CC BY
39
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 2
Физико-математические пауки
2010
УДК 535.14
КВАНТОВАЯ НЕМАРКОВСКАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ
В. В. Семин, A.B. Горохов
Аннотация
В статье рассмотрена система двух взаимодействующих двухуровневых атомов. В приближении короткой памяти получено пемарковское операторпо-кипетическое уравнение. па основе решения которого построен контур лилии излучения для рассматриваемой системы.
Ключевые слова: операторпо-кипетическое уравнение, пемарковская релаксация, система двухуровневых атомов, контур лилии излучения.
Введение
Явления декогеренции и диссипации в динамике открытых квантовых систем часто моделируются с помощью стандартной техники теории квантовых марковских процессов, в которых матрица плотности открытой системы управляется операторным кинетическим уравнением с линдбладовской структурой [1]. Однако при описании сложных квантово-механнческнх систем во многих важных случаях мы сталкиваемся со сложным немарковским поведением, такие системы не могут быть описаны посредством стандартных методов.
Классическим примером марковского процесса является броуновское движение малых частиц, взвешенных в жидкости или газе. Действительно, для достаточно длительного времени наблюдения координаты и скорость броуновской частицы не зависят от значения координат и скорости в предыдущий момент времени. Однако при уменьшении времени наблюдения становятся заметными процессы ускорения и торможения частицы [2]. что свидетельствует о немарковости процесса броуновского движения для коротких времен наблюдения.
Целыо настоящей работы является получение немарковского кинетического уравнения двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов в приближении короткой памяти.
На основе решения полученного уравнения строится контур спектральной линии для системы двух идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атомов.
Традиционно для вывода кинетических задач используют подход квантовой теории открытых систем [3]. при этом ключевым является предположение о марковости процесса взаимодействия атомов со своим окружением, то есть пренебрежение эффектами памяти. Известные из литературы немарковские кинетические уравнения не лишены недостатков, наиболее общее уравнение Накашима Цванцига [4] представляет, скорее, формальный интерес, поскольку его невозможно разрешить, уравнения же других типов являются либо справедливыми лишь для очень узкого класса процессов [5]. либо феноменологическими [6]. эффекты памяти в которых описываются введением дополнительных множителей в уравнение Линдблада [1].
Детектор
М^
Рис. 1. Модель двух двухуровневых атомов в термостате
1. Модель и операторно-кинетическое уравнение
В рамках квантовой теории релаксации [7] рассматриваемую квантовую систему делят на две взаимодействующие подсистемы: большую (диссипативную) и малую (динамическую). Диссипативная система (термостат) моделируется бесконечным набором невзаимодействующих гармонических осцилляторов, находящихся в термодинамическом равновесии, характеризуемом температурой Т. С помощью подходящей процедуры «исключения» переменных термостата получаются уравнения для переменных динамической подсистемы, в которых влияние окружения учитывается через средние значения переменных термостата по соответствующему равновесному распределению.
Рассмотрим два идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атома в тепловом резервуаре на расстоянии Я друг от друга (см. рис. 1). На систему падает волна накачки с волновым вектором к, которая индуцирует диполь-ные моменты у атомов и атомы начинают взаимодействовать диполь-дипольным образом, после чего волна накачки затухает. Нас интересуют спектральные свойства света излученного системой.
Гамильтониан такой системы запишем в виде:
Н = На + Нт + Яш + Нал + Нае . (1)
Здесь
Яа = Нш0 ^ ар ~ гамильтониан свободных атомов, ш0 _ частота переходов р
в атоме, ар - диагональный генератор группы Би(2) - группы энергетического спина;
Ят = шкЬ+ Ьк - гамильтониан термостата (теплового резервуара), шк -к
частота &-го фотона, Ь+ и Ьк - операторы рождения и уничтожения к-го фотона;
Н\пъ = (дкрЬкехр (¿кКр) + Ь.с.) - гамильтониан взаимодействия атома и к,р
термостата, дкр - константа взаимодействия атома с термостатом, - повышающий и понижающий атомные операторы, Кр - радиус-вектор р-го атома.
Наа = ^ УрР' ар+ - гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия, р=р'
Урр> - константа диполь-дипольного взаимодействия.
НАр = (£Р(^)ар" + Ь.с.) - гамильтониан взаимодействия атома и поля, где р
СР (£) = С0 ехр(гКрк — гшЬ) пропорциональна амплитуде поля и определяет частоту Раби 2£0 для атомного перехода.
