КВАНТОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.145.3 DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2020.5(121).72-77

КВАНТОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ И.Н.Беляева, И.К.Кириченко*, Н.Н.Чеканова**, Т.А.Ярхо*** QUANTIZATION OF HAMILTONIAN SYSTEMS USING THE NORMAL FORM METHOD

I.N.Belyaeva, LKKirichenko*, N.N.Chekanova**, T.A.Yarkho***

Белгородский государственный национальный исследовательский университет *Национальный университет гражданской защиты Украины, Харьков, Украина

**Харьковский национальный университет имени В.Н.Каразина, Украина ***Харьковский Национальный автомобильно-дорожный университет, Украина

Изложена схема нормализации гамильтоновых систем с произвольным конечным числом степеней свободы, а также нормализация для двух степеней свободы с равными частотами. Получены нормальные формы для классического ангармонического осциллятора с четвертой степенью нелинейности и для нелинейной двумерной гамильтоновой системы. С применением двух правил квантования Борна—Йордана и Вейля—Маккоя получены квантовые нормальные формы, для которых решены задачи на собственные значения и вычислены аналитические приближенные формулы для исэнергетических спектров. Для конкретных гамильтоновых систем выполнено сравнение полученных спектров с имеющимися результатами в текущей литературе и найдено очень хорошее согласие. Обнаружено, что оба правила квантования классической нормальной формы приводят практически к одинаковым результатам в спектрах.

Ключевые слова: гамильтоновы системы, нормальная форма, квантование, энергетические спектры, математическое моделирование

Для цитирования: Беляева И.Н., Кириченко И.К., Чеканова Н.Н., Ярхо Т.А. Квантование гамильтоновых систем с помощью метода нормальных форм // Вестник НовГУ. Сер.: Технические науки. 2020. №5(121). С.72-77. DOI: https://doi. org/10.34680/2076-8052.2020.5(121). 72-77.

A scheme for normalizing Hamiltonian systems with an arbitrary finite number of degrees of freedom is described, as well as normalization for two degrees of freedom with equal frequencies. Normal forms are obtained for a classical anharmonic oscillator with the fourth degree of nonlinearity and for a nonlinear two-dimensional Hamiltonian system. Using two Born—Jordan and Weyl—McCoy quantization rules, quantum normal forms are obtained for which eigenvalue problems are solved and analytical approximate formulas for is-energy spectra are calculated. For specific Hamiltonian systems, the obtained spectra are compared with the available results in the current literature and a very good agreement is found. It is found that both quantization rules of the classical normal form lead to almost identical results in the spectra.

Keywords: Hamiltonian systems, normal form, quantization, energy spectra, mathematical modeling

For citation: Belyaeva I.N., Kirichenko I.K., Chekanova N.N., Yarkho T.A. Quantization of Hamiltonian systems using the normal form method // Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences. 2020. №5(121). С.72-77. DOI: https://doi.org/10.34680/2076-8052.2020.5(121).72-77.

Пусть классическая система с п степенями свободы описывается функцией Гамильтона, которая может быть представлена в следующем виде

И(д, р)=И (2)(д, р)+£ Им(д, p), (1а)

¿>3

и (2)(д, р)=£^д2 +р2), и р)= ¿«УдУ, (1б)

У=1 \1+|/1=5

д, р — п-мерные канонически сопряженные координаты и импульсы, д = д11 • д22• д33•'"ЯПп,' = Ч + '2 +—'п, юу — частоты.

Метод нормализации состоит в выполнении последовательности канонических преобразований (д, р)—таких, что в новых переменных И(д, р)—функция G(4,n) имела бы более простой вид. В частности, формально это означает, что выполняется условие

DGfen)=0,

D (^v ^ Hv ^

V—1

DЧ ^v ^ - nv ^)

(2а) (2б)

(2б)

Есть оператор нормальной формы, который можно записать через скобку Пуассона как

£>(*)=-Щ (2),(*)}.

