CC BY
18
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 148, кн. 1
Физико-математические пауки
2006
УДК 535.2
КВАНТОВОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РАДИАЦИОННО-СБАЛАНСИРОВАННОГО ЛАЗЕРА
C.B. Петрушкии,
Аннотация
Представлено кваптово-мехапическое описание квазидвухуровпевого твердотельного лазера, которое может быть использовано для исследования влияние фопопов решетки па динамические характеристики лазера, функционирующего в режиме радиационного баланса.
Введение
Разработка мощных и сверхмощных твердотельных лазеров является в настоящее время важной проблемой лазерной физики. Известно, что обычный твердотельный лазер работает с выделением тепла. Чтобы избавиться от нагрева, создаются специальные внешние устройства охлаждения, дополняющие конструкцию лазера. В лазерах большой мощности такие внешние устройства могут оказаться малоэффективными, так как при охлаждении горячего рабочего вещества лазера извне возникают градиенты температуры и усиление внутренних напряжений в среде. Это. в свою очередь, приводит если не к разрушению рабочего стержня, то к ухудшению характеристик лазерного излучения и к падению мощности генерации.
В качестве способа компенсации выделяемого в твердотельных лазерах тепла недавно было предложено использовать механизм антистоксового охлаждения [1. 2]. В большинстве случаев мощность поглощения превышает мощность излучения. и их разница идет на увеличение внутренней энергии среды, приводящее к нагреву. Однако удивительным свойством ряда материалов является спонтанное излучение на большей частоте, чем частота поглощенного света. Это явление при соблюдении определенных условий может приводить к охлаждению среды, когда указанная разница в энергиях компенсируется за счет уменьшения внутренней энергии самого вещества. Лазерные системы, совмещающие в себе процесс генерации когерентного излучения и процесс антистоксового охлаждения, компенсирующий нагрев активной среды, были названы радиационно-сбалансированными лазерами [1] или самоохлаждающимися твердотельными лазерами [3].
Применять антистоксов механизм охлаждения было предложено двумя путями: использовать одни и те же примесные ноны как для усиления излучения, так и для охлаждения лазерной среды [1] или легировать активную среду лазера дополнительно примесыо-хладагентом (так называемый двухпрнмесный лазер [2. 3]).
Нами уже была разработана квантовая теория двухпримесного лазера [4]. а в данной работе предложена квантовая теория радиационно-сбалансированного лазера. Из первых принципов квантовой статистической физики получаем систему дифференциальных уравнений Гейзенберга. описывающих динамику квазидвухуровневого твердотельного лазера с учетом теплообмена активной среды лазеры с кристаллической решеткой. В условиях, когда плотность интенсивности поглощения уравновешена плотностью интенсивности индуцированного и спонтанного
Я
" q
кТ
Л
i =2 п2
Ф
i =1 n¡
Рис. 1. Квачидвухуровыевая модель активной среды радиационно-сбалансированного лазера. И накачка, Л лазерная генерация, Ф фотолюминесценция
излучения и, одновременно, когда плотности мощности поглощения и излучения равны друг другу (в стационарном режиме), данная система уравнений описывает радиационно-сбалансированный режим работы лазера: генерация происходит без выделения тепла. Чтобы эту систему уравнений проинтегрировать чыслсшю, мы, произведя исключение переменных термостата и фононных переменных, проводил! осреднение редуцированной системы уравнений по начальному состоянию. Полученные таким образом уравнения уже являются уравнениями Лапжевепа. Далее, мы их усредняем по состояниям фотонного «теплового» резервуара, и в результате получаем балансовые уравнения па населенности „лазерных состояний и уравнения, описывающие тепловые колебания решетки. Выведенную таким образом систему уравнений мы предлагаем использовать для численного моделирования работы лазера на примере лазера 1.04 мкм УЬ:КС\¥ с диодной накачкой.
