CC BY
5
https://doi.Org/10.15350/17270529.2023.3.32
УДК 546.18+544.182+539.183
1.3.17 - Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества (технические, физико-математические, химические науки)
Квантово-химическое моделирование эндоэдральных комплексов фуллеренов с неметаллами
В. И. Терещенко, Н. В. Семакина
Ижевский государственный технический университет имени М.Т.Калашникова, Россия, 426069, Ижевск, ул. Студенческая, 7
Аннотация. Полуэмпирическим методом квантовой химии смоделирована структура и произведен расчет физико-химических свойств четырех молекул: изомеров фуллерена С50 симметрии D5h и D3 и эндофуллеренов P@C50 данных соединений. Представлены принципы организации данных систем, проведен анализ трансформации фуллеренов в эндоэдральную форму. Для каждой из систем отражена особенность взаимодействия инкапсулированного атома фосфора с атомами углеродной системы. Исследованы вариации электронных конфигураций валентного уровня фосфора в эндофуллеренах P@C50(D3), P@C50(D5h). Моделирование эндокомплексов показало отсутствие образования химической связи между атомом фосфора и углеродной молекулой для каждого из соединений. Стационарное состояние фосфора в эндофуллеренах позволяет рассматривать спины неспаренных электронов атома как передатчики двоичной информации в квантовых компьютерах.
Ключевые слова: квантово-химические расчеты, эндофуллерены, фосфор, квантовый компьютер, HyperChem.
И Вероника Терещенко, e-mail: verteresh@gmail. com
Quantum-Chemical Modelling of Fullerene Endohedral Complexes with Non-Metals
Veronika I. Tereshchenko, Nadezhda V. Semakina
Kalashnikov Izhevsk State Technical University (7, Studencheskaya St., Izhevsk, 426069, Russian Federation)
Summary. The next stage in the development of electronic computing is the creation of the quantum computer, a device that will revolutionise data handling. A special feature of such computers is the speed of information processing and transfer achieved by the use of quantum scale effects. A quantum computer is being developed by leading companies and leading groups of researchers; however, at present, there is no consensus about the architecture and principles of functioning of such computing devices. In this connection, many phenomena of quantum mechanics are being realized to achieve a qualitatively new level of information processing. An element of new generation computers, responsible for data storage and processing, can be a system limited to two quantum states. The purpose of this work is to investigate the electronic configuration of the valence energy level of the phosphorus atom encapsulated in a volume of fullerene С50 of D3 and D5h symmetries to establish the possibility of using orientations of unpaired electrons (their spins) as identifiers of information units. The calculations of the physico-chemical properties and structure of the above fullerenes and endofullerenes with a phosphorus atom formed from the original molecules were performed using the quantum-chemical PM3 method. The results demonstrate the lack of bonding between the carbon atoms and the phosphorus atom located in the inner space of each of the endofullerenes. In the endocomplex P@C50(D5h) the phosphorus atom accepts an electron decreasing the number of unpaired valence electrons to two. In the molecule P(@C50(D3), for phosphorus the most probable electron configuration of the outer energy level is either the transition to excited state or the formation of an electron pair and the retention of other two unpaired electrons. The molecular structure calculation results suggest the relative stability of the endofullerenes P@C50 (D5h and D3 symmetries) and the possibility of using the unpaired phosphorus electrons in these compounds for information processing in quantum computers.
Keywords: quantum chemical calculations, endofullerenes, phosphorus, quantum computer, HyperChem.
И Veronika Tereshchenko, e-mail: verteresh@gmail.com
ВВЕДЕНИЕ
Системы в размере нескольких нанометров обладают рядом преимуществ, с помощью которых могут быть решены задачи, ранее считавшиеся невыполнимыми. Так, создание вычислительного аппарата нового поколения невозможно представить без использования элементов, реализующих квантовые свойства.
Исследования авторов [1, 2] показывают, что новым этапом развития вычислительной техники могут стать квантовые компьютеры. Реализация существующих прототипов данных устройств часто основана на сверхпроводящих элементах. В качестве перспективных сверхпроводников рассматриваются углеродные наноразмерные системы. Это обусловлено тем, что атомы углерода способны образовывать замкнутые соединения, внутри которых могут размещаться отдельные атомы или молекулы. В некоторых случаях инкапсулированные в объем углеродной структуры атомы способны сохранять свою структуру. Именно это свойство может выступать причиной рассмотрения данных соединений на роль структурных элементов квантового компьютера - кубитов. Инертность внедренных атомов обеспечивает постоянство электронной конфигурации частицы. Следовательно, можно управлять спиновым состоянием неспаренных электронов без изменения реакционной способности атома. Тогда, в контексте квантовых вычислений ориентация спина электрона будет интерпретироваться как передатчик двоичной информации.
Для реализации квантового компьютера на основе углеродных наносистем могут быть использованы эндофуллерены. Их комплексы с неметаллами представляют интерес для изучения спиновых характеристик инкапсулированного атома. Особое внимание уделяется изучению эндоэдральных комплексов с атомом азота или фосфора, так как именно эти элементы невелики в диаметре и располагают в нейтральном состоянии наибольшим числом неспаренных валентных электронов.
Первые исследования структуры и свойств эндофуллеренов с атомом азота или фосфора были проведены более двадцати лет назад. В качестве углеродной молекулы в исследованиях преимущественно выступал самый стабильный фуллерен С60. Так, анализ кинетического изотопного эффекта и электронного парамагнитного резонанса Ы@С60 [3] подтверждает предположение о свободном расположении атома азота в объеме молекулы. Также демонстрируется стабильность комплекса и сохранение азотом своей электронной конфигурации. Иная особенность азота в Ы@С60 показана в исследовании [4]. Данные, полученные расширенным методом теории функционала плотности БЗЬУР/б-ЗЮ*, указывают на поляризацию атома азота. Вследствие вышеупомянутого, данный комплекс может быть рассмотрен как спиновый кубит квантового компьютера.
Другим многообещающим направлением изучения эндоэдральных комплексов с неметаллами являются исследования эндофуллеренов с атомом фосфора. В одном из таких исследований [5] авторы на основании электронного парамагнитного резонанса Р@С60 доказывают квартетное спиново состояние инкапсулированного фосфора. При этом углеродная молекула претерпевает большую деформацию при инкапсуляции по сравнению с размещением азота, что обуславливает большее время релаксации системы. Изучение химических, спиновых и термодинамических свойств Р@С60 группой ученых [6] показало аналогичные результаты. Внедрение атома фосфора в пространство фуллерена приводит к малому взаимодействию «гость-хозяин». Одновременно наблюдается «сжатие» электронного облака фосфора.