Необходимая для таких канонических преобразований производящая функция может быть выбрана в виде

^(д,п)=g•ц+W(s>(g,ц), (3)

где W(5)(д,п) представляет собой однородный полином степени 5 по п-мерным переменным (д,п).

Взаимосвязь между старыми и новыми каноническими переменными определяется уравнениями

£к=Чк +-ЛГ^, Рк =Пк +-^Т^, Н(д,р)=^,п).(4)

Разлагая гамильтонианы Н(д, в ряд

Тейлора вблизи точек h и д и приравнивая члены с одинаковыми степенями, получаем основное уравнение

DW (5)дп)= ^(д--)-Н (5)(д,п), (5) из которого следует найти две величины W(5)(д,п) и

G^s)(д,n) при известной величине Н(5)(д,п). Можно сразу же заметить, что нормальная форма для

Н(2)(д,р) равна G(2)(^,n)=j^+ п2)/2 . Поэтому

У=1

решение основного уравнения (5) надо находить для

5 = 3,4,.. .»тах .

Для решения основного уравнения (5) временно переходим к промежуточным каноническим переменным (х, у):

q=^2(^=7J(Х

(6)

В этих переменных основное уравнение (5) запишем в виде

DW (5)(д,п)=0{5)(д-п)-Н (5)(д,п), (7) при этом оператор нормальной формы (2б) будет ра-

вен

D='i Ч xv^-yv^yr

(8)

Линейный оператор Б определен в функциональном пространстве всех однородных полиномов степени 5 от 2п переменных (х,у). Размерность этого пространства определяется формулой

M =

(2n + 5-1)! (2n-1)!-(s)r

(9)

Мономы вида

ф«=х1ут, ^=щ+| т образуют в нем базис. Эти мономы являются собственными функциями оператора нормальной формы Б :

ф(5).

(10)

Тогда решение основного уравнения (7) можно записать в виде

Dw (5)=Б5-1[<~(5)- Н)]ф(5),

ф(5)

D- =

Л'

(11)

п

'irav(mv-lv) v=1 У

Так как известный моном Н^5)(х,у) может быть представлен в виде суммы двух мономов

Н(5)= N(5)+ К{5), где БЫ{5)= 0, то из основного уравнения получаем нормальную форму G(5)= Nх,у) и алгебраическое уравнение для

производящего монома W(s)(x,y) при условии, что

n

i®v(mv-lv)^0. Совершая обратные преобразова-

v=1

ния от переменных (x,y) к переменным (|,"л), находим нормальную форму и производящую функцию. Биркгоф изучал нормальную форму для несоизмеримых частот (случай (mv-lv)^0) [1], а Гус-тавсон распространил этот метод нормализации на случай соизмеримых частот [2]. Поэтому полученная таким образом нормальная форма в литературе часто называется нормальной формой Биркгофа— Густавсона.

Однако выполнение процедуры по изложенной выше схеме требует крайне трудоемких вычислений. К примеру, количество однородных полиномов ф(5)= xlym, S = |l| +|m при 5 = Smax = 10 для систем с двумя степенями свободы равно M = 286, а для трех степеней свободы это число равно M = 3003. Поэтому желательно процедуру нормализации выполнять с помощью современных вычислительных машин. Первые такие вычисления были проведены Густавсоном, который составил программу на FORTRAN и вычислил нормальную форму вместе с приближенным интегралом движения для гамильто-новой системы Хенона—Хейлеса [3]. Многими авторами были разработаны различные варианты получения нормальной формы, обзоры которых изложены, например, в работах [4-7].

Пусть дана классическая функция Гамильтона, описывающая ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой степени, которая описывает гамильтонову систему с одной степенью свободы.

Пример 1.

H (q, p)=1 (p2 + q2 )+aq4,

(1.1)

а — произвольный параметр.