1. Модель усиливающей среды
Кристаллическое ноле матриц, в которые внедряются редкоземельные ионы, благодаря эффекту Штарка расщепляет энергетические уровни этих попов. Из всех редкоземельных ионов трехвалентный иттербий (переход 2F5/2 F7/2) может быть удовлетворительно описан квазидвухуровневым осциллятором, у которого основное и возбужденное состояния расщеплены на четыре и три подуровня соответственно. Безизлучательные переходы, связанные с конверсией вверх или с мпогофопоппым распадом, для такой системы не имеют существенного значения. Данный нон был успешно использован как для целей лазерного охлаждения [5], так и для лазерной генерации на длине волны 1.03 мкм [6, 7]. С точки зрения перспективы использования иттербия в качестве активной среды для радиационно-сбалансированного лазера необходимо решить задачу выбора матрицы, в которой как сечение излучения, так и число подуровней основного и возбужденного состояний были бы достаточно большими. Рассмотрим .лазерную среду, которая хорошо описывается идеальной квазидвухуровневой моделью (caí. рис. 1). Обратил! внимание на то обстоятельство, что изменение энергии в рассматриваемых процессах имеет порядок величины, соответствующий комнатной температуре в энергетических единицах. Переходы между верхними и нижними электронными уровнями будем считать чисто оптическими. Это, в первую очередь, необходимо для осуществления эффективного антистоксового охлаждения н, впоследствии, для обеспечения радиационного баланса. Пусть переходы между подуровнями основного н возбужденного состояний являются неоптнческнми, а энергетический порядок суммарного расщепления соответствует комнатной температуре в энергетических единицах и равен kT, где k - постоянная Больцмана, a T - температура окружения. Электрон, поглощая фотон, совершает переход между двумя уровнями
примесного иона. При этом, положения равновесия ядер, окружающих примесной центр, различны в зависимости от того, находится ли примесной ион (или атом) в основном или возбужденном электронном состоянии. Очевидно, это связано со взаимодействием электрона с его окружением. Таким образом, поглощение света примесным центром сопровождается «отдачей смещений», с которой связана потенциальная энергия отдачи. Последняя является функцией смещения примесного иона (или атома) относительно его соседей в кристаллической решетке. Эта энергия может отбираться от основного кристалла путем поглощения одного или более квантов колебательной энергии. Таким образом, атом или примесной ион может обмениваться энергией с кристаллической матрицей посредством оптических фопопов. Поскольку расстояние между подуровнями гораздо меньше кТ, то время обмена энергией составляет пикосекунды. Если в лазерном материале радиационное время жизни возбужденного состояния имеет порядок миллисекунд, то атомы или попы, находящиеся в основном и возбужденном состояниях, будут успевать приходить в квазитермодинамическое равновесие и заселять подуровни в соответствии со статистикой Больцмана. Именно это обстоятельство приводит к изменению средней частоты флуоресценции и делает возможным обеспечить радиационный баланс. Взяв за основу данную модель, поставим ей в соответствие гамильтониан в представлении вторичного квантования. Далее, составим кинетические уравнения относительно числа фотонов и населенности уровней, включая квантовые флуктуационные силы. В отличие от существующих подходов [8]. в данной теории также будем рассматривать число заполнения фононной моды в качестве динамической переменной, временная эволюция которой связана с динамикой изменения числа заполнения фотонной моды. Это открывает возможности для исследования влияния фононной динамики на когерентное вынужденное усиление и позволит нам выяснить, как сильно эта динамика связана с устойчивостью лазерной генерации.