Демонстрируемые результаты экспериментальных и теоретических исследований утверждают отсутствие взаимодействия между молекулой С60 и внедренной частицей. Эндоатом идентичен свободному атому, что обуславливает дальнейшие исследования реализации квантовых вычислений, основанных на использовании эндофуллеренов с неметаллами.
Авторы настоящей работы предполагают проявление вышеупомянутых свойств в системе малого эндофуллерена с атомом фосфора.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
В качестве исследуемого объекта был выбран фуллерен С 5 0 (симметрии п и ), а также его комплексы с инкапсулированным атомом фосфора. Выбор данных соединений обусловлен следующими факторами.
Молекулярная структура фуллеренов состоит из замкнутого в поверхность однослойного листа, состоящего из чередующихся гексагонов и пентагонов. Атомы в вершинах многогранников соединены между собой одинарной или двойной связью, а также иногда образованной ароматической системой. Для обозначения фуллерена используют запись , где количество атомов углерода, образующих молекулу. Важной характеристикой углеродных нанообъектов является их стабильность. Для фуллеренов различают несколько причин стабильности. Существенный вклад в устойчивость соединения вносит равномерность распределения многогранников. Другим фактором является соблюдение правила изолированных пентагонов, которое подразумевает окружение каждого из пентагонов гексагонами. Получение физических образцов фуллеренов и их производных не всегда возможно. Поэтому при исследовании таких структур нередко реализуются инновационные методы синтеза [7], совершенствуются существующие технологии [8], используются возможности компьютерной симуляция [9].
Форма фуллеренов различна и может изменяться в процессе реакций. Модифицировать структуру данных молекул можно несколькими способами: присоединить один или несколько атомов к внешней полиэдрической поверхности; заменить атом углерода на другой элемент; расположить атом или молекулу в объеме фуллерена. Последнее преобразование приводит к образованию эндофуллерена. Такие молекулы обозначаются через , где элементы, размещенные в объеме фуллерена. В зависимости от
внутреннего радиуса, в объеме могут помещаться одиночные атомы или небольшие молекулы. Инкапсулированный атом может перетягивать на себя электроны фуллерена, образуя анион, или отдавать свои валентные электроны, становясь катионом. С другой стороны, возможна инертность атома. В рамках данного исследования малое взаимодействие между атомами углерода и добавочным элементом является наиболее интересным, так как структура каждого из элементов эндофуллерена претерпевает наименьшие изменения, в то время как физико-химические свойства всей молекулы изменяются.
Наиболее изученными эндофуллеренами являются комплексы с металлами [10, 11] в связи с интересом к их магнитным или радиоактивным свойствам. Эндофуллерены с атомами неметаллов исследованы в меньшей степени [12, 13, 14]. В последние годы возрос интерес к свойствам гидроксилированных эндофуллеренов [15, 16].
В настоящей работе в качестве интеркалирующего элемента был выбран один атом фосфора. Строение атома фосфора позволяет проявлять многообразие степеней окисления. Количество и расположение неспаренных электронов определяет разнообразие соединений. Заряд ядра элемента достаточен для взаимодействия с магнитными силами. На своей внешней электронной оболочке фосфор располагает электрона. При переходе
возбужденного электрона -подуровня на -подуровень, атом фосфора приобретает максимальную степень окисления +5, тогда кайносимметричные электроны 3 й -подуровня образуют большую связь с ядром. При этом наблюдается ослабление эффекта экранирования и повышение потенциала ионизации. В химических соединениях фосфор часто представлен в виде колец, цепей и слоев [17, 18]. Среди нанообъектов, состоящих из атомов фосфора, наиболее интересны одномерные [19] и двумерные материалы [20], фуллереноподобные соединения [21]. Образование полых полиэдров из атомов данного элемента предсказывали до получения углеродных фуллеренов [22, 23]. Исследования других нанокластеров на основе фосфора предвещают новые возможности в нанофотонике и электронике [24, 25].
Валентные электроны атомарного фосфора могут быть использованы для хранения и передачи информации. Например, ориентация спинов электронов атома будет отвечать за значение бита информации. Как и бит, принимающий единовременно только одно значение,
спин электрона по отношению к внешнему магнитному полю находится в одной из возможных ориентаций: положительной или отрицательной. Спином «вверх» или положительным спином называют ориентацию собственного момента импульса частицы, при которой направление ее спина совпадает с внешним магнитным полем, обратное справедливо для спина «вниз» (отрицательного спина). Для смены ориентации спина электрона необходимо воздействие внешнего магнитного поля или спин-поляризованного электрического тока. Из вышеизложенного следует, что спин электрона отвечает требованиям реализации вычислений в квантовых компьютерах. Тогда, спины электронов атома фосфора могут быть использованы как передатчики двоичной информации. Для этого необходимо ограничить инкапсулированный атом от образования связей с другими элементами и молекулами. Одним из таких способов является его внедрение в объем фуллерена.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Моделирование и расчеты параметров молекулярных систем проводились в программе HyperChem 8.0 [26]. Полуэмпирическим методом PM3 (от англ. Parametric Method 3) [27, 28] были созданы модели молекулярных систем. Электронное состояние рассчитывалось неограниченным методом Хартри-Фока [29]. Все системы алгебраических уравнений решались методом Полака-Рибьера, который является одним из вариаций метода сопряженных градиентов [30].
Для расчета структуры и свойств многоатомных систем нередко используют полуэмпирические методы, которые в своей основе сохраняют принципы неэмпирических методов, но для сокращения количества расчетов используют приближения, которые упрощают реальные физико-химические объекты. Восполнение нерассматриваемых параметров производится за счет привлечения экспериментальных данных.
