CC BY
17
УДК 637.1/.5:658
Квалиметрия систем на основе энтропийных потенциалов параметров Прикладные аспекты для пищевой промышленности и нанотехнологий
Канд. техн. наук В. Л. ЛАЗАРЕВ Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9
The paper considers issues of optimizing equipment development and improvement expenses as well as those for a control system, with the view of providing necessary efficiency level of the total system functioning. A priori uncertainty being typical of present-day complex industrial systems, quality control problems are proposed to be solved on the basis of the methods of entropy potentials theory; models and approaches for solving the set problems being presented.
Keywords; qualimetry, optimization, entropy potentials, prior uncertainty, disturbances, monitoring and system control.
Ключевые слова: квалиметрия, оптимизация, энтропийные потенциалы, априорная неопределенность, возмущения, мониторинг и управление системой.
Ключевая проблема создания и модернизации сложного оборудования — оптимизация соотношений между затратами на разработку или совершенствование отдельных элементов, обеспечивающих повышение качества функционирования всей системы. Одной из таких задач является оптимизация вложений в разработку или модернизацию технологического оборудования и вложений в разработку или совершенствование устройства управления, обеспечивающих необходимый уровень эффективности работы всей системы при наличии ограничений на затраты или требований по их минимизации. Решению этой проблемы уделяется значительное внимание в промышленности. Обзор и систематизация существующих разработок приведены в работах [1, 2]. Причем актуальность проблемы возрастает, так как решение подобных задач существующими методами для современного сложного и дорогостоящего промышленного оборудования представляется весьма затруднительным, а зачастую и невозможным. В первую очередь это связано с имеющимся на практике «дефицитом» информации о режимах и условиях работы систем, характеристиках случайных воздействий, поступающих по различным каналам, и др., т. е. с наличием априорной неопределенности. Такая ситуация характерна для многих процессов и производств пищевой индустрии, где, в отличие от общетехнических измерений, исследования состава и свойств сырья, полуфабрикатов, ингредиентов и готовой продукции и динамики их изменения требуют значитель-
но больших материальных затрат и времени [3, 4]. Для процессов нанотехнологий возникают дополнительные проблемы, связанные с организацией контроля элементов изделий наноразмеров: толщины пленок, пленочных мембран и фильтров; размеров отверстий в них и др. [5]. Поэтому необходимой и актуальной является разработка подходов, направленных на решение задач квалиметрии систем в условиях априорной неопределенности. Далее рассматривается подход к решению таких задач на основе методов теории энтропийных потенциалов, которая находит приложение в различных областях.
В предлагаемом подходе качество функционирования всей системы и отдельных ее элементов (устройство управления, объект управления) оценивается неопределенностью их функционирования в детерминированных режимах. Оценка неопределенности состояния системы по какому-либо параметру х в этом случае осуществляется по величине вероятностной энтропии Н(х) для вариаций этого параметра относительно детерминированных значений. Отправным положением для решения проблемы квалиметрии систем является известная зависимость энтропии системы Н(х,у), где х — вариация управляющего воздействия, а у — вариация выходного параметра, от энтропии устройства управления Н(х) и условной энтропии объекта при наличии управляющего воздействия Н(у/х) в виде [6, 7]
Н(х, у) = Н(х) + Н{у/х). (1)
Вывод этого выражения приведен, например, в учебном пособии [6].
Величина энтропии Н(х) обусловлена наличием различных возмущений, дестабилизирующих работу объекта или устройства управления в детерминированном режиме.
Условная энтропия Н(у/х) характеризует «уровень несовершенства объекта» для реализации управления или, другими словами, неопределенность или неоднозначность реакции объекта на конкретное воздействие устройства управления вследствие разного рода помех, возмущений и нарушений в работе канала управления, а также в работе самого объекта. В идеально функционирующей системе, когда осуществляются полное подавление и компенсация возмущений и помех в канале управления и объекте, т. е. реакция объекта на воздействие однозначна, Н(у/х) = 0. В этом случае энтропия всей системы, согласно выражению (1), определяется только энтропией устройства управления.
Применение выражения (1) для решения различных задач связано с проведением больших объемов измерений параметров и обработки измерительной информации для построения гистограмм и вычисления соответствующих энтропий, что снижает практическую ценность такого подхода. Этот недостаток может быть устранен при переходе к понятиям энтропийных потенциалов. Энтропийный потенциал по каждому параметру определяется как половина диапазона равномерного распределения, имеющего такую же энтропию, как и закон распределения этого параметра. При таком подходе исходная энтропия Н(у) однозначно выражается через соответствующий энтропийный потенциал Де в виде [8, 9]
Н(у) = 1п2Де. (2)
Величина Де является обобщенной унифицированной характеристикой неопределенности состояния объекта при любом законе распределения параметра р(у): чем выше уровень неопределенности, тем больше величина Де и наоборот. Удобство использования величины Де для решения различных задач состоит в том, что она также выражается через характеристики рассеяния параметра: величину среднеквадратического отклонения а и энтропийный коэффициент закона распределения Ке (Де = Кса). Определение этих характеристик в ряде случаев требует меньших затрат, чем значений Н(у).