160
В.В. СЕМИН, А.В. ГОРОХОВ
Путем итерирования по константам взаимодействия атомов и термостата из квантового уравнения Лиувилля с гамильтонианом (1) легко получается следующее иитегро-дифференциальное уравнение [8]
дрлт{1)
т
-г-[НАА(1),рАТ(1)\ - 1[Я'(*),рАТ(0)]-
1
¥
|[Я1 (Ь), [Н1 (t - Прлт(Ь - Ь')]] (2)
где Н1 (Ь) - гамильтониан взаимодействия, в котором мы перешли в представление взаимодействия, рАТ - матрица плотности атома и термостата.
Поскольку мы интересуемся динамикой только атомной подсистемы, возьмем след по переменных термостата: будем предполагать, что состояния термостата распределены по некоррелированной тепловой смеси состояний, тогда средние значения переменных термостата будут [8]
6) = <Ь+) = 0, <Ь, Ь+) = (М + 1)6,,
{ЬрЬз) = N633,,
<Ь+Ь+) = <Ьз Ь,) = 0,
(3)
где N =
ехр
/_
. . . среднее число бозонов в резервуаре на частоте со,-
\кьТ )
при температуре Т, кь - постоянная Больцмана.
Так как термостат является протяженной системой со множеством степеней свободы, можно предположить, что никакие изменения, происходящие с динамической подсистемой, не могут заметным образом изменить состояние термостата (приближением необратимости для матрицы плотности), то есть рАТ(Ь') = ра(Ь') <8> рТ(0). Уравнение (2) совместно с (3) сводится к уравнению, которое описывает только динамическую систему, влияние термостата учитывается через средние значения (3).
Предположим [9], что Ь' ^ t, то есть время наблюдения за системой значительно больше, чем характерный временной интервал памяти. Тогда мы можем разложить в ряд матрицу плотности под интегралом и ограничимся только двумя членами:
(4)
Первое слагаемое в этом разложении соответствует марковскому приближению, уравнение для которого хорошо известно [10], второе слагаемое учитывает появление кратковременной памяти.
Подставляя (4) в уравнение (2), с учетом всего вышесказанного после достаточно громоздких преобразований для N = 0 получим следующее операторно-кииетическое уравнение:
р = г [Наа, р(Ь)] + ¿мр(Ь) + ьмм
др
сЪ1
(5)
где Ьм и Ь^м - супероператоры, описывающие марковскую и немарковскую релаксацию соответственно.
К сожалению, методы отыскания аналитических решений данного уравнения не известны, поэтому в работе [9] было предложено заменить производную в правой части марковским членом, что является подобием ТСЬ-метода проекционного оператора [5]. В результате получаем:
Р = К^р'.^И 9рр> ~ + арар'Р ~ ар'Рар) +
р=р' рр'
+ \ И т«' {-2^,(тР а -а <рар'ар'ар) + ар'ар> р])> (б)
а' рр'
где
312 =921= '^ |- [т1пг2 - (т1ед)(т2ей)] ^д^ +
/вт(кД) еов(кД)\ + [т1т2 - 3(т1ед)(т2ед)] + j
711 = 722 = 70, 712 = 721 = 7о • | |[т,1пг2 - (т1ед)(т2ей)] ^д^'
/еов(кД) вт(кД)\ [т1т2 - 3(т1ед)(т2ед)] ---¡щг )}=Ю ■ Ф,
Здесь 70 =-стандартная константа релаксации, которая получается в тео-
3а3п
рии одного атома, Д - расстояние между атомами, тр - единичный вектор ди-польного момента р-го атом а, вд - единичный вектор в напр авлении И.
2. Контур спектральной линии
Как было показано в статье [11], контур линии излучения определяется форму-
лой
{ю
I (< сг^сг^О) > + < сг^)сг7(0) >) е'^Л +
СЮ \
+ еов(ДкН)У (< а+(г)а-1(0) > + < а+^)а-(0) >) е-^ ¿Л ,
где Дк = к' — к разность волновых векторов падающей и излученной волн, И, -вектор, направленный от одного атома к другому (его модуль равен расстоянию между атомами). Слагаемые, пропорциональные ео8(ДкИ), описывают интерференцию излучения, исходящего от разных атомов.