Основными приближениями в полуэмпирических методах являются: валентное приближение, приближение нулевого дифференциального перекрывания, представление волновых функций методом МО ЛКАО. В валентном приближении в расчетах учитываются только валентные электроны, так как они в большей степени участвуют в образовании химических связей. В приближении нулевого дифференциального перекрытия часть из двухэлектронных и одноэлектронных интегралов не учитывается. В зависимости от расстояния между атомами и произведения их атомных орбиталей, включающих общий электрон, выделяют несколько подходов. В данной работе применяется усовершенствованный метод пренебрежения двухатомным дифференциальным перекрыванием (от англ. NDDO - Neglect of diatomic differential overlap) - метод PM3. Методы NDDO требуют больше вычислительных затрат вследствие включения в расчеты всех одноцентровых интегралов и решения кулоновских интегралов на основе типа орбитали. Дополнительным фактором увеличения времени расчетов является подбор оптимальных параметров описания атомов. Таким образом, введение добавочных переменных усложняет расчеты, но позволяет достичь большей точности и устранить недочеты более ранних методов нулевого дифференциального перекрывания.
Неограниченный метод Хартри-Фока описывает взаимодействие атома с другими частицами как движение данного атома в самосогласованном поле. Данный метод требует многих итераций, так как расчеты проходят несколько стадий до достижения сходимости получаемых коэффициентов. В моделировании выбранных соединений применялся неограниченный метод, при котором каждый электрон описывался собственной пространственной и спиновой функциями.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Моделирование фуллеренов С 5 0(!) 3 ) и С 5 0(!) 5
На первом этапе решалась задача определения наиболее стабильного соединения, которое будет претерпевать меньше деформаций при образовании эндокомплекса или дольше сохранять свою структуру, обеспечивая атомарные свойства внедренной в объем молекулы частицы. В фуллеренах симметрии и смежные пентагоны вносят дополнительные локальные напряжения и искажения поверхности соседних многогранников. Каждая из молекул образует делокализацию электронного облака, что придает ей малые ароматические свойства и положительно влияет на ее стабильность. На втором этапе, на основе полученных моделей эндофуллеренов, были определены наиболее вероятные электронные конфигурации валентного уровня атома фосфора в каждом из соединений.
Создание модели фуллерена начинается с построения ее диаграммы Шлегеля и обозначения двойных и делокализованных связей, согласно валентности углерода. Построение 3D модели происходит автоматически. На следующем этапе производится квантово-химический расчет оптимального состояния молекулы. В результате становятся доступны параметры фуллерена.
Структура моделей фуллеренов С 5 0 двух симметрий представлена на рис. 1.
a) b)
Рис. 1. Строение фуллеренов С 5 0 симметрии D3 (а) и симметрии D5 h (b)
Fig. 1. The structure of С s 0 fullerenes of £>3 (a) and f5 h (b) symmetry
Фуллерен симметрии Б 3 содержит 6 пар пентагонов и 15 гексагонов, девять из которых поддерживают делокализацию электронов. Шесть двойных связей располагаются в двух структурах - группах из трех смежных гексагонов, в которых две двойные связи объединяют ребра соседних шести- и пятиугольников, одна - является общей для двух шестиугольников. Данные о средней длине каждого из вида связей в фуллерене ( занесены в табл. 1. Наименьшие значения наблюдаются для двойных и одинарных 6-6 связей, что подтверждает их большую устойчивость. Одинарная 5-5 связь выигрывает в длине за счет поднятия своего уровня над поверхностью остальной молекулы. Отклонение атомов от плоскости гексагонов, не содержащих делокализованных связей, приводит к искажению данных многоугольников в направлении центра молекулы. Угол отклонения атомов варьируется от 0.25° до 10°.
Таблица 1. Среднее значение длин связей в С50(О3)
Table 1. Average bond lengths in C50(D3)
Наименование связи Name of connection Одинарная Single Двойная Double
5-6 5-5 6-6 5-6 6-6
Среднее значение, нм Average value, nm 0.145 0.1462 0.1437 0.1436 0.1437
Структура фуллерена С50ф5й) представляет собой симметричную молекулу, образованную пятьюдесятью атомами углерода. Система состоит из 12 пентагонов, 10 из которых разбиты на пары. Именно эти пары вносят избыточное локальное напряжение, последствием которого является искажение плоской поверхности гексагонов вследствие распределения атомов углерода на разные уровни. Одна третья часть из 15 гексагонов включает делокализованные п —связи. Торсионный угол между атомами в гексагонах варьируется от 2° до 18°. В связи с чередованием пары пятиугольников и шестиугольника с делокализованной электронной связью, «пояс» молекулы состоит из циклических перепадов уровня поверхности от максимального к минимальному соответственно. Помимо деформаций, в фуллерене присутствуют две субструктуры, каждая из которых состоит из пентагона, окруженного гексагонами. Данная субструктура близка по своему строению к кораннуленовой, поэтому ожидается наибольшая стабильность данного фрагмента после образования эндофуллерена.
В молекуле С50(^5^) представлены два вида прочных связей: двойная и делокализованная. Первая из них присутствует только в субструктурах, где соблюдается правило изолированных пентагонов. Делокализованная связь обобществляет электроны и этим понижает энергию молекулы, делая ее более стабильной. Значение средней длины всех видов связей в данном фуллерене представлены в табл. 2.
Таблица 2. Среднее значение длин связей в C50(D5ft)
Table 2. Average bond lengths in C50(D5h)
Наименование связи Name of connection Одинарная Single Двойная Double
5-6 5-5 6-6 6-6
Среднее значение, нм Average value, nm 0.1462 0.1492 0.14 0.1398
Сравнение структур двух изомеров фуллерена С50 не показало сильных различий по длинам связей. Наибольшая разница в длине наблюдается в одинарных 5-5 и двойных 6-6 связях, данное значение не превышает 0.004 нм.
Из табл. 3 видно, что для формирования молекулы С50ф3) потребовалась дополнительная энергия, на это указывает положительное значение теплоты образования. Полная энергия молекулы находится как сумма преобладающей электронной и ядерной энергий. Из-за малых кулоновских взаимодействий ядер между собой, энергия связи значительно меньше полной энергии. Дипольный момент молекулы составляет 0.00013 Д, что показывает абсолютную неполяризуемость соединения. Полученные значения указывают на стабильность молекулы.
Несмотря на структуру энергетически выгодной системы, при формировании молекула С50(^5й) заимствовала дополнительную энергию. Дипольный момент данной системы меньше нуля, что характеризует явное отсутствие в ее структуре центров сильных электрических зарядов. Наоборот, система находится в состоянии близком к равномерному распределению зарядов, в котором значение каждого заряд стремится к минимуму.