Согласно описанной выше схеме нормализации с помощью компьютерной программы символьных вычислений [8] для функции Гамильтона (1.1) была вычислена ее нормальная форма до степени »тах = 10 в виде

к=6

G2

k=1

1 2

2\ „(4) 3a(„2 2\2 „(6) 17a л л ^

GU,=2 +^4) = f(|2 +n2)2,G^6)=-13^ (|2 +n2)3

8 32 (1.2)

G(s)=-^ (|2 +^2)4,G(10)=-

10689a' " 2048

4

g(12)=-

87549a5 " 4096

(l2 +П2)6.

Нормальную форму (1.2) для дальнейшего удобно представить в новых комплексно сопряженных классических переменных:

Z =72 Z =72(n-i|).

(1.3)

Тогда классическая нормальная форма запишется в виде

— 3 2—2 17 2 3—3 375 з 4—4 Gl2 = 22 2 -^-а 2 2 +^7~а 2 2 -8 32 256

10689 4 5_5 87549 5 6_6

-а 2 2 +____а 2 2 .

„ - - , ~ - - (1.4)

2048 4096 v 7

Для получения квантового аналога классической нормальной формы (1.4) используем правило соответствия Вейля—Маккоя [9,10], согласно которому каждому моному т,п• 2т сопоставляется определенное дифференциальное выражение

V

т!

1

2т ьо 1!(т-I)!'

а+1а па+(т-1),

(1.5а)

- + 1 (d Л , 1 (d „+

а =—¡=1 -¡¡т-с I, а =—¡=1 -¡тт+с I, аа - а а=1,

ь/2 I ^ ) ь/2 Idс

* ■а *а=- 2 •( -с!+'1

72

(1.5б)

Тогда классической нормальной форме (1.4) будет соответствовать ее квантовый аналог в виде

Г ^ (£-5"+1

или

(1.6)

(1.7)

Г12 =£Г(2к(к=!,-,6),

к

Г(2)= N+1/2, Г(4)= ^(т-2 + N+1/2),

Г (6) = -^а2 (*3 +3/2* + 2*+3/4)

Г(8) = 375а3 *.4+2Т-3 +5Т-2 + 4*+3/2) 16

Г (10)=-1061869х4 (*5 +5/2*4 +10*3 +25/2Т-2 +23/2*+15/4)

16

Г (12) = 87549а5

64

х* +3*5 +3 5/2Т-4 +30*3 +49Т-2 +69/2*+45/4), N=а+а.

Квантовая нормальная форма (1.7) представляет приближенно уравнение Шредингера для начального классического гамильтониана (1.1). Задача на

собственные значения Г12Ф(С)=ЕФ(С) легко решается. В результате получаем энергетический спектр для ангармонического осциллятора (1.1):

Е12 =£ Е(к),

(1.8)

к=1

Е(2)= п+1/2, Е (4)= 3а(п2 + п+1/2)

Е

(6)_

17а2

4

375а3 1б"

(п3 + 3/2п2 + 2п+3/4),

Е(8) = 3/эа (п4+2п3+5п2+4«+3/4),

Е00) = - ЮбЮех4 („5 +5/2п4 +10и3+25/2п2+23/2п+15/4),

Е(12)=-8756449а (п6+3п5 +35/2п4+30п3 +49п2 +69/2п+45/4) п=0,1,...

В табл.1 приведены значения уровней энергии Е& вычисленные нами по полученной формуле (1.8), и их значения, которые получены прямым численным решением соответствующего уравнения Шредингера.

Таблица 1

Сравнение уровней энергии 2 Е, вычисленных по формуле (1.8), с их значениями, полученными прямым численным решением соответствующего уравнения Шредингера [11]

а = 0,001

п Еъ Е< 5,%

0 1,000748414 1,000748692 0,000027

1 3,003738922 3,003739748 0,000027

2 5,009710511 5,009711872 0,000027

3 7,018650709 7,018652592 0,000027

4 9,030547175 9,030549566 0,000027

5 11,04538770 11,04539058 0,000026

6 13,06316020 13,06316357 0,000026

7 15,08385274 15,08385658 0,000025

8 17,10745349 17,10745779 0,000025

9 19,13395074 19,13395549 0,000025

10 21,1633329 21,16333810 0,000024

Из таблицы видно, что значения энергий, вычисленных по формуле (1.8), находятся в хорошем согласии с результатами работы [11] (величина 5,% означает относительную ошибку). Если же величина параметра равна а = 0,001, то относительная ошибка для первых пяти уровней изменяется в пределах от 5 = 0,0024 до 5 = 0,0008. Таким образом, квантование при помощи нормальных форм с применением правила квантования Вейля—Маккоя приводит к достаточно точному вычислению энергетического спектра для классического ангармонического осциллятора с четвертой степенью нелинейности.