В принятой нами модели каждый лазерный уровень представляет собой электронно-колебательное состояние. Каждое из этих двух состояний описывается номером уровня г, числом атомов или тонов на данном уровне « и набором чисел заполнения возбужденных колебательных подуровней « всевозможных мод д. Удобным оказывается логически отделить те колебательные моды, которые задействованы при переходах между электронными уровнями (индекс г), и те, которые
д
дем считать одинаковыми как для основного, так и для возбужденного состояния. Колебательные моды описываются так называемыми смещенными операторами рождения и уничтожения фононов решетки А+ и А^, = Ач — А^0), где индекс «(0)» отвечает состоянию равновесия, а лазерные уровни |г) = 1г,щ,пд) описываются операторами рождения и уничтожепня Ь^ электронов, принадлежащих примесному иону или атому с номером ^ и находящемуся в состоянии |г). Итак, появление атома или примесного нона в возбужденном или основном состоянии с определенными квантовыми числами задается в виде вектора, равного произведению вакуумных векторов гильбертового пространства, описывающих фермиониое (электроны, ф0е ) и бозонное (фононы, смещенное основное состояние ф0 ) поля, па которые действуют операторы рождения и уничтожения квантов этих полей
В принятых нами обозначениях лазерные уровни, изображенные на рис. 1. представляются в следующем виде
1 ni
"Ь Р) = ^f П 6fc/l (^l)^ ФоеФы
f =1
ДЛЯ основного состояния и
1 П2
|2> «2, в) = П Ъ~1!2 (А+2)8 фое'фо2 • f=1
для возбужденного состояния. Отметим, что ф0г представляет собой основное состояние смещенного осциллятора и является когерентным состоянием:
Фог = ехр ( --
1 А<?>2
exp Фо,
где Ф0 - основное состояние несмещенного гармонического осциллятора или вакуумное колебательное состояние. Пусть каждый активный атом или примесной ион в кристалле имеет координату гМ и нумеруется индексом Динамику системы в картине Гейзснберга мы будем описывать проекционными операторами на лазерные состояния |г) и |]), где г, ] пробегают значения 1 и 2:
ЪЫЯ Ь]П'Ч (г) = Ф - г^Ь%пч ЬМЗп'ч , (1)
М
где проекционный оператор на электронно-колебательное состояние одиночного атома нлн примесного нона имеет вид
Ъ%пЪпп> = Ь%Ьп\пч(г))(п'чи)\ = -±=Ъ+Ъп (А+)"« \ф0,)(Фо3\(а+У9 . (2)
Например, число ионов, находящихся в состоянии |г), равно среднему значению от оператора (1) в этом состоянии:
(b+n,b3n> (z))
= 5(z - z^(i,ni,nq lb+inq bMin,\i,ni,nq) =
= E S(z -
zu.l nni ni •
Мы имеем дело с тремя типами квантовых электромагнитных полей: монохроматическая накачка, лазерное поле стоячей волны и фотонный резервуар спонтанно излученных квантов света, находящихся в термодинамическом равновесии. Последние позволяют в развиваемой здесь теории самосогласованным образом учесть эффекты, вызванные квантовыми шумами. Пусть операторы рождения и уничтожения фотонов а+ и а описывают электромагнитное поле. Поле накачки представляет собой одномодовую волну с частотой w0 и направлением поляризации e,
z
Ер = ie^J {а0 ехр [i(uj0t - A'n-s)] + a J exp [-i(uj0t - A'o-s)]} , где операторы а++ и а0 считаются не зависящими от времени.
Лазерное поле (в нашей модели это поле стоячей волны) представляется набором пространственных мод А, удовлетворяющих цикличному граничному условию на торцах резонатора длины Ь:
Ер = ie Е у ^ту (°а ~ sin K*z> sin KXL = 0.
Пусть активная среда является изотропной. Тогда единичный вектор поляризации можно положить равным А для всех длин волн. Частоты шд отстроены от центральной лазерной частоты ш на величину, кратную собственным частотам резонатора (шд - целое число):
7ГС
(jj\=(jj - m А — •
Фотонный резервуар описывается матрицей плотности pbath, так что матрица плотности общего электромагнитного поля pF выражается через произведение матрицы плотности лазерного поля piaser и поля спонтанных фотонов:
a |{па})({па}| <8>
<g> е p{n в}{пв}(0) |{ne})({ne}| •
{ne}
где Z - статистическая сумма термостата, {nç} - числа заполнения фотонов.
Теперь можем перейти к гамильтониану полной системы. В общем виде в представлении вторичного квантования его можно записать следующим образом:
H = Ha + Hf + Hbath + HaF + HA-bath, (3)
где гамильтониан единичного объема активной среды лазера Ha равен сумме электронного гамильтониана, фононного гамильтониана и гамильтониана электрон-фо-нонного взаимодействия
Ha = He + Hph + He-ph, (4)
в котором
П1+П2 2
He = Е EEib+V, ^=1 i=1
PF = Pbath <*> Plaser = — E вХР {na}
--Пщ TlU!
кТ^
+ Е [/(3)(х,с'У)А+Ад'Аг' + к.с.' .