Таблица 3. Свойства фуллеренов С 5 0 (D 3 ) и С 5 0 (D 5
Table 3. Properties of fullerenes C5 0(£>3 ) and С 5 0(Z)5 h)
Молекула Molecule Электронная энергия, Дж/моль Electronic energy, J/mol Ядерная энергия, Дж/моль Nuclear energy, J/mol Теплота образования, Дж/моль Heat of formation, J/mol Энергия связи, Дж/моль Binding energy, J/mol Дипольный момент, Д Dipole moment, D Полная энергия, Дж/моль Total energy, J/mol
с ¡¡„(AO -7 223 192 6 654 203 3 374 -32 375 0.00013 -568 989
Cso(Ah) -7 222 374 6 653 317 3 306 -32 443 0.1479 -569 057
Сравним свойства двух фуллеренов. За счет большей деформации поверхности, внутренняя энергия С 5 0ф3 ) накапливается в химических связях, поэтому у данного фуллерена значение полной энергии больше. Дипольный момент молекулы С 5 0(Д 5 примерно в 1000 раз превышает значение другого фуллерена, что свидетельствует о большей асимметрии распределения положительных и отрицательных зарядов. По представленным данным можно сделать вывод о небольшом выигрыше в стабильности фуллерена ( .
Моделирование эндофуллеренов соединений С 5 0(!) 3 ) и С 5 0(!) 5 л) с атомом фосфора
Структура моделей эндофуллеренов представлена на рис. 2.
a) b)
Рис. 2. Строение эндофуллеренов Р @ С5 0 симметрии D 3 (а) и симметрии D (b)
Fig. 2. The structure of P @ С 5 0 endofullerenes of £>3 (a) and f5 h (b) symmetry
Образование эндоэдральной формы из фуллерена С 5 0ф3 ) привело к увеличению всех длин связей молекулы. Максимальное удлинение на 0.0005 нм наблюдалось в одинарных 6-6 связях. Значения средней длины всех видов связей занесены в табл. 4. Поверхность молекулы тоже изменилась. Каждый многоугольник претерпел искажение. Перепады уровней расположения атомов в пентагонах не превышает 4°, тогда как в гексагонах торсионные углы меняют свое значение от 0.3° до 25°.
Таблица 4. Среднее значение длин связей в Р@С50(О3)
Table 4. Average bond lengths in P@CS0(D3)
Наименование связи Name of connection Одинарная Single Двойная Double
5-6 5-5 6-6 5-6 6-6
Среднее значение, нм Average value, nm 0.1452 0.1465 0.1442 0.1439 0.1441
Длины связей в эндофуллерене Р@С50(^5^) близки по своим значениям к межатомным расстояниям в фуллерене данной симметрии. В табл. 5 отражены значения средней длины для каждой из связей в данной молекуле. Смежная сторона пентагонов практически не изменила свою длину, одинарная 5-6 и двойная 6-6 связи увеличили своё значение меньше чем на 0.003 нм. Наибольшее удлинение - 0.0029 нм произошло между соседними гексагонами. Данная сторона является условным разделителем между субструктурой, напоминающей по своему строению кораннулен, и многогранником с делокализованной связью. Стоит подчеркнуть, что эндофуллерен незначительно изменил свою структуру в сравнении с фуллереном. Более стабильными соединениями оказались субструктуры, подчиняющиеся правилу изолированных пентагонов, и общие стороны пар пентагонов.
Таблица 5. Среднее значение длин связей в Р@С50(О5Л)
Table 5. Average bond lengths in P@C50(D5h)
Наименование связи Name of connection Одинарная Single Двойная Double
5-6 5-5 6-6 6-6
Среднее значение, нм Average value, nm 0.1477 0.1493 0.1429 0.1416
В табл. 6 приведены данные свойств исследуемых эндофуллеренов. В отличие от фуллерена C50(ö3) в его эндоэдральной форме значения электронной и ядерной энергий возросли. Пропорциональное увеличение данных показателей указывает на отсутствие образования связей между атомами углерода и атомом фосфора. Возрастание теплоты образования на 707 Дж/моль, привело к увеличению полной энергии молекулы. Энергия связи эндофуллерена уменьшилась на 391 Дж/моль, что является результатом инкапсуляции фосфора и его малого взаимодействия с молекулой.
Таблица 6. Свойства эндофуллеренов Р@С50(О3) и P@C50(D5ft)
Table 6. Properties of endofullerenes P@C50(D3) and P@C50(D5h)
Молекула Molecule Электронная энергия, Дж/моль Electronic energy, J/mol Ядерная энергия, Дж/моль Nuclear energy, J/mol Теплота образования, Дж/моль Heat of formation, J/mol Энергия связи, Дж/моль Binding energy, J/mol Дипольный момент, Д Dipole moment, D Полная энергия, Дж/моль Total energy, J/mol
Р@С5о(0з) -7 590 393 7 010413 4 081 -31 984 1.545 -579 979
P@C5o(Ö5h) -7 594 807 7 014 771 4 025 -32 041 1.546 -580 036
Полная энергия P @ C 5 0 (D 5 ожидаемо возросла, электронная и ядерная энергии также увеличили свои значения. По сравнению с фуллереном данная молекула при образовании заимствовала энергии на 719 Дж/моль больше, что указывает на необходимость обеспечения дополнительной подачи энергии при синтезе эндофуллерена. Значение дипольного момента увеличилось в 10.5 раз. Следовательно, в молекуле произошло формирование электронной асимметрии, вызванной расположением инкапсулированного атома в объеме молекулы. Энергия связи уменьшилась, поэтому можно утверждать, что в эндофуллерене отсутствует химическая связь между атомами углерода и атомом фосфора.
Анализ результатов позволяет сделать вывод о меньшей стабильности эндофуллерена ( в сравнении с фуллереном ( . С другой стороны, эндоэдральный комплекс включает атом фосфора, свободно размещенный в объеме молекулы, что и представляет интерес в данном исследовании.
Исследование электронной конфигурации атома фосфора
Наблюдение за состоянием фосфора в эндофуллерене P @ C 5 0(D3) показало смещение атома от середины молекулы к одному из ее гексагонов с делокализованной связью. Расстояние от инкапсулированного атома до ближайшего атома углерода составляет 0.212 нм - это означает, что фосфор с радиусом в 0.195 нм расположен близко к молекулярной структуре. Такое размещение, соседствующие не только с ядрами оболочки эндофуллерена, но и с их делокализованными электронными облаками, может привести к непредсказуемым во времени изменениям структуры внешней электронной оболочки фосфора. Возможно несколько вариантов поведения атома фосфора: сохранение изначальной электронной конфигурации, восстановление, окисление и переход в возбужденное состояние.
