Квантование релятивистски инвариантных систем в терминах групповых переменных Боголюбова. I. операторы координаты и импульс Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 530.145.7

КВАНТОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ В ТЕРМИНАХ ГРУППОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ БОГОЛЮБОВА.

I. ОПЕРАТОРЫ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА

С. Ю. Верное, О. А. Хрусталев, М. В. Чичикина

(.НИИЯФ; кафедра теории поля и физики высоких энергий) E-mail: svernov@theory.sinp.msu.ru, khrust@goa.bog.msu.su, chich@hep.phys.msu.su

Для (N + 1)-мерных систем, инвариантных относительно преобразований, образующих группу Ли, определяются групповые переменные Боголюбова, что позволяет провести квантование вблизи нестационарного классического скалярного поля с учетом законов сохранения и решить проблему возникновения нулевых мод.

Введение

Одной из проблем квантования в окрестности классических решений является восстановление свойств симметрии, утрачиваемых при непосредственном выделении классической составляющей. Для решения этой проблемы в 1950 г. Н. Н. Боголюбовым было предложено каноническое преобразование [1], в результате которого вводятся групповые переменные. Преобразование Боголюбова [1-3] превращает, например, статическое классическое решение а{х) в оператор а(х — а), причем на преобразование трансляции реагирует лишь переменная а — функционал операторов поля. Трансляционную инвариантность полной теории обеспечивает то обстоятельство, что а является оператором, канонически сопряженным оператору полного импульса. После проведения преобразования Боголюбова можно применять обычную схему теории возмущений.

Метод Боголюбова под названием метода коллективных координат был независимо сформулирован в середине семидесятых годов в работах [4-8]. Связь этих методов обсуждалась в [9], при этом отмечалось, что данные исследования посвящены изучению нерелятивистских симметрий.

К настоящему времени накоплено большое количество примеров использования групповых переменных в теории сильной связи и других областях теоретической физики (подробный список литературы приведен в [10]).

Исследование систем с нестационарной классической компонентой является более трудной задачей, так как явная структура гамильтониана как генератора временных трансляций становится ясной только после решения уравнений движения и определения групповых переменных. В этой ситуации представляется естественным определение групповых переменных по некоторой схеме теории возмущений, уточняемой вместе с вычислением интегралов движения. Метод, позволяющий проводить квантование в окрестности нестационарных классических реше-

ний с помощью локального преобразования Боголюбова, предложен в работе [10]. Указанная схема была развита для (1 + 1)-мерной теории действительного скалярного поля [10] и распространена на случай системы взаимодействующих полей [11]. Недавно с помощью данного метода было проведено квантование гравитационного поля, при этом использовался ADM формализм [12].

В данной работе метод групповых переменных Боголюбова обобщен на случай (3 + 1)-мерной теории поля.

В первой статье рассматривается квантовая система в произвольном К-мерном псевдоевклидовом пространстве, инвариантном относительно L-napa-метрической группы Ли [2], и строятся операторы координаты и импульса в терминах групповых переменных Боголюбова. Показано, что явный вид формул не зависит от числа пространственных измерений, а также от конкретного вида группы Ли. В следующей статье будет рассмотрена (3 + ^-мерная Пуанкаре-инвариантная система и построена схема квантования в окрестности скалярного классического поля F(x).

1. Преобразование Боголюбова

Для (1 + 1)-мерных релятивистски инвариантных систем групповые переменные Боголюбова были введены в работе [10], в нашей статье мы покажем, как данные переменные вводятся для произвольной системы.

Пусть V — К-мерное псевдоевклидово пространство сигнатуры (1 ,К — 1)*^, a Q — L-параметрическая группа Ли [2]. Обозначим параметры группы Q через г = (г°, г1,..., ri_1) {единице группы соответствуют значения параметров та = 0} и предположим, что каждому элементу д(т) е Я соответствует

*•' Пространство Минковского является четырехмерным псевдоевклидовым пространством сигнатуры (1,3) = (Н----).

преобразование пространства V. Исходные координаты на V обозначим через х = (ж0, ж1,..., хк^г), а координаты преобразованных точек через х'. Функции Ха(х,т), связывающие х и х':

х'а = Ха(х,т) = х'(х,т),

являются гладкими функциями всех своих аргументов и удовлетворяют условиям: Ха(Х(х, тг), п) = = Ха(х, д(т1, тг)). Функция д определяет закон композиции рассматриваемой группы: д{в{т\,т2)) = = д{т\)д{т2) ■ Обратное преобразование обозначим как х = х(х', г').

