CC BY
15
УДК 538.915
Т.В. Криштоп, К.Э. Нагаев Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
Квантовая проводимость двумерного баллистического контакта
Вычисляется проводимость двумерного баллистического контакта в квантовом пределе, когда размер контакта существенно меньше фермиевской длины волны электрона.
Ключевые слова: квантовый контакт, микроконтакт, баллистическая проводимость.
Рассмотрим двумерный баллистический контакт в случае, когда размер контакта существенно меньше фермиевской длины волны электрона. Пример такого контакта — контакты на гетероструктурах ОаЛв с высокой подвижностью при достаточно большом затворном напряжении.
Проводимость таких контактов теоретически вычислялась в нескольких работах. В работе
[1] выводились волновые функции барьера с одиночным отверстием в трехмерном случае. Это делалось методом решения уравнений Лапласа в эллиптических координатах. В работе [2] был сделан ряд поправок к работе [1] и полученные волновые функции использовались для вычисления проводимости трехмерного квантового контакта, что давало результат С а (кра)6, где а — характерный размер такого контакта.
Проводимость двумерного контакта вычислялась в [3], при этом двумерный контакт получался из трехмерного путем «склеивания», а геометрия области «склеивания» моделировалась от-талкивательным дельта-потенциалом, равномерно распределенным по границе. В случае а ^ Ар получалась сложная зависимость: С а (1 + 4/п2[7 + 1п(кра/2)]2)-1, хотя было бы логично ожидать, что с уменьшением размерности просто уменьшится показатель степенной зависимости от
а. Похожий случай мы наблюдаем в квазиклассике. Согласно формуле Шарвина, проводимость пропорциональна размеру отверстия в двумерном случае и площади отверстия — в трехмерном (см. 3.20 и 3.21 из [4]).
Мы использовали для вычисления проводимости двумерного контакта стандартный метод Ландауэра [4]. Будем рассматривать следующую модель геометрии контакта. Две проводящие полуплоскости разделены непроницаемой диэлектрической перегородкой, в которой имеется прорезь размера 2а [5]. Пусть на контакт падают плоские волны. Рассмотрим одну из них: фп = ехр(гкпу) (см. рис. 1). При прохождении контакта она рассеивается во множество плоских волн фпт и дает прошедшую волну: ^т Ьпт ехр(гкту) = ^т фпт. Введем коэффициент прохождения для каждой волны фпт в виде отношения прошедшего и падающего потоков: Тпт = ] (фпт)/,] (фп). Формула Ландауэра позволяет выразить проводимость через эти коэффициенты прохождения:
е2
пт
В нашем случае п и т эквивалентны углам рк и р, которые падающая и прошедшая волны соответственно образуют с осью ОУ, перпендикулярной линии диэлектрика, т. е. проводимость можно записать в виде
37г/2 ж/2
е2
С = — Нш
П^ К—
йрКТ (рк ,р), (2)
&Рк кр
п/2 —п/2
где К = л/х2 + у2 — расстояние от центра контакта. Коэффициент прохождения равен отношению потоков падающей и прошедшей волн:
Т = |ф(Рк,р)Уфг(Рк,Р) - МРк,р)Уф*(Рк,р)| (3)
1фГ(Рк)Уфг(Рк) - фг(Рк)Уф*(Рк)| ,
где фг = exp(ikxx + ikyy) — падающая волна, а ф^ — прошедшая. Учитывая вид падающей волны, переписываем (3) в виде
|Ф*(lk,l)V^t(Vk,V) - Фі(lk,V)VK*(Vk,l)| 2hp
(4)
Рис. 1
Рис. 2
Найдем вид прошедшей волны фь. Для этого запишем уравнение Гельмгольца с граничными условиями для волновой функции в рассматриваемой нами геометрической системе (см. рис. 2):
(V2 + k2F )Ф = 0,
Ф !хЄ(— a,a),y=0 X(x,0).
(5)
Здесь х(х,0) — некоторая неизвестная граничная функция на контакте, а функция ф представляет собой сумму функции ф0 = exp(ikжж)(exp(ikyу) + exp(—ікуу)) в отсутствие отверстия и поправки к ней фі при наличии отверстия: ф = ф0 + фь. Для фі система переписывается следующим образом:
(V2 + k2 )фі = 0,
фі |жЄ(—a,a),y=0 X(x,0).