В ходе исследования было проведено несколько расчетов и установлено два наиболее вероятных варианта поведения атома фосфора, расположенного в объеме углеродной молекулы. Оценить электронное состояние валентного уровня атома можно через значение спинового состояния, иногда именуемого как спиновая популяция (от англ. spin population). Такая характеристика представляет отношение а-спина (положительное значение) к Р-спину (положительное значение).
При «перетягивании» электрона фосфором спиновое состояние атома уменьшится, для эндофуллерена P @ C 5 0(D3 ) , при таком состоянии, значение будет составлять 0.638. Данное спиновое состояние можно трактовать как уменьшение количества неспаренных валентных электронов фосфора до двух.
Другим смоделированным состоянием атомарного фосфора является его возбуждение, которое, предположительно, вызвано получением дополнительной энергии при взаимодействии с делокализованным электронным облаком системы. Возбуждение данной системы происходит через переход одного электрона 3s-подуровня на 3d-подуровень. Тогда, спиновое состояние характеризуется величиной 1.4. Такое состояние электронной конфигурации является наиболее желательным для использования эндофуллеренов с одним инкапсулированным атомом в качестве ячеек памяти в квантовых компьютерах. Но для молекулы ( появление и неизменность данного спинового состояния является
маловероятным и крайне нестабильным в силу непредсказуемости воздействия свободных обобществленных электронов атомов углерода. Возможно создать внешнее условие поддержания возбужденного состояния фосфора через подобранную резонансную частоту электромагнитного излучения. В таком случае, возникает как минимум два условия, требующих дополнительных исследований. Во-первых, внешнее воздействие привлечет излучательный квантовый переход, который совместно с безызлучательным переходом, присущим системе, уменьшит время существования возбужденного состояния. Во-вторых, излучательный переход может негативно повлиять на работу системы из эндофуллеренов, рассматриваемых как часть архитектуры квантовых компьютеров.
Атом фосфора в молекуле Р @ С 5 0ф5^) занимает околоцентральное положение, атом смещен от центра эндофуллерена по вертикали примерно на 0.025 нм, относительно горизонтали - на 0.05 нм. Инкапсулированный атом ближе всего расположен к вершине одного из пентагонов, окруженного гексагонами.
Процесс моделирования ( показал возможным единственную электронную
конфигурацию атома фосфора в данной системе - присоединение одного электрона. Это предположение подтверждают: отрицательный заряд атома равный -0.45 и спиновая популяция, значение которой составляет 0.78. Из полученных данных следует, что на внешней электронной оболочке фосфора в данном эндофуллерене остается только два неспаренных электрона.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведено квантово-химическое моделирование двух фуллеренов и их эндоэдральных производных с одним атомом фосфора. Расчеты свидетельствуют о стабильности данных соединений. Сравнение двух эндофуллеренов показало идентичные свойства соединений. Эндокомплекс ( имеет незначительный выигрыш в виде малого изменения длин
связей. Однако, поверхность молекулы претерпела больше искажений по сравнению с Р@ С50(Щ.
Исследование электронной конфигурации атома фосфора указывает на свободное размещение данного атома в объеме каждой из молекул. Отсутствие связей с атомами углерода позволяет фосфору сохранить на валентном энергетическом уровне часть неспаренных электронов. Для эндофуллерена симметрии свойственно небольшое
смещение инкапсулированного атома относительно центра молекулы и сохранение им двух неспаренных электронов на внешнем Зр -подуровне. В эндокомплексе симметрии /)3 установлено два наиболее возможных способа взаимодействия фосфора с молекулой. Первый способ является идентичным случаем эндофуллерена ( . Второй
предполагает возбужденное состояние фосфора, сильно зависящее от делокализованных электронных облаков атомов углерода. Таким образом, каждый из данных эндофуллеренов представляет собой систему из мало реагирующих между собой компонентов. В данных системах углеродная молекула обеспечивает изоляцию инкапсулированного атома, благодаря этому фосфор сохраняет часть неспаренных валентных электронов. Влияние на ориентацию спина каждого из свободных электронов внешнего подуровня фосфора может быть использовано при работе с бинарной информацией в квантовых компьютерах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wu Y., Bao W.-S., Cao S., Chen F., Chen M.-C., Chen X., Chung T.-H., Deng H., Du Y., Fan D., Gong M., Guo C., Guo C., Guo S., Han L., Hong L., Huang H.-L., Huo Y.-H., Li L., Li N., Li S., Li Y., Liang F., Lin C., Lin J., Qian H., Qiao D., Rong H., Su H., Sun L., Wang L., Wang S., Wu D., Xu Y., Yan K., Yang W., Yang Y., Ye Y., Yin J., Ying C., Yu J., Zha C., Zhang C., Zhang H., Zhang K., Zhang Y., Zhao H., Zhao Y., Zhou L., Zhu Q., Lu C.-Y., Peng C.-Z., Zhu X., Pan J.-W. Strong quantum computational advantage using a superconducting quantum processor // Physical Review Letters, 2021,
vol. 127(18), 180501. '
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.127.180501
2. Arute F., Arya K., Babbush R., Bacon D., Bardin J. C., Barends R., Biswas R., Boixo S., Brandao F. G.S.L., Buell D. A., Burkett B., Chen Y., Chen Z., Chiaro B., Collins R., Courtney W., Dunsworth A., Farhi E., Foxen B., Fowler A., Gidney C., Giustina M., Graff R., Guerin K., Habegger S., Harrigan M. P., Hartmann M. J., Ho A., Hoffmann M. R., Huang T., Humble T. S., Isakov S. V., Jeffrey E., Jiang Z., Kafri D.,
REFERENCES