Пусть / — функция поля, содержащая фиксированную классическую составляющую у и квантовую составляющую и:

/(х') = О • г;(х(х', г)) + и(х(х', г)), (1)

будем рассматривать функции у я и как функции К + Ь независимых переменных {х', г}.

Признание параметров преобразования та в качестве новых независимых переменных привело к появлению Ь лишних степеней свободы, поэтому следует наложить Ь независимых дополнительных условий. Сформулируем эти условия следующим образом. Зададим с помощью уравнения в координатах х' пространственноподобную гиперплоскость С размерности К — 1. Пусть п — единичная внешняя нормаль к С, определим для произвольных дифференцируемых функций д\ и <?2 функционал

ш(д!,д2) = !(ды{Х)д2{>)-01(А)52п(А)) йБ, (2)

с

где д^ = ^ = п— нормальная производная

на С, г = 1,2. Элемент площади гиперплоскости С равен йБ = йХ'1... . Оператор ^ являет-

ся инвариантом по отношению к преобразованиям группы §. Функции д(х(х',т)) при х' € С, т. е. д(х(А',т)), будем обозначать д(Х), опуская зависимость от групповых переменных.

Вариация ?;(х(х',т)) выражается через бесконечно малые линейно независимые параметры преобразования 8тс следующей формулой*):

ду

8у(х(х' ,т)) =

Мс(х,т)8тс. (3)

дха дтс

При интегрировании по С обозначим Мс(х, г) как Мс( А).

Наложим условия на функцию и: пусть при всех значениях та

\/а = 0...Ь^1:ш(Ма,и)=0, (4)

где Жа(х',т) — дифференцируемые функции, такие что

Уа,Ь = 0...Ь — 1: и;(Жа, = 0.

Индекс а пробегает значения от 0 до К — 1, а индекс с — от 0 до Ь — 1.

Потребуем еще, чтобы ёе! ||о;(Жа, Мь)|| = = с!е±11ф 0, тогда для функций Йа(х,т) = = Б^1аМь(х,т) будут выполняться соотношения

ш{Йа,Мъ)=5%, ш{Йа,Йь) = $. (5)

В силу линейности функционала ш условия (4) равносильны следующим:

Уа = 0...Ь^1:ш(Йа,и) = 0.

(6)

Решение дифференциального уравнения однозначно определяется начальными условиями (данными задачи Коши) на некоторой пространственно-подобной гиперповерхности. Будем рассматривать вместо /(х') ее данные Коши на С, при этом функции /(А') и /„(А') считаются независимыми.

Подставляя в (6) выражение и(А) = /(А') — — (??;(А), получаем, что следствием инвариантности дополнительных условий (6) относительно вариации параметров та являются уравнения:

Ма(Х)ёи(\>)^М«(Х)ёЦ\>) Уя

(7)

Щ8ть - 08та = 0,

где

ра

: I(^(Л)«(Л) ^(АК(А))^,

с

8Йа = Щ8ть.

Из соотношения (7) следует, что

8та 1 ~ ь

Щх) =

8т

(8)

¿Л

где величины — решения системы уравнений: Яь = Ч ~ ЬЕасЯ1 имеют следующий вид:

1 1 = ~~ О^ + (р^с^ь + )•

Мы перешли от переменных /(А') и /„(А') к переменным и(А'), ип(А') и та, ввели дополнительные условия и определили переменные та как функционалы от /(А') и /„(А'), т.е. провели преобразование Боголюбова.

2. Квантование в терминах переменных Боголюбова

Операторы

адло б

¿/(А').

действующие на пространстве функционалов Ф[/,/„] со скалярным произведением <Ф1|Ф2> = /1)/1)/„Ф*[/,/„]Ф2[/,/„], самосопряжены и удовлетворяют коммутационному соотношению

УЛ', // € С : [д(Х'),рШ = г8(Х' - //)• (10)

Данное соотношение позволяет толковать д(А') и р(Х') как операторы координаты и импульса и развить схему вторичного квантования. Однако использование функций /(А') и /„(А') как независимых приводит к удвоению числа состояний поля. Это связано с существованием самосопряженных операторов д(А') = ^ (/П(А')+^) и

р(Х') = -щ (/(А') ~ ^¿//(л')) ' удовлетворяющих перестановочному соотношению (10) и коммутирующих с д и р. Редукция числа состояний может быть осуществлена с помощью, например, голоморфного представления [10, 13]. Как показано в статье [13], пространство состояний нужной размерности является подпространством функционалов Ф[/, /„]. Однако процедура выделения из операторов классических составляющих и учета связей, возникающих из дополнительных условий (6), на данном подпространстве оказывается более сложной. Поэтому, не ограничивая вектор состояния конкретным подпространством, сначала выделим классическую составляющую и построим регулярную теорию возмущения. Только после этого станет возможным проведение редукции числа состояний и фиксация аналитической структуры векторов состояния.