Последнее слагаемое является нелинейным и описывает фоиои-фоиоииое взаимодействие между модами х = С и X = г и всеми другими модами с/, г',... кристаллической решетки. Собственные частоты колебаний решетки и константы энгармонизма определяются силовыми константами /(3). Явный вид последнего
слагаемого из выражения (4). отвечающего за элоктрон-фононноо взаимодействие, можно записать следующим образом
e-ph = Е f(3)(^'У)<М,О6+1ЬМ2А+ A+ +
s,q' ,r
+f (3)(q,q',r')Aqq0o)Js,ob+bviAq, Ar
что подразумевает релаксацию из возбужденных электронно-колебательных состояний верхнего уровня на самый нижний подуровень основного состояния. Здесь коэффициенты ](3) - это обобщенные силовые константы кристалла, а |^я,о|2 -фактор Франка Кондона. Вообще говоря, поскольку основное состояние также имеет колебательные подуровни, то элоктрон-фононноо взаимодействие принимает более сложный вид, и константа взаимодействия в этом случае явно зависит, в частности, от массы М примесного иона. Мы не будем здесь выписывать полный гамильтониан элоктрон-фононного взаимодействия, а лишь укажем на то, что в этом случае перед операторами рождения и уничтожения электронных и фонон-ных возбуждений будем получать выражения вида
hk
Jmq,nq{k\He-ph{ri . ..rk)\í).
У МкП1 ...Пк
Этот результат будет использован при выводе уравнений движения Гейзонборга (5) и (7).
Следующее слагаемое в (3) описывает как лазерное поле (моды А), так и поле накачки (индекс «О»):
Ир ^ ^ Нш\а+а\ + Н^оа+ао. х
Гамильтониан фотонного резервуара имеет вид
а
а взаимодействие с ним материальной среды описывается так:
ИЛ-ЪаЬЪ = ^ ^ Ь«У Ба - У"д' }щ Ь+4д Ь^д' Ба}
м>а г,з,д,д'
V£q,jnq, = ~WijeaJnq,nq, у K<*z>
где Vj — вектор дппольного момента перехода между электронными состояниями i и j. И, наконец, гамильтониан взаимодействия системы атомов (или примесных иоиов) с электромагнитным лазерным полем запишем в виде
HAF = Y^ [V2Xs,lpb+2sbV.lpaX - VlP,2sb+lpbM2s«+] •
2. Квантовомеханические уравнения Ланжевена
Как уже говорилось выше, динамику модельной лазерной системы будем описывать проекционными операторами (1), которые зависят от времени параметри-
чески:
b+ b,
(z) = b+ bjn/ (z, t). С помощью гамильтониана (3) и имея в виду
у
явный вид операторов (2). можно получить следующие уравнения Гсйзенберга для проекционных операторов
I Клч} = Ъ {Е>пч -Езп<)
+ Е ,тд Ьктч Ъ3п'я ~ ,ктя Кп„ Ъкт ч ) («А " «А ) +
+ 1 Е Е \ и (Д.. О, [^,пМНе-Мг1...П)ттЬ^д -
- Jn' q,mq (.]\Не-рк{г1 . ..Г к )\к)Ъ+Пч
кк
+ ^ Е {Уктч,тч^кт^>3п'ч ~ {Ва — ) , (5)
а,к,тя
а для уравнения движения электромагнитного лазерного поля получаем
= -г^Аол - КАЯ'А + ^ Е (6)
в,р
Потери в резонаторе мы учли во втором члене правой части уравнения (6) введением скорости затухания к\. Далее, эволюция фотонного резервуара описывается уравнением
^Ва = -ШаВа + ^ ^ У^п'яЪ1гяЪ0п'я-
Для того чтобы система оказалась замкнутой, нам остается выписать уравнение, описывающее временную эволюцию оператора уничтожения фононов тех колебательных мод. которые участвуют при переходах между электронными состояния-
~ - % -у* -у» _1_ ^ Т -у»
^ г ' ' ' '
Е Е пЛ м^ оЛ^'М Не-Мт-.-Г^Х
Н ^ ^ 'у М кП1... пк "я'"я
X Ъ+яЪ^„я (А + Г- П (А+ Г" + Фг(Ь), (7) к
где скорость затухания Гг и случайная с ила Фг (Ь) обязаны фонон-фононному взаимодействию и определены следующими выражениями:
г' ,г''
(Фг(Ь)Ф;(Ь')) = ПгГг(\Аг(0)\2) ^.
В формуле (7) пг обозначает число фопопов мод г, которые появились при данном многофононном процессе. Заметим, что чем меньше это число, тем выше будет квантовый выход фотолюминесценции, и тем более благоприятными окажутся условия для реализации радиационно-балансированного режима лазерной генерации.