Используя квантовую теорему регрессии [12], из решения уравнения (6) можно найти контур линии излучения, который имеет вид:
ч р ( 8г ((Б — 4ша)Рвв + (С — 4шс)Рт1 )еов2(а)
= Ке
п(А — 4д12 — 2«7о(ф + 1) + 4^с)(-В + 4^12 — 2^о(ф + 3) + 4^с)
8i вт2(а) р8а
п(А — 4д12 — 2i7о(ф — 1) — 4^с) /
162
В.В. СЕМИН, А.В. ГОРОХОВ
(w-Wo)/7o
Рис. 2. Контур лилии излучения взаимодействующих двухуровневых атомов в пемар-ковском случае. Параметры в системе kR = п/5, 70 = 1, AkR = п/6, pss = 0.8,
3Y0
Рии = 0.1, раа = 0.1, pas = 0. Сплошная кривая 70-т— = 0 (марковский случай),
дш
djo к Ojo 0
штрих-пупктирпая кривая 70 — = 5. пунктирная кривая 70 — = 2
дш дш
А = 7о5ш 70 + 712 712, В = -7одш 7о + 712, С = А + 27о5ш712 + 271270 + 4^2 - 64(70 - 712), Б = В - 4^2 + 2^(37о + 712), а = ДкИ/2, шс = ш - шо-
Соответствующие; графики представлены на рис. 2.
Хорошо видно, что с ростом параметра немарковости 7п-тг- контур деформиру-
дш
ется и его максимумы смещаются. Это связано, по всей видимости, с деформацией структуры энергетических уровней, к которым приводят эффекты памяти.
Заключение
В работе рассмотрены два идентичных диполь-дипольно взаимодействующих двухуровневых атома, которые слабо взаимодействуют со своим окружением. В приближении короткой памяти построено немарковское обобщение операторного кинетического уравнения. Полученное уравнение сохраняет все привлекательные черты соответствующего марковского уравнения, а именно: сохраняет след матрицы плотности, имеет достаточно простую структуру по сравнению с традиционными немарковскими уравнениями, что позволяет получать аналитические решения.
На основе решения полученного уравнения аналитически построен контур линии излучения. Показано, что немарковость приводит к заметным деформациям. Данный факт может наблюдаться в прецизионных экспериментах с атомами в ловушках.
Summary
V.V. Semin, A.V. Gorokhov. Quantum Non-Markovian Relaxation in a System of Two-Level Atoms.
The article examines the system of two interacting two-level atoms. In a short memory approximation the non-Markovian master equation is obtained. Spectral line shape is determined 011 the basis of the solution of this equation for the system under study.
Key words: master equation, non-Markovian relaxation, system of two-level atoms, spectral line shape.
Литература
1. Lintlblad G. Он t.lie generators of quantum dynamical semigroups // Commuu. Math. Phys. 1976. V. 48, No 2. P. 119 130.
2. Ban Камней Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высш. шк., 1990. 376 с.
3. Fain В. Irreversibilities in Quantum Mechanics. N. Y.: Kluwer Acad. Publ., 2002. 224 p.
4. Zwanzig R. Ensemble Method in the Theory of Irreversibility // J. Cliem. Phys. 1960. V. 33, No 5. P. 1338 1341.
5. Breuer H.-P., Petrueeiune F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford: Oxford Univ. Press, 2002. 645 p.
6. Shabani A., Lidar D.A. Completely positive post.-Markovian master equation via a measurement approach // Phys. Rev. A. 2005. V. 71, No 2. P. 020101(R)-1 020101(R)-4.
7. Горохов А.В., Михайлов А.В. Релаксация двухуровневой системы, взаимодействующей с внешним стохастическим полем // Теорет. физика. 2000. Т. 1. С. 54 62.
8. Скалит, М.О., Зубайри M.G. Квантовая оптика. М: Физматлит, 2003. 512 с.
9. Gangopadhyay G. Non-Markovian master equation for linear and nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1992. V. 46, No 3. P. 1507 1515.
10. Kurizki G., Ben-Reuven A. Theory of cooperative fluorescence from products of reactions or collions: identical neutral atomic fragments // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 90 102.
11. Горохов А.В., Семин В.В. Расчет спектра флуоресценции для двух взаимодействующих атомов // Оптика и спектроскопия. 2009. Т. 107, Л' 4. С. 617 622.
12. Lax М. Quantum Noise. XI. Multitime correspondence between quantum and classical stochastic processes // Phys. Rev. 1968. V. 172. P. 350 361.
Поступила в редакцию 23.12.09
Семин Виталий Владимирович аспирант кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета.
Горохов Александр Викторович доктор физико-математических паук, профессор кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета. E-mail: yurukhuvQssu.samara.ru