Аналогичное, более частное понятие — энтропийное значение погрешности было введено в 181 для анализа погрешностей средств измерений.
Понятие энтропийного потенциала для энтропии двухмерной величины Н(х\у), как характеристики неопределенности состояния такой системы, может быть введено формально, по аналогии с выражением (2). Очевидно, что при этом обеспечивается однозначное соответствие между этими величинами.
На основе использования положений теории энтропийных потенциалов разработаны способы мониторинга и управления системами в условиях неопределенности, которые находят применение в различных областях
[9-11].
Выразив входящие в выражение (1) энтропии через соответствующие им энтропийные потенциалы (2), получим
1п 2Де(х г/) 1п 2Де(х) -Ь ^Д^(?//х)
In 4Де(х)Де(у/х). (3)
Откуда следует Де(х,2/) = 2Де(1)Де(у/а:)- (4)
Вы ражен ие (4) оп исы вает неоп редел ен ность состоя н ия всей системы в зависимости от неопределенности работы устройства управления и непредсказуемости работы объекта в пространстве энтропийных потенциалов.
На основании вышеизложенного величина энтропийного потенциала системы Де(а.у), как и величина энтропии Н(х,у), характеризует нестабильность, неопределенность ее состояния и в конечном счете качество ее функционирования. Поэтому постоянный уровень качества функционирования системы Де(ж,у) = const, согласно выражению (4), может быть обеспечен множеством состояний величин энтропийных потенциалов устройства управления Де(х) и объекта управления Де(у/Х). Это положение может быть наглядно проиллюстрировано с помощью линии постоянного энтропийного (изоэн-тропийного) потенциала состояния системы — изотропы В ПЛОСКОСТИ энтропийных потенциалов Де(х) И &е(у/х) (рисунок).
Плоскость энтропийных потенциалов элементов системы с изотропой ее состояния
Каждому конкретному варианту реализации системы будет соответствовать изображающая точка на энтропийной плоскости. Причем условию Де(х,у) = const = С\ будет соответствовать бесчисленное множество точек, которые и образуют одну изотропу. Это означает, что
одно и то же качество функционирования системы (в энтропийном смысле) может быть достигнуто множеством различных вариантов сочетаний энтропийных потенциалов объекта и устройства управления. Эти показатели напрямую связаны с затратами на модернизацию или разработку соответствующих элементов. Следовательно, одно и то же качество функционирования системы может быть получено различными вариантами соотношений затрат на модернизацию объекта управления, его совершенствование по повышению управляемости, т. е. формирование величины Ае(у/Х), и затрат на создание или модернизацию устройства управления, т. е. формирование ВеЛИЧИНЫ Дф).
В качестве примера на рисунке показаны два таких варианта, обозначенные изображающими точками / и 2 с соответствующими значениями ДС(*) и Ле(у/Х). Очевидно также, что повышение качества работы системы будет характеризоваться переходом изображающей точки на изотропу с меньшим значением величины Де(ху).
Минимизация суммарных затрат на разработку и модернизацию элементов системы при неизменном качестве ее работы, Т. е. постоянстве величины Де(х,у), является актуальной задачей. Другими словами, требуется определить координаты точки Мор1(Лф)ор1; Ле(у/х)ор1), соответствующие варианту системы с минимально возможными затратами на ее реализацию. Для решения этой задачи необходимо наличие эконометрической модели энтропийного потенциала, которая количественно описывает взаимосвязь получаемого энтропийного потенциала Де и величины соответствующих затрат га. На основании проведенных исследований предлагается следующая модель, полученная эмпирическим путем:
А — у
т
(5)
где А — коэффициент затрат, величина которого зависит от вида объекта, устройства, их природы и характеризует степень сложности, трудоемкости проведения работ по созданию или модернизации конкретного элемента системы.
