CC BY
95
УДК 530.1
Тарасов В.Е.
Старший научный сотрудник, к. ф.-м. н.
Научно-исследовательского института ядерной физики им. Д.В. Скобельцина, Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
КВАНТОВОЕ САМОКЛОНИРОВАНИЕ
Аннотация
Согласно одной из базовых теорем квантовой механики, теореме о запрете клонирования, неизвестное квантовое состояние нельзя идеально клонировать. Однако эта теорема не накладывает никаких ограничений на возможность квантового самоклонирования, или, в терминах Вигнера, самовоспроизведения. Квантовое самоклонирование - это процесс копирования состояния квантовой системы, реализуемый самой системой, а не некоторым внешним устройством. В данной статье рассматривается принципиальная возможность существования идеального квантового самоклонирования и предлагается явный вид квантовых операций самоклонирования.
Ключевые слова: самоклонирование, самовоспроизводящаяся система, квантовое клонирование.
Keywords: self-cloning, self-reproducing system, quantum cloning.
Невозможность идеального клонирования (копирования) неизвестных квантовых состояний является одним из основных законов современной квантовой механики [9]. Теорема о запрете клонирования (No-cloning theorem), доказанная в 1982 году Вуттерсом и Зуреком [14], утверждает, что квантовое состояние не может быть идеально клонировано, если это состояние неизвестно. В статье [14] было показано, что не существует квантового устройства, которое может копировать произвольные неизвестные чистые квантовые состояний. Данный результат был обобщен на смешанные квантовые состояния, описываемые статистическим оператором (матрицей плотности), в работе [4]. Было показано, что если частица в произвольном смешанном состоянии была послана в устройство, из которого вылетели две частицы, то не могут существовать две редуцированные матрицы плотности двухчастичного состояния, идентичные матрице плотности исходного (входного) состояния. Поскольку в теореме говорится о невозможности идеального клонирования, то возникает вопрос о существовании приближенного (неидеального) клонирования квантовых состояний. Ответ на данный вопрос был получен в работе [5], где исследовалась возможность "аппроксимационного" клонирования квантовых состояний. В [5] было предложено "универсальное" квантовое клонирующее устройство, структура которого не зависит от входных состояний (input-state independent) и реализующее приближенное клонирование. В работе [8] было предложено вероятностное клонирование. Было доказано, что применение двух квантовых операций "унитарная эволюция" и "измерение" позволяет клонировать конечное множество линейно независимых квантовых состояний с определенными ненулевыми вероятностями. При этом в работах по квантовому клонированию процессы самоклонирования квантовых состояний не рассматривались. Самоклонированием (самовоспроизведением) называется процесс, посредством которого система может сделать копию самой себя или своего состояний. Теория самовоспроизводящихся классических систем (автоматов) была
предложена Дж. Фон Нейманом [3]. Описания самовоспроизведения молекулярных систем имеет огромное значение для химической теории происхождения жизни. Открытие [6; 13] полимеразой активности самосоединяющей рибосомной РНК говорит о том, что жизнь могла начаться с самовоспроизведящихся последовательностей РНК, названных репликазами. Гипотеза существования молекул типа РНК-репликаз, в которых объединены "информация" и "функции" самовоспроизведения, позволяет решить многие сложные проблемы описания самовоспроизводства молекулярных систем. Е. Вигнер был видимо первым, кто рассмотрел [1] проблемы существования самовоспроизводящихся молекулярных систем в рамках квантовой теории. В данной работе предлагается явный вид квантовой операции самоклонирования и тем самым доказывается утверждение о допустимости квантового самоклонирования, в противовес теореме о запрете квантового клонирования.
В общем случае квантовые состояния описываются статистическим оператором (оператором матрица плотности) р , который является самосопряженным р * = р , неотрицательным р i 0 оператором с единичным следом Тг[р ] = 1. Квантовое состояние является чистым, если р 2 = р , в противном случае его называют смешанным. Оператор матрица плотности р на гильбертовом пространстве Н может рассматриваться как элемент операторного гильбертова пространства L = Н Д Н, называемого пространством Лиувилля (см., например работы [10;11] и ссылки в них). Мы будем обозначать элемент А из пространства Лиувилля как кет-вектор | А) . Внутреннее (скалярное) произведение двух элементов | А) и | В) из L определяется через след (А | В) = Тг[АТВ].
Наиболее общий вид изменений квантовых состояний называется квантовыми операциями Е (см., например работы [10;11] и ссылки в них). Если | р) является статистическим оператором, то Е | р ) тоже должен быть статистическим оператором. В силу этого, квантовая операция является действительным положительным (или вполне положительным) отображением Е, которое сохраняет след и отображает пространство Лиувилля L в себя. Если dim(L) = N, то квантовые операции на пространстве L могут описываться №№матрицами [11]. Например, для п-кубитной системы N = 4п.
Квантовое самоклонирование описывается как пара {Е; р }, где квантовая операция Е ("функция") преобразует входное неизвестное состояние | р У) ("данные") согласно некоторой заданной программе | р) ("информации") так, чтобы получить тензорное произведение двух одинаковых состояний | р ) :
Я|р)Д |рУ) = |р)Д |р). 0)
В общем случае квантовое состояние |р) системы может быть как чистым, так смешанным. Квантовая система является гамильтоновой, если квантовая операция Е может быть представлена в виде Е р = и тр и, где и и = иит = I для любых состояний р системы, в противном случае система является негамильтоновой [10]. Квантовое самоклонирование определяется состоянием | р ) системы и квантовой операцией (1), где | р У) - неизвестное состояние, а | р ) - "собственное" состояние системы, которое является заданным для данной системы. Однако мы в лаборатории, как внешние наблюдатели, не знаем это квантовое состояние. Поэтому состояние | р) не может быть нами клонировано с помощью внешнего, по отношению к системе, устройства. Идеальное копирующее
устройство не может быть построено для копирования неизвестных нам квантовых состояний системы, что вытекает из теоремы о запрете клонирования неизвестных состояний. Однако эта теорема не накладывает ограничений на процессы самокопирование системой своих собственных квантовых состояний. Квантовое самоклонирования - это процесс создания копии состояния квантовой системы, реализуемый самой системой без использования какого-либо внешнего копирующего устройства. Для идеального копирования какого-либо состояния системы нашими устройствами это состояние должно быть нам известно.