Ниже изложим схему получения нормальной формы, которая удобна для проведения квантования двумерных гамильтоновых систем с равными частотами [7], т. е. имеющих вид

И=(р2 + д2+Р22 + д2 )+У (дъд2)

Квантование таких классической системы можно эффективно выполнить, если нормализацию провести в следующих канонически сопряженных переменных (0,Р) [7]:

0 = 2(д2-'р2)+2(д: -щ\ <32 = 2(д2-'р2)-2(д1 -'р1

2 2 22 (15)

Р = 2 (д2 +'р2)-2 (д1 +'>1), Р2=-2 (д2 +>)+2 (д1 +'>0,

в которых оператор нормальной формы изначально

является диагональным. Заметим, что эти преобразо-

вания являются каноническими с валентностью, рав-

ной мнимой единице.

В этом случае нормализация выполняется каноническим преобразованием при помощи производящей функции

—п т т—п v 2 2 ■ 2 2 —

F(Q, Р)=ЙР +Q2P2 +1)(0, Р), (16а)

»=3

W(S)(Q,P)=QlQ12 рт Рт2, 5 =Щ +¡2 + т + т2. (16б) Нормальная форма G(Q, Р) также ищется в виде суммы однородных мономов по переменным («,Р). Из-за предварительного канонического преобразования (15) оператор нормальной формы принимает диагональный вид и мономы W(5)(«,Р) будут его собственными, что упрощает процедуру нормализации.

Пример 2. Пусть двумерная классическая функция Гамильтона имеет вид

(2.1а)

Н=Н (2)(д, р)+V (Ь,с, d, р, д),

Н (2)(д, р)=(р2 + д.2 + р22 + д2 )/2, (2.1б)

V(Ъ,е^,р,д)=Ъ(д!2д2 +1/3-д3^сд2^ + d(д2 + д2) . (2.1в) Классическая динамика этой системы исследована в работе [12].

При произвольных значениях параметров классическое движение является хаотическим. Однако было найдено, что для трех наборов ее параметров система является интегрируемой: 1) с=ф 0,с ф 0; 2) Ъ=с=0, d Ф 0; 3) Ъ = 0,с=-2d, d Ф 0, и классическое движение имеет регулярный характер.

Для этой системы процедура нормализации была выполнена при помощи компьютерной программы [8] и до степени »тах = 6, в частности, получена нормальная форма G6(Ql,Q2,Р,Р)=G6(b,c,d,Ql,Q2,Р,Р>) в виде:

G6(Ql,Q2, Р, Рг )=ЩР +Q2P2 +C41(Q1/P +Q2Pг )2 -

^(«Р - Q2Pl )2 +^43(0^1 ^2 )2 +

(QlP +Q2P2 )2 ^62 («Р +Q2Pl )3 --С63 (QlP2 + Q2Pl )(QlP +Q2P2 )2 --^(«Р +Q2P2 Х01Р2 -Q2Pl )2 + +С65 ((QlP2 +«2Р )(QlP2 -Q2P )2 + +06(0^1 +Q2P2)(QlPl -Q2P2)2¡1 (17)

С41 = 3d/2-5Ъ2/12, С42 =-5Ъ2/2-5Ъ2/12+3с/8,

-42 "