1. Wu Y., Bao W.-S., Cao S., Chen F., Chen M.-C., Chen X., Chung T.-H., Deng H., Du Y., Fan D., Gong M., Guo C., Guo C., Guo S., Han L., Hong L., Huang H.-L., Huo Y.-H., Li L., Li N., Li S., Li Y., Liang F., Lin C., Lin J., Qian H., Qiao D., Rong H., Su H., Sun L., Wang L., Wang S., Wu D., Xu Y., Yan K., Yang W., Yang Y., Ye Y., Yin J., Ying C., Yu J., Zha C., Zhang C., Zhang H., Zhang K., Zhang Y., Zhao H., Zhao Y., Zhou L., Zhu Q., Lu C.-Y., Peng C.-Z., Zhu X., Pan J.-W. Strong quantum computational advantage using a superconducting quantum processor. Physical Review Letters, 2021, vol. 127(18), 180501. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.127.180501
2. Arute F., Arya K., Babbush R., Bacon D., Bardin J. C., Barends R., Biswas R., Boixo S., Brandao F. G.S.L., Buell D. A., Burkett B., Chen Y., Chen Z., Chiaro B., Collins R., Courtney W., Dunsworth A., Farhi E., Foxen B., Fowler A., Gidney C., Giustina M., Graff R., Guerin K., Habegger S., Harrigan M. P., Hartmann M. J., Ho A., Hoffmann M. R., Huang T., Humble T. S., Isakov S. V., Jeffrey E., Jiang Z., Kafri D.,
Kechedzhi K., Kelly J., Klimov P. V., Knysh S., Korotkov A. N., Kostritsa F., Landhuis D., Lindmark M., Lucero E., Lyakh D., Mandra S., McClean J. R., McEwen M., Megrant A., Mi X., Michielsen K., Mohseni M., Mutus J., Naaman O., Neeley M., Neill C., Niu M. Y., Ostby E., Petukhov A., Platt J. C., Quintana C., Rieffel E. G., Roushan P., Rubin N. C., Sank D., Satzinger K. J., Smelyanskiy V., Sung K. J., Trevithick M. D., Vainsencher A., Villalonga B., White T., Yao Z. J., Yeh P., Zalcman A., Neven H., Martinis J. M. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor // Nature, 2019, vol. 574, pp. 505-510. '
https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5
3. Murphy A. T., Pawlik Th., Weidinger A., Höhne M., Alcala R., Spaeth J.-M. Observation of atomlike nitrogen in nitrogen-implanted solid C60 // Physical Review Letters, 1996, vol. 77, iss. 6, pp. 1075-1078. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1075
4. Yue X., Zhao J., Hao C., Ren W., Qiu J. Interaction between an endohedral N atom and С 6 0 fullerene cage by density functional theory // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2008, vol. 5, pp. 1306-1309. https://doi.org/10.1166/ictn.2008.2566
5. Knapp C., Weiden N., Kass H., Dinse K.-P., Pietzak B., Waiblinger M., Weidinger A. Electron paramagnetic resonance study of atomic phosphorus encapsulated in [60]fullerene // Molecular Physics, 1998, vol. 95, iss. 5, pp. 999-1004. https://doi.org/10.1080/00268979809483233
6. Larsson J. A., Greer J. C., Harneit W., Weidinger A. Phosphorous trapped within buckminsterfullerene // Journal of Chemical Physics, 2002, vol. 116, pp. 7849-7854. https://doi.org/10.1063/L1468643
7. Bloodworth S., Whitby R. J. Synthesis of endohedral fullerenes by molecular surgery // Communications Chemistry, 2022, no. 5, 121. https://doi.org/10.1038/s42004-022-00738-9.
8. Dudnik A. I., Osipova I. V., Nikolaev N. S., Churilov G.N. Comparative analysis of two methods for synthesis of fullerenes at different helium pressures // Fullerenes Nanotubes and Carbon Nanostructures, 2020, vol. 28, iss. 9, pp. 697-701. https://doi.org/10.1080/1536383X.2020.1746281
9. Novikov P. V., Osipova I. V., Churilov G. N., Dudnik A. I. Simulation of fullerene formation in a carbon-helium plasma // Fullerenes Nanotubes and Carbon Nanostructures, 2020, vol. 29, iss. 5, pp. 337-342.
https://doi.org/10.1080/1536383X.2020.1842738
10. Kobayashi K., Nagase S. Bonding features in endohedral metallofullerenes. Topological analysis of the electron density distribution // Chemical Physics Letters, 1999, vol. 302, pp. 312-316.
11. Чурилов Г. Н., Внукова Н. Г., Томашевич Е. В., Дудник А. И., Глущенко Г. А., Дубинина И. А., Гуляева У. Е., Мельникова Е. И. Эндоэдральные металлофуллерены с иттрием: синтез и выделение // Физика твердого тела. 2017. Т. 59, № 8. С. 1638-1641. https://doi.org/10.21883/FTT.2017.08.44770.394
12. Saunders M., Cross R. J., Jiménez-Vázquez H. A., Shimshi R., Khong A. Noble gas atoms inside fullerenes // Science, 1996, vol. 271, pp. 1693-1697. https://doi.org/10.1126/science.271.5256.1693
13. Терещенко В. И., Семакина Н. В. Квантово-химическое моделирование и расчет электронных структур производных фуллерена // Международный журнал экономики и образования. 2022. Т. 8, № 1. С. 114-129.
Kechedzhi K., Kelly J., Klimov P. V., Knysh S., Korotkov A. N., Kostritsa F., Landhuis D., Lindmark M., Lucero E., Lyakh D., Mandra S., McClean J. R., McEwen M., Megrant A., Mi X., Michielsen K., Mohseni M., Mutus J., Naaman O., Neeley M., Neill C., Niu M. Y., Ostby E., Petukhov A., Platt J. C., Quintana C., Rieffel E. G., Roushan P., Rubin N. C., Sank D., Satzinger K. J., Smelyanskiy V., Sung K. J., Trevithick M. D., Vainsencher A., Villalonga B., White T., Yao Z. J., Yeh P., Zalcman A., Neven H., Martinis J. M. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature, 2019, vol. 574, pp. 505-510. '
https://doi.org/10. 1038/s41586-019-1666-5
3. Murphy A. T., Pawlik Th., Weidinger A., Höhne M., Alcala R., Spaeth J.-M. Observation of atomlike nitrogen in nitrogen-implanted solid C60. Physical Review Letters, 1996, vol. 77, iss. 6, pp. 1075-1078. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.1075
4. Yue X., Zhao J., Hao C., Ren W., Qiu J. Interaction between an endohedral N atom and C 6 0 fullerene cage by density functional theory. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2008, vol. 5, pp. 1306-1309. https://doi.org/10.1166/jctn.2008.2566
5. Knapp C., Weiden N., Kass H., Dinse K.-P., Pietzak B., Waiblinger M., Weidinger A. Electron paramagnetic resonance study of atomic phosphorus encapsulated in [60]fullerene. Molecular Physics, 1998, vol. 95, iss. 5, pp. 999-1004. https://doi.org/10.1080/00268979809483233
6. Larsson J. A., Greer J. C., Harneit W., Weidinger A. Phosphorous trapped within buckminsterfullerene. Journal of Chemical Physics, 2002, vol. 116, pp. 7849-7854. https://doi.org/10.1063/L1468643
7. Bloodworth S., Whitby R. J. Synthesis of endohedral fullerenes by molecular surgery. Communications Chemistry, 2022, no. 5, 121. https://doi.org/10.1038/s42004-022-00738-9.