Для того чтобы выразить операторы д и р через новые переменные и(А) и та, необходимо получить вариационные производные по функциям и(А) и ип(А), удовлетворяющим соотношениям (6). Вычисления, аналогичные проведенным в [2, 10], позволяют выразить и(А) и ип(А) через независимые функции у(А) и уп(А) с помощью оператора проектора К :

«(А) \ = к (2/(А) \ / у(А) - Ма(Х)ш(М\ у) ип(Х)) \Уп(Х)) \уп(Х)-Мап(\)ш(й°,у)

Из соотношения К2 = К нетрудно получить 8и( А)

8и(р) 8и(Х)

8ип{р)

= Ма(Х)Ма(р),

8ип(А) 8и(р)

5ип(А)

8ип{ц) Следовательно 8

= ^Мап(Х)Й*(р), = 8{Х^1х) + Мап{Х)На{1х).

Ма(Х)-

Мап{ X)-

<¿5 = 0. (И)

с

8и( А) 8ип( А)_

Используя формулы (5), (8) и (11), получаем

щхГ) =Щх) ~ +

(12)

оператор §а определен следующим образом:

<$а —

8 8 \ ди(А)

с

(13)

Производные по та в формулах (12) содержат в качестве множителя малый параметр 1 /О. Чтобы учесть вклад уже в нулевом порядке разложения по 1/(7, преобразуем векторы состояния:

Соответствующее преобразование операторов выглядит так:

д

д

Л

дЛт)

<дта * °2^ + 1-дта' дта

(14)

С помощью разложения (9) получаем, что операторы д и р, выраженные через у и и, имеют следующий вид:

д(А) = О .Р(А) + 0(А) + -А(А) + 0(0-2),

Сг

р(А) = О А) + Р(А) + А) + 0(0-2),

где

Р(Х) =

л/2

(«(А) -

А(А) = -^ЖЬ (iSь + i 9

л/2

дть

+ ^а(А )гс + К(Х )гс Щга) ,

(15)

(16)

Преобразование (14) является первым шагом построения теории возмущений, не нарушающей законов сохранения. В следующей работе данная теория возмущений будет построена для (3 + 1)-мерной Пуанкаре-инвариантной системы.

Заключение

В настоящей работе были введены операторы координаты и импульса, пригодные для квантования в окрестности классического поля, нетривиально зависящего от времени. В следующей работе с помощью групповых переменных Боголюбова будет построена теория возмущений и дано полностью релятивистски инвариантное описание (3 + 1)-мерной Пуанкаре-инвариантной квантовой системы с ненулевой классической компонентой.

Работа выполнена при поддержке грантов Президента России НШ-1450.2003.2 и НШ-1685.2003.2 и грантов научной программы «Университеты России» УР.02.03.002 и УР.02.03.028.

Литература

1. Боголюбов H.H. // Укр. матем. журн. 1950. 2. № 2. С. 3; Избр. тр. Киев, 1970. 2. С. 499.

2. Солодовникова Е.П., Тавхелидзе А.Н., Хрусталев O.A. // ТМФ. 1972. 10. С. 162; П. С. 317; 1973. 12. С. 164.

3. Khrustalev О.A., Razumov A.V., Taranov A.Yu. // Nucl. Phys. В. 1980. 172. P. 44.

4. Branco G.C., Sakita В., Senjanovic P. // Phys. Rev. D. 1974. 10. P. 2573.

5. Callan C.G., Gross D.J. // Nucl. Phys. B. 1975. 93. P. 29.

6. Christ N.H., Lee T.D. // Phys. Rev. D. 1975. 12. P. 1606.

7. Greutz M. U Phys. Rev. D. 1975. 12. P. 3126.

8. Tomboulis E. // Phys. Rev. D. 1975. 12. P. 1678.

9. Шургая A.B. // ТМФ. 1980. 45. C. 46; 1983. 57. C. 392.

10. Хрусталев О.А., Чичикина М.В. // ТМФ. 1997. 111. С. 242; С. 413.

11. Спирина Е.Ю., Хрусталев О.А., Чичикина М.В. // ТМФ. 2000. 122. С. 417.

12. Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А., Чичикина М.В. // Вести. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2003. №4. С. 3; №5. С. 3; №6. С. 11 (Moscow University Phys. Bull. 2003. N 4. P. 1; N 5. P. 1; N 6).

13. Тимофеевская О.Д. // ТМФ. 1983. 54. С. 464.

Поступила в редакцию 21.04.03