С43 =-d/2+с/8,

С61 =-235b4/432+173b2d/36+13Ъ2с/36-17d 2/4,

-61 -62

С62 =-2b2d/9 + ЪЪ2с/18, С65 =11й^/9-11Ъ2с/36, С63 =-11й^/9+1 1ъ2с/36,

С64 =-17с2/64+277ъ^/36+199b2c/73-333>4/144-17cd /8,

С66 =-9d 2/4^/2-c2/64-b2d/36+ъ2с/144. Нормальную форму (17) представим в удобном виде для последующего квантования

G6(Ql,Q2, Р, Р2 )ф(2)+^4)+^6)] (18) ^2)=0.Р + 02Р2, G4 = С41 [(01Р )2 + 2(01РР ).(02Р2)+(02Р2 )2]+

+С42 [(«.Р >^2 )-012Р22 -022Р2]+

+043 [(0Р )2 -2(01 Р ).(02Р2)+(02Р2 )2],

G(6)=С61 [(0Р )3 +3(0Р1 )2 .(02Р2)+

+3(01РР )-(02Р2 )2 +(02Р2 )3]-С62 [( )-03Р3 +012Р22-023РР3 +

+301 (01Р )Р2 (02Р2 )+302 (02Р2 )Р (01Р )]--С63 [«1 (01Р )2 Р> +01Р2(02Р2 )2 +«2Р (01Р )2 + +02(02Р2 )2 Р +201(02Р2 )Р2(02Р2 )+3Qз(Q2Pз >^1(01^)]

Для получения квантового аналога G6 классической нормальной формы G6(Q1,Q2,P,P2) нужно величинам 0={01,02}, Р={Р, Р2} сопоставить квантовые операторы <0,Р, построенные согласно соотношениям (15), в которых классические величины заменены их квантовыми операторами, в частности Рv^pv=-iд/дду, д^ду= ду, д,pv]=/'8^. Тогда

коммутатор [«ц,

Критический обзор различных правил квантования проведен в монографии [13].

В связи с тем, что классическая нормальная

форма содержит произведения типа (0^)™ -(Р)п, то

для получения квантового аналога воспользуемся двумя известными правилами сопоставления классическим переменным их квантовых операторов: правило квантования Борна—Йордана [14] и правило квантования Вейля—Маккоя [9,10].

1

В/{д

тр" - р"дт}^^-.у р п-кд трк, (ВД)

п +1

к=0

WMc{дmpn - рпдт

1 п

п

п!

2п ^к!(п-к)!

р п-кд тр к. (WMc)

Согласно этим правилам были вычислены квантовые аналоги классической нормальной формы

/А В/ ¿А WMc т/-

G6 и G6 . К примеру, можно получить следующие соотношения

в/{0УР1}=(«У^)+1/2, в/{й,Р,)2}= «0Д)2+(«Д)+3/2, В/{й Р,)3}=(&< РАу)3+7/ 4(«у РР,)2+15/4(«, PPV)+3/3, WMc{Qv Р,}=((, WMc{(Qv Р,)2}=(й PV)3+(<?v PPv)+1/3, (19)

WMc{(QvPv)3}=(«vPv)3+3/2(QvЛ) + з(«v^,)+3/4 и т.д.

Тогда для классической нормальной формы (18) получим квантовые аналоги:

С6В/ = «1Р + ¿2 Р2 +1+С41 [«Р + ¿2 Р2 +1)2 + 5/2^+ +С42 [«.Р + ¿2 Р2 + 3(QlP)(Q2 Р2 )+1/2]+ +С43[«Р -¿2Р2)2 + 5/2^+

+С61 [0Р + ¿2 +1)3 +1/4«?1^^)2 +1/4«?2 Р2 ) + (20)