3. Dudnik A. I., Osipova I. V., Nikolaev N. S., Churilov G.N. Comparative analysis of two methods for synthesis of fullerenes at different helium pressures. Fullerenes Nanotubes and Carbon Nanostructures, 2020, vol. 28, iss. 9, pp. 697-701. https://doi.org/10.1080/1536383X.2020.1746281
4. Novikov P. V., Osipova I. V., Churilov G. N., Dudnik A. I. Simulation of fullerene formation in a carbon-helium plasma. Fullerenes Nanotubes and Carbon Nanostructures, 2020, vol. 29, iss. 5, pp. 337-342. https://doi.org/10.1080/1536383X.2020.1842738
5. Kobayashi K., Nagase S. Bonding features in endohedral metallofullerenes. Topological analysis of the electron density distribution. Chemical Physics Letters, 1999, vol. 302, pp. 312-316.
6. Churilov G. N., Vnukova N. G., Tomashevich E. V., Dudnik A. I., Glushchenko G. A., Dubinina I. A.,
Gulyaeva U. E., Mel'nikova E. I. Yttrium-containing endohedral metallofullerenes: Synthesis and extraction. Physics of the Solid State, 2017, vol. 59, iss. 8, pp. 1662-1665. https://doi.org/10.1134/S1063783417080054
7. Saunders M., Cross R. J., Jiménez-Vázquez H. A., Shimshi R., Khong A. Noble gas atoms inside fullerenes. Science, 1996,
vol. 271, pp. 1693-1697. https://doi.org/10.1126/science.271.5256.1693
8. Tereshchenko V. I., Semakina N. V. Kvantovo-khimicheskoye modelirovaniye i raschet elektronnykh struktur proizvodnykh fullerene [Quantum chemical modeling and calculation of electronic structures of fullerene derivatives]. Mezhdunarodnyy zhurnal ekonomiki i obrazovaniya [International Journal of
14. Терещенко В. И., Семакина Н. В. Исследование структуры и физико-химических свойств производных фуллерена // Всероссийская конференция по фундаментальной и прикладной химии "Химия-ХХ1 век" (29-30 ноября 2022 г.) : сб. тезисов. Ижевск: Удмуртский университет, 2022. С. 190-191.
15. Kovel E. S., Kicheeva A. G., Vnukova N. G., Churilov G. N., Stepin E. A., Kudryasheva N. S. Toxicity and antioxidant activity of fullerenol C60 70 with low number of oxygen substituents // International Journal of Molecular Sciences, 2021, vol. 22, iss. 12, 6382. https://doi.org/10.3390/ijms22126382
16. Shakirova A. A., Tomilin F. N., Pomogaev V. A., Vnukova N. G., Churilov G. N., Kudryasheva N. S., Tchaikovskaya O. N., Ovchinnikov S. G., Avramov P. V. Synthesis, mass spectroscopy detection, and density functional theory investigations of the Gd endohedral complexes of C82 fullerenols // Computation, 2021, vol. 9, iss. 5, 58. https://doi.org/10.3390/computation9050058
17. Ван Везер. Фосфор и его соединения / пер. с англ. под ред. А. И. Шерешевского. В 2-х томах. Том 1. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 687 с.
18. Косяков В. И., Васильева И. Г. Фосфорные циклы, кластеры, цепи и слои // Успехи химии. 1979. Т. 48, № 2. С. 280-296.
19. Du L., Zhao Y., Wu L., Hu X., Yao L., Wang Y., Bai X., Dai Y., Qiao J., Uddin M. G., Li X., Lahtinen J., Bai X., Zhang G., Ji W., Sun Z. Giant anisotropic photonics in the 1D van der Waals semiconductor fibrous red phosphorus // Nature Communications, 2021, vol. 12, 4822. https://doi.org/10.1038/s41467-021-25104-6
20. Du Y., Maassen J., Wu W., Luo Z., Xu X., Ye P. D. Auxetic Black Phosphorus: A 2D Material with Negative Poisson's Ratio // Nano Letters, 2016, vol. 16, iss. 10, pp. 6701-6708. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.6b03607
21. Булгаков А. В. Лазерный синтез кластеров фосфора // В кн.: Синтез наноразмерных материалов при воздействии мощных потоков энергии на вещество. Новосибирск : Институт теплофизики СО РАН, 2009. Гл. 12. С. 324-349.
22. Corbridge D. E. C. The structural chemistry of phosphorus. Amsterdam, London, New York : Elsevier Science Publishing Company, 1974. 542 p.
23. Косяков В. И. Топология островных каркасов из атомов фосфора // Известия Сибирского отделения Академии наук СССР. Серия химических наук, 1982, № 9. C. 96 - 108.
24. Muralidharan N., Li M., Carter R., Galioto N., Pint C. L. Ultralow Frequency Electrochemical-Mechanical Strain Energy Harvester Using 2D Black Phosphorus Nanosheets // ACS Energy Letters, 2017, vol. 2(8), pp. 1797-1803. https://doi.org/10.1021/acsenergylett.7b00478
Economics and Education], 2022, vol. 8, no. 1, pp. 114-129. (In Russian).
9. Tereshchenko V. I., Semakina N. V. Issledovanie struktury i fiziko-himicheskih svojstv proizvodnyh fullerena [Study of the structure and physico-chemical properties of fullerene derivatives]. Vserossijskaya konferenciyapofundamental'noj i prikladnoj himii "Himiya-XXI vek" (29-30 noyabrya 2022 g.) : sb. tezisov [All-Russian Conference on Fundamental and Applied Chemistry "Chemistry-XXI century" (November 29-30, 2022): Collection of abstracts]. Izhevsk: Udmurtskij universitet Publ., 2022. C. 190-191. (In Russian).