Следует отметить, что предложенная модель не противоречит здравому смыслу и является достаточно адекватной для реальных диапазонов изменения величины Де. Действительно, целенаправленное увеличение вложений на разработку или модернизацию системы или каких-либо ее элементов для уменьшения неопределенности их состояния, согласно выражению (5), приводит к уменьшению величины Де и наоборот. Адекватность такой модели ухудшается только на «хвостах» в областях достаточно малых и больших значений Де. Это объясняется тем, что практически для любого объекта или устройства управления существует минимальный предел Дет)П, преодоление которого практически невозможно либо требует несоизмеримо больших затрат, чем те, которые определяются из выражения (5). С другой стороны, для устойчи-
вых систем, работающих в реальных диапазонах изменения случайных воздействий, существует максимальный предел Детах, который априори обеспечивается системой при минимальных вложениях.
Теперь на основании изложенной модели затрат можно получить зависимость качества функционирования системы (в виде величины Де(1у)) от величин затрат на модернизацию объекта ту и разработку или модернизацию устройства управления тх. Для этого в выражении (4) выразим величины энтропийных потенциалов элементов системы Де(у/а;) и Дф) через соответствующие величины затрат с помощью выражения (5):
Ах А,
Де(х,у) = ^e(l)^c(y/l) = 2 , (6)
где Ах и Ау — коэффициенты затрат для устройства управления и объекта соответственно.
Из выражения (6) следует, что различные варианты системы, соответствующие заданному уровню качества ее функционирования Де(х,у) = С = const, т. е. описываемые одной изотропой на рисунке, будут определять связи, налагаемые на величины затрат тх и ту в следующем виде:
2АХАУ _ 2АхАу
Д
е(х,у)
с
(7)
Теперь для нахождения координат точки Мор< необходимо сформулировать условие минимизации суммарных затрат на разработку или модернизацию всей системы в виде тХ'У = 1р{тх, ту) —> тт. Вид функции -р определяется конкретикой решаемой задачи и зависит от множества факторов. Так, например, для ряда практических задач вполне приемлемой является функция затрат в виде тх,у = с\тх + С2тпу, где с\ и — весовые коэффициенты, которые характеризуют приоритеты затрат на соответствующие устройства. Для удобства иллюстрации излагаемого подхода положим, что элементы системы с точки зрения специфики их модернизации имеют равные приоритеты. В результате получим усло-виеминимизации сум марн ы х затрат, которое будет и меть вид
тх,у — тх + ту тт. (8)
Совокупность условий (7) и (8) является математической формулировкой задачи минимизации затрат на разработку или модернизацию системы с заданным уровнем энтропийного потенциала — качеством ее функционирования. Применив процедуру нахождения экстремума (гшп) функции с использованием первой производной, получаем решение в виде
TTlxopt — TYlyopt —
2 АХАУ Дф,у)
2 АХАУ
(9)
Теперь, подставляя полученное решение в выражение (5), определяем координаты точки Мор*:
д
e(a:)opt
ТТ1хор1
Ах Де(х,у)
Ау Де(х,у)
(Ю)
(II)
ТПуорЬ у Ах 2
Разделив выражение (10) на (11), получаем выражение, описывающее соотношение оптимальных (по затратам) величин энтропийных потенциалов элементов системы через соответствующие коэффициенты затрат:
Де(х)ор< Аа
“ А
(12)
1-±е(у/х)ор1 ™у
Анализируя полученные результаты (10)—(12), можно сделать вывод, что для решения задачи минимизации затрат при синтезе или модернизации системы с заданным уровнем энтропийного потенциала (качеством ее работы) нет необходимости определять коэффициенты затрат для каждого отдельного элемента. Для нахождения решения в виде (10) и (11) необходимо наличие ТОЛЬКО отношения ЭТИХ коэффициентов В = Ах/Ау, которое предлагается определить как коэффициент кратности затрат. Этот коэффициент определяется отношением затрат, необходимых для изменения энтропийного потенциала элементов системы на одну и ту же величину, и зачастую может быть определен специалистом опытно-интуитивным путем. Для штатных ситуаций, например типовые блоки управления (типовые регуляторы с корректирующими звеньями) — типовое оборудование (теплообменные аппараты, автоклавы, ректификационные колонны конкретных типов, оборудование для нанесения наноструктурированных покрытий и производства нанофильтров и др.), величины коэффициентов кратности затрат могут быть заранее определены и табулированы.
В рамках данной работы для изложения сути подхода к проблеме квалиметрии систем на основе энтропийных потенциалов параметров использованы упрощенные модели затрат (5), (8). В случае необходимости возможна корректировка или замена моделей. При этом постановка задачи, суть подхода, технология и алгоритмы нахождения решений сохранятся.