Заключение
Из первых принципов квантовой статистической физики мы получили систему дифференциальных уравнений Гейзенберга. описывающих динамику квазидвухуровневого твердотельного лазера с учетом теплообмена активной среды лазера с кристаллической решеткой лазерного стержня. В условиях, когда плотность интенсивности поглощения (см-3с-1) уравновешена плотностью интенсивности индуцированного и спонтанного излучения и, одновременно, когда плотности мощ-
3
жиме). данная система уравнений описывает радиационно-сбалансированный режим работы лазера: генерация происходит без выделения тепла. Полученную систему уравнений необходимо проинтегрировать численно. Для этого, произведя стандартные процедуры исключения переменных термостата и фононных переменных [8]. можно провести усреднение редуцированной системы уравнений по начальному состоянию. Если полученные уравнения далее усреднить по состояниям фотонного «теплового» резервуара, то в результате этой процедуры должны получиться обычные балансовые уравнения на населенности лазерных состояний и уравнения, описывающие тепловые колебания решетки. Чтобы в уравнениях избавиться от пространственной координаты, необходимо провести интегрирование по переменной z. Полученную таким образом систему уравнений уже можно будет использовать для численного моделирования работы лазера, подставляя значения параметров, отвечающих характеристикам конкретных лазерных сред, например, лазера 1.04 мкм Yb:KGW с диодной накачкой. Проведя анализ численных решений, можно получить значения параметров задачи, отвечающих оптимальным режимам функционирования радиационно-сбалансированиого лазера. На этой основе данное исследование позволит дать рекомендации по выбору среды, рабочих частот и подходящих интенснвностей для реализации радиационно-сбалансированиого лазера, функционирующего без избытка тепла. Разработка указанных проблем будет являться предметом наших дальнейших работ.
Работа поддержана грантами РФФИ (^ 04-02-16932-а, 04-02-81009-Бол2004-а), «Фондом содействия отечественной науке» и грантом CRDF (Программа BRHE. REC-007).
Summary
S. V. Petrushkin. Quantum-stoliastic equation for radiation-balanced laser.
A quantum-meclianical description of quasi-two-level solid-state laser is presented. The impurity ion levels are coupled both by the plionons of the host lattice and by the radiation field. The set. of dynamic Heisenberg Langevin equations for the material system and the plionon operators has been derived. These equations include radiative and nonradiative damping terms and quantum-stoliastic forces. This description could be used for investigation of the influence of plionon dynamics on a radiation-balanced laser stability.
Литература
1. Bowman S.R. Lasers without internal heat generation // IEEE J. Quantum Electronics. 1999. V. QE-35. P. 115 122.
2. Andrianov S.N., Samartsev V.V. Solid-state lasers with internal laser refrigeration effect. // Proc. SPIE. 2001. V. 4605. P. 208 213.
3. Petrushkin S.V., Shakhmuratuv R.N., Samartsev V.V. Self-cooling of the active element, of a solid-state laser // Laser Physics. 2002. V. 12. P. 1387 1390.
4. Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Laser cooling of active media in solid-state lasers // Laser Physics. 2003. V. 13. P. 1290 1296.
5. Epstein R.I., Buchwald M.I., Edwards B.C. et al. Observation of laser-induced ttourescent. cooling of a solid // Nature. 1995. V. 377. P. 500 506.
6. Payne S.A., Beach R.J., Bibeau C. et al. Diode arrays, crystals, and thermal management for solid-state lasers//IEEE J. Select Topics Quantum Electron. 1997. V. 3. P. 71 81.
7. Brusselbach H.W., Sumida D.S., Reader R.A., Byren R.W. Low-heat, high-power scaling using InGaAs-diode-pumped Yb:YAG lasers // IEEE J. Select Topics Quantum Electron. 1997. V. 3. P. 105 116.
8. Петрушкии С.В., Самарцеа В.В. Лазерное охлаждение твердых тел. М.: Физмат-лит, 2005. 225 с.
Поступила в редакцию 30.01.06
Петрушкин Сергей Валериевич кандидат физико-математических паук, научный сотрудник лаборатории нелинейной оптики Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КНЦ РАН. Е-шаП: petrushkinesamartsev.com