Выпишем явный вид квантовой операции самоклонирования для конечномерного пространства Лиувилля L, то есть для dim(L) = N < I* . Квантовая операция самоклонирования Е определяется формулой
Е = IД Я, (2)
где I - тождественная квантовая операция 11 р) = | р ), а Я - квантовая операция "записывания" Я = N-1/2 | р )(0т |. Здесь | 0т) - максимально смешанное состояние, которое представимо в виде 10т) = 11)N1/2, где I - единичный оператор на Н. Используя (I | р ) = Гг[р ] = 1, для операции Я получаем
Я|р у) = |р )(1|р у) = |р).
В результате (2) задает самоклонирование для квантовой системы, которая изготовляет копии своих собственных состояний.
Рассмотрим квантовое самоклонирование зависящее от времени. Для этого предположим, что система должна создавать копии своих собственных состояний за конечный интервал времени равный г . Этот тип квантового самоклонирования определяется состоянием р (О системы в момент времени t0 > 0 и зависящей от времени
квантовой операцией Е(1,t0), задаваемой формулой
Е(и О | р (Ш | р У(О) = | р (^ + г ))Д | р (to)), (3)
где | р (t0)) - неизвестное квантовое состояние, а г = t - t0 - время клонирования. Здесь t0 -момент времени начала клонирования, а t - момент времени окончания квантового клонирования. Исходное состояние р (t0) системы изменяется во время процесса копирования. Процесс квантового самоклонирования вида (3) реализуется с помощью квантовой операции
ЁЦ, О = О Д Я^, О. (4)
Здесь t0) - квантовая операция, которая описывает изменение квантового состояния квантовой системы и определяется формулой
^, (to)) = |р ^)),
а Я - квантовая операция "записывания" вида
О = N - 1/2 |р (0)(0 т |, и действует на квантовое состояние как
RR(t, to)| р У(О) = | р (to)).
Состояние Р (t0) в правой стороне выражения (3) может интерпретироваться как следующее "молодое поколение" квантового состояния Р (t0) .
Квантовое самоклонирование может быть использовано для размножения заданных квантовых состояний, для создания сложных структур из квантовых состояний, и для копирования квантовых состояний с одних носителей на другие. Квантовые нанотехнологии позволят создать квантовые репликаторы и ассемблеры [12], которые будут сами клонировать свои собственные состояния. Квантовые репликаторы и ассемблеры можно рассматривать как аналоги классических репликаторов и ассемблеров, описанных в [7;2]. Квантовое самоклонирование позволит, например, создавать сверхпроводящие состояния в молекулярные нанопроводах, состояния сверхтекучести для движения наномашин, или состояния сверхизлучения для наноантен.
Литература
1. Е. Вигнер - Вероятность существования самовоспроизводящейся системы // в книге Е. Вигнер, "Этюды о симметрии" М.: Мир, 1971. С. 160-169.
2. Дрекслер Э.К. Машины созидания: грядущая эра нанотехнологии // [Электронный ресурс] - Режим доступа:www.scorcher.ru/art/long_life/nano.htm
3. Дж. фон Нейман - Теория самовоспроизводящихся автоматов - Пер. с англ. М.: Мир, 1971. 326 C.
4. H. Barnum, C.M. Caves, C.A. Fuchs, R. Jozsa, B. Schumacher - Noncommuting mixed states cannot be broadcast // Physical Review Letters - 1996 - Vol. 76 - P. 2818-2821.
5. V. Buzek, M. Hillery - Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem // Physical Review A - 1996 - Vol. 54 - P. 1844-1852.
6. T.R. Cech - A model for the RNA-catalyzed replication of RNA // Proceedings National Academy of Sciences USA - 1986 - Vol. 83 - P. 4360-4363.
7. K.E. Drexler - Molecular nanomachines: physical principles and implementation strategies // Annual Review of Biophysics and Biomolecular Structure - 1994 - Vol. 23 - P. 377-405.
8. L.M. Duan, G.C. Guo - A probabilistic cloning machine for replicating two non-orthogonal states // Physics Letters A - 1998 - Vol. 243 - P. 261-264.
9. V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin - Quantum cloning // Reviews of Modern Physics - 2005 -Vol. 77 - P. 1225-1256.
10. V.E. Tarasov - Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems // Elsevier, Amsterdam, Oxford, 2008. 540 P.
11. V.E. Tarasov - Quantum computer with mixed states and four-valued logic // Journal of Physics A - 2002 - Vol. 35 - P. 5207-5235.
12. V.E. Tarasov - Quantum Nanotechnology // International Journal of Nanoscience - 2009 -Vol. 8 - P. 337-344.
13. J.D. Watson, N.H. Hopkins, J.W. Roberts, J.A. Steitz, A.M. Weiner - Molecular Biology of the Gene // 3th Ed. Vol. II. (Benjamin, 1987) P. 1103-1124.
14. W.K. Wootters, W.H. Zurek - A single quantum cannot be cloned // Nature - 1982 - Vol. 299 - P. 802-803.