Для иллюстрации изложенного подхода рассмотрим следующий пример. Имеется климатическая камера для проведения температурных испытаний различных объектов и образцов с устройством управления для поддержания температурных режимов. Камера по производственной необходимости эксплуатируется в помещении, где имеют место значительные колебания температуры и влажности наружного воздуха. Эти обстоятельства оказывают влияние на условия теплообмена с окружающей средой и являются возмущениями температурного режима в камере.
Для конкретной производственной ситуации величина энтропийного потенциала температуры при задан-
ной уставке X = 180 °С составляет Ае(у/Х) = 8 °С, что недопустимо по условиям испытаний. Возникает необходимость модернизации системы в целях понижения величины Де(у/х) До4°С. Указанная цель может быть достигнута как путем модернизации объекта (камеры), так и путем совершенствования функционирования устройства управления, а также за счет совместной реализации этих способов. Модернизация объекта в данном случае предусматривает увеличение дополнительной тепло-и гидроизоляции корпуса камеры, что приведет к уменьшению влияния вышеуказанных возмущений и, соответственно, к уменьшению величины Ас(у/Ху Значение вел и ч и н ы коэффи ц и е н та затрат дл я да н н о го объе кта в от-носительных условных единицах Ау = 10.
Модернизация устройства управления может быть направлена, например, на совершенствование закона регулирования, введение в контур управления дополнительного корректирующего звена или изменение структуры устройства, например за счет введения дополнительного контура компенсации возмущения. Значение усредненной величины коэффициента затрат в тех же единицах Ах = 8.
При модернизации системы необходимо обеспечить общую минимизацию затрат. Определим оптимальное соотношение затрат при модернизации элементов системы. Оптимальное соотношение величин энтропийных потенциалов, а также величину Де(х)оР* определим из выражения (12). В результате получим Де(х)ор4 = Де(у/х)Ах/Ау = 3,2. При этом величина коэффициента кратности затрат В = 0,8. Величины затрат в условных единицах для элементов системы, согласно выражению (5), будут составлять: для устройства управления тх = Ах/Ае(х)ор1 = 2,5; для объекта управления (камеры) ту = Ау/Де(у/х)ор1 = 2,5. Суммарная величина минимизированных затрат на модернизацию всей системы, согласно условию (8), тх<у = тх + гпу = 5.
Полученные результаты (5)—(12) в силу общности изложения справедливы для различных типов систем. Представленные модели основаны на ряде упрощающих допущений, поэтому их использование в ряде случаев может не дать высоких уровней адекватности в расчетах по квалиметрии. Тем не менее они являются компактными, удобными для работы, требуют минимального количества исходных данных и могут использоваться в условиях априорной неопределенности, характерных для многих практических задач.
Список литературы
1. Охтилев М. Ю., Соколов Б. В., Юсупов Р. М. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов. — М.: Наука, 2006.
2. Андрианов /О. М., Субетто А. И. Квалиметрия в приборостроении. — Л.: Машиностроение, 1990.
3. Информационные технологии пищевых производств в условиях неопределенности / А. Е. Краснов, О. В. Кра-суля, О. В. Большаков, Т. В. Шленская. — М.: ВНИИМ, 2001.
4. Лазарев В. Л. Автоматизированный мониторинг и управление процессами низкотемпературных и пищевых технологий на основе методов теории энтропийных потенциалов / Сб. докладов Международной конференции «Низкотемпературные и пищевые технологии вXXI веке*.-СПб., 2007.
5. Лазарев В. Л. Организация процессов нанотехнологий на основе энтропийных потенциалов параметров / Сб. докладов Международной конференции «Низкотемпературные и пищевые технологии в XXI веке». — СПб., 2007.
6. Лазарев В. Л. Робастные системы управления в пищевой промышленности: Учеб. пособие. — СПб.: СПбГУНиПТ, 2003.
7. Благовещенская М. М., Злобин Л. А. Информационные технологии систем управления технологическими процессами: Учеб. для вузов. — М.: Высш. шк., 2005.
8. Электрические измерения неэлектрических величин /А. М. Туричин, П. В. Новицкий, Е. С. Левшина и др.; Под ред. П. В. Новицкого. — Л.: Энергия, 1975.
9. Лазарев В. Л. Энтропийный подход к организации мониторинга и управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. № 6.
10. Пат. 2296356 RU, МПК G05B13/00. Способ контроля и управления динамической системой / Лазарев В. Л. (RU). Опубл. 2007.03.27. Бюл. № 9.
11. Лазарев В. Л. Исследование систем на основе энтропийных и информационных характеристик//Журнал технической физики. 2010. Т. 80. Вып. 2. (http://www.iofTe.rssi.ru/journals/jtf/2010/02/pl— 7. pdf).
