffing oscillators. Nonlinear phenomena in complex systems, 2012, Vol. 15, p. 274 (9 p).
13. Santa A.L., Semenov E.A. Kvantovye sviazannye ostsilliatory v dvumernoi sisteme s polinomial'nym potentsialom. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy, 2012, Vol. 17, pp. 8-13. (rus)
14. Santa A.L., Semenov E.A. Quantum coupled oscillators in two-dimensional systems. Optical memory and neural networks, 2013, Vol. 22, Iss. 1, p. 28 (9 p.).
САНИН Андрей Леонардович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]
СЕМЁНОВ Евгений Александрович — аспирант кафедры теоретической физики Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]
© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013