+27/40Р + «2 Р2 )+13/2]+ +С64 [(Р +«2 Р2 ^Р + ¿2 + 3(QlPlQ1 Р2 + 3)]+

+С66 {(Р + ¿2 Рг +.)[ёР - ¿2 Р) + +1/4(«1Р1 +(<2 )|-1/2«1Р1«2 Р2}

= ЙР +< Л +1+ С^Р + <22 Р2 +1)2 +1/2 +С42 [йР + <2 Р2 + 22^4 Р> +1/2]+ +С43[Ы -<<2РРг)2 +1/2] +

+С^ОЙ + <<2Р2 +1)3 + 2<<1Р1 + 2<Р2 + 2 --Сб4 ОР + <<2 +1Х1Р1 + <<2 Р2 + 201^4 +1)+ +Сбб ЙР + <<2+1)Г&5^1Ра1 )2 +(«2Р2)2 -ША+1

(21)

Введем следующий ортонормированный базис векторов

п-1/2 _ Г N-1 \ л / N+Ь \

N, Ь=

N - ЬV N - Ь

2

2

(22)

= Р2|0,0)=0,

где N=0,1,2,... — главное квантовое число, Ь — орбитальное квантовое число, принимающее для данного N значения Ь=±N,±^-2),+^-4),..., для которых имеются соотношения

ЙР|N,Ь)1 =(N+Ь)/2|N,Ь), ¿2Р2|N,=(N-Ь)/2|N,Ь) (23) Заметим, что базисные векторы Щ,Ь) в полярных переменных (г,ф|N,Ь) представляют вырожденную гипергеометрическую функцию.

Эти соотношения позволяют найти собственные

значения квантовых аналогов нормальных форм и ( тмс, тем самым получить формулы для энергети-

т^в/ т^шыс

ческих спектров Еж , Еж заданного гамильтониана (2.1). Эти формулы имеют следующий вид:

Евь = N+1+ 2 С41(2^ + 4N+7)+1 C42(N2 + 2N - Ь2 +1)+ +1 С43(2Ь2 +5)+8 С61(8^ +25N2 +78N+Ь2 +60)-

-2 С64(^3 +3N2 +8N+Ь2 - NЬ2 - Ь2 +3)+ +¡8 С66(^2 +14N+8NЬ2 +9Ь2 +12), Е^МС = N+1+2 С41(2 N 2 + 4N+3)+ +2 С42 N 2+2N - Ь2 +1)+ +2 С43(2Ь2+1)+ С61(^3+3N 2 + 5N+3)-- 2 С64 N3+3N 2 + 2N - NЬ2 - Ь@ +1)+

(24)

(25)

+С66 N+NЬ2+Ь2 +1) К сожалению, расчетов энергетического спектра для системы (2.1) в литературе нет даже в случае ее интегрируемости при с=4d . Однако такие квантовые расчеты имеются в двух других случаях, для которых классическая система (2.1) является интегрируемой. Ниже для этих двух случаев представим результаты наших расчетов и проведем сравнения с имеющимися в литературе результатами других авторов.

Тем не менее, приведем результаты расчетов по формулам (24) и (25) при с=4d для сравнения предсказаний спектра по двум правилам квантования.

Таблица 2

Сравнение нижних уровней энергии, полученных при квантовании классической нормальной формы по правилам Вейля-Маккоя и Борна-Йордана при значениях параметров (Ь=0, с=0,02, d=0,005, с=4d)

№ т-ШЫс ЕЫЬ ЕВЗ ЕЫЬ 77В./ т-^ИМс Еж - Еж

1. Е0,0 1,015 1,028 0,013

2. Е1,±1 2,045 2,055 0,010

3. Е2,±2 3,089 3,095 0,006

4. Е2,0 3,106 3,108 0,002

5. Е3,±3 4,147 4,147 0,000

6. Е3,±1 4,183 4,172 -0,010

7. Е4,±4 5,219 5,212 -0,007

8. Е4,±2 5,273 5,247 -0,026

9. Е4,0 5,291 5,259 0,018

Для двух других случаев интегрируемости системы (2.1) формулы энергетических спектров имеют следующий вид:

2) при параметрах Ь=с=0, d Ф 0

Е. = N(3^ 2 +3N-1/2Ь2 + 4)гd 2(17^3 2 + +75^ -2Ь2 -9/4Ь2 N+57/2), (26)