10. Kovel E. S., Kicheeva A. G., Vnukova N. G., Churilov G. N., Stepin E. A., Kudryasheva N. S. Toxicity and antioxidant activity of fullerenol C60 70 with low number of oxygen substituents. International Journal of Molecular Sciences, 2021, vol. 22, iss. 12, 6382. https://doi.org/10.3390/ijms22126382
11. Shakirova A. A., Tomilin F. N., Pomogaev V. A., Vnukova N. G., Churilov G. N., Kudryasheva N. S., Tchaikovskaya O. N., Ovchinnikov S. G., Avramov P. V. Synthesis, mass spectroscopy detection, and density functional theory investigations of the Gd endohedral complexes of C82 fullerenols. Computation, 2021, vol. 9, iss. 5, 58. https://doi.org/10.3390/computation9050058
12. John R. Van Wazer. Phosphorus and Its Compounds: In Two Volumes, Interscience Publishers, 1958. 2046 p. https://doi.org/10.1002/jps.2600510342
13. Kosyakov V. I., Vasilyeva I. G. Phosphorus Rings, Clusters, Chains, and Layers. Russian Chemical Reviews, 1979, vol. 48 (2), pp. 153-161.
https://doi.org/10.1070/RC1979v048n02ABEH002311
14. Du L., Zhao Y., Wu L., Hu X., Yao L., Wang Y., Bai X., Dai Y., Qiao J., Uddin M. G., Li X., Lahtinen J., Bai X., Zhang G., Ji W., Sun Z. Giant anisotropic photonics in the 1D van der Waals semiconductor fibrous red phosphorus. Nature Communications, 2021, vol. 12, 4822.
https://doi.org/10.1038/s41467-021-25104-6
15. Du Y., Maassen J., Wu W., Luo Z., Xu X., Ye P. D. Auxetic Black Phosphorus: A 2D Material with Negative Poisson's Ratio. Nano Letters, 2016, vol. 16, iss. 10, pp. 6701-6708. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.6b03607
16. Bulgakov A. V. Lazernyy sintez klasterov fosfora [Laser synthesis of phosphorus clusters]. V kn.: Sintez nanorazmernykh materialov pri vozdeystvii moshchnykh potokov energii na veshchestvo [In: Nanosized Material Synthesis by Action of High-Power Energy Fluxes on Matter]. Novosibirsk : Institut teplofiziki SO RAN Publ., 2009. Ch. 12, pp. 324-349. (In Russian).
17. Corbridge D. E. C. The structural chemistry of phosphorus. Amsterdam, London, New York : Elsevier Science Publishing Company, 1974. 542 p.
18. Kosyakov V. I. Topologiya ostrovnykh karkasov iz atomov fosfora [Topology of island frameworks made of phosphorus atoms]. Izvestiya SO ANSSSR. Seriya khimicheskikh nauk [Bulletin of the Siberian Branch of the Academy of Sciences of the USSR. Chemical Series], 1982, no. 9, pp. 96-108.
(In Russian).
19. Muralidharan N., Li M., Carter R., Galioto N., Pint C. L. Ultralow Frequency Electrochemical-Mechanical Strain Energy Harvester Using 2D Black Phosphorus Nanosheet. ACS Energy Letters, 2017, vol. 2(8), pp. 1797-1803.
https://doi.org/10. 1021/acsenergylett. 7b00478
25. Kim H., Uddin S. Z., Lien D-H., Yeh M., Azar N. S., Balendhran S., Kim T., Gupta N., Rho Y., Grigoropoulos C. P., Crozier K. B, Javey A. Actively variable-spectrum optoelectronics with black phosphorus // Nature, 2021, vol. 596, pp. 232-237. https://doi.org/10.1038/s41586-021-03701-1
26. HyperChem for Windows, Release 8.0, HyperCube, Inc., 2007.
27. Stewart J. J. Optimization of parameters for semiempirical methods I. Method // Journal of Computational Chemistry, 1989, vol. 10, iss. 2, pp. 209-220. https://doi.org/10.1002/jcc.540100208
28. Stewart J. J. Optimization of parameters for semiempirical methods II. Applications // Journal of Computational Chemistry, 1989, vol. 10, iss. 2, pp. 221-264. ' https://doi.org/10.1002/jcc.540100209
29. Szabô A., Ostlund N. S. Modern quantum chemistry : introduction to advanced electronic structure theory. Dover Publications, INC. Mineola, New York, 1982, pp. 205-229.
30. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. Springer Series in Operations Research in Financial Engineering. Springer, New York, 1999, pp. 100-133. https://doi.org/10.1007/0-387-22742-3 5
20. Kim H., Uddin S. Z., Lien D-H., Yeh M., Azar N. S., Balendhran S., Kim T., Gupta N., Rho Y., Grigoropoulos C. P., Crozier K. B, Javey A. Actively variable-spectrum optoelectronics with black phosphorus. Nature, 2021, vol. 596, pp. 232-237. https://doi.org/10.103 8/s41586-021-03701-1
26. HyperChem for Windows, Release 8.0, HyperCube, Inc., 2007.
27. Stewart J. J. Optimization of parameters for semiempirical methods I. Method. Journal of Computational Chemistry, 1989, vol. 10, iss. 2, pp. 209-220. https://doi.org/10.1002/jcc.540100208
28. Stewart J. J. Optimization of parameters for semiempirical methods II. Applications. Journal of Computational Chemistry, 1989, vol. 10, iss. 2, pp. 221-264. ' https://doi.org/10.1002/jcc.540100209
29. Szabô A., Ostlund N. S. Modern quantum chemistry : introduction to advanced electronic structure theory. Dover Publications, INC. Mineola, New York, 1982, pp. 205-229.
30. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. Springer Series in Operations Research in Financial Engineering. Springer, New York, 1999, pp. 100-133. https://doi.org/10.1007/0-387-22742-3 5
Поступила 18.05.2023; после доработки 03.10.2023; принята к опубликованию 12.10.2023 Received May 18, 2023; received in revised form October 3, 2023; accepted October 12, 2023
Информация об авторах
Терещенко Вероника Игоревна, магистрант, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, Ижевск, Российская Федерация, e-mail: verteresh@gmail.com
Семакина Надежда Владимировна, кандидат технических наук, доцент, ИжГТУ имени М. Т. Калашникова, Ижевск, Российская Федерация
Information about the authors
Veronica I. Tereshchenko, Master's degree Student, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russian Federation, e-mail: verteresh@gmail.com
Nadezhda V. Semakina, Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russian Federation