Перейдем к фурье-образу:
фі (х,У) =
^2^ exp(-ikx х)фі (kx ,y ).
(6)
(7)
Будем искать фі в виде уходящей на бесконечность волны: фі = ci exp(-ikyy), где константа ci легко находится из граничных условий:
С1 =
dx' exp(ikx x' )x(x',0).
Подставляя (8) в (7), приводим фі к виду
Фі (x,y) =
dx' x(x' ,0)K (x,x' ,y).
(8)
(9)
Появляющееся здесь ядро К(х, х', у) может быть вычислено через интегральные представления функций Бесселя [6]:
К(х,х',у) = ^ exp(-гkx(х - х'))exp(-г^k2 - к%у) = -|круН (кр^(х ^ ) • (10)
.1 2п у 2 (х - х')2 + у2
Таким образом, фь выражается теперь только через неизвестную граничную функцию х(х, 0). Поэтому, записав непрерывность производной от функции ф = ф0 + фь на контакте (то есть
при у = 0 и x £ (—a,a)), можно получить интегральное уравнение на эту граничную функцию. Непрерывность производной выглядит следующим образом:
дф*(х,У^ , дфо(х,У^ d^t(x - У), ,-,-п
ду ®=—0 + ду ®=—0 = ду |»=+0> (11)
что при подстановке фt из (9) и ф0 = exp(ifcxx)(exp(ifcyy) + exp(-ikyу)) дает нам следующее интегральное уравнение на неизвестную граничную функцию х(х,0):
dx"x(x",0) (-2kFH' |x(kfXx|—~ 1 = -ikyexp(ikxx). (12)
—a ' '
Переходя к пределу ka ^ 1, сводим это уравнение к виду
dx/X(x',0) ( -1 (x -1x/)2 ) = -iky. (13)
Интегрируя правую часть по частям и учитывая, что граничная функция зануляется на концах отверстия, сводим это уравнение к известному интегральному уравнению [7], что после всех
интегрирований и упрощений дает
Х(ж',0) = iky /a2 — x/2. (14)
Подставляя (10) и (14) в (9), находим, наконец, ф^:
ф = ^ ky kFy^1^. (15)
Функция (15) вычислена в приближении R ^ a, поскольку в (2) мы будем переходить к пределу R ^ то. Подставляем (15) в (4), и в полученном коэффициенте прохождения T(^,^>) переходим к ассимптотикам функций Ханкеля при kpR ^ 1. Полученный результат интегрируем в (2) и окончательно находим
е2 п
G = —----ki a4. (16)
h 32 F y J
Полученная нами зависимость проводимости от размеров отверстия G « (kpa)4 не совпала с зависимостью G « (1 +4/n2[Y + ln(kFa/2)]2)-1, выведенной в работе [3]. Однако в пользу нашего результата говорит следующая физическая аналогия. Поскольку во всех упомянутых работах баллистический квантовый контакт моделируется отверстием с размерами много меньше длины волны, то можно провести параллель с рэлеевским рассеянием света на частицах размером много меньше длины волны. Интенсивность рассеяния света на такой частице пропорциональна квадрату объема частицы [8], что дает зависимость (kpa)6 в трехмерном случае (аналогия с работой
[2]) и (kpa)4 в двумерном (аналогия с нашей работой)
Работа выполнена при финансовой поддержке фонда «Династия» и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-02-00814-а).
Литература
1. Зорин А.Б., Лихарев К.К. Об эффекте Джозефсона в структурах с нетуннельной проводимостью // ФНТ. — 1978. — Т. 4, № 6.
2. Ицкович И.Ф., Шехтер Р.И. Квантовая теория нелинейной электропроводности микроконтактов // ФНТ. — 1985. — Т. 11, № 4.
3. Загоскин А.М., Кулик И.О. Квантовые осцилляции электропроводности двумерных баллистических контактов // ФНТ. — 1990. — Т. 16, № 7.
4. Beenakker C.W.J., van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures // Solid State Physics. — 1991. — V. 44, N 1.
—a
5. Nagaev K.E., Kostyuchenko T.V. Electron-electron scattering and magnetoresistance of ballistic microcontacts // Phys. Rev. B. — 2010. — V. 81. — P. 125-316.
6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.
7. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: Физикоматематическая литература, 2003.
8. Берестецкий В.П., Лифшиц Е. М, Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1989.
Поступила в редакцию 27.04.2011.