Е™с = N+1+d (3^2 +3N-1/2Ь2 + 2)--d 2 (l7/4N3 +52 +19N-9/4Ь2 -9/4Ь2N+21/2) (27) 3) при параметрах Ь = 0, с=-2d, d Ф 0

Е. = N+1+d (9^ 2 +9/4N-3/8Ь2 +3)--d2(85/32N3 +1037/128N2 +1479/64N -

-187/128Ь2-51/32Ь2 N+561/32) (28) Е™с = N+1+d (9/8N2 +9^-3/8Ь2 +3/2)--d 2(l87/32N3 +561/32N 2 +391/16N -

-153/32Ь2-153/32Ь2N+51/4) (29)

Таблица 3

Сравнение уровней энергий, полученных по формулам (26), (27), с их значениями из работы [11] при d = 0,0005

№ 2 £N,1, ЕВ/ ЕЫЬ иШМс ЕЫЬ Из работы [11]

1. 2Е0,0 2,002 2,001493 2,0014973853462

2. 2Е1,±1 4,006 400447 4,0044884408418

3. 2Е2,±2 6,010 6,009 6,0104605654612

4. 2Е2,0 6,012 6,010 6,0074794963374

5. 2Е3,±3 8,016 8,015 8,0194012847306

6. 2Е3,±1 8,019 8,018 8,0134516209568

7. 2Е4,±4 10,024 10,022 10,0312982587478

8. 2Е4,±2 10,028 10,027 10,0223923402262

9. 2Е4,0 10,030 10,028 10,0194237455762

10. 2Е5,±5 12,033 12,031 12,0461392708521

Таблица 4

Сравнение уровней энергий, полученных по формулам (28), (29), с их значениями из работы [15] при Ь = 0, сd=0,000005

№ 2 EN,L enl t-°WMc enl Из работы [15]

1. 2E0,0 2,00004 2,0000199995 2,00009999550022

2. 2E1,±1 4,00008 4,0000599979 4,000059998050135

3. 2E2,±2 6,00014 6,0001199946 6,000119994900454

4. 2E2,0 6,00016 6,0001399946 6,000139993550605

5. 2E3,±3 82,0002 8,0001999892 —

6. 2E3,±1 8,00026 8,0002399856 8,000239985901665

7. 2E4,±4 10,00032 10,0002999808 —

8. 2E4±2 10,00038 10,0003599741 10,00035997450361

9. 2E4,0 1000040 10,000379971 10,00037997225402

10. 2E5,±5 12,00044 12000419969 —

11. 2E5,±3 12,00052 12,000499958 —

12. 2E5,±1 12,00056 12,0005399529 12,00053995335796

13. 2E6,±6 14,00058 14,000559953 —

14. 2E6,±4 14,00068 14,000659937 —

15. 2E6,±2 14,00074 14000719928 14,00071992861387

16. 2E6,0 1400076 14,000739925 —

Таким образом, если классическая функция Гамильтона задана или приведена к виду (1), то при помощи процедуры нормализации с последующим ее квантованием возможно получить приближенные аналитические формулы для энергетического спектра с удовлетворительной точностью. Но при этом желательно из-за большого объема простых вычислений использовать известные компьютерные системы алгебраических преобразований, например, REDUCE, MAPLE и др.

Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. 408 с.

Gustavson F.G. On constructing Formal Integrals of a Hamiltonian system near an Equlibrium Point // Astronomical Journal. 1966. Vol.71. №8. P.670-686. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments // Astronomical Journal 1964. Vol.69. №1. P.73-79.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 321 с. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с. Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркго-фа—Густавсона // Ядерная физика. 1989. Т.50. Вып.8. С.344-346.

Basios V., Chekanov N.A., Markovski B.L. et al. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians // Comp. Phys. Commun. 1995. V.90. P.355-368.

9. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука, 1986. 496 с. (см. гл. IV, параграф 14).

10. McCoy N.H. On the function in quantum mechanics which corresponds to a given function in classical mechanics // Proc. Natl Acad. Sci. USA. 1932. V.18(11). P.674-676.

11. Banerjee K. General anharmonic oscillator // Proc. of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1978. V.364. Issue 1717. P.265-275.

12. Чеканов Н.А., Кириченко И.К., Богачев В.Е., Чеканова Н.Н. Компьютерные расчеты динамических свойств для одной модели классической системы с двумя степенями свободы // Научные ведомости БелГУ. Сер.: Экономика. Информатика. 2014. №1(172). Вып.29/1. С.94-99.

13. Razavy M. Heisenberg's quantum mechanics. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2011. 678 p.

14. Борн М., Йордан П. О квантовой механике // УФН. 1977. №122. Вып.8. С.586-611.

15. Taseli H. On the Exact Solution of the Schrodinger Equation with a Quartic Anharmonicity // International Journal of Quantum Chemistry, 1996. Vol.57. P.63-71.

References

1. Birkhoff G.D. Dynamical systems. American Mathematical Society, 1966, 305 p. (Rus. ed.: Dinamicheskie sistemy. Moscow-Izhevsk, NITs 'Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika' Publ., 2002, 406 p.).

2. Gustavson F.G. On constructing Formal Integrals of a Hamiltonian system near an Equlibrium Point. Astronomical Journal, 1966, vol. 71, no. 8, pp. 671-686.

3. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astron. Jour., 1964, vol. 69, no. 1, pp. 73-79.

4. Giacaglia G.E.O. Perturbation Methods in Non-Linear Systems. Springer, 1972, 378 p. (Rus. ed.: Metody teorii vozmushcheniy dlya nelineynykh sistem. Moscow, Nauka Publ., 1979, 320 p.).

5. Ali H. Nayfeh. Introduction to Perturbation Techniques. Wiley, New York, 1981. (Rus. ed.: Metody vozmushcheniy. Moscow, Mir Publ., 1976, 456 p.).

6. Markeev A.P. Tochki libratsii v nebesnoy mekhanike i kosmodinamike [Libration points in celestial mechanics and astrodynamics]. Moscow, Nauka, Publ., 1978, 312 p.

7. Chekanov N. A. Kvantovanie normal'noy formy Birkgofa-Gustavsona [Quantization of Birkhoff-Gustavson Normal Form]. Yadernaya fizika, 1989, vol. 50, iss. 8, pp. 344-346.

8. Basios V, Chekanov, B.L. Markovski, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians. Comp. Phys. Commun., 1995, vol. 90, pp. 355-368.

9. Veyl' G. Teoriya grupp i kvantovaya mekhanika [Group Theory and Quantum Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 496 p. (see ch. IV, paragraph 14).

10. McCoy N.H. On the function in quantum mechanics which corresponds to a given function in classical mechanics. Proc. Natl Acad. Sci. USA, 1932, vol. 18, pp. 674-676.

11. Banerjee K. General anharmonic oscillator. Proc. R. Soc., 1978, vol. A364, pp. 265-275.

12. N.A. Chekanov, I.K. Kirichenko, V.E. Bogachev, N.N. Chekanova. Komp''yuternye raschety dinamicheskikh svoystv dlya odnoy modeli klassicheskoy sistemy s dvumya stepenyami svobody [Computer calculations of dynamic properties for one model of classical system with two degrees of freedom]. Nauchnye vedomosti BelGU, ser. Informatika, 2014, no. 1(172), iss. 29/1, pp. 94-99.

13. Razavy M. Heisenberg's quantum mechanics. Singapore, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2011, 678 p.

14. Born M., P. Jordan Zur Quantenmechanik. Zeits. fur Phys., 1925, vol. 34, pp. 858-888 (Rus. ed.: O kvantovoy mekhanike. UFN, 1977, no. 122, iss. 8, pp. 586-611).

15. Taseli H. On the Exact Solution of the Schrodinger Equation with a Quartic Anharmonicity. International Journal of Quantum Chemistry, 1996, vol. 57, pp. 63-71.

2.

3

4.

7